第一章 特殊平行四边形（压轴专练）（十一大题型）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（北师大版）

第一章 特殊平行四边形（压轴专练）（十一大题型） 题型1：解答证明题 题型2：折叠问题 题型3：旋转问题 题型4：最值问题 题型5：取值范围问题 题型6：定值问题 题型7：特殊平行四边形与平面直角坐标系—存在性问题 题型8：特殊平行四边形与平面直角坐标系—其他问题 题型9：新定义题 题型10：情景探究题 题型11：其他动态问题、最值问题综合 题型1：解答证明题 1．在菱形中，，点E、F分别为上一点． (1)如图1，当，时，直接写出三条线段和之间满足的等量关系式为________； (2)当时， ①如图2，若，若，，求的长； ②如图3，E为中点，交于点G，交于点H，和交于点O，若，，，则________． 2．如图，在中， (1)若是菱形，，试求出的度数； (2)如图2，若，点在边的延长线上，连接．，若是的中点，连接，求证：； (3)如图3，，点是上动点，连结．过点作交线段于点．过点作于，交的高于点．若，请你写出线段之间的数量关系，并证明你的结论． 题型2：折叠问题 3．如图，在矩形纸片中，E为边上的动点，F为边上的动点，连接． (1)若． ①如图①，点E与点D重合，点F与点B重合，将矩形纸片沿折叠，点A落在点G处，设与相交于H，求的长； ②如图②，将矩形纸片沿折叠，使点B与点D重合，求折痕的长； (2)如图③，点E为的中点，点F与点B重合，将矩形纸片沿折叠，点A落在点G处，且点G在矩形内部，延长交于点H，若，求的值． 4．【问题发现】 如图，在正方形纸片中，点为线段上一点（点不与点重合），将正方形纸片沿直线折叠得到． （）如图，点恰好落在对角线上，连接交于点，交于点．求证：； （）如图，点落在正方形纸片内部，延长交边于点， ①猜想线段之间的数量关系，并证明； ②试说明的度数． 【探究应用】 （）如图，在正方形纸片中，点为线段上一点（点不与点重合），将正方形纸片沿直线折叠得到，再将纸片沿过点的直线折叠，使与重合，折痕为，继续将正方形纸片沿直线折叠，点的对应点恰好落在折痕上的点处，与相交于点，若，求的长度． 5．综合与实践 (1)操作判断：没有作图工具时，可以采用图1的方法得到的角． 步骤一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 步骤二：再次折叠纸片，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到折痕，把纸片展平，交于点，连接． 根据以上操作，图1中度数为的角是 （只需写一个）； 请你证明中的结论． (2)迁移探究：如图2，将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接．若正方形的边长为，求的长（结果保留小数点后一位，参考数据： (3)拓展应用：参照（2）的方式操作，如图3，将正方形纸片沿着平行于的折痕折叠，使点分别落在边上，其余步骤不变．若，请直接写出的值为 ． 题型3：旋转问题 6．操作与证明： 如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN． （1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形； 猜想与发现： （2）在（1）的条件下，请判断线段MD与MN的关系，得出结论； 结论：DM、MN的关系是：　 　； 拓展与探究： （3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C旋转180°，其他条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． 7．点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形．    (1)如图1，连接，，判断与的位置关系和数量关系，并证明； (2)如图2，将正方形绕点逆时针旋转，使得点落在线段上，交于点且点恰好是的中点，连接，，若，，求； (3)如图3，将正方形绕点旋转至如图的位置，且，连接，交于点，连接，请直接写出，，之间的数量关系． 题型4：最值问题 8．问题提出  如图1，正方形的对角线与交于点，点在上，连接，作交于点，平分交于，探究与的数量关系． 问题探究  （1）先将问题特殊化，如图2，当点与重合，点与重合时，直接写出与的数量关系； （2）再探究一般情形，如图1，探究与的数量关系： 问题拓展  （3）如图3，连接，若正方形的边长为，请直接写出的最小值为________（用含的式子表示）．    9．【问题情境】 (1)同学们我们曾经研究过这样的问题：已知正方形，点在的延长线上，以为一边构造正方形，连接和，如图所示，则和的数量关系为______，位置关系为______． 【继续探究】 (2)若正方形的边长为，点是边上的一个动点，以为一边在的右侧作正方形，连接、，如图所示， ①请判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由； ②连接，若，求线段长．爱动脑筋的小丽同学是这样做的：过点作，如图，你能按照她的思路做下去吗？请写出你的求解过程． 【拓展提升】 (3)在（2）的条件下，点在边上运动时，利用图，则的最小值为______． 题型5：取值范围问题 10．已知，四边形和四边形都是正方形，点为的中点． (1)连接、． ①如图1，若点在边上，猜想和的关系，并给予证明： ②若将图1中的正方形绕点顺时针旋转，使点落在对角线的延长线上，请你在图2中补全图形，猜想和的关系，并给予证明． (2)如图3，若，，将正方形绕点旋转，连接．请你直接写出的取值范围___________． 11．如图1，，、、为铅直方向的边，、、为水平方向的边，点在、之间，且在、之间，我们称这样的图形为“图形”，若一条直线将该图形的面积分为面积相等的两部分，则称此直线为该“图形”的等积线． (1)下列四副图中，直线是该“图形”等积线的是_________(填写序号) (2)如图2，直线是该“图形”的等积线，与边、分别交于点、，过中点的直线分别交边、于点、，则直线 (填“是”或“不是”)该图形的等积线． (3)在图3所示的“图形”中，，，． ①若，在下图中画出与平行的等积线l(在图中标明数据) ②在①的条件下，该图形的等积线与水平的两条边、分别交于、，求的最大值； ③如果存在与水平方向的两条边、相交的等积线，则的取值范围为 ． 题型6：定值问题 12．已知菱形中，，点E在边上，作，与相交于点F．与对角线分别相交于点H，G． (1)如图1，当点E是中点时， ______； (2)如图2． ①求证：； ②的值是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由． 13．综合与实践 定义：将宽与长的比值为（为正整数）的矩形称为阶奇妙矩形． （1）概念理解： 当时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽（）与长的比值是_________． （2）操作验证： 用正方形纸片进行如下操作（如图（2））： 第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为，连接； 第二步：折叠纸片使落在上，点的对应点为点，展开，折痕为； 第三步：过点折叠纸片，使得点分别落在边上，展开，折痕为． 试说明：矩形是1阶奇妙矩形．   　　  　　  　　   （3）方法迁移： 用正方形纸片折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注． （4）探究发现： 小明操作发现任一个阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图（4），点为正方形边上（不与端点重合）任意一点，连接，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形的周长与矩形的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由． 题型7：特殊平行四边形与平面直角坐标系—存在性问题 14．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，将绕点O顺时针旋转得（点A与点C对应，点B与点D对应）． (1)求直线的解析式； (2)点E为线段上一点，过点E作轴交直线于点F，作轴交直线于点G，当时，求点E的坐标； (3)如图2，若点M为线段的中点，点N为直线上一点，点P为坐标系内一点，且以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 15．如图，平面直角坐标系中直线：分别与轴，轴交于点和点，过点的直线与轴交于点，． (1)求直线的解析式； (2)若为线段上一点，为线段上一点，当时，求的最小值，并求出此时点的坐标； (3)在（2）的结论下，将沿射线方向平移得，使落在直线上，若为直线上一点，为平面内一点，当以点为顶点的四边形为菱形时，请直接写出点的坐标． 16．在平面直角坐标系中，已知矩形，点，现将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点，，的对应点分别为点，，． (1)如图1，当点恰好落在边上时，则的长为______(请直接写出答案)； (2)如图2，所在直线与、分别交于点、，且．求线段的长度． (3)如图3，设点为边的中点，连接，，，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 题型8：特殊平行四边形与平面直角坐标系—其他问题 17．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点，直线轴，交y轴于点，点在直线l上，将矩形绕点O按顺时针方向旋转度，得到矩形，此时直线、分别与直线l相交于点P、Q． (1)当时，点的坐标为______； (2)如图2，当点落在l上时，点P的坐标为______； (3)如图3，当矩形的顶点落在l上时， ①求的长度； ②求． 18．在平面直角坐标系中，点，如图构造矩形，点D为，动点P从点D出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动，作，交边或边于点，当点与点重合时，点停止运动．连接，设运动时间为秒．      (1)如图1，当点运动到O处时，线段长为____________；如图2，当点与点B重合时，点P坐标为____________，线段长为____________， (2)如图3，当点在边上运动时，求证：是等腰直角三角形， (3)将沿直线翻折，形成四边形，当四边形与矩形重叠部分是轴对称图形时，请直接写出的取值范围． 题型9：新定义题 19．在平面直角坐标系xOy中，若点P和点关于y轴对称，点和点关于直线l对称，则称点是点P关于y轴，直线l的“二次对称点”． (1)已知点，直线l是经过且平行于x轴的一条直线，则点A的“二次对称点”的坐标为__________； (2)如图1，正方形ABCD的顶点坐标分别是，，，，点E的坐标为，点K是x轴上的一个动点，直线l经过点K且垂直于x轴，若正方形ABCD上存在点M，使得点是点M关于y轴，直线l的“二次对称点”，且点在射线OE上，则点K的横坐标x的取值范围是________________； (3)如图2，是x轴上的动点，线段RS经过点T，且点R、点S的坐标分别是，，直线l经过且与x轴正半轴夹角为60°，在点T的运动过程中，若线段RS上存在点N，使得点是点N关于y轴，直线l的“二次对称点”，且点在y轴上，则点纵坐标y的取值范围是______________． 题型10：情景探究题 20．如图，点分别在菱形的各边上． 【初步认识】 （1）如图，若，则四边形一定是（   ） A．梯形  　B．矩形  　　C．菱形   　　D．正方形 【变式探究】     （2）如图，若交于点，分别是上一点，，，的延长线分别交在于点，求证：四边形是矩形． 【深入思考】 （3）如图，若交于点，且，当满足什么条件时，可作出两个不同矩形，请直接写出你的结论． （4）在（3）的条件下，设，请探索与满足的关系式． 题型11：其他动态问题、最值问题综合 21．已知，四边形是正方形，绕点旋转，，，连接、．    (1)如图1，求证： ： (2)直线与相交于点G． ①如图2，于点，于点，求证：四边形是正方形； ②如图3，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值． 22．在矩形中，，，、是直线上的两个动点，分别从、两点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为秒，其中． (1)如图1，、分别是、中点，当四边形是矩形时，求的值． (2)若、分别从点、沿折线，运动，与相同的速度同时出发． ①如图2，若四边形为菱形，求的值； ②如图3，作的垂直平分线交、于点、，当四边形的面积是矩形面积的，则的值是________． ③如图4，在异于、所在矩形边上取、，使得，顺次连接，请直接写出四边形周长的最小值：________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 特殊平行四边形（压轴专练）（十一大题型） 题型1：解答证明题 题型2：折叠问题 题型3：旋转问题 题型4：最值问题 题型5：取值范围问题 题型6：定值问题 题型7：特殊平行四边形与平面直角坐标系—存在性问题 题型8：特殊平行四边形与平面直角坐标系—其他问题 题型9：新定义题 题型10：情景探究题 题型11：其他动态问题、最值问题综合 题型1：解答证明题 1．在菱形中，，点E、F分别为上一点． (1)如图1，当，时，直接写出三条线段和之间满足的等量关系式为________； (2)当时， ①如图2，若，若，，求的长； ②如图3，E为中点，交于点G，交于点H，和交于点O，若，，，则________． 【答案】(1) (2)； 【分析】本题考查了正方形、菱形的性质，等边三角形与平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等多个知识点，解题的关键是作出恰当的辅助线． （1）延长至Ｇ点，使，构造，得到，又可证，通过等量代换即可证得结果． （2）①连接BD，过D点作，垂足为点N．由菱形的性质并结合可得和是等边三角形，然后证明，则，于是可证是等边三角形．再利用可求得、的值，于是可求得的值，最后在由勾股定理可得的值，于是得到的值． ②过D作的平行线，过D作的垂线，利用类似于②的思路同样可求得结果． 【解析】（1）解：如图，延长至G点，使． 由菱形，则四边形是正方形． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴ 又， ∴， ∴； 又， ∴； 故答案为：． （2）解：①如图，连接，过D点作，垂足为点N． ∵四边形是菱形， ， ， ，则 和是等边三角形， ，， ； ， ； 在和中， ， ，则， ∴由 可知是等边三角形． ， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴，． ， 在中，， ． ②如图，过点D作，交于点P；过点D作，交于点Q；自点D作的垂线，垂足为点M．连接． 因， ∴四边形与四边形均为平行四边形． ∴． ∵E为的中点， ∵E为的中点， 同①证法可知，， ， ． ， ， 在中，， ， 由勾股定理得：， ， 在中， ， 由平行四边形可知， 2．如图，在中， (1)若是菱形，，试求出的度数； (2)如图2，若，点在边的延长线上，连接．，若是的中点，连接，求证：； (3)如图3，，点是上动点，连结．过点作交线段于点．过点作于，交的高于点．若，请你写出线段之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）证明，再利用三角形的内角和定理可得答案； （2）延长交于点，连接，证明是矩形，进而可得，根据已知可得，根据三线合一即可得证； （3）连接，证明，可得，证明，再证明可得，，证明．可得，可得，从而可得结论． 【解析】（1）解：∵是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴ （2）证明：如图所示，延长交于点，连接 ∵ ∴ 又∵是的中点， ∴， 又 ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ （3）连接    ． 在和中 ， 又， ， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ， ， 在和中， 又 在中，．    在和中 ， ． ， 又， ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质与判定，平行四边形的性质，菱形的性质，作出合适的辅助线构建全等三角形是解本题的关键． 题型2：折叠问题 3．如图，在矩形纸片中，E为边上的动点，F为边上的动点，连接． (1)若． ①如图①，点E与点D重合，点F与点B重合，将矩形纸片沿折叠，点A落在点G处，设与相交于H，求的长； ②如图②，将矩形纸片沿折叠，使点B与点D重合，求折痕的长； (2)如图③，点E为的中点，点F与点B重合，将矩形纸片沿折叠，点A落在点G处，且点G在矩形内部，延长交于点H，若，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）①由折叠性质和矩形的性质可得，设，根据即可求解； ②连接，过点E作，由折叠性质和矩形的性质可得，，设，根据勾股定理即可求解； （2）连接，设，，则，，由折叠性质和勾股定理可得，即可求解． 【解析】（1）解①：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴； 设， ∵， ∴， ∵， 即， 解得：， ∴； ②如图，连接，过点E作， 由折叠可得：，， ∵， ∴， ∴， 由折叠可得：， ∴， 由①同理可求：， 设，则， ∵，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）连接 ∵，点E为的中点， 设，，则，， ∴； 由折叠性质可得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是矩形的折叠问题，考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作辅助线是关键． 4．【问题发现】 如图，在正方形纸片中，点为线段上一点（点不与点重合），将正方形纸片沿直线折叠得到． （）如图，点恰好落在对角线上，连接交于点，交于点．求证：； （）如图，点落在正方形纸片内部，延长交边于点， ①猜想线段之间的数量关系，并证明； ②试说明的度数． 【探究应用】 （）如图，在正方形纸片中，点为线段上一点（点不与点重合），将正方形纸片沿直线折叠得到，再将纸片沿过点的直线折叠，使与重合，折痕为，继续将正方形纸片沿直线折叠，点的对应点恰好落在折痕上的点处，与相交于点，若，求的长度． 【答案】（）证明见解析；（）①，证明见解析；②；（）． 【分析】（）证明即可求证； （）①．连接，证明，得到，进而由即可求证；②由折叠得，由，得，进而得即可求解； （）由翻折可得，，，即得，得到，进而得到，，再得到，由此得到 ，最后证明，得到； 本题考查了正方形的性质，折叠的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【解析】（）证明：∵将正方形纸片沿直线折叠得到，点恰好落在对角线上 ∴， ， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 在与中， ， ； （）①． 证明：连接， 正方形纸片沿直线折叠得到 ， ∴， ∵， ， 在与中， ∴， ， ， ； ②由折叠得， ∵， ∴， ， ， ． （）由翻折可得，，， 又， ， ∴， 在中，， ， ， ， ， 在中，， ， ∵， ， ∵，， ， 由（）可知， ， ∴为等腰直角三角形， ， 在与中 ， ， ． 5．综合与实践 (1)操作判断：没有作图工具时，可以采用图1的方法得到的角． 步骤一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 步骤二：再次折叠纸片，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到折痕，把纸片展平，交于点，连接． 根据以上操作，图1中度数为的角是 （只需写一个）； 请你证明中的结论． (2)迁移探究：如图2，将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接．若正方形的边长为，求的长（结果保留小数点后一位，参考数据： (3)拓展应用：参照（2）的方式操作，如图3，将正方形纸片沿着平行于的折痕折叠，使点分别落在边上，其余步骤不变．若，请直接写出的值为 ． 【答案】(1)①（答案不唯一）；②证明见解析； (2)0.5； (3)． 【分析】（1）①根据题意即可得出答案； ②连接，由第一次对折可得，由第二次折叠可得，，证明为等边三角形，由等边三角形的性质即可得解； （2）由(1) 可得，由正方形的性质可得，，设，则，由勾股定理得出，从而得出，由第二次折叠可得，，，证明，得出， 设，则，，再由勾股定理计算即可得出答案； （3）设，则，由正方形的性质得出，，由第一次折叠可得：，从而得出，由第二次折叠可得：，，，，从而得到，，，推出，证明，得到，设，则，，，由勾股定理得出，即可得解． 【解析】（1）解：①根据以上操作，图1中度数为的角是 (答案不唯一)； ②证明：如图，连接， 由第一次对折可得，垂直平分， ∴，                                                       由第二次折叠可得，， ∴， ∴为等边三角形， ∴. ∴； （2）解：正方形是特殊的矩形, 由(1) 可得， ， ∵四边形是正方形， ∴，， 设，则， 在中，， 解得， ∴， 由第二次折叠可得，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得：， ∴； （3）解：∵， ∴设，则， ∵四边形为正方形， ∴，， 由第一次折叠可得：， ∴， 由第二次折叠可得：，，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，，， 由勾股定理得：， ∴， 整理得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了折叠的性质、正方形的性质、矩形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 题型3：旋转问题 6．操作与证明： 如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN． （1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形； 猜想与发现： （2）在（1）的条件下，请判断线段MD与MN的关系，得出结论； 结论：DM、MN的关系是：　 　； 拓展与探究： （3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C旋转180°，其他条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）DM＝MN，DM⊥MN；（3）成立，理由见解析. 【分析】（1）先证明△ABE≌△ADF，再利用全等三角形的性质即可证明△AEF是等腰三角形； （2）利用三角形中位线定理，直角三角形斜边中线定理可证明DM=MN，再证明∠DMN=∠DAB=90°，即可解决问题； （3）连接AE，交DM于O，交CD于G，同（2）证明方法类似，可证明DM=MN，再证明∠DOG＝∠ECG＝90°，即可得出结论. 【解析】（1）证明：如图， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠ADF＝90°， ∵△EFC是等腰直角三角形， ∴CE＝CF， ∴BE＝DF， ∴△ABE≌△ADF， ∴AE＝AF， ∴△AEF是等腰三角形； （2）解：结论：DM＝MN，DM⊥MN， 证明：∵在Rt△ADF中， M是AF的中点， ∴DM=AF， ∵M是AF的中点，N是EF的中点， ∴MN=AE，MN∥AE， ∵AE＝AF， ∴MN＝DM， ∵∠ADF＝90°，AM＝MF， ∴MD＝MA＝MF， ∴∠MAD＝∠ADM， ∴∠DMF＝∠MAD+∠ADM＝2∠DAM， ∵△ABE≌△ADF， ∴∠BAE＝∠DAF， ∴∠DAB=∠EAF+2∠DAM＝90°， ∵MN∥AE， ∴∠NMF＝∠EAF， ∴∠DMN=∠NMF+∠DMF＝∠EAF+2∠DAM＝∠DAB=90°， ∴DM⊥MN， ∴MN＝DM，MN⊥DM， 故答案为MN＝DM，MN⊥DM； （3）解：结论仍然成立． 理由：如图，连接AE，设AE交DM于O，交CD于G， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠ADF＝90°， 又∵BC+CE=CD+CF,即BE＝DF， ∴△ABE≌△ADF， ∴AF＝AE，∠AFD＝∠AEB， ∵在Rt△ADF中，M是AF的中点， ∴DM=AF， ∵M是AF的中点，N是EF的中点， ∴MN=AE，MN∥AE， ∴MN＝DM， ∵∠ADF＝90°，AM＝MF， ∴MD＝MA＝MF， ∴∠MDF＝∠MFD＝∠AEB， ∵∠DGO＝∠CGE，∠ODG＝∠CEG， ∴∠DOG＝∠ECG＝90°， ∵NM∥AE， ∴∠DOG＝∠DMN＝90°， ∴MN⊥DM，MN＝DM． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定，以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握各性质定理，找准角与角之间的关系是解题的关键. 7．点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形．    (1)如图1，连接，，判断与的位置关系和数量关系，并证明； (2)如图2，将正方形绕点逆时针旋转，使得点落在线段上，交于点且点恰好是的中点，连接，，若，，求； (3)如图3，将正方形绕点旋转至如图的位置，且，连接，交于点，连接，请直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)，，证明见详解 (2) (3) 【分析】（1）延长交于点，证明，由全等三角形的性质得出，，由直角三角形的性质可得出结论； （2）过点作于点，证明，得出，证明，由全等三角形的性质得出，，求出的长，由三角形面积公式可得出答案； （3）在上截取，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，由等腰直角三角形的性质可得出结论． 【解析】（1），． 证明：如图1，延长交于点，    在正方形和正方形中，，，， 在和中， ， ， ，， ， ， ； （2）过点作于点，   ， ， ，， ， 又，， ， ， ，，， ， ，， ， ， ， ， ； （3）． 证明：在上截取，连接，   正方形和正方形中，， ，， ， ， ，， 平分， ， 又，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，证明三角形全等是解决问题的关键． 题型4：最值问题 8．问题提出  如图1，正方形的对角线与交于点，点在上，连接，作交于点，平分交于，探究与的数量关系． 问题探究  （1）先将问题特殊化，如图2，当点与重合，点与重合时，直接写出与的数量关系； （2）再探究一般情形，如图1，探究与的数量关系： 问题拓展  （3）如图3，连接，若正方形的边长为，请直接写出的最小值为________（用含的式子表示）．    【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）根据正方形的性质结合已知条件可得为等腰直角三角形，则，再根据三角形的外角性质和等腰三角形的判定得到，进而可得结论； （2）如图1，过E作于P，于H，证明四边形是正方形，则，，证明可得是等腰直角三角形，，利用等腰三角形的判定，结合三角形的外角性质得到即可； （3）如图3，推导出，故要求的最小值，只需求的最小值，作点A关于的对称点，连接、、，由，当、F、O共线时取等号，此时最小，最小值为的长，利用勾股定理求解的长． 【解析】解：（1）， 证明：如图2，∵四边形是正方形， ∴，， ∵点与重合，点与重合，平分， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）． 证明：如图1，过E作于P，于H，则， ∴四边形是矩形，又， ∴， ∴, ∴四边形是正方形，则，； ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵平分， ∴； ∵，， ∴， ∴；    （3）如图3，连接， ∵正方形的边长为， ∴， 由（2）知， ∵， ∴要求的最小值，只需求的最小值， 作点A关于的对称点，连接、、，则，， ∴，当、F、O共线时取等号，此时最小，最小值为的长， 过O作于M，则，      在中，，， ∴， ∴的最小值为， 此时的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的外角性质、角平分线的定义、最短路径问题等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加合适的辅助线是解答的关键． 9．【问题情境】 (1)同学们我们曾经研究过这样的问题：已知正方形，点在的延长线上，以为一边构造正方形，连接和，如图所示，则和的数量关系为______，位置关系为______． 【继续探究】 (2)若正方形的边长为，点是边上的一个动点，以为一边在的右侧作正方形，连接、，如图所示， ①请判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由； ②连接，若，求线段长．爱动脑筋的小丽同学是这样做的：过点作，如图，你能按照她的思路做下去吗？请写出你的求解过程． 【拓展提升】 (3)在（2）的条件下，点在边上运动时，利用图，则的最小值为______． 【答案】(1)， (2)①结论：，，理由见解析，② (3) 【分析】（1）由“”可证，可得结论． （2）①延长，交于点，由“”可证，可得，由四边形内角和定理可求，可得结论． ②过点作，交延长线于点，由“”可证，可得，，由勾股定理可求解． （3）说明点的运动轨迹是直线，直线与直线之间的距离为4，作点关于直线的对称点，连接，．在中，可得．根据求解即可． 【解析】（1）解：如图1中，延长交于． 四边形是正方形，四边形是正方形， ，，， ， ，， ， ，即， ， 故答案为：，． （2）解：①结论：，． 理由：如图，延长，交于点， 四边形是正方形，四边形是正方形， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ． ②如图3，过点作，交延长线于点， ，， ， ， ， 又，， ， ，， ， ． （3）解：如图4中， 由（2）可知，， 点的运动轨迹是直线，直线与直线之间的距离为4， 作点关于直线的对称点，连接，． 在中，，，， ，， ， ， ， 的最小值为， 故答案为． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最值问题，属于中考压轴题． 题型5：取值范围问题 10．已知，四边形和四边形都是正方形，点为的中点． (1)连接、． ①如图1，若点在边上，猜想和的关系，并给予证明： ②若将图1中的正方形绕点顺时针旋转，使点落在对角线的延长线上，请你在图2中补全图形，猜想和的关系，并给予证明． (2)如图3，若，，将正方形绕点旋转，连接．请你直接写出的取值范围___________． 【答案】(1)①；②证明见解析 (2) 【分析】（1）①连接，证明，，证明是等腰直角三角形，即可得证； ②延长交于点，连接，证明，，得出，根据等边对等角，设，，根据外角的性质得出，即可证明； （2）连接，根据，当在上时，最大，，当在上时，最小，，即可求解． 【解析】（1）①如图，连接， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴,， ∴， ∵为的中点， ∴，则， 在中， ， ∴， ∴，， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ②， 证明：如图，延长交于点，连接， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， ∵落在对角线的延长线上， ∴， ∴， ∴在的延长线上， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， , ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴ ， 设，， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴； （2）如图，连接， ∵ ∴当在上时，如图，此时最大，， 由（1）可知是等腰直角三角形， ∵，， ∴，， ∴ ∴， ∴ 当在上时，最小，同理可得是等腰直角三角形， 此时， 综上所述，． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形三边关系，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，综合运用以上知识是解题的关键． 11．如图1，，、、为铅直方向的边，、、为水平方向的边，点在、之间，且在、之间，我们称这样的图形为“图形”，若一条直线将该图形的面积分为面积相等的两部分，则称此直线为该“图形”的等积线． (1)下列四副图中，直线是该“图形”等积线的是_________(填写序号) (2)如图2，直线是该“图形”的等积线，与边、分别交于点、，过中点的直线分别交边、于点、，则直线 (填“是”或“不是”)该图形的等积线． (3)在图3所示的“图形”中，，，． ①若，在下图中画出与平行的等积线l(在图中标明数据) ②在①的条件下，该图形的等积线与水平的两条边、分别交于、，求的最大值； ③如果存在与水平方向的两条边、相交的等积线，则的取值范围为 ． 【答案】(1)①②③ (2)是 (3)①1；②；③ 【分析】（1）如图，根据题意把原本图形分成左右两个矩形，这两个矩形的对称中心所在直线是该图形的面积平分线，由此可直接进行判断； （2）如图2，证明，根据割补法可得直线是图形的面积平分线； （3）①如图4，先计算图形的面积，可得出矩形的面积，由此可得出的长； ②如图5，根据面积平分线可知梯形的面积为，根据面积公式列式可得的长，根据勾股定理可得的最大值； ③如图6，直线将图形分成上下两个矩形，当上矩形面积小于下矩形面积时，列不等式可得的取值． 【解析】（1）解：根据题意把原本图形分成左右两个矩形，这两个矩形的对称中心所在直线是该图形的面积平分线， ∴直线是该“图形”等积线的是①②③； 故答案为：①②③； （2）如图2， ， ， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即， ， 即， 直线是图形的等积线． 故答案为：是； （3）①图形的面积， 延长交于点， ， 若是图形的面积平分线，且，点必然在线段上，如图所示， 矩形的面积， ， ②如图，当与重合时，最大，过点作于， 是图形的面积平分线， 梯形的面积， 即， ， ， ， 由勾股定理得：； 即的最大值是； ③在与水平方向的两条边、相交的等积线， 如图，直线将图形分成上下两个矩形，当上矩形面积小于下矩形面积时，延长交于，延长交于， 则， 即， ， ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，四边形面积的平分，三角形全等的性质和判定等知识，并明确面积平分线的画法，并熟练掌握矩形面积平分线是过对角线交点的性质是解题的关键． 题型6：定值问题 12．已知菱形中，，点E在边上，作，与相交于点F．与对角线分别相交于点H，G． (1)如图1，当点E是中点时， ______； (2)如图2． ①求证：； ②的值是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①见解析；②是，1 【分析】（1）如图1，连接，证明是等边三角形，由E是中点，可得，即，，，然后求解作答即可； （2）①如图2，连接，由（1）可知，是等边三角形， 证明，进而可得；②如图3，连接，由菱形，，可得，证明，则，同理，，，根据，求解作答即可． 【解析】（1）解：如图1，连接， ∵菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵E是中点， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）①证明：如图2，连接， 由（1）可知，是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵菱形， ∴， ∵，，， ∴， ∴； ②解：如图3，连接， ∵菱形， ∴，， 由①可知，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， 同理，，， ∴， ∴的值为定值，且定值为1． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 13．综合与实践 定义：将宽与长的比值为（为正整数）的矩形称为阶奇妙矩形． （1）概念理解： 当时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽（）与长的比值是_________． （2）操作验证： 用正方形纸片进行如下操作（如图（2））： 第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为，连接； 第二步：折叠纸片使落在上，点的对应点为点，展开，折痕为； 第三步：过点折叠纸片，使得点分别落在边上，展开，折痕为． 试说明：矩形是1阶奇妙矩形．   　　  　　  　　   （3）方法迁移： 用正方形纸片折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注． （4）探究发现： 小明操作发现任一个阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图（4），点为正方形边上（不与端点重合）任意一点，连接，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形的周长与矩形的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），理由见解析 【分析】（1）将代入，即可求解． （2）设正方形的边长为，根据折叠的性质，可得，设，则，在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解； （3）仿照（2）的方法得出2阶奇妙矩形． （4）根据（2）的方法，分别求得四边形的周长与矩形的周长，即可求解． 【解析】解：（1）当时，， 故答案为：． （2）如图（2），连接，    设正方形的边长为，根据折叠的性质，可得 设，则 根据折叠，可得，， 在中，， ∴， 在中， ∴ 解得： ∴ ∴矩形是1阶奇妙矩形． （3）用正方形纸片进行如下操作（如图）： 第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为，再对折，折痕为，连接； 第二步：折叠纸片使落在上，点的对应点为点，展开，折痕为； 第三步：过点折叠纸片，使得点分别落在边上，展开，折痕为． 矩形是2阶奇妙矩形，    理由如下，连接，设正方形的边长为，根据折叠可得，则，    设，则 根据折叠，可得，， 在中，， ∴， 在中， ∴ 解得： ∴ 当时， ∴矩形是2阶奇妙矩形． （4）如图（4），连接诶，设正方形的边长为1，设，则，    设，则 根据折叠，可得，， 在中，， ∴， 在中， ∴ 整理得， ∴四边形的边长为 矩形的周长为， ∴四边形的周长与矩形的周长比值总是定值 【点睛】本题考查了正方形的折叠问题，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 题型7：特殊平行四边形与平面直角坐标系—存在性问题 14．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，将绕点O顺时针旋转得（点A与点C对应，点B与点D对应）． (1)求直线的解析式； (2)点E为线段上一点，过点E作轴交直线于点F，作轴交直线于点G，当时，求点E的坐标； (3)如图2，若点M为线段的中点，点N为直线上一点，点P为坐标系内一点，且以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点N的坐标为或或 【分析】（1）先求出点A和点B的坐标，得出和的长度，再根据旋转的性质，得出点C和点D的坐标，最后用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）设，则可将点F和点G的坐标表示出来，进而得出的表达式，最后根据列出方程求出a的值，即可进行解答； （3）根据题意进行分类讨论：①为矩形的边时；②为矩形的对角线时． 【解析】（1）解：把代入得：， 把代入得：，解得：， ∴， ∴， ∵绕点O顺时针旋转得， ∴， ∴， 设直线的函数解析式为， 把代入得： ，解得：， ∴直线的函数解析式为． （2）∵， ∴， ∵点E在线段上， ∴设， ∵轴，轴， ∴点F的横坐标为a，点G的纵坐标为， 把代入得：； 把代入得：，解得：， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得：． ∴． （3）①当为矩形的边时， 过点M作，交直线于点，过点O作，交直线于点N，过点N作交于点P，过点作交于点， 根据作图可得：四边形和四边形都是矩形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵绕点O顺时针旋转得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点M为线段的中点，， ∴，，即点N为中点， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 把点代入得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， 把代入得：，解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线和直线的解析式为： ，解得：， ∴， ②当为矩形的对角线时， 过点M作轴于点P，过点M作轴于点N， ∵，， ∴轴， 过一点有且只有一条直线与已知直线平行， ∴点C和点N重合， ∴， 综上：点N的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合运用，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法，中点坐标公式，旋转的性质，矩形的性质． 15．如图，平面直角坐标系中直线：分别与轴，轴交于点和点，过点的直线与轴交于点，． (1)求直线的解析式； (2)若为线段上一点，为线段上一点，当时，求的最小值，并求出此时点的坐标； (3)在（2）的结论下，将沿射线方向平移得，使落在直线上，若为直线上一点，为平面内一点，当以点为顶点的四边形为菱形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)，，， 【分析】（1）根据直线的解析式可以求得点的坐标，再结合点的坐标，用待定系数法可以求出直线的解析式； （2）根据可以求出的面积，设点是轴上一点，且满足，过点作直线的平行线，与直线的交点就是点，进而求出点的坐标，求的最小值，关键是对进行转化，利用垂线段最短可求出此时点的坐标； （3）先根据题意，找到点的坐标，根据菱形的性质，可求出点的坐标． 【解析】（1）解：在中，令，得， ， 令，得， ， ， ， 设直线的解析式为，将，代入得， ，解得， 直线的解析式为； （2）解：由可得， ， ， 设点是轴上一点，且满足， ， ， 过点作直线的平行线，与直线的交点就是点， 记直线的解析式为，将代入可得， 直线的解析式为， 联立，解得， 则，显然点为的中点， 如图，作点关于轴的对称点，则，作直线，则直线的解析式为：， 过点作于点，交轴于点，点即为所求， 易得直线的解析式为：，则； （3）Ⅰ.如图，当为菱形的一条边时， 时，如图所示，过点作轴于点， 根据题意可得，，则， 则， 易得，则， 由，可得， 在Rt中，，， ， ， 同理可得，； 时，如图所示， 根据题意可得，，轴， ； Ⅱ.如图，当为菱形的一条对角线时， 根据题意可得，，轴， 又， 可得； 综上，当以点为顶点的四边形为菱形时，的坐标分别为：，，，． 【点睛】本题属于一次函数综合题，考查平移变换，菱形的判定和性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建一次函数解决直线的交点问题． 16．在平面直角坐标系中，已知矩形，点，现将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点，，的对应点分别为点，，． (1)如图1，当点恰好落在边上时，则的长为______(请直接写出答案)； (2)如图2，所在直线与、分别交于点、，且．求线段的长度． (3)如图3，设点为边的中点，连接，，，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，的面积的最大值为 【分析】（1）在中，利用勾股定理即可解决问题； （2）由可证()可得，由可证，可得，，可得点与点重合，点，点，点三点共线，在中，勾股定理，可求的长，由三角形中位线定理可求解； （3）根据三角形的底边的长度固定，当边上的高最大时即可求解，连接，当轴于点时，则，此时面积最大，利用，求得，再根据三角形面积公式即可求解． 【解析】（1）解：∵四边形．点，)， ，，， 矩形是由矩形旋转得到， ， 在中，， ; 故答案为：． （2）如图，过点作于，过点作于，连接， ，， 四边形是矩形， ， ，，， ()， ， 又， ()， ，， 又， 点与点重合， ，， ， 点，点，点三点共线，   ， ， ， 设 在中，， ， ， ， ， ，， ； （3）解：依题意，， ，， ， 当边上的高最大时，面积最大， 如图，当轴于点时，则，此时面积最大， 连接， ， 的面积的最大值为． 【点睛】本题考查了坐标与图形，矩形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 题型8：特殊平行四边形与平面直角坐标系—其他问题 17．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点，直线轴，交y轴于点，点在直线l上，将矩形绕点O按顺时针方向旋转度，得到矩形，此时直线、分别与直线l相交于点P、Q． (1)当时，点的坐标为______； (2)如图2，当点落在l上时，点P的坐标为______； (3)如图3，当矩形的顶点落在l上时， ①求的长度； ②求． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题主要考查一次函数与几何综合、一次函数的图像与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）根据旋转的得到的坐标即可； （2）根据在，然后利用勾股定理即可解答； （3）①根据已知条件得到，设，则，在中，利用，即即可求出x的值，即可求解；②根据即可求解． 【解析】（1）解：∵，， ∴． 由旋转的性质，可知：， ∴当时，点的坐标为． 故答案为． （2）解：在中，， ∴， ∴当点落在l上时，点P的坐标为． 故答案为． （3）解：①当四边形的顶点落在l上时， 在和中，， ∴， ∴． 设，则． 在中，， ∴，即，解得： ， ∴； ②∵， ∴． 故答案为． 18．在平面直角坐标系中，点，如图构造矩形，点D为，动点P从点D出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动，作，交边或边于点，当点与点重合时，点停止运动．连接，设运动时间为秒．      (1)如图1，当点运动到O处时，线段长为____________；如图2，当点与点B重合时，点P坐标为____________，线段长为____________， (2)如图3，当点在边上运动时，求证：是等腰直角三角形， (3)将沿直线翻折，形成四边形，当四边形与矩形重叠部分是轴对称图形时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)；； (2)见解析 (3)或或 【分析】（1）当点运动到O处时，直接利用勾股定理求解即可；当点与点B重合时，设，在中，利用勾股定理求出，在中，利用勾股定理求出，在中，利用勾股定理求出，在中，利用勾股定理求出，得出关于x的方程，解方程即可求解； （2）过P作于H，利用证明，得出，即可得证； （3）分①当P在上时，②P在上，当F、A重合；③P在上，F、B重合时，此时Q与C重合，三种情况讨论即可． 【解析】（1）解： 当点运动到O处时，， ∵点D为， ∴， ∵，矩形， ∴，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； 当点与点B重合时， 设，则， 在中，，，， ∴， 在中，，，， ∴， ∵， ， 在中，，，， ∴， ∴， 解得， ∴P的坐标为，， 故答案为：；；； （2）证明：过P作于H，    则四边形是矩形， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）解：①当P在上时，当D的对应点F在上，    ∵四边形与矩形重叠部分是轴对称图形， ∴， 又，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 解得， 当时，F在矩形内部，符合题意， ∴当时，四边形与矩形重叠部分是轴对称图形； ②当P在上，当F、A重合时，符合题意，如图    则， 在中，， ∴， 解得； ③当P在上，F、B重合时，此时Q与C重合，符合题意，如图，    则四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 综上，当或或时，四边形与矩形重叠部分是轴对称图形． 【点睛】本题考查了坐标与图形，矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质等知识，明确题意，合理分类讨论，分别画出图形，数形结合是解题的关键． 题型9：新定义题 19．在平面直角坐标系xOy中，若点P和点关于y轴对称，点和点关于直线l对称，则称点是点P关于y轴，直线l的“二次对称点”． (1)已知点，直线l是经过且平行于x轴的一条直线，则点A的“二次对称点”的坐标为__________； (2)如图1，正方形ABCD的顶点坐标分别是，，，，点E的坐标为，点K是x轴上的一个动点，直线l经过点K且垂直于x轴，若正方形ABCD上存在点M，使得点是点M关于y轴，直线l的“二次对称点”，且点在射线OE上，则点K的横坐标x的取值范围是________________； (3)如图2，是x轴上的动点，线段RS经过点T，且点R、点S的坐标分别是，，直线l经过且与x轴正半轴夹角为60°，在点T的运动过程中，若线段RS上存在点N，使得点是点N关于y轴，直线l的“二次对称点”，且点在y轴上，则点纵坐标y的取值范围是______________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据“二次对称点”的定义求解即可； （2）由题意，直线的解析式为，当点K关于y轴的对称点在x轴的正半轴上时，关于直线y=x的对称点落在y轴上，观察图象可知，当K点坐标为时，正好落在线段上，由此可得结论； （3）如图2中，当点N与S重合，且在y轴上时，连接交直线于点K，交y轴于点J，连接，设直线l交x轴于点D，交y轴于点C，如图3中，当点T与原点重合，N与重合时，和都与重合，此时．求出这两种特殊位置的坐标，可得结论． 【解析】（1）解∶ 点关于y轴的对称点为， ∵直线l是经过且平行于x轴的一条直线， ∴点关于直线l的对称点为； 故答案为： （2）解∶如图， 设直线的解析式为， ∵点E的坐标为， ∴， ∴直线的解析式为， 当点K关于y轴的对称点在x轴的正半轴上时，关于直线y=x的对称点落在y轴上， 观察图象可知，当K点坐标为时，正好落在线段上， 观察图象可知当时，在正方形内部， 故答案为：； （3）解∶如图2，当点N与S重合，且在y轴上时，连接交直线于点K，交y轴于点J，连接，设直线l交x轴于点D，交y轴于点C， ∵， ∴， ∵和关于直线l对称， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴此时点， 如图3，当点T与原点重合，N与重合时，和都与重合，此时． 根据题意得：， 观察图象得：满足条件的的纵坐标为． 故答案为： 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，轴对称变换，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会寻找特殊位置，解决问题，属于中考压轴题． 题型10：情景探究题 20．如图，点分别在菱形的各边上． 【初步认识】 （1）如图，若，则四边形一定是（   ） A．梯形  　B．矩形  　　C．菱形   　　D．正方形 【变式探究】     （2）如图，若交于点，分别是上一点，，，的延长线分别交在于点，求证：四边形是矩形． 【深入思考】 （3）如图，若交于点，且，当满足什么条件时，可作出两个不同矩形，请直接写出你的结论． （4）在（3）的条件下，设，请探索与满足的关系式． 【答案】（1） （2）证明见详解 （3）且 （4）或 【分析】（1）连接，交与点，根据菱形的性质可得，，即证明四边形是平行四边形，再证明，，即可得到，故可选出． （2）根据菱形性质可得，易证，，从而得出，四边形是平行四边形，根据，得四边形是矩形． （3）根据已知条件可得，即，分两种情况和，，分开讨论做矩形，找到他们的公共解集即可． （4）当时，即；当，，和的取值范围均为，根据旋转的性质可得，综合两种情况即可． 【解析】（1）解：连接，交与点， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵，，， ∴， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 故选． （2）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． （3）∵，， ∴， ∴， ①当四边形形成的矩形如图一样时，此时， 此时满足的条件为， ②当四边形形成的矩形如图一样时，，， 由图可得最大为，点与点重合， 最小时，点与点重合，点与点重合，对角线、交于点，， ∵，，，， ∴， 带入数值得， 解得， ∴由勾股定理可得， ∴当时，满足四边形为矩形， 当时，，如图所示， ∴此时四边形同时满足①②， ∴故不能形成两个矩形，不满足题意， 综上可得，当满足且时，可作出两个不同矩形． （4）由（3）可得①当时，即， ②∵的取值范围为， 根据旋转的性质可得的取值范围为， 即， 综上可得：或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的性质和判定，平行四边形的判定，勾股定理解直角三角形，旋转的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型11：其他动态问题、最值问题综合 21．已知，四边形是正方形，绕点旋转，，，连接、．    (1)如图1，求证： ： (2)直线与相交于点G． ①如图2，于点，于点，求证：四边形是正方形； ②如图3，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）根据证明三角形全等即可； （2）①根据邻边相等的矩形是正方形证明即可；②作交于点，作于点，证明是等腰直角三角形，求出的最小值，可得结论． 【解析】（1）解：证明：四边形是正方形， ，， ，， ， ， ； （2）①证明：如图，设与相交于点．   ， ， ， ． ， ． ， ，， 四边形是矩形， 四边形是正方形， ，， ． 又， ， ， 矩形是正方形； ②作交于点，作于点，      此时． ， ，， 最大时，最小，， ， 由（2）①可知，是等腰直角三角形， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 22．在矩形中，，，、是直线上的两个动点，分别从、两点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为秒，其中． (1)如图1，、分别是、中点，当四边形是矩形时，求的值． (2)若、分别从点、沿折线，运动，与相同的速度同时出发． ①如图2，若四边形为菱形，求的值； ②如图3，作的垂直平分线交、于点、，当四边形的面积是矩形面积的，则的值是________． ③如图4，在异于、所在矩形边上取、，使得，顺次连接，请直接写出四边形周长的最小值：________． 【答案】(1)或 (2)①7；②；③ 【分析】（1）连接交于点，根据矩形的性质，得到 ，分点在点上方和点在点下方两种情况进行讨论，即可求出的值； （2）①连接交于点，结合菱形的性质和矩形的性质证明，从而证出直线是线段的垂直平分线，设，则，在中，利用勾股定理求出的值，求出的值，即可求解的值；②连接、，根据题意求出四边形的面积，证明四边形是平行四边形，推出，求出，再根据即可求出的值；③作关于的对称点为点，连接、，过点作的垂线，交延长线于点，当、、三点共线时，的值最小，即的值最小，最小值为的长度，此时四边形周长最小，根据勾股定理即可求解． 【解析】（1）解：连接交于点，如图所示 ∵四边形是矩形，， ∴ ∵、分别是、中点 ∴， ∵四边形是矩形 ∴ ∴ 当点在点上方时， 当点在点下方时， ∵速度均为每秒2个单位长度 ∴ 的值为或 （2）解：①连接、，交于点，如图所示 ∵四边形为菱形 ∴，，， ∵， ∴ ∵矩形 ∴ 在和中 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴直线是线段的垂直平分线 ∴ 设，则 在中， ∴，解得： ∴ ∴的值为7 ②连接、，如图所示 ∵四边形的面积是矩形面积的 ∴四边形的面积为： ∵是的垂直平分线 ∴， 由①可得：， 由题意可得：， ∴ ∴ 同理可得： ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴ 由题意可得： ∵ ∴，解得： ∴当四边形的面积是矩形面积的，则的值是， 故答案是：； ③作关于的对称点为点，连接、，过点作的垂线，交延长线于点，如图所示 由②可得：四边形是平行四边形 ∴四边形周长 ∵对称 ∴ ∴ 当、、三点共线时，的值最小，即的值最小，最小值为的长度，此时四边形周长最小 ∵ ∴ ∵= ∴四边形周长最小值为． 故答案是：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、垂直平分线的性质、勾股定理、最值等知识点，解题的关键是熟记特殊四边形的性质，在解题中灵活运用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$