第1章　有理数课件 2024-2025学年华东师大版七年级数学上册

华师版 七年级上 第1章　有理数 1.10　有理数的除法 01 认知基础练 02 素养提升练 目 录 CONTENTS 名师点金 　　对于同一个除法运算，用不同的法则进行计算所得的 结果是相同的.一般地，当被除数和除数都是整数且能整除 时，可直接相除，其他情况则转化为乘法进行计算. 知识点1　倒数 1. 下列互为倒数的是(　A　) A. 3和 B. －2和2 C. 3和－ D. －2和 【点拨】 根据乘积是1的两个数互为倒数进行判断. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2. [母题·教材P5练习T1 2023 泰安]－ 的倒数为(　A　) A. － B. － C. D. 3. ｜－3｜的倒数是(　D　) A. －3 B. － C. 3 D. A D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4. 若 a 的倒数为2，则 a ＝(　A　) A. B. 2 C. － D. －2 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 知识点2　有理数的除法的倒数法则 5. [2024·天津南开区月考]将(－7)÷ ÷(－2.5)转化为乘 法运算正确的是(　C　) C A. (－7)× ×(－2.5) B. (－7)× ×(－2.5) C. (－7)× × D. (－7)× × 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6. 除0外，互为相反数的两个有理数相除，商为(　B　) A. 1 B. －1 C. 0 D. 不确定 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 知识点3　有理数的除法的绝对值法则 7. [2023·常德]下面算法正确的是(　D　) A. (－5)＋9＝－(9－5) B. 7－(－10)＝7－10 C. (－5)×0＝－5 D. (－8)÷(－4)＝8÷4 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ① ＝－3；② ＝7； ③ ＝1；④ ＝－ ； ⑤ ＝ . 8. [母题 教材P52例2] 下列化简： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 其中正确的有(　C　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【点拨】 ①②④正确，③⑤错误. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9. [新趋势·跨学科 2024 郑州阶段练习] “人间四月芳菲尽， 山寺桃花始盛开”.诗词反映了深山海拔高、气温低、花 开晚的自然现象.研究表明：高山上的温度随海拔的升高 而降低，一般是海拔每升高100 m，气温就会下降0.6 ℃. 有一座海拔为2 300米的山，在这座山上海拔为150米的地 方测得气温是3 ℃，则此时山顶的气温为 ⁠. －9.9 ℃　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 易错点　忽视分类而漏解 10. [新考法 阅读类比法]分类讨论是一种重要的数学方法， 如在化简｜ a ｜时，可以这样分类：当 a ＞0时，｜ a ｜ ＝ a ；当 a ＝0时，｜ a ｜＝0；当 a ＜0时，｜ a ｜＝－ a ，用这种方法解决下列问题： (1)当 a ＝－2时， 的值为 ⁠； (2)当 a ≠0时， 的值为 ⁠； (3)若有理数 a ， b 异号，则 ＋ 的值为 ⁠. －1　 1或－1　 0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)当 a ＝－2时， ＝ ＝ ＝－1.(2)当 a ＞0时， ＝ ＝1；当 a ＜0时， ＝ ＝ －1.综上，当 a ≠0时， 的值为1或－1.(3)不妨 设 a ＞0， b ＜0，则 ＋ ＝ ＋ ＝1＋(－ 1)＝0. 【点拨】 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 　利用有理数的除法法则进行计算 11. (1)计算：(－56)× ÷ × . 【解】原式＝(－56)× ÷ × ＝－56× × × ＝－24. (2)[新视角 新定义题]规定 a ※ b ＝ ÷ ，例如： 2※3＝ ÷ ＝－ .求[2※(－5)]※4的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【解】原式＝ ※4 ＝ ※4 ＝5÷ ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 　利用有理数的运算律进行有理数混合计算 技巧1　化除为乘巧用分配律 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12. 计算： ÷ . 【解】原式＝ ×(－12) ＝ ×(－12)＋ ×(－12)－ ×(－12) ＝－18－14＋13 ＝－19. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 技巧2　逆用分配律 13. 计算： × ＋ × ＋ ÷5＋76 ÷5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【解】原式＝ × ＋ × ＋ × ＋76 × ＝［( －13 )＋( － 6 )＋( －196 )＋76 ］× ＝(－20－120)× ＝－140× ＝－28. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 技巧3　倒数法运用分配律 14. [新考法 倒数法]阅读材料：计算 ÷( － ＋ － ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解：原式的倒数为 ÷ ＝( － ＋ － )×(－30)＝－20＋3－5＋12＝－10，故原式＝－ . 根据材料，用适当的方法计算： ÷ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【解】原式的倒数为 ÷ ＝( － ＋ － )×(－42)＝－7＋9－28＋12＝－14，故原式＝ － . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 　利用有理数的运算探求最值 15. [新考法 按序试算法]小明有5张写着不同数的卡片(如 图)，请按要求抽出卡片，完成下列问题. (1)从中抽出2张卡片，使这2张卡片上的数的乘积最大， 最大是多少？ 【解】当抽出的卡片为－7 －5时，乘积最大，最 大是35. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)从中抽出2张卡片，使这2张卡片上的数相除的商最 小，最小是多少？ 【解】当抽出的卡片为－7 1时，商最小，最小是 －7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $$华师版 七年级上 第1章　有理数 1.10　有理数的除法 测素质　有理数的乘除 一、选择题(每题3分，共24分) 1. [母题 教材P53习题T1] －314的倒数为(　D　) A. 314 B. C. －314 D. － 2. [2024·扬州]2的倒数是(　D　) A. －2 B. 2 C. － D. D D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 3. 下列各式中计算正确的有(　A　) ①(－24)÷(－8)＝－3； ②(－8)×(－2.5)＝－20； ③ ÷ ＝1； ④ ÷(－1.25)＝－3. A A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 4. － × ＝－8＋1－0.04，这个运算应用 了(　D　) A. 加法结合律 B. 乘法结合律 C. 乘法交换律 D. 分配律 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 5. 如果两个整数相乘等于－6，那么符合要求的整数共有 (　B　) A. 5组 B. 4组 C. 3组 D. 2组 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 6. [新考法 逆向思维法]小康在计算 ×*时，由于 粗心将墨水滴在了算式上，*是被墨水污染的地方，小康 查了一下答案是12，那么*代表的数是(　D　) A. －30 B. －10 C. 10 D. 30 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 7. 如果 ab ＜0，且 a ＞ b ，那么一定有(　B　) A. a ＞0， b ＞0 B. a ＞0， b ＜0 C. a ＜0， b ＞0 D. a ＜0， b ＜0 【点拨】 因为 ab ＜0，所以 a ， b 异号.又因为 a ＞ b ，所以 a 为正数， b 为负数. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 8. [新考法 数学文化传承]生活中常用的十进制是用0～9这十 个数字来表示数，满十进一，例：12＝1×10＋2，212＝ 2×10×10＋1×10＋2；计算机也常用十六进制来表示字 符代码，它是用0～F来表示0～15，满十六进一，它与十 进制对应的数如表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 十进 制 0 1 2 … 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 … 十六 进制 0 1 2 … 8 9 A B C D E F 1 0 1 1 … 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 例：十六进制2B对应十进制的数为2×16＋11＝43，十六 进制10C对应十进制的数为1×16×16＋0×16＋12＝ 268，那么十六进制14E对应十进制的数为(　D　) A. 28 B. 62 C. 238 D. 334 【点拨】 由题意得，14E＝1×16×16＋4×16＋14＝334. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 二、填空题(每题4分，共24分) 9. 计算：1÷ ×(－9)＝ ⁠. 10. 绝对值小于10的所有整数的积为 ⁠. 【点拨】 满足题意的整数中有0，故乘积为0. 81　 0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 11. 如图是一个简单的数值运算程序： 当输入 x 的值为－4时，输出的值为 ⁠. 6　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 12. [2024·山东实验中学模拟]若 x ， y 互为相反数， a ， b 互 为倒数，且 m 的绝对值是1，则 x ＋ y ＋3 ab － m 的值 是 ⁠. 【点拨】 由题意得 x ＋ y ＝0， ab ＝1， m ＝±1，所以原式的 值为4或2. 4或2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 13. [2024·清华附中月考]在－5，－3，－1，2，4中任取2个 数，所得积的最大值记为 a ，所得商的最小值记为 b ， 则 的值为 ⁠. 【点拨】 由题易得 a ＝－5×(－3)＝15， b ＝ ＝－4，所以 ＝ ＝－ . － 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 14. [情境题 游戏活动型]小明和同学们玩扑克牌游戏，游戏 规则是：从一副扑克牌(去掉“大王”“小王”)中任意 抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算(每张牌上的 数字只能用一次且必须用一次)，使得运算结果等于24， 小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24 的算式： ⁠. 5×6－2×3＝24(答案不唯一)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 三、解答题(共52分) 15. (10分)[母题 教材P53习题T4] 计算： (1)(－25)÷4× ； 【解】(－25)÷4× ＝(－25)× × ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 (2)(－8)× ÷ ×(－8). 【解】(－8)× ÷ ×(－8) ＝(－8)× ×8×(－8) ＝32. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 16. (15分)用简便方法计算： (1)－0.125×7×(－5)×8； 【解】原式＝－0.125×8×7×(－5) ＝1×7×5 ＝35. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 (2)9 ×62； 【解】原式＝ ×62 ＝620－2 ＝618. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 (3)(－5)× ＋(－7)× ＋12× . 【解】原式＝－3 ×[(－5)＋(－7)＋12] ＝－3 ×0 ＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 17. (12分)[2024·北京四中月考]小杨同学做一道计算题的解 题过程如下： 24× ＋2÷ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解：原式＝24× ＋2÷ －2÷ 　① ＝24× ＋2×2－2×3② ＝6＋4－6 ③ ＝4. ④ 根据小杨同学的计算过程，回答下列问题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 (1)他的计算过程是否正确？ (填写“正确”或 “错误”)； (2)如有错误，他在第 步出错了(只填写序号)，并 写出正确的解答过程. 错误　 ①　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 【解】正确的解答过程如下： 原式＝24× ＋2÷ ＝24× ＋2×6 ＝6＋12 ＝18. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 18. (15分) [立德树人 环境保护]王叔叔将“绿色出行，从我 做起”化为实际行动，坚持每天步行上下班，他以10 000步为标准，超过10 000步的部分记作正数，不足10 000步的部分记作负数，记录了星期一到星期五上下班的 步数情况(单位：步)：＋1 200，－800，＋1 600，＋ 500，0，若他平均每步长为0.75米，星期一到星期五王 叔叔上下班平均每天步行多少米？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 【解】[10 000＋(1 200－800＋1 600＋500＋ 0)÷5]×0.75＝10 500×0.75＝7 875(米)， 所以星期一到星期五王叔叔上下班平均每天步行7 875米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 $$华师版 七年级上 第1章　有理数 1.10　有理数的除法 练素养　1.有理数加减乘除混合运算的四种思路 名师点金 　　对于有理数的混合运算，根据题目特征厘清解题思路 是正确解题的关键.有理数混合运算中常见的解题思路有： 先弄清运算顺序，再计算；先转化，再计算；先确定运算 符号，再计算；先找准方法，再计算. 思路1　先弄清运算顺序，再计算 1. 计算：－ ÷ × . 【解】原式＝－ × × ＝－ . 2. 计算： × ÷ . 【解】原式＝－ × × ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 思路2　先转化，再计算 3. 计算：｜－4｜×(－3)－ . 【解】原式＝－12－ ＝－12－(－2.55) ＝－9.45. 4. 计算：2 × － ×(－14)＋ ÷ . 【解】原式＝ × ＝－7. 1 2 3 4 5 6 7 8 思路3　先确定运算符号，再计算 5. 计算：(－3)× ÷ . 【解】原式＝－3× ÷ ＝－3× × ＝－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 6. 计算： × × × . 【解】原式＝－ × × × ＝－ × ＝－ ×1 ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 思路4　先找准方法，再计算 7. 计算： ÷ － × － ÷4. 1 2 3 4 5 6 7 8 【解】原式＝－ × － × － × ＝－ × ＝－ × ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 8. 计算：0.8× ＋4.8× －2.2× ＋0.8× . 【解】原式＝0.8× ＋ ×(－4.8－2.2) ＝0.8＋(－2) ＝－1.2. 1 2 3 4 5 6 7 8 $$华师版 七年级上 第1章　有理数 1.10　有理数的除法 练素养　2.定义新运算 名师点金 　　新定义运算的解题步骤：一是认真审题，深刻理解新 定义的内容；二是排除干扰，按新定义关系去掉新运算符 号；三是化新为旧，转化为已有知识作“旧”的运算. 题型1　直接运算型 1. 定义新运算“ⓐ”与“⊕”： a ⓐ b ＝ ， a ⊕ b ＝ . (1)计算3ⓐ(－2)－(－2)⊕(－1)的值； 1 2 3 4 【解】3ⓐ(－2)－(－2)⊕(－1) ＝ － ＝ ＋ ＝1. (2)若 A ＝3 b ⓐ(－ a )＋ a ⊕(2－3 b )， B ＝ a ⓐ(－3 b )＋ (－ a )⊕(－2－9 b )，比较 A 和 B 的大小. 1 2 3 4 【解】 A ＝3 b ⓐ(－ a )＋ a ⊕(2－3 b ) ＝ ＋ ＝3 b －1， B ＝ a ⓐ(－3 b )＋(－ a )⊕(－2－9 b ) ＝ ＋ ＝3 b ＋1. 因为 A － B ＝3 b －1－(3 b ＋1)＝－2＜0， 所以 A ＜ B . 1 2 3 4 2. 我们规定运算符号ⓧ的意义是：当 a ＞ b 时， a ⓧ b ＝ a － b ；当 a ≤ b 时， a ⓧ b ＝ a ＋ b ，其他运算符号意义不 变，按上述规定，请计算： －14＋5× －(34ⓧ43)÷(－68). 【解】根据题中的新定义，得原式＝－1＋5×( － － ) －(81－64)÷(－68)＝－1－ ＋ ＝－5 . 1 2 3 4 题型2　反解未知数型 3. [2024·晋州期末]规定一种新运算法则： a ※ b ＝ ab －2 a ＋ b2.例如：1※2＝1×2－2×1＋22＝4.请用上述运算法 则回答下列问题. (1)求3※(－1)的值； 【解】由题意得3※(－1)＝3×(－1)－2×3＋(－1)2＝ (－3)－6＋1＝－8. 1 2 3 4 (2)求(－4)※ 的值； 【解】(－4)※ ＝(－4)※ ＝(－4)※(1－1＋4) ＝(－4)※4 ＝(－4)×4－2×(－4)＋42 ＝(－16)＋8＋16＝8. 1 2 3 4 (3)若 m ※5的值为40，求 m 的值. 【解】因为 m ※5的值为40， 所以5 m －2 m ＋52＝40， 解得 m ＝5.故 m 的值是5. 1 2 3 4 题型3　观察规律型 4. 已知1※2＝1＋11，2※3＝2＋22＋222，3※4＝3＋33＋ 333＋3 333，计算(3※2)×5. 【解】(3※2)×5＝(3＋33)×5＝180. 1 2 3 4 $$华师版 七年级上 第1章　有理数 1.10　有理数的除法 练素养　3.有理数运算律的应用技巧 名师点金 　　在有理数的混合运算中，除了熟练掌握每种运算的法 则外，还应注意观察算式的结构特点，恰当运用运算律加 以转化，可以化繁为简. 技巧1　直接应用 1. 计算： (1)(－2)×(－0.125)×9×(－8)； 【解】原式＝(－2)×9×[(－0.125)×(－8)] ＝－18×1 ＝－18. 1 2 3 4 5 6 7 (2)－1 × × ×1.2. 【解】原式＝－ × × × ＝( － × )×( × ) ＝－ ×1 ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 2. [母题 教材P48练习T2] 计算： (1)(－36)× ； 【解】原式＝(－36)×( － )＋(－36)× ＋(－36)× ＝16＋(－30)＋21 ＝7. 1 2 3 4 5 6 7 (2)99 ×(－9). 【解】原式＝ ×(－9) ＝100×(－9)－ ×(－9) ＝－899 . 1 2 3 4 5 6 7 技巧2　混合应用 3. 计算：(能简便计算的尽量用简便方法计算) ×(－69)＋1.25× ×(－8). 1 2 3 4 5 6 7 【解】原式＝ ×(－69)＋ × ×(－8) ＝6 900－3＋ × ×8 ＝6 900－3＋ ＝6 937.5. 1 2 3 4 5 6 7 技巧3　逆向应用 4. [新考法 逆用运算律法]计算：3.228×(－9)＋(－ 3.272)×9－(－1.5)×9. 【解】原式＝－9×(3.228＋3.272－1.5) ＝－9×5 ＝－45. 1 2 3 4 5 6 7 技巧4　倒数应用 5. [2024·济南外国语学校月考](1)根据倒数的定义我们知 道，若( a ＋ b )÷ c ＝－2，则 c ÷( a ＋ b )＝ ⁠. (2)计算 ÷ . － 　 【解】原式＝ ×36 ＝15－4＋24 ＝35. 1 2 3 4 5 6 7 (3)根据以上信息可知： ÷ ＝ ⁠ ⁠. － 　 1 2 3 4 5 6 7 技巧5　阅读应用 6. [新考法 阅读定义法]对于两个有理数 a ， b ( b ≠0)，规定 一种新的运算“※”： a ※ b ＝ a ＋ .例如：1※2＝1＋ ＝ ，2※3＝2＋ ＝ ，－3※6＝－3＋ ＝－ . (1)请仿照上面的例子计算下列各题： ①3※5；②－4※3；③(1※2)※3； ④1※(2※3). 1 2 3 4 5 6 7 【解】①3※5＝3＋ ＝ . ②－4※3＝－4＋ ＝－ . ③(1※2)※3＝ ※3＝ ＋ ＝ . ④1※(2※3)＝1※ ＝1※ ＝1＋ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 ①“※”运算是否满足( m ※ n )※ x ＝ m ※( n ※ x )？ ②当 m ， n 为何值时满足 m ※ n ＝ n ※ m . 【解】①因为易得( m ※ n )※ x ＝ ， m ※( n ※ x )＝ ， 所以( m ※ n )※ x ≠ m ※( n ※ x ). 故“※”运算不满足( m ※ n )※ x ＝ m ※( n ※ x ). (2)通过计算，请回答： 1 2 3 4 5 6 7 ② m ※ n ＝ m ＋ ＝ ， n ※ m ＝ n ＋ ＝ ， 故当 m ＝ n ≠0或者 mn ＝－1时， m ※ n ＝ n ※ m . 1 2 3 4 5 6 7 技巧6　变化应用 7. 小红在解题的过程中发现了如下规律： ＝1－ ， ＝ － ， ＝ － ，…. 你能用上面的规律来解答下列问题吗？求： 1 2 3 4 5 6 7 (1) ＋ ＋ ＋…＋ ； 【解】原式＝1－ ＋ － ＋ － ＋…＋ － ＝1－ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 (2) ＋ ＋ ＋ ； 【解】原式＝ ×( ＋ ＋ ＋ ) ＝ ×(1－ ＋ － ＋ － ＋ － ) ＝ ×(1－ ) ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 (3)－ － － － － . 【解】原式＝－ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ －1＋ － ＋ － ＋ － ＋ － ＝－1＋ ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 $$华师版 七年级上 第1章　有理数 1.11　有理数的乘方 第1课时　有理数的乘方 01 认知基础练 02 素养提升练 目 录 CONTENTS 名师点金 1. 有理数乘方结果的符号判断方法：一看底数，二看指数. 当底数是正数时，结果是正数；当底数是负数时，再看 指数，若指数是偶数，结果为正数，若指数为奇数，结 果为负数. 2. (－2)4表示4个－2相乘，而－24表示24的相反数，两者意 义不同，应注意区别. 知识点1　乘方的意义 1. [母题 教材P58习题T2] 32可表示为(　C　) A. 3×2 B. 2×2×2 C. 3×3 D. 3＋3 2. [新考法 定义辨析法] (－2)5的意义是(　D　) A. －5乘2 B. －2乘5 C. 2个－5相乘 D. 5个－2相乘 C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3. 对于－32与(－3)2，下列说法正确的是(　A　) A. 底数不同，结果不同 B. 底数不同，结果相同 C. 底数相同，结果不同 D. 底数相同，结果相同 【点拨】 －32表示3的平方的相反数，底数是3，结果是－9； (－3)2表示－3的平方，底数是－3，结果是9. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 知识点2　乘方的运算 4. [母题 教材P55例1] 计算(－2)2的结果是(　A　) A. 4 B. －4 C. 1 D. －1 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5. [2024·北京四中期末]下列各组数中，互为相反数的是 (　D　) A. －23与(－2)3 B. －(－2)与｜－2｜ C. －52与－25 D. －12与(－1)2 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6. 已知 a ， b 满足( a －2)2＋｜ b ＋1｜＝0，则 ba ＝ ⁠. 7. 计算： 1　 (1)(－4)3；(2)－25；(3) ；(4)－ . 【解】(1)(－4)3＝－64. (2)－25＝－32. (3) ＝－ . (4)－ ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 知识点3　乘方的应用 8. [新视角 新定义题]规定一种新运算：a*b＝ a － ab ，如4*2 ＝4－42＝－12，则(－2)*3的值为(　C　) A. －10 B. －6 C. 6 D. 8 【点拨】 (－2)*3＝－2－(－2)3＝－2＋8＝6. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9. [2024·杭州十三中月考]当 n 是正整数时，(－1)2 n＋1－(－ 1)2 n 的值是(　B　) A. 2 B. －2 C. 0 D. 2或－2 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10. [新考向 数学文化]中国是世界上首先使用负数的国家， 两千多年前战国时期李悝所著的《法经》中已出现使用 负数的实例.《九章算术》的“方程”一章中，在世界数 学史上首次正式引入负数及其加减法运算法则，并给出 名为“正负术”的算法，请计算以下涉及“负数”的式 子的值：－1－(－3)2＝ ⁠. 【点拨】 －1－(－3)2＝－1－9＝－10. －10　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11. [新趋势 跨学科]细菌是靠分裂进行繁殖的，也就是1个细 菌分裂成2个细菌，分裂完的细菌长大以后又能进行分 裂.如图所示的是某种细菌分裂的电镜照片，显示这种细 菌每20分钟就能分裂一次.1个这种细菌经过3个小时可以 分裂成 个细菌. 512　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 易错点　因混淆(－ a ) n 与－ an 而致错 12. 若 x 是有理数，下列各式成立的是(　C　) A. (－ x )2＝－ x2 B. (－ x )3＝ x3 C. (－ x )3＝－ x3 D. x4＝－ x4 【点拨】 当 n 为奇数时，(－ a ) n ＝－ an ；当 n 为偶数时，(－ a ) n ＝ an ，本题易混淆(－ a ) n 与－ an 而致错. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 　利用乘方的意义进行新定义计算 13. [2023·郑州惠济区期中]学习了“有理数的乘方”运算 后，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关 “幂”的新运算. 定义： am 与 an ( a ≠0， m ， n 都是正整数)叫做同底数 幂，同底数幂除法记作 am ÷ an . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 运算法则如下： am ÷ an ＝ 根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题： (1)填空： ÷ ＝ 　 　，52÷54＝ 　 　； 　 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)如果 x ＞0，且2 x＋4÷22 x＋5＝ ，求出 x 的值. 【解】因为 x ＞0， 所以2 x ＋5－( x ＋4)＝ x ＋1＞0. 所以2 x ＋5＞ x ＋4. 所以2 x＋4÷22 x＋5＝ ＝ ＝ ＝ . 所以 x ＋1＝3.所以 x ＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 　利用乘方运算解实际应用 14. [新考向 知识情境化]当你把纸对折1次时，就得到2层； 对折2次时，就得到4层；…照这样对折下去(最多对折7 次). (1)你能发现层数和对折的次数有什么关系吗？ 【解】设对折的次数是 n ，则层数是2 n (1≤ n ≤7且 n 为整数). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)对折6次时，层数是多少？ 【解】对折6次，即当 n ＝6时，层数是26＝64. (3)如果纸的厚度是0.1 mm，求对折7次时，总厚度 是多少. 【解】对折7次时，总厚度是0.1×27＝0.1×128＝ 12.8(mm). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 　利用错位相加减法进行乘方计算 15. [新考法 阅读类比法]阅读材料： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 求1＋2＋22＋23＋24＋…＋299＋2100的值. 解：令 S ＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋299＋2100.① 将等式①两边同时乘2，得 2 S ＝2＋22＋23＋24＋25＋…＋2100＋2101.② ②－①，得2 S － S ＝2101－1，即 S ＝2101－1. 所以1＋2＋22＋23＋24＋…＋299＋2100＝2101－1. 请你根据上述材料，解答下列问题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)计算：1＋3＋32＋33＋34＋…＋32 024＋32 025. 【解】设 S ＝1＋3＋32＋33＋34＋…＋32 024＋32 025.① 将等式①两边同时乘3，得 3 S ＝3＋32＋33＋34＋35＋…＋32 025＋32 026.② ②－①，得3 S － S ＝32 026－1，即 S ＝ . 所以1＋3＋32＋33＋34＋…＋32 024＋32 025＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)已知数列：－1，9，－92，93，－94，…. ①它的第100个数是多少？ ②求这列数中前100个数的和. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【解】①它的第100个数是999. ②易知这列数中前100个数的和是－1＋9－92＋93－94 ＋…－998＋999. 设 M ＝－1＋9－92＋93－94＋…－998＋999.③ 将等式③两边同时乘9，得 9 M ＝－9＋92－93＋94－95＋…－999＋9100.④ ③＋④，得10 M ＝9100－1，即 M ＝ . 所以这列数中前100个数的和是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $$华师版 七年级上 第1章　有理数 1.11　有理数的乘方 第2课时　科学记数法 01 认知基础练 02 素养提升练 目 录 CONTENTS 名师点金 1. 用科学记数法表示绝对值较大的数：把一个绝对值 大于10的数表示成 a ×10 n (1≤｜ a ｜＜10， n 是正 整数)的形式，其中 a 的整数位数为1，数的正负符号 不变， n 为原数的整数位数减1. 说明：科学记数法只改变数的书写形式，不改变数的 大小. 2. 将用科学记数法表示的数还原为原数的方法：只需将 a 的小数点向右移动 n 位(不足的数位用0补齐)，并把 “×10 n ”去掉即可. 知识点1　科学记数法 1. [2024·苏州工业园区一模]2024苏州马拉松暨大运河马拉松 系列赛(苏州站)于4月14日成功举行，本次赛事吸引了来 自世界各地的约25 000名选手同台竞技，数据25 000用科 学记数法可以表示为(　C　) A. 2.5×103 B. 0.25×105 C. 2.5×104 D. 25×103 C 1 2 3 4 5 6 7 8 2. [2024·泸州]第二十届中国国际酒业博览会于2024年3月 21～24日在泸州市国际会展中心举办，各种活动带动消费 2.6亿元，将数据260 000 000用科学记数法表示为(　B　) A. 2.6×107 B. 2.6×108 C. 2.6×109 D. 2.6×1010 B 1 2 3 4 5 6 7 8 3. [新考向 数学文化]《孙子算经》中记载：“凡大数之法， 万万曰亿，万万亿曰兆.”说明了大数之间的关系：1亿＝ 1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，则1兆等于(　C　) A. 108 B. 1012 C. 1016 D. 1024 C 1 2 3 4 5 6 7 8 4. [2023·武汉]新时代十年来，我国建成世界上规模最大的社 会保障体系，其中基本医疗保险的参保人数由5.4亿增加 到13.6亿，参保率稳定在95％.将数据13.6亿用科学记数 法表示为1.36×10 n 的形式，则 n 的值是 ⁠. 5. 用科学记数法表示下列各数： (1)100 000 000＝ ⁠； (2)3 080 000＝ ⁠； (3)－101 075 000＝ ⁠. 9　 1×108　 3.08×106　 －1.010 75×108　 1 2 3 4 5 6 7 8 知识点2　还原用科学记数法表示的数 6. “绿水青山就是金山银山”.某地积极响应党中央号召， 大力推进农村厕所革命，已经累计投资1.012×108元资 金.数据1.012×108可表示为(　B　) A. 10.12亿 B. 1.012亿 C. 101.2亿 D. 1 012亿 【点拨】 1.012×108＝101 200 000＝1.012亿. B 1 2 3 4 5 6 7 8 　利用科学记数法的意义解应用问题 7. [2023·河北]光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指 光在一年内走过的路程，约等于9.46×1012km，下列正确 的是(　D　) A. 9.46×1012－10＝9.46×1011 B. 9.46×1012－0.46＝9×1012 C. 9.46×1012是一个12位数 D. 9.46×1012是一个13位数 D 1 2 3 4 5 6 7 8 　利用科学记数法表示计算结果 8. [新趋势 跨学科]已知1 cm3的氢气质量约为0.000 09 g，请 用科学记数法表示下列计算结果. (1)求一个容积为8 000 000 cm3的氢气球所充氢气的质量. 【解】0.000 09×8 000 000＝720(g)， 720 g＝7.2×102 g.故一个容积为8 000 000 cm3的氢气 球所充氢气的质量为7.2×102 g. 1 2 3 4 5 6 7 8 (2)一块橡皮重45 g，这块橡皮的质量是1 cm3的氢气质量 的多少倍？ 【解】45÷0.000 09＝500 000＝5×105. 故这块橡皮的质量是1 cm3的氢气质量的5×105倍. 1 2 3 4 5 6 7 8 $$华师版 七年级上 第1章　有理数 1.12　有理数的混合运算 01 认知基础练 02 素养提升练 目 录 CONTENTS 名师点金 　　有理数混合运算的规律及方法：(1)运算时要仔细观 察题中各数之间的关系，适当运用运算律，改变运算顺 序，以简化计算.(2)在运算过程中，一般将带分数化成 假分数，将小数化成分数，再进行运算.(3)常用的简便 运算的方法：①运用运算律.②优先结合，即同号结 合，互为相反数结合，凑整结合等.③分配律的逆用.④ 裂项相消.⑤分组计算. 知识点1　有理数的混合运算 1. [2023·杭州](－2)2＋22＝(　D　) A. 0 B. 2 C. 4 D. 8 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. 有下列四个算式：①(－5)＋(＋3)＝－8；②－(－2)3＝6； ③ ＋ ＝ ；④－3÷ ＝9，其中正确的有 (　C　) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【点拨】 ①(－5)＋(＋3)＝－2，故①错误； C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3. [新视角 新定义题]定义新运算“ⓧ”，规定： a ⓧ b ＝ a2 －｜ b ｜，则(－2)ⓧ(－1)的运算结果为(　D　) A. －5 B. －3 C. 5 D. 3 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. 阅读下面的解题过程并解答问题： 计算：－22÷ ×6. 解：原式＝－4÷ ×6　(第一步) ＝－4÷(－25) (第二步) ＝－ . (第三步) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)上面解题过程有两处错误：第一处是第 步，错 误的原因是 ⁠ ⁠； 第二处是第 步，错误的原因是 ⁠ ⁠. 二　 没按顺序计算，乘除是同级运算，除法 在前面，应该先进行除法计算　 三　 没有按符号法 则正确确定结果的符号　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)请写出正确的解题过程. 【解】原式＝－4÷ ×6 ＝－4× ×6 ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 知识点2　混合运算中的数字规律 5. [新考法 规律探究法]如图，观察“品”字形图案中各数之 间的规律，根据观察到的规律得出 a 的值为(　B　) A. 23 B. 75 C. 77 D. 139 【点拨】 观察可得，11＋ b ＝ a ， b ＝26＝64，故 a ＝11＋64＝ 75. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. [2023·常德]观察下图的数表(横排为行，竖排为列)，按数表中的规律，分数 若排在第 a 行，第 b 列，则 a － b 的值为(　C　) C A. 2 003 B. 2 004 C. 2 022 D. 2 023 【点拨】 观察数表可得，同一行的分数，分子与分母的和不变， ( m ， n 为正整数)在第( m ＋ n －1)行，第 n 列，所以 在第2 042行，第20列.所以 a ＝2 042， b ＝20.所以 a － b ＝2 042－20＝2 022. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. [2024·广州越秀区模拟]观察下列两行数，探究第②行数与 第①行数的关系： －2，4，－8，16，－32，64，… ① 0，7，－4，21，－26，71，… ② 根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为 ；取每行数的第2 023个数，则这两个数的和为 ⁠. 1024 －22 024＋2 024　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 【点拨】 观察数列可得，第①行数的第10个数为(－2)10＝1 024. 易得第①行数的第2 023个数为(－2)2 023，第②行数的 第2 023个数为(－2)2 023＋2 024. 因为(－2)2 023＋(－2)2 023＋2 024＝－22 024＋2 024， 所以取每行数的第2 023个数，这两个数的和为 －22 024＋2 024. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 易错点　当底数是分数或负数时因忽略括号而致错 8. 计算：－23÷ × . 【解】－23÷ × ＝－8× × ＝－8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　利用有理数混合运算的顺序进行计算 9. [母题 教材P60练习T1] 计算： (1)[2023·随州](－2)2＋(－2)×2＝ ⁠； (2)－52÷1 － × . 0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 【解】原式＝－25÷ － × ＝－25× － ＝－16－ ＝－16 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　利用有理数的混合运算进行接力计算 10. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成有理数的运 算，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一 步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简.过程如 图所示： (1)接力中，计算错误的学生是 ⁠； 佳佳，音音　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)请给出正确的计算过程. 【解】－42＋20÷(－5)－6×(－2)2 　＝－16＋(－4)－6×4 ＝－16＋(－4)＋(－24) ＝－44. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　利用有理数的混合运算做数学游戏 11. [情境题 趣味游戏]嘉嘉和琪琪用如图中的A，B，C，D 四张带有运算的卡片，做一个“我说你算”的数学游 戏，规则如下：嘉嘉说一个数，并对这个数按这四张带 有运算的卡片排列出一个运算顺序，然后琪琪根据这个 运算顺序列式计算，并说出计算结果.例如：嘉嘉说2， 对2按A→B→C→D的顺序运算，则琪琪列式计算得：[(2 ＋3)×(－3)－2]2＝(－15－2)2＝(－17)2＝289. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)嘉嘉说－2，对－2按C→A→D→B的顺序运算，请列 式并计算结果； 【解】(－2－2＋3)2×(－3)＝－3. (2)嘉嘉说3，对3按C→B→D→A的顺序运算，请列式并 计算结果. 【解】[(3－2)×(－3)]2＋3＝12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　利用个位数字的周期性探求个位数字 12. [新考法 探究循环规律法]阅读材料，解决问题： 由31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729， 37＝2 187，38＝6 561，…， 不难发现，3的正整数幂的个位数字是以3，9，7，1为一 个周期循环出现的，由此可以得到： 因为3100＝34×25，所以3100的个位数字与34的个位数字相 同，应为1； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因为32 009＝34×502＋1，所以32 009的个位数字与31的个位数 字相同，应为3. (1)请你仿照材料，分别求出799的个位数字及899的个 位数字； 【解】799的个位数字为3. 899的个位数字为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)请探索出221＋721＋821的个位数字； 【解】由(1)同理可得，2的正整数幂的个位数字是以 2，4，8，6为一个周期循环出现的.因为221＝24×5＋ 1，所以221的个位数字与21的个位数字相同，应为2. 因为721＝74×5＋1，所以721的个位数字与71的个位数字 相同，应为7.因为821＝84×5＋1，所以821的个位数字与 81的个位数字相同，应为8.因为2＋7＋8＝17，所以 221＋721＋821的个位数字是7. (3)请直接写出822－222－322的个位数字. 【解】822－222－322的个位数字是1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$华师版 七年级上 第1章　有理数 1.13　近似数 01 认知基础练 02 素养提升练 目 录 CONTENTS 名师点金 　　确定近似数的精确度就是确定近似数的末位数字所在 的数位. a ×10 n 的精确度，应由还原后的数中数 a 的末位数字所在的数位决定；带单位的近似数(如：6万)，其精确度也是由还原后的近似数的末位数字所在的数位决定. 知识点1　准确数与近似数 1. [母题 教材P66习题T1] 下列各题中的数据： ①黄山莲花峰的海拔约为1.9×103 m； ②我国目前有34个省级行政区； ③小明的体重约是46.3 kg； ④某本书有160页.其中是准确数的是 ，是近似数 的是 .(填序号) ②④　 ①③　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2. [情境题 生活应用] 对智能手机里自己喜欢的新闻和视频 点赞已成为一种潮流.当点赞数超过1万时，我们看到的数 为原数的近似值.如图，当看到当前点赞数是1.5万时，如 果仅点赞一次后点赞数立即变成了1.6万，那么在点赞前 一刻原数的准确数为 ⁠. 15 499　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 【点拨】 15 500≈1.6万，所以点赞前一刻原数的准确数为15 500－1＝15 499. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 知识点2　近似数的范围 3. [2024·长沙开福区模拟]由四舍五入得到的近似数是3.75， 那么原数不可能是(　D　) A. 3.751 4 B. 3.749 3 C. 3.750 4 D. 3.755 【点拨】 3.755≈3.76，故D错误. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4. 近似数3.0的准确值 a 的取值范围是(　B　) A. 2.95＜ a ≤3.05 B. 2.95≤ a ＜3.05 C. 2.95≤ a ≤3.05 D. 2.95＜ a ＜3.05 【点拨】 在求原数的取值范围的问题时，只需考虑由四舍五入 得到的近似数的两个边界值，同时注意“含小不含大”. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 知识点3　精确度 5. 用四舍五入法取近似值，将数0.015 8精确到0.001的结果 是(　B　) A. 0.015 B. 0.016 C. 0.01 D. 0.02 【点拨】 精确到0.001，也就是精确到千分位，故0.0158≈ 0.016. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6. 第七次全国人口普查数据显示，山东省常住人口约为10 152.7万人，将101 527 000用科学记数法(精确到十万位) 表示为(　C　) A. 1.02×108 B. 0.102×109 C. 1.015×108 D. 0.101 5×109 【点拨】 101 527 000＝1.015 27×108≈1.015×108. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7. 用四舍五入法将数3.141 59精确到千分位的结果是 (　C　) A. 3.1 B. 3.14 C. 3.142 D. 3.141 【点拨】 精确到千分位就是精确到0.001. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 易错点　因对精确度理解不透而致错 8. (1)2.010×105精确到 位； (2)2.301万精确到 位. 百　 十　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　利用四舍五入法求近似值 9. [母题 教材P65例2] 用四舍五入法，按括号中的要求，对 下列各数取近似数： (1)2.009(精确到0.01)； 【解】2.009≈2.01. (2)4.603 0(精确到百分位)； 【解】4.603 0≈4.60. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (3)4.762×107(精确到百万位)； 【解】4.762×107≈4.8×107. (4)13.052亿(精确到百万位). 【解】13.052亿＝1.305 2×109≈1.305×109. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　利用近似数的精确度说理 10. 小华和小丽用不同的刻度尺测量自己的身高，小华测得 自己的身高约为1.6 m，小丽测得自己的身高约为1.61 m，可是小华坚持说自己比小丽高.请你应用近似数的知 识分析小华说的有无道理，并举例说明. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 【解】有道理.因为两人使用的刻度尺不同，所以测量结 果的精确度也不同.小华的身高精确到0.1 m，其真实值 大于或等于1.55 m而小于1.65 m.小丽的身高精确到 0.01 m，其真实值大于或等于1.605 m而小于1.615 m， 因此小华有可能比小丽高.例如：当小华的真实身高为 1.63 m，而小丽的真实身高为1.612 m时，小华比小丽 高.(所举的例子不唯一) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $$华师版 七年级上 第1章　有理数 1.14　用计算器进行计算 01 认知基础练 02 素养提升练 目 录 CONTENTS 名师点金 　　利用计算器进行计算：用计算器进行有理数的混合运 算时，最重要的是要注意按键顺序，一定要按照所使用的 计算器的使用说明操作. 知识点1　计算器的使用方法 1. 计算器上， 键是(　A　) A. 开机键 B. 关闭键 C. 存储键 D. 运算键 A 1 2 3 4 5 6 7 8 2. 计算器上的DEL键的功能是(　C　) A. 开启计算器 B. 关闭计算器 C. 清除当前显示的数或符号 D. 计算乘方 【点拨】 根据绝对值和偶次方的非负性可求解 a ， b 的值，再 代入计算即可求解. C 1 2 3 4 5 6 7 8 3. 用计算器计算－93的按键顺序是(　D　) D 1 2 3 4 5 6 7 8 4. [2024·淄博期末]下面的科学计算器的按键顺序对应的计算 任务是(　B　) A. 0.6× ＋124 B. 0.6× ＋124 C. 0.6×5÷6＋412 D. 0.6× ＋412 B 1 2 3 4 5 6 7 8 知识点2　计算器的应用 5. (1)根据已知条件填空： ①已知(－1.2)2＝1.44，那么(－120)2＝ ， (－0.012)2＝ ⁠； ②已知(－3)3＝－27，那么(－30)3＝ ， (－0.3)3＝ ⁠. 14 400　 0.000 144　 －27 000　 －0.027　 1 2 3 4 5 6 7 8 (2)观察上述计算结果，我们可以看出： ①底数的小数点向左(右)每移动一位，它的平方的幂的 小数点向左(右)移动 位； ②底数的小数点向左(右)每移动一位，它的立方的幂的 小数点向左(右)移动 位. 两　 三　 1 2 3 4 5 6 7 8 6. [母题 教材P70练习T3] 用计算器计算： (1)(－2)2×(7－5)－2； 【解】(按键顺序略)正确按键后，计算器显示结果 为6， 所以(－2)2×(7－5)－2＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 (2)23×(－2.7＋0.8)－0.75； 【解】(按键顺序略)正确按键后，计算器显示结果为－ 15.95，所以23×(－2.7＋0.8)－0.75＝－15.95. (3)(－3)2÷[18－(－3)3]×(－25). 【解】(按键顺序略)正确按键后，计算器显示结果为－ 5，所以(－3)2÷[18－(－3)3]×(－25)＝－5. 1 2 3 4 5 6 7 8 　利用计算器探究规律 7. [新视角 规律探索题]用计算器探索： (1)用计算器计算下列各式：34×34，334×334，3 334×3 334，33 334×33 334. 【解】34×34＝1 156，334×334＝111 556， 3 334×3 334＝11 115 556， 33 334×33 334＝1 111 155 556. 1 2 3 4 5 6 7 8 (2)根据(1)的计算结果，你发现了什么规律？ 【解】规律：计算的结果末位数字是6，且5的个数与 一个因数中3的个数相同，1的个数比一个因数中3的个 数多1，即 × ＝ (3)不用计算器，试直接写出3 333 334×3 333 334的结果. 【解】3 333 334×3 333 334＝11 111 115 555 556. 1 2 3 4 5 6 7 8 　用计算器解决实际问题 8. [母题 教材P70做一做2] 球的体积公式为 V ＝ π r3(其中 r 表示球的半径，π取3.14)，用计算器计算半径为10.9 cm 的球的体积.(结果保留一位小数) 【解】 V ≈ ×3.14×10.93≈5 421.9(cm3). 所以半径为10.9 cm的球的体积约为5 421.9 cm3. 1 2 3 4 5 6 7 8 $$华师版 七年级上 第1章　有理数 1.14　用计算器进行计算 测素质　有理数的乘方 一、选择题(每题3分，共30分) 1.32的结果等于(　A　) A. 9 B. －9 C. 5 D. 6 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2. 下列语句中出现的数，是近似数的是(　D　) A. 七(2)班有40人 B. 一星期有7天 C. 一本书共有180页 D. 小华的身高约为1.6 m D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 3. 用四舍五入法将130 542精确到千位，正确的是(　C　) A. 131 000 B. 0.131×106 C. 1.31×105 D. 13.1×104 4. 在－(－5)，－(－5)2，－｜－5｜，(－5)3中，正数有 (　A　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 C A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 5. [真实情境题 航空科技] “神舟问天，九霄逐梦；翱翔太 空，漫步苍穹，”2024年4月25日20时59分，神舟十八号 载人飞船在酒泉成功发射，在古老的中国早已酝酿了数千 年的“中国星”在九天之上再次熠熠生辉.牛顿提出：要 使得航天器环绕地球运行，必须要达到第一宇宙速度7 900 m/s，这个速度也是指让航天器可以环绕地球所需要 的最小发射速度，请问7 900用科学记数法表示为(　B　) B A. 7.9×102 B. 7.9×103 C. 79×102 D. 0.79×104 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 6. [母题 教材P78复习题T15(1)] 下列各组的两个数中，运算 后结果相等的是(　C　) A. －32与(－3)2 B. 53与35 C. －73与(－7)3 D. 与－ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 －32＝－9，(－3)2＝9，故A选项不符合题意；53＝ 125，35＝243，故B选项不符合题意；－73＝－343，(－ 7)3＝－343，故C选项符合题意； ＝－ ，－ ＝ － ，故D选项不符合题意. 【点拨】 【答案】C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 7. 一个数的平方等于它本身，这个数是(　C　) A. 1 B. 0 C. 0或1 D. 1或－1 8. 与算式23＋23＋23的运算结果相等的是(　C　) A. 23 B. 29 C. 3×23 D. 3×6 C C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 9. [2024·杭州公益中学月考]根据如图所示的程序计算，若输 入 x 的值为1，则输出 y 的值为(　D　) A. －2 B. 1 C. 3 D. 7 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 10. [新考向 数学文化]在我国远古时期，人们通过在绳子上 打结来记录数量，即“结绳计数”，类似现在我们熟悉 的“进位制”.如图所示是远古时期一位母亲记录孩子自 出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打 结，满五进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是 (　B　) B A. 27 B. 42 C. 55 D. 210 【点拨】 根据题意，得孩子出生的天数的五进制数为132，化 为十进制数为1×5×5＋3×5＋2＝42，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 二、填空题(每题4分，共24分) 11. ＝ ⁠. 12. [立德树人 勤俭节约]勤俭节约是一种美德，据统计，全 国每年浪费食物总量折合粮食可养活约3.5亿人，3.5亿 精确到 位. 　 千万　 【点拨】 因为3.5亿＝350 000 000，5在千万位上，所以3.5亿 精确到千万位. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 13. [母题 教材P56练习T2] 把下列用科学记数法表示的数的 原数填在横线上： (1)2.16×106＝ ⁠； (2)－7.123×103＝ ⁠. 【点拨】 (1)2.16×106＝2.16×1 000 000＝2 160 000. (2)－7.123×103＝－7.123×1 000＝－7 123. 2 160 000　 －7 123　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 14. [2024·清华附中月考]若( x －2)2＋ ＝0，则 yx ＝ ⁠. 15. 已知 a ， b 互为相反数且 b ≠0， c ， d 互为倒数，则( a ＋ b )2 024－ 2 025＋(－ cd )2 024＝ ⁠. 　 2　 【点拨】 依题意得 a ＋ b ＝0， ＝－1， cd ＝1，则原式＝02 024－(－1)2 025＋(－1)2 024＝0＋1＋1＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 16. －32，(－2)3， ， 的大小顺序 是 　 　＞ 　 　＞ ＞ ⁠. 　 　 (－2)3　 －32　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 三、解答题(共46分) 17. (10分)计算： (1)23＋(－3)×(－2)2； 【解】原式＝8＋(－3)×4 ＝8－12 ＝－4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 (2)－23÷ ＋9× －(－1)2 024. 【解】原式＝－8÷ ＋9× －1 ＝－32＋ －1 ＝－33 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 18. (12分)[母题 教材P77复习题T11] 按括号里的要求，对下 列各数取近似数： (1)0.832 84(精确到千分位)； 【解】0.832 84≈0.833. (2)2 346.46 m(精确到1 m)； 【解】2 346.46 m≈2 346 m. (3)28.3万亿(精确到万亿位). 【解】28.3万亿≈28万亿. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 19. (12分) [立德树人 勤俭节约]许多同学平时总会在饭桌上 不经意地掉下几粒米，甚至有些同学会把吃剩的米饭倒 掉.针对这种浪费粮食的现象，老师组织同学们进行了实 际测算，称得500粒大米重约10克.现在请你来计算： (1)一粒大米重约 克. 0.02　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 (2)按我国现有人口14亿，每年365天，每人每天三餐计 算，若每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米 多少千克？(结果用科学记数法表示) 【解】0.02×1×3×365×1 400 000 000÷1 000＝ 3.066×107(千克). 答：一年大约能节约大米3.066×107千克. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 (3)若贫困地区每名儿童每天需0.4千克大米，则节约下 来的大米可供多少名贫困地区儿童生活一年(365天)？ (结果用科学记数法表示) 【解】3.066×107÷(0.4×365) ＝3.066×107÷146 ＝2.1×105(名). 答：节约下来的大米可供2.1×105名贫困地区儿童生 活一年(365天). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 20. (12分)[情境题 游戏活动型]如图①，从大拇指开始，按食 指、中指、无名指、小指，再回到大拇指的顺序，依次 数正整数1，2，3，4，5，…. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 (1)当第5次数到中指时，这个数是 ⁠. 【点拨】 由题意得，当第5次数到中指时，这个数是5×(5 －1)＋3＝23. 23　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 (2)当数到2 025时，数到的是哪一根手指？说明理由. 【解】当数到2 025时，数到的是小指.理由：由题意 可知，每5个数为一个循环. 因为2 025÷5＝405， 所以数到2 025对应的手指与数到5对应的手指一样， 即当数到2 025时，数到的是小指. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 (3)若改变顺序，按大拇指、食指、中指、无名指、小 指、无名指、中指…的顺序，如图②，当数到2 025 时，数到的是哪一根手根？说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 【解】当数到2 025时，数到的是大拇指. 理由：由题意可知，每8个数为一个循环. 因为2 025÷8＝253……1， 所以数到2 025对应的手指与数到1对应的手指一样， 即当数到2 025时，数到的是大拇指. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 $$华师版 七年级上 第1章　有理数 1.14　用计算器进行计算 练素养　有理数混合运算的常见题型 名师点金 　　有理数的运算含有加、减、乘、除及乘方五种，运算 题型灵活多样，有单一运算和混合运算，因此，计算前先 要明确运算种类，确定运算顺序，再按法则逐一进行计算. 题型1　与有理数概念有关的计算 1. 已知 a 与2 b 互为倒数，－ c 与 互为相反数， x 的绝对值 为4，求4 ab －2 c ＋ d ＋ 的值. 1 2 3 4 5 6 【解】由题意得2 ab ＝1，－ c ＋ ＝0，｜ x ｜＝4， 则4 ab ＝2，－2 c ＋ d ＝0， x ＝±4. 当 x ＝4时，原式＝2＋0＋1＝3； 当 x ＝－4时，原式＝2＋0－1＝1. 综上可知，原式的值为3或1. 1 2 3 4 5 6 题型2　与非负性有关的计算 2. 已知 a ， b 都是有理数，若( a ＋2)2＋｜ b －1｜＝0，则( a ＋ b )2 025的值是(　B　) A. －2 025 B. －1 C. 1 D. 2 025 B 1 2 3 4 5 6 题型3　与新定义有关的计算 3. [新视角 新定义题]我们定义一种新运算： a ※ b ＝ a － b ＋ ab . (1)求3※(－2)的值； 【解】原式＝3－(－2)＋3×(－2)＝3＋2－6＝－1. (2)求(－5)※[1※(－2)]的值. 【解】1※(－2)＝1－(－2)＋1×(－2)＝1＋2－2＝1， 则原式＝(－5)※1＝－5－1＋(－5)×1＝－6－5＝－11. 1 2 3 4 5 6 题型4　与规律有关的计算 4. [新视角 规律探索题]仔细观察下列两组数： 第一组：1，4，9，16，25，…； 第二组：0，－3，－8，－15，－24，…. 1 2 3 4 5 6 (1)第一组数是按什么规律排列的？第二组数与第一组数 有什么关系？ 【解】观察发现：1＝12，4＝22，9＝32，16＝42，25＝ 52，…，则第一组数为连续正整数的平方；因为0＝－1 ＋1，－3＝－4＋1，－8＝－9＋1，－15＝－16＋1， －24＝－25＋1，…， 所以第二组数为第一组相应数的相反数加1. 1 2 3 4 5 6 (2)取每组数的第20个数，计算这两个数的和. 【解】第一组数的第20个数为202，故第二组数的第20 个数为－202＋1. 202＋(－202＋1)＝1，所以取每组数的第20个数，这两 个数的和为1. 1 2 3 4 5 6 题型5　与法则有关的混合计算 5. [母题 教材P78复习题T16] 计算： (1)－32× －(－2)3÷ ； 【解】原式＝－9× －(－8)÷ ＝－1＋32＝31. (2)(－2)3－ ÷5×｜1－(－4)2｜. 【解】原式＝－8－ × ×15＝－8－1＝－9. 1 2 3 4 5 6 题型6　与运算律有关的混合计算 6. 计算： (1)－69 ×(－8)； 【解】原式＝69 ×8＝ ×8＝70×8－ ×8 ＝559 . 1 2 3 4 5 6 (2)－32× ＋ ×(－24). 【解】原式＝－9× ＋ ×(－24)－ ×(－24)＋ ×(－24)＝－1－18＋4－9＝－24. 1 2 3 4 5 6 $$华师版 七年级上 第1章　有理数 1.1　有理数的引入 1.正数和负数 01 认知基础练 02 素养提升练 目 录 CONTENTS 名师点金 1. 正数和负数的特征：(1)不为0；(2)含 “＋”(正)“－”(负)号，也可以不含“＋”号. 2. 用正数和负数表示实际问题中具有相反意义的量时，应 注意两点： (1)它们都是同类量，应带单位. (2)应用不同的符号表示，若一个量为正，则另一个意义 与之相反的量就应该为负. 知识点1　正数和负数 1. [新考向 数学文化]在世界数学史上首次正式引入负数的中 国古代数学著作是(　B　) A. 《孙子算经》 B. 《九章算术》 C. 《算法统宗》 D. 《周髀算经》 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2. [2023·盐城]下列数中，属于负数的是(　B　) A. 2 023 B. －2 023 C. D. 0 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. [母题 教材P3练习T3] 有下列各数：－3.14，24，＋17， －7 ， ，π，－0.101，－0.2，0，－2 025，20％.其 中哪些是正数？哪些是负数？ 【解】正数有24，＋17， ，π，20％， 负数有－3.14，－7 ，－0.101，－0.2，－2 025. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 知识点2　用正数和负数表示具有相反意义的量 4. [2024·杭州西湖区月考]下列各组量中，不是互为相反意义 的量的是(　D　) A. 收入80元与支出30元 B. 上升20米与下降15米 C. 超过5厘米与不足3厘米 D. 增大2岁与减少2升 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5. [2024·云南]中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量 的国家.若向北运动100米记作＋100米，则向南运动100米 可记作(　B　) A. 100米 B. －100米 C. 200米 D. －200米 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6. [2024·南京江宁区月考]月球表面的白天平均温度零上126 ℃记作＋126 ℃，夜间平均温度零下150 ℃应记作(　B　) A. ＋150 ℃ B. －150 ℃ C. ＋276 ℃ D. －276 ℃ B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7. [2023·永州]我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的 概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，如：粮 库把运进30吨粮食记为“＋30吨”，则“－30吨”表示 (　A　) A. 运出30吨粮食 B. 亏损30吨粮食 C. 卖掉30吨粮食 D. 吃掉30吨粮食 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8. [情境题生活应用]如图所示是某用户微信支付情况(单位： 元)，3月28日＋150.00表示的意思是(　B　) A. 转账给别人150元 B. 收到转账150元 C. 余额为150元 D. 发出150元红包 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 易错点　对正数、负数的意义理解不透而致错 9. 下列说法： ①不带“－”号的数都是正数； ②一个正数的前面加上负号就是负数； ③数7没有符号； ④不是正数的数一定是负数，不是负数的数一定是正数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 其中错误的有 .(填序号) 【点拨】  　数7的符号为“＋”，不是没有符号；0不是正 数，也不是负数　.本题易因对正数、负数的意义理解 不透而出错. ①③④　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 　利用正数和负数的定义识别数 10. (1)[母题 教材P3练习T3] 有下列数：10，－6，＋2 ， 0，－400，－2.03.其中，正数有 个，负数有 ⁠ 个， 既不是正数，也不是负数. 2　 3　 0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ②任意一个正数，前面加上“－”号，就是一个负 数； ③ 0是最小的正数； ④大于0的数是正数； ⑤字母 a 既是正数，又是负数. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 (2)下列说法正确的有(　C　) ①带正号的数是正数，带负号的数是负数； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 带正号的数不一定是正数，如＋(－5)＝－5(以后 学)是负数，带负号的数也不一定是负数，如－(－5) ＝5(以后学)是正数，故①错误；任意一个正数，前面 加上“－”，就是一个负数，故②正确；0既不是正 数，也不是负数，故③错误；大于0的数是正数，故 ④正确；如果 a 是正数，就一定不是负数，故⑤错 误，故选C. 【点拨】 【答案】C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 　利用正数、负数表示相反意义的量 11. 用正数、负数表示下列问题中的数： (1)在某次环保知识竞赛中， A 队得40分， B 队扣20分； 【解】若规定得分为正，则得40分，扣20分分别表示 为＋40分，－20分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)在某次乒乓球质量检测中，一只乒乓球的质量超出标 准质量0.02克； 【解】若规定超出为正，则超出标准质量0.02克表示 为＋0.02克. (3)小童向妈妈要了10元，买书用了7元； 【解】若规定小童的钱数增加为正，则要了10元，用 了7元分别表示为＋10元，－7元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (4)某火车站某时刻发出两列火车， A 车向东行驶40 km， B 车向西行驶60 km. 【解】若规定向东为正，则向东行驶40 km，向西行 驶60 km分别表示为＋40 km，－60 km. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 　利用正数、负数的意义解实际应用题 12. [情境题·生活应用 2023 驻马店期末]某快递驿站将收到的 快件数记为正数，取走的快件数记为负数，其近三天的 快件进出情况如表所示，表中星期四的数据被墨水污染 了，请你算出星期四快件的进出数为 ⁠. ＋9　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 星期三 ＋8 星期四 ■ 星期五 －14 三天合计 ＋3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13. [2024·合肥瑶海区月考]某班6名同学的身高情况如下表 (单位：cm)： 同学 A B C D E F 身高 165 168 166 163 169 171 身高与班级平均身高 的差值 －1 ＋2 0 －3 ＋3 ＋5 168 163 169 0 ＋5 (1)完成表中空白的部分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)他们的最高身高与最矮身高相差多少？ 【解】最高身高与最矮身高相差171－163＝8(cm). (3)他们6人的平均身高是多少？ 【解】他们6人的平均身高是 ×(165＋168＋166＋ 163＋169＋171)＝167(cm). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 　利用数的排列规律探求符合条件的数 14. [新考法·探究数的特征法]观察下面两行数： 1，5，11，19，29，…； 1，3，6，10，15，…. 取每行数的第7个数，求这两个数的和. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【解】观察可知，第2行的第7个数为1＋2＋3＋4＋5＋6 ＋7＝28， 第1行的第7个数为28×2－1＝55. 因为28＋55＝83， 所以取每行数的第7个数，这两个数的和是83. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$华师版 七年级上 第1章　有理数 1.1　有理数的引入 2.有理数 01 认知基础练 02 素养提升练 目 录 CONTENTS 名师点金 1. 有理数的分类：确定有理数的分类时，要做到不重复、 不遗漏；若按集合分类，则每个集合最后要加上“…”. 2. 常见的三种数集：(1)非负整数集，即零和正整数集(即自然数集)；(2)非负数集，即零和正数集；(3)非正数集，即零和负数集. 知识点1　分界数 1. 在－3，－5，－1，0这四个数中，与其余三个数不同类的 是(　D　) A. －3 B. －5 C. －1 D. 0 【点拨】 0不是负数，其余三个数都是负数. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2. 下列关于“0”的叙述中，正确的有(　C　) ①0是正数与负数的分界； ②0比任何负数都大； ③0只表示没有； ④0常用来表示某种量的基准. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 【点拨】 0既不是正数，也不是负数，它是正数和负数的分 界； 　0小于任何正数，大于任何负数；0不仅表示没有， 还有其他的意义，它常用来表示某种量的基准　.故①②④ 正确，③错误. 【答案】C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3. [新考向 传统文化]古筝是中国独特的民族乐器之一，为了 保持音准，弹奏者常使用调音器对每根琴弦进行调音.如 图所示是某古筝调音器软件的界面，指针指向40表示音调 偏高，需放松琴弦.下列指针指向的数字中表示需拧紧琴 弦，且最接近标准音(指针指在0处为标准音)的是(　D　) A. 10 B. 20 C. －25 D. －5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 【点拨】 由题意可知，指针指向负数表示音调偏低，需拧紧琴 弦，故排除A和B. 指针越接近0就越接近标准音，结合题 图可知－5更接近0，故选D. 【答案】D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4. [真实情境题 航空航天]2024年4月25日，神舟十八号载人 飞船发射成功，成功对接空间站.据悉，在超过200摄氏度 的大温差、长期低温、强辐射的空间环境中，飞船舱内环 境温度会始终控制在22 ℃±4 ℃，为航天员营造舒适的 温度环境.可知，载人飞船座舱内的最高温度是 ⁠. 26 ℃　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 知识点2　有理数及相关概念 5. [2024·重庆一中期末]下列数中既是分数，又是负数的是 (　D　) A. 5.2 B. 0 C. －2 D. －2.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.2是分数，但不是负数，故A选项不符合题意；0不 是分数，也不是负数，故B选项不符合题意；－2是负 数，但不是分数，故C选项不符合题意；－2.5既是分 数，又是负数，故D选项符合题意. 【点拨】 【答案】D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6. [2023·江西]下列各数中，正整数是(　A　) A. 3 B. 2.1 C. 0 D. －2 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. 在－3.5， ，0.161 161 116…， 中，有理数有(　B　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【点拨】 －3.5是负分数，故是有理数； B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 知识点3　有理数的分类 8. [新考法 探究数的特征法]若A表示整数，B表示分数，C表 示正整数，D表示零，E表示负整数，F表示正分数，G表 示负分数，用A，B，C，D，E，F，G填空.然后将下列各 数填入相应的大括号内： 13，－ ，0，1.25，－35，－0.33， ，＋5，－600. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 有理数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 易错点　对分界数的意义理解不透彻而致错 9. [新考法 变式训练法]某教室内的地板到天花板的距离为3 米，课桌高0.7米，若把课桌面记作0米，则教室的地板和 天花板分别记作 米和 米；若把天花板 记作0米，则课桌面和地面分别记作 米和 米(规定向上为正). －0.7　 ＋2.3　 －2.3　 －3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 　利用分界数表示实际中的范围 10. [2024·泉州第五中学模拟]某种商品的标准价格是200元， 随着季节的变化，商品的价格可浮动±10％. (1)±10％的含义是什么？ 【解】＋10％表示比标准价格高10％，－10％表示比 标准价格低10％. (2)请你计算出该商品的最高价格和最低价格. 【解】最高价格为220元，最低价格为180元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (3)若以标准价格为基准，超过标准价格记作“＋”，低 于标准价格记作“－”，则该商品的价格浮动范围可 以怎样表示？ 【解】(200±20)元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 　利用有理数及相关定义求聚会人数 11. [情境题 生活应用]有一次同学聚会，小张的座位号与下 列这组数中的负数的个数相等，小李的座位号与下列这 组数中的正整数的个数相等. 8， －3 ，0，－100，＋5 ，－3.21，－0.33，36，－ ，－25％，＋2 024，－18. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (1)小张、小李的座位号分别是多少？ 【解】在所给的数中，负数有－3 ，－100，－ 3.21，－0.33，－ ，－25％，－18，共7个， 所以小张的座位号是7. 在所给的数中，正整数有8，36，＋2 024，共3个， 所以小李的座位号是3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)若这次同学聚会的总人数是小张的座位号的2倍与小 李的座位号的4倍的和，则这次聚会共有多少名同学 参加？ 【解】由题意得这次聚会共有2×7＋3×4＝14＋12＝ 26(名)同学参加. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 　利用分界数探求实际中的时差问题 12. [新趋势 跨学科]下图中的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，若下表给出的是国外四个城市与北京的时差，则这五个时钟对应的城市从左到右依次是(　A　) 城市 时差/ h 纽约 －13 悉尼 ＋2 伦敦 －8 罗马 －7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A. 纽约、悉尼、伦敦、罗马、北京 B. 罗马、北京、悉尼、伦敦、纽约 C. 伦敦、纽约、北京、罗马、悉尼 D. 北京、罗马、伦敦、悉尼、纽约 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由表格可知悉尼与北京的时差为＋2 h，结合时钟可 得北京时间是16时或4时或6时或18时，再根据纽约与北 京的时差为－13 h，结合时钟可得北京时间是16时或4 时，当北京时间是16时时，纽约时间为16－13＝3(时)， 悉尼时间为16＋2＝18(时)，伦敦时间为16－8＝8(时)， 罗马时间为16－7＝9(时)，由时钟显示的时间可得对应 城市为纽约、悉尼、伦敦、罗马、北京，当北京时间是4 时时，结果也成立.故选A. 【答案】A 【点拨】 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 　利用数的排列规律探求符合条件的数的位置 13. [新考法 探究循环规律法]如图，将一串数按下列规 律排列. (1)在 A 位置的数是正数还是负数？ 【解】在 A 位置的数是正数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)负数排在 A ， B ， C ， D 中的什么位置？ 【解】负数排在 B 和 D 的位置. (3)第100个数是正数还是负数？排在对应于 A ， B ， C ， D 中的哪个位置上？ 【解】观察可知奇数为负，偶数为正，故第100个数 是正数. 每4个数看成一组，100÷4＝25(组)， 故第100个数排在 A 的位置. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$华师版 七年级上 第1章　有理数 1.2　数轴 1.数轴 01 认知基础练 02 素养提升练 目 录 CONTENTS 名师点金 数轴的定义的三层含义 1. 数轴是一条直线，可以向两端无限延伸. 2. 数轴有三要素：原点、正方向和单位长度. 3. 原点位置的确定、单位长度大小的确定都是根据实际而 定的，一般取向右的方向为正方向. 知识点1　数轴 1. 认识数轴需明确两点： (1)0是 和 的分界点； (2)数轴的“三要素”为 、 、 ⁠ ⁠. 正数　 负数　 原点　 正方向　 单位 长度　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2. [母题 教材P9练习T1] 下列数轴表示正确的是(　D　) 【点拨】 D A. 正数应在原点右边，负数应在原点左边，且按从 小到大的顺序从左往右排，故A错误；B. 负数的大小顺 序标反，应从原点向左依次标－1，－2，－3，…，故B 错误；C. 缺少原点，故C错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3. [新考法 定义辨析法]关于数轴，下列说法最准确的是 (　D　) A. 是一条直线 B. 是规定了原点、正方向的一条直线 C. 是有单位长度的一条直线 D. 是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 知识点2　数轴上的点与数的对应关系 4. [2024·武汉江汉区期中]如图，数轴上点 E 对应的数是 (　A　) A. －2 B. －1 C. 1 D. 2 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5. 如图，数轴上点 A 表示的数是2 024， OA ＝ OB ，则点 B 表示的数是(　B　) A. 2 024 B. －2 024 C. D. － 【点拨】 因为 OA ＝ OB ，点 A 表示的数是2 024，且点 B 在点 O 左侧， B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6. [2023·长沙开福区月考]如图，数轴的单位长度为1，如果 点 A 表示的数是－2，那么点 B 表示的数是(　D　) A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 【点拨】 根据点 A 表示的数是－2，数轴的单位长度为1，画出 数轴的原点，如图，则点 B 表示的数为2.故选D. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 知识点3　数轴上点的运动 7. [情境题 生活应用]为了有效控制酒后驾车，某市交警的汽 车在一条东西方向的公路上巡逻，公路如图所示，若规定 向东为正、向西为负，1个单位长度代表1千米，从出发点 开始所走的路程为＋4，－8，＋5，＋1，－5(单位：千 米)，则下列说法错误的是(　D　) D A. 单次巡逻过程中的最远距离为8千米 B. 第三次的终点与出发点的距离最近 C. 最终交警停在出发点的西边 D. 最终交警还需要行驶5千米才能回到出发点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. [新趋势 学科内综合]如图，半径为1个单位长度的圆从原 点沿数轴向右无滑动地滚动一周，圆上的一点 A (滚动前 与原点重合)由原点到达点 B ，则点 B 表示的数是 ⁠. 【点拨】 先求出圆的周长，再确定点 B 表示的数. 2π　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 易错点　对有理数与数轴上点的关系，易产生“一一对应” 的错误认识 9. 下列说法： ①数轴上的点只能表示整数； ②数轴是一条线段； ③数轴上的一个点只能表示一个数； ④数轴上找不到既不表示正数，又不表示负数的点； ⑤数轴上的点所表示的数都是有理数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 其中正确的有(　A　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【点拨】 易知①②错误，③正确；既不是正数，又不是负数的 数是0，0在数轴上用原点表示，故④错误；所有的有理数 都可以在数轴上找到相应的点，但并非数轴上的点表示的 数都是有理数，这一点容易误解，故⑤错误. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 　利用数轴的特征在数轴上描点表示数 10. [2024·深圳龙华区月考]已知以下五个有理数：3.14，－1 ，5，0，－3. (1)画出数轴，并在数轴上把－1 ，5，－3这三个数表示 出来； 【解】如答图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)将这五个有理数中符合条件的填入对应的集合中. 【解】如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 　利用点在数轴上的位置说明点与数的关系 11. 如图，已知点 A ， B ， C 在数轴上表示的数分别是－1， －5，2. 回答下列问题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (1)将点 B 向右移动6个单位长度，此时点 B 表示的数是 多少？ 【解】将点 B 向右移动6个单位长度，此时点 B 表示的数是1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)将点 C 向左移动6个单位长度，此时点 C 表示的数是 多少？ 【解】将点 C 向左移动6个单位长度，此时点C 表示的数是－4. (3)移动 A ， B ， C 三个点中的任意两个，能使三个点表 示的数相等吗？你有几种移动方法？ 【解】能.有三种移动方法： ①点 A 不动，将点 B 向右移动4个单位长度， 并将点 C 向左移动3个单位长度； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ②点 B 不动，将点 A 向左移动4个单位长度，并将点 C 向左移动7个单位长度； ③点 C 不动，将点 A 向右移动3个单位长度，并将点 B 向右移动7个单位长度. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 　利用数轴探究折叠中重合的点所表示的数(对 称法) 12. [新考法 折叠操作法]如图，已知在纸面上有一条数轴. 操作一：(1)折叠纸面，使表示1的点与表示－1的点重 合，则表示－2的点与表示 的点重合. 操作二：(2)折叠纸面，使表示－1的点与表示3的点重 合，回答以下问题： 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ①表示5的点与表示 的点重合； ②若数轴上 A ， B 两点之间的距离为9个单位长度( A 在 B 的左侧)，且折叠后 A ， B 两点重合，求 A ， B 两点表示 的数. 【解】② A 点表示的数是－3.5， B 点表示的数是 5.5. －3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 　利用数轴探究整数的个数 13. [新考法 从特殊到一般的思想] (1)借助数轴，回答下列问题： ①从－1到1有3个整数，分别是 ⁠； ②从－2到2有5个整数，分别是 ⁠ ⁠； ③从－100到100有 个整数； ④从－ n ( n 为正整数)到 n 有 个整数. －1，0，1　 －2，－1，0，1， 2　 201　 (2 n ＋1)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)根据以上规律知，从－3.9到3.9有 个整数，从 －10.1到10.1有 个整数. (3)在单位长度是1 cm的数轴上任意画一条长度为1 000 cm的线段 AB ，线段 AB 盖住的整数点最多有 多少个？ 【解】1 000＋1＝1 001(个). 7　 21　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 求较大范围内的整数点的个数时，可类比较小范 围内的情况.由下图可知，1 cm长的线段盖住的整数 点的个数为1或2，2 cm长的线段盖住的整数点的个数 为2或3，…，故长为1 000 cm的线段盖住的整数点的 个数为1 000或1 001. 【点拨】 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$华师版 七年级上 第1章　有理数 1.2　数轴 2.在数轴上比较数的大小 01 认知基础练 02 素养提升练 目 录 CONTENTS 名师点金 　　利用数轴比较有理数的大小时，需先在数轴上找出表 示这些数的点，根据数轴上右边的点表示的数总比左边的 点表示的数大这一特点，得出有理数的大小关系. 知识点1　利用数轴比较数的大小 1. [2023·襄阳]下面四个数中，最小的是(　A　) A. －2 B. －1 C. 0 D. 1 【点拨】 将各数分别在数轴上表示出来，可知－2在最左边， 根据“数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数 大”，得最小的数是－2. A 1 2 3 4 5 6 7 2. [2023·黄石]有理数 a 与 b 在数轴上对应点的位置如图所 示，则它们的大小关系是(　C　) A. a ＞ b B. a ＝ b C. a ＜ b D. 无法确定 C 1 2 3 4 5 6 7 3. [2024·北京西城区模拟]如图，数轴上被墨水遮盖的数可能 为(　C　) A. －1 B. －1.5 C. －3 D. －4.2 C 1 2 3 4 5 6 7 知识点2　利用数的正负性比较数的大小 4. [2024·内江]下列四个数中，最大的数是(　D　) A. －2 B. 0 C. －1 D. 3 5. [母题 教材P11练习T2] 用“＞”“＜”或“＝”填空： (1)－10 0； (2) － ； (3)－0.25 － ； (4)－π 3.14. D ＜　 ＞　 ＝　 ＜　 1 2 3 4 5 6 7 　利用数轴上点的位置关系探求有理数的大小 6. [母题 教材P12习题T5] 数轴上的点 A ， B ， C ， O ， D ， E 分别表示3，－1.5，－3 ，－4，0，2.5. (1)在如图的数轴上画出点 A ， B ， C ， O ， D ， E . 【解】如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 (2)比较这六个点所表示的数的大小，用“＜”号连接 起来. 【解】根据在数轴上的点表示的数右边的总比左边的 大，得－4＜－3 ＜－1.5＜0＜2.5＜3. 1 2 3 4 5 6 7 (3)有同学说：“这六个点中，其中有两个点之间的距离 恰好与另外两个点之间的距离相等”，你觉得这名同 学的说法正确吗？请你作出判断，并说明理由. 【解】正确.理由：点 O 与点 C 之间的距离等于点 E 与 点 A 之间的距离，都是0.5个单位长度；或者点 O 与点 B 之间的距离等于点 D 与点 E 之间的距离，都是2.5个 单位长度. 1 2 3 4 5 6 7 　利用改变原点的位置后数轴上的点表示数的 变化规律探求数的大小规律 7. [新考法 变式训练法]如图，数轴上的点 A ， B ， C ， D 表 示的数分别是－1.5，－3，2，3.5. (1)将 A ， B ， C ， D 表示的数按从小到大的顺序用 “＜”号连接起来. 【解】根据数轴可知－3＜－1.5＜2＜3.5. 1 2 3 4 5 6 7 (2)若将原点改在 C 点，则 A ， B ， C ， D 点所对应的数 分别为多少？将这些数按从小到大的顺序用“＜”号 连接起来. 【解】若将原点改在 C 点，则点 A 表示的数为 －3.5，点 B 表示的数为－5，点 C 表示的数为 0，点 D 表示的数为1.5.－5＜－3.5＜0＜1.5. 1 2 3 4 5 6 7 (3)改变原点位置后，点 A ， B ， C ， D 所表示的数的大 小顺序改变了吗？这说明了数轴的什么性质？ 【解】由(1)(2)发现，改变原点位置后，点 A ， B ， C ， D 所表示的数的大小顺序没有改变， 这说明在数轴上表示的两个数，右边的数总比 左边的数大. 1 2 3 4 5 6 7 $$华师版 七年级上 第1章　有理数 1.3相反数 01 认知基础练 02 素养提升练 目 录 CONTENTS 名师点金 相反数的意义 1. 代数意义：(1)成对出现.(2)只有符号不同，即 a 的相反 数是－ a .特殊地：0的相反数是0. 2. 几何意义：数轴上原点两旁且到原点距离相等的两个点 所表示的数互为相反数. 知识点1　相反数的定义 1. [情境题 生活应用]在2024年，科技发展迅速，人工智能和 大数据在各个领域都得到了广泛的应用，同时2024年人们 的环境保护意识也得到了提高，可再生能源的使用更加广 泛.2 024的相反数是(　A　) A. －2 024 B. C. 2 024 D. － A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2. [2024·石家庄桥西区月考]若数 a 的相反数是－3，则 a 等 于(　D　) A. －3 B. 0 C. D. 3 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3. [新考法 数形结合法] A ， B 是数轴上两点， A ， B 之间的 点表示的数中，存在互为相反数的是(　B　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 知识点2　相反数的性质 4. 若一个数的相反数不是正数，则这个数一定是(　B　) A. 正数 B. 正数或零 C. 负数 D. 负数或零 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5. [母题 教材P16习题T4] 一个数的相反数等于它本身，这样 的数有(　B　) 【点拨】 相反数等于本身的数只有0. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无数个 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6. 下面说法中： ①π的相反数是－π； ②符号相反的数互为相反数； ③－(－3.8)的相反数是－3.8； ④一个数和它的相反数可能相等； ⑤正数与负数互为相反数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 正确的有(　D　) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【点拨】 π的相反数是－π，故①正确； D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7. 如图，数轴上点 A 所表示的数的相反数是(　D　) A. 9 B. － C. D. －9 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8. 有理数 a ， b ， c ， d 在数轴上的对应点的位置如图，其 中有一对互为相反数，它们是(　C　) A. a 与 d B. b 与 d C. c 与 d D. a 与 c 【点拨】 根据在数轴上，互为相反数的两个点位于原点的两 侧，且到原点的距离相等判断即可. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 知识点3　多重符号的化简 9. [2024·上海静安区期中]化简－(－20)的结果是(　B　) A. － B. 20 C. D. －20 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ③－(－1)与＋(－1)； ④＋[－(－2)]与－[＋(＋2)]. A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 【点拨】  　多重符号的化简结果由“－”号的个数决定，即 “奇负偶正”　. 10. 下列各组数中，互为相反数的有(　C　) ①－2与＋(－2)； ②＋(＋1)与－1； C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 易错点　对相反数的定义理解不透彻而出错 11. 下列说法中，正确的有(　A　) ①－ x 一定是负数； ②任何一个有理数都有相反数； ③只有正数和负数才能构成相反数； ④互为相反数的数是指两个不同的数； ⑤符号不同的两个数互为相反数. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【点拨】 － x 不一定是负数，若 x 为负数，则－ x 为正数，若 x 为0，则－ x 为0，故①错误；0和0也互为相反数，故③ ④均错误；符号不同的两个数不一定是相反数，例如－1 和2，故⑤错误.只有②正确. 【答案】A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 　利用相反数的定义在数轴上表示数 12. (1)写出下列各数的相反数，并将这些数连同它们的相反 数在数轴上表示出来； ＋2，－3，0，－(－1)，－3 ，－(＋4). 【解】＋2的相反数是－2，－3的相反数是3，0的 相反数是0，－(－1)的相反数是－1，－3 的相反数是 3 ，－(＋4)的相反数是4.如答图. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)说明上面各数及其相反数对应的点在数轴上的位 置特点. 【解】在数轴上，原数与其相反数对应的点到原点的 距离相等. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 　利用相反数与数轴的关系求数轴上的点表示的 数 13. [新考法 图示探究法]有理数 a ， b 在数轴上对应的点的位 置如图所示. (1)说出数 a ， b 的正负性. 【解】 a 为正数， b 为负数. (2)在数轴上分别用 A ， B 两点表示－ a ，－ b . 【解】略. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (3)若 b 与－ b 对应的点相距20个单位长度，则 b 与－ b 表 示的数分别是什么？ 【解】因为 b 与－ b 对应的点相距20个单位长度，所以 b 与－ b 对应的点各自与原点相距10个单位长度，所以 b 表示－10，－ b 表示10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (4)在(3)的条件下，若数 a 对应的点与数 b 对应的点相距 15个单位长度，则 a 与－ a 表示的数分别是什么？ 【解】因为 a 在 b 的右侧，所以a 表示5，所以－ a 表示－5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 　利用相反数的意义探求多重符号化简规律 14. [母题 教材P15例2] －(－2 025)＝(　B　) A. －2 025 B. 2 025 C. － D. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15. [新考法 找规律法]化简下列各式，并回答问题： (1)－(－2)＝ ⁠； ＋ ＝ 　－ 　； －[－(－5)]＝ ⁠； －[－(＋4.5)]＝ ⁠； －{＋[－(＋6)]}＝ ⁠. 2　 － 　 －5　 4.5　 6　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)当＋5前面有99个负号时，化简后的结果是 ⁠； 当－5前面有100个负号时，化简后的结果是 ⁠. 你能总结出什么规律？ 【解】规律：一个数的前面有奇数个负号，化简后的 结果等于它的相反数；有偶数个负号，化简后的结果 等于它本身. －5　 －5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (3)计算： ＋ . 【解】原式＝3－1＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $$华师版 七年级上 第1章　有理数 1.4绝对值 01 认知基础练 02 素养提升练 目 录 CONTENTS 名师点金 与绝对值有关的两种常见应用： 1. 求一个数的绝对值：其解法的实质是去掉绝对值符号.去 绝对值符号必须按照“先判后去”的原则，即先判断这 个数的正负，再按照定义去绝对值符号，要确保其结果 为非负数且只有一个. 2. 已知一个数(0除外)的绝对值，求这个数：有两个解，且 这两个解互为相反数. 知识点1　绝对值的定义 1. [母题·教材P18例1 2024 成都]－5的绝对值是(　A　) A. 5 B. －5 C. － D. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2. 如图，点 A 所表示的数的绝对值是(　A　) A. 3 B. －3 C. D. － A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3. [新考法·数形结合法 2023 长春]数 a ， b ， c ， d 在数轴上 对应点的位置如图所示，这四个数中绝对值最小的是 (　B　) A. a B. b C. c D. d B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 知识点2　绝对值的性质 4. (荣德原创题)完成下列各题. (1)｜15｜＝ ， ＝ 　 　； (2)｜－15｜＝ ， ＝ 　 　； 15　 　 15　 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (3)由(1)(2)可以看出： 当 a 是正有理数时，｜ a ｜ 0； 当 a 是负有理数时，｜ a ｜ 0； 当 a 为任意有理数时，｜ a ｜ 0. ＞　 ＞　 ≥　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5. [2024·济南模拟]数 a 的绝对值是 ，则 a 的值是(　D　) A. B. － C. ± D. ± 【点拨】 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反 数，因此解此类题要考虑全面，不要漏解. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 知识点3　绝对值的应用 6. [情境题 生活应用]如图，某葡萄采摘园采摘了A，B，C， D四筐葡萄，每筐葡萄以5千克为基准，超过的千克数记 为正数，不足的千克数记为负数，其中最接近标准质量的 葡萄是(　A　) A A B C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7. [2024·重庆一中模拟]一个数 a 在数轴上的对应点在原点左 边，且｜ a ｜＝4，则 a 的值为(　C　) A. 4或－4 B. 4 C. －4 D. 以上都不对 【点拨】 因为 a 在数轴上的对应点在原点左边，所以 a ＜0.又 因为｜ a ｜＝4，所以 a ＝－4. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8. 有理数中绝对值等于它本身的数是(　D　) A. 0 B. 正数 C. 负数 D. 非负数 【点拨】 有理数中绝对值等于它本身的数是正数和0，即非负 数.故选D. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9. [母题 教材P18练习T3] 如果｜ x －1｜＝2，那么 x ＝ (　C　) A. 3 B. －3 C. 3或－1 D. －1 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10. 已知 a 为有理数，则｜ a －2｜＋4的最小值为 ⁠. 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 易错点　忽略0也是绝对值等于其相反数的数而致错 11. 如果｜ x －2｜＝2－ x ，那么 x 的取值范围是(　A　) A. x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x ＞2 【点拨】 A  　本题易漏掉“0”这个特殊数　.因为当 a ＞ 0时，｜ a ｜＝ a ；当 a ＜ 0时，｜ a ｜＝－ a ；当 a ＝0时，｜ a ｜＝ a ＝－ a ，所以当 a ≤0时，｜ a ｜＝－ a .故 x － 2≤0，即 x ≤2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 　利用绝对值的定义解绝对值的应用 12. 已知下列有理数： 202，＋21，－3.8，0， ，－ ，－0.001. (1)写出上面这些数的绝对值. 【解】所求绝对值依次为202，21，3.8，0， ， ， 0.001. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)上面的数中哪个数的绝对值最大？哪个数的绝对 值最小？ 【解】202的绝对值最大，0的绝对值最小. (3)由(1)(2)探究： ①有理数中哪个数的绝对值最小？ ②所有有理数的绝对值是什么数？有负数吗？ 【解】①有理数中0的绝对值最小. ②所有有理数的绝对值是非负数，没有负数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 　利用绝对值的计算求两字母间的关系 13. 观察比较： ｜2｜＝2，｜－2｜＝2，｜3｜＝3，｜－3｜＝ 3，…，｜ x ｜＝ x ，｜－ x ｜＝ x ( x ≥0). (1)若｜ a ｜＝2，则 a ＝ ⁠； 若｜ a ｜＝0，则 a ＝ ⁠； 若｜ a ｜＝5，则 a ＝ ⁠. ±2　 0　 ±5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2) a ， b 表示任意有理数，若｜ a ｜＝｜ b ｜，则 a 与 b 之间有什么关系？ 【解】(2) a ＝± b . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 　利用绝对值求点的移动路程 14. [新考向 知识情境化]一条直线流水线上依次有5个机器 人，它们站的位置在数轴上依次用点 A1， A2， A3， A4， A5表示，如图. (1)站在点 上的机器人表示的数的绝对值最大，站 在点 和点 ，点 和点 ⁠上的 机器人表示的数的绝对值相等. 　 A1　 A2　 A5　 A3　 A4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为｜－4｜最大，所以站在点 A1上的机器人表 示的数的绝对值最大.因为｜－3｜＝｜3｜，｜－1｜ ＝｜1｜，所以站在点 A2和点 A5，点 A3和点 A4上的机 器人表示的数的绝对值相等. 【点拨】 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)怎样移动点 A3，使它先到达 A2点，再到达 A5点？请 用文字语言说明. 【解】点 A3向左移动2个单位长度到达 A2点， 再向右移动6个单位长度到达 A5点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (3)若原点是零件供应点，则5个机器人分别到达供应点 取货的总路程是多少？ 【解】｜－4｜＋｜－3｜＋｜－1｜＋｜1｜＋｜3｜＝12. 答：5个机器人分别到达供应点取货的总路程是12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 　利用数轴上用绝对值表示两点间距离的方法探 究含绝对值式子的最值 15. [新考法 特例猜想法]同学们都知道，｜5－(－2)｜表示5 与－2之差的绝对值，实际上也可理解为5与－2两数在数 轴上所对应的两点之间的距离. 试探索：(1)｜5－(－2)｜＝ ⁠. (2)探索猜想：对于任意有理数 x ，｜ x －(－6)｜＋｜ x －3｜是否有最小值？如果有，求出最小值；如果没 有，说明理由. 7　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【解】对于任意有理数 x ，｜ x －(－6)｜＋｜ x － 3｜有最小值.因为｜ x －(－6)｜表示数轴上 x 所对应 的点到－6所对应的点的距离，｜ x －3｜表示数轴上 x 所对应的点到3所对应的点的距离，所以｜ x －(－ 6)｜＋｜ x －3｜表示数轴上有理数 x 所对应的点到－ 6和3所对应的点的距离之和，所以当有理数 x 所对应 的点在－6和3所对应的点之间(包括端点)时，｜ x － (－6)｜＋｜ x －3｜有最小值，最小值为9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $$华师版 七年级上 第1章　有理数 1.5有理数的大小比较 01 认知基础练 02 素养提升练 目 录 CONTENTS 名师点金 两个有理数比较大小的“三种情况” 1. 两数同号2.两数异号：正数 大于负数.3.一数与0 知识点1　两个负数的大小比较 1. [2024·重庆]下列四个数中，最小的数是(　A　) A. －2 B. 0 C. 3 D. － A 1 2 3 4 5 6 7 8 2. [2023·宁波]在－2，－1，0，π这四个数中，最小的数是 (　A　) A. －2 B. －1 C. 0 D. π A 1 2 3 4 5 6 7 8 知识点2　比较有理数的大小 3. [2023·成都]在3，－7，0， 四个数中，最大的数是 (　A　) A. 3 B. －7 C. 0 D. A 1 2 3 4 5 6 7 8 4. [情境题·生活应用 2023 金华]某一天，哈尔滨、北京、杭 州、金华四个城市的最低气温分别是－20 ℃，－10 ℃， 0 ℃，2 ℃，其中最低气温是(　A　) A. －20 ℃ B. －10 ℃ C. 0 ℃ D. 2 ℃ A 1 2 3 4 5 6 7 8 5. [2024·无锡锡山区月考]已知数＋3.3，－2，0， ， －3.5. (1)比较这些数的大小，并用“＜”号连接； 【解】－3.5＜－2＜0＜ ＜＋3.3. 1 2 3 4 5 6 7 8 (2)求这些数的相反数，并将这些数的相反数用“＜”号 连接. 【解】＋3.3的相反数是－3.3，－2的相反数是2，0的 相反数是0， 的相反数是－ ，－3.5的相反数是3.5. 用“＜”号连接为－3.3＜－ ＜0＜2＜3.5. 1 2 3 4 5 6 7 8 易错点　对绝对值的几何意义理解不透而致错 6. [2023·徐州]如图，数轴上点 A ， B ， C ， D 分别对应 a ， b ， c ， d ，下列各式的值最小的是(　C　) A. ｜ a ｜ B. ｜ b ｜ C. ｜ c ｜ D. ｜ d ｜ 【点拨】 由数轴可得点 A 离原点距离最远，其次是点 D ，再次 是点 B ，点 C 离原点距离最近，则｜ a ｜＞｜ d ｜＞｜ b ｜＞｜ c ｜.其中值最小的是｜ c ｜. C 1 2 3 4 5 6 7 8 　利用数轴上的点的位置关系比较数的大小 7. 有理数 a ， b ， c 在数轴上的对应点如图所示. (1)在横线上填上“＞”号或“＜”号： a 0， b 0， c 0，｜ c ｜ ｜ a ｜； (2)在数轴上标出表示－ a ，－ b ，－ c 的点； ＜　 ＞　 ＜　 ＞　 【解】如图. 1 2 3 4 5 6 7 8 (3)用“＜”号将 a ，－ a ， b ，－ b ， c ，－ c ，0连 接起来. 【解】c ＜－ b ＜ a ＜0＜－ a ＜ b ＜－ c . 1 2 3 4 5 6 7 8 　利用绝对值的性质探求最值问题 8. [新考法 数形结合法]数轴上表示数 a ， b ， c 的点如图. (1)用“＜”号将 a ， b ， c 连接起来. (2) b － a 1， c － a ＋1 0.(填“＜”“＞”或 “＝”) ＜　 ＜　 【解】 c ＜ a ＜ b . 1 2 3 4 5 6 7 8 【点拨】 因为1＜ a ＜ b ＜2，所以 b － a ＜1.因为－1＜ c ＜ 0＜1＜ a ，所以 c － a ＋1＜0. 1 2 3 4 5 6 7 8 (3)化简：｜ c － b ｜－｜ c － a ＋1｜＋｜ a －1｜. 【解】由 a ， b ， c 在数轴上的位置可得 c － b ＜0， c － a ＋1＜0， a －1＞0，所以｜ c － b ｜－｜ c － a ＋ 1｜＋｜ a －1｜＝ b － c ＋ c － a ＋1＋ a －1＝ b . (4)求下列各式的最小值： ①｜ x －1｜＋｜ x －3｜；②｜ x － a ｜＋｜ x － b ｜； ③｜ x － a ｜＋｜ x － b ｜＋｜ x － c ｜. 1 2 3 4 5 6 7 8 【解】①｜ x －1｜＋｜ x －3｜的最小值为2. ②｜ x － a ｜＋｜ x － b ｜的最小值为 b － a . ③｜ x － a ｜＋｜ x － b ｜＋｜ x － c ｜的意义是数轴上 表示数 x 的点到表示数 a 、数 b 和数 c 的点的距离之 和，观察数轴可知当 x ＝ a 时，其值最小，为｜ a － b ｜＋｜ a － c ｜＝ b － c . 1 2 3 4 5 6 7 8 $$华师版 七年级上 第1章　有理数 1.6　有理数的加法 1.有理数的加法法则 01 认知基础练 02 素养提升练 目 录 CONTENTS 名师点金 提示：1.对于有理数的加法运算，首先判断其属于加法中 的何种类型，再按该类型法则计算. 2. 在求和前先确定和的符号，注意符号优先. 知识点1　同号两数加法法则 1. [2024·天津和平区月考]计算(－3)＋(－2)的结果等于 (　A　) A. －5 B. －1 C. 5 D. 1 【点拨】 先确定和的符号，再算和的绝对值. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2. 用“＞”号或“＜”号填空： (1)如果 a ＞0， b ＞0，那么 a ＋ b 0； (2)如果 a ＜0， b ＜0，那么 a ＋ b 0. 3. [母题 教材P26练习T1] 填表： 加数 加数 和的符号 和的绝对值 和 ＋7 ＋13 ＋ 20 20 －7 －13 － 20 －20 ＞　 ＜　 ＋ 20 20 － 20 －20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 知识点2　异号两数加法法则 4. 计算2＋(－3)的结果是(　C　) A. －5 B. 5 C. －1 D. 1 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5. [2023·连云港]如图，数轴上的点 A ， B 分别对应数 a ， b ，则 a ＋ b 0.(用“＞”“＜”或“＝”填空) 【点拨】 由数轴可得 a ＜0＜ b ，｜ a ｜＞｜ b ｜，根据异号两 数相加，取绝对值较大的数的符号，再用绝对值较大的数 减去较小的数即可求得答案. ＜　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6. [母题 教材P25例1] 计算： (1)(－25)＋(－35)； 【解】(－25)＋(－35)＝－(25＋35)＝－60. (2)(－12)＋(＋3)； 【解】(－12)＋(＋3)＝－(12－3)＝－9. (3)(＋8)＋(－7)； 【解】(＋8)＋(－7)＝＋(8－7)＝1. (4)0＋(－7). 【解】0＋(－7)＝－7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 知识点3　有理数加法法则的应用 7. [新考向 数学文化]我国是最早进行负数运算的国家，魏晋 时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用不同颜 色的算筹(小棍形状的记数工具)分别表示正数和负数(白色 为正，黑色为负)，如图①表示的是(－13)＋(＋23)＝10的 计算过程，则图②表示的计算过程是(　A　) A A. (＋31)＋(－43)＝－12 B. (－31)＋(＋43)＝12 C. (＋13)＋(＋34)＝47 D. (－13)＋(＋34)＝21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. [2023·温州]如图，比数轴上点 A 表示的数大3的数是 (　D　) A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 易错点　计算时考虑问题不全而漏解 9. [新考法 逆向思维法]马小哈在计算一道有理数运算｜(－ 3)＋■｜时，一不小心将墨水泼在作业本上了，其中 “■”是被墨水污染看不清的一个数，他便问同桌，同桌 故弄玄虚地说：“该题计算的结果等于6”，那么被墨水 遮住的数是(　D　) A. 3 B. －3 C. 3或－9 D. －3或9 D 【点拨】 因为｜(－3)＋■｜＝6，所以(－3)＋■＝±6，所以 ■＝－3或9.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 　利用有理数加法法则求值 10. (1)已知｜ x ｜＝6，｜ y ｜＝11，求 x ＋ y 的值； 【解】由题意，得 x ＝±6， y ＝±11. 当 x ＝6， y ＝11时， x ＋ y ＝17； 当 x ＝6， y ＝－11时， x ＋ y ＝－5； 当 x ＝－6， y ＝11时， x ＋ y ＝5； 当 x ＝－6， y ＝－11时， x ＋ y ＝－17. 综上， x ＋ y 的值为17或－5或5或－17. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)已知｜ a ｜＝ ，｜ b ｜＝ ，且 b ＜ a ，求 a ＋ b 的值. 【解】因为｜ a ｜＝ ，所以 a ＝± . 因为｜ b ｜＝ ，所以 b ＝± .因为 a ＞ b ， 所以 a ＝ ， b ＝ 或－ .所以 a ＋ b ＝ 或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 　利用有理数加法法则解实际应用题 11. [立德树人 民族精神]在某次抗洪抢险中，解放军战士的 冲锋舟沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从甲村出发， 晚上到达乙村，约定向东为正方向，当天的航行路程记 录如下(单位：km)：＋14，－10，＋8，－7，＋13，－ 6，＋12，－6. (1)请确定乙村相对于甲村的具体方位. 【解】(＋14)＋(－10)＋(＋8)＋(－7)＋(＋13)＋(－6) ＋(＋12)＋(－6)＝18(km). 答：乙村位于甲村的正东方向，距离甲村18 km. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)救灾过程中，冲锋舟离甲村最远处有多远？ 【解】｜＋14｜＝14(km)；｜14＋(－10)｜＝4(km)； ｜4＋(＋8)｜＝12(km)；｜12＋(－7)｜＝5(km)； ｜5＋(＋13)｜＝18(km)；｜18＋(－6)｜＝12(km)；｜ 12＋(＋12)｜＝24(km)；｜24＋(－6)｜＝18(km). 故救灾过程中，冲锋舟离甲村最远处为24 km. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (3)为了尽快抢救灾民，冲锋舟出发前就加满了油，而且 在救灾过程中不再加油，若冲锋舟每千米耗油0.5 升，那么该冲锋舟油箱容量至少是多少升？ 【解】｜＋14｜＋｜－10｜＋｜＋8｜＋｜－7｜＋｜ ＋13｜＋｜－6｜＋｜＋12｜＋｜－6｜＝76(km)， 76×0.5＝38(升). 答：该冲锋舟油箱容量至少是38升. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 　利用有理数加法法则解填数游戏 12. [2024·北京四中模拟]还记得小时候经常玩的填数游戏 吗？一起用有理数来试试吧！ (1)请在图①的各个圆圈内填上适当的数，使每个圆圈内 的数都等于与它相邻的2个数的和. 【解】如图①所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)如图②，在圆圈内填上恰当的数，使每条线上的3个 数之和为0. 【解】如图②所示，答案不唯一. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (3)将图②中心处的0改为－5，如图③，那么怎样填写才 能使每条线上的3个数之和为－15？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 【解】如图③所示，答案不唯一. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 　利用有理数加法法则探求字母范围 13. [新考法 从特殊到一般的思想] (1)比较大小： ①｜－2｜＋｜3｜ ｜－2＋3｜； ②｜4｜＋｜3｜ ｜4＋3｜； ③ ＋ ； ④｜－5｜＋｜0｜ ｜－5＋0｜. ＞　 ＝　 ＝　 ＝　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)通过(1)中的大小比较，猜想并归纳出｜ a ｜＋｜ b ｜ 与｜ a ＋ b ｜的大小关系，并说明当 a ， b 满足什么关 系时，｜ a ｜＋｜ b ｜＝｜ a ＋ b ｜成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (3)根据(2)中得出的结论，当｜ x ｜＋2 026＝｜ x ＋2 026｜时， x 的取值范围是 ⁠. 【解】｜ a ｜＋｜ b ｜≥｜ a ＋ b ｜. 当 ab ≥0时，｜ a ｜＋｜ b ｜＝｜ a ＋ b ｜成立. x ≥0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$华师版 七年级上 第1章　有理数 1.6　有理数的加法 2.有理数加法的运算律 01 认知基础练 02 素养提升练 目 录 CONTENTS 名师点金 1. 有理数加法的交换律：两个数相加，交换加数的位置， 和不变，其数学表达式是 a ＋ b ＝ b ＋ a . 2. 有理数加法的结合律：三个数相加，先把前两个数相 加，或者先把后两个数相加，和不变，其数学表达式是 ( a ＋ b )＋ c ＝ a ＋( b ＋ c ). 知识点1　加法的运算律 1. (荣德原创题)在下面的横线上填上适当的运算律. (1)(－21)＋15＋(＋21) ＝15＋(－21)＋(＋21) ⁠ ＝15＋[(－21)＋(＋21)] ⁠ (2)(－10.3)＋6.2＋(－2.7)＋(＋2.8) ＝(－10.3)＋(－2.7)＋6.2＋2.8 ⁠ ＝[(－10.3)＋(－2.7)]＋(6.2＋2.8)　 ⁠ 加法交换律　 加法结合律　 加法交换律　 加法结合律　 1 2 3 4 5 2. 下面的计算运用的运算律是(　C　) － ＋3.2＋ ＋7.8＝－ ＋ ＋3.2＋7.8＝－ ＋(3.2＋7.8). C A. 加法交换律 B. 加法结合律 C. 先用加法交换律，再用加法结合律 D. 先用加法结合律，再用加法交换律 1 2 3 4 5 知识点2　加法运算律的应用 3. [2024·苏州模拟]某检修小组乘一辆汽车沿东西方向的公路 检修线路，约定向东为正，某天从 A 地出发到收工时行走 记录(单位：千米)为＋15，－2，＋5，－1，＋10，－3， 则收工时，检修小组在 A 地(　A　) A. 东边24千米处 B. 西边24千米处 C. 东边14千米处 D. 以上都不对 A 1 2 3 4 5 　利用加法运算律进行计算 4. [母题 教材P28例2] 计算： (1)(－2.6)＋(－3.4)＋(＋2.3)＋1.5＋(－2.3)； 【解】原式＝[(－2.6)＋(－3.4)]＋1.5＋[(＋2.3)＋(－ 2.3)]＝－6＋1.5＋0＝－4.5. 1 2 3 4 5 (2)(－2.125)＋ ＋ ＋(－3.2). 【解】原式＝［(－2.125)＋ ］＋［ ＋ (－3.2)］＝3＋0＝3. 1 2 3 4 5 　利用拆数法求数列和 5. [新考法 类比阅读法]【阅读材料】对于 ＋ ＋17 ＋ 可以如下计算： 1 2 3 4 5 解：原式＝［(－5)＋( － )］＋［(－9)＋( － )］＋( 17 ＋ )＋ ＝[(－5)＋(－9)＋17＋(－3)]＋ ［( － )＋( － )＋ ＋( － )］＝0＋ ＝－1 . 上面这种方法叫做拆数法，依照上面的方法，请你计算： ＋ ＋4 048＋ . 1 2 3 4 5 【解】 ＋ ＋4 048＋ ＝［(－2 023)＋ ］＋［(－2 024)＋ ］＋4 048 ＋ ＝[(－2 023)＋(－2 024)＋4 048]＋［ ＋ ＋ ］ ＝1＋(－1) ＝0. 1 2 3 4 5 $$华师版 七年级上 第1章　有理数 1.7有理数的减法 01 认知基础练 02 素养提升练 目 录 CONTENTS 名师点金 　　有理数减法法则的实质是将减法转化为加法，其转化 的实质是“两变一不变”：“两变”，即“变”减号为加 号，将减数“变”为它的相反数；“一不变”，即被减数 不变. 知识点1　有理数的减法法则 1. [母题 教材P32练习T1] 在下列括号内填上适当的数. (1)(－8)－(－3)＝(－8)＋(　3　)＝(　－5　)； (2)(－3)－4＝(－3)＋(　－4　)＝(　－7　)； (3)0－(－7.5)＝0＋(　7.5　)＝(　7.5　). 2. [2023·临沂]计算(－7)－(－5)的结果是(　C　) A. －12 B. 12 C. －2 D. 2 3 －5 －4 －7 7.5 7.5 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3. [2023·陕西]计算：3－5＝(　B　) A. 2 B. －2 C. 8 D. －8 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识点2　有理数减法的应用 4. 比0小1的数是(　B　) A. 0 B. －1 C. 1 D. ±1 【点拨】 0－1＝0＋(－1)＝－1. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5. [2023·潍坊]有理数 a ， b ， c 在数轴上对应的点如图所 示，下列判断正确的是(　C　) A. － c ＜ b B. a ＞－ c C. ｜ a － b ｜＝ b － a D. ｜ c － a ｜＝ a － c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 由数轴可得， a ＜ b ＜0＜ c ，｜ c ｜＜｜ b ｜＜｜ a ｜， 所以－ c ＞ b ，故选项A错误，不符合题意； a ＜－ c ，故选项B错误，不符合题意； ｜ a － b ｜＝ b － a ，故选项C正确，符合题意； ｜ c － a ｜＝ c － a ，故选项D错误，不符合题意； 故选C. 【点拨】 【答案】C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6. [新趋势·跨学科 2024 济宁城区期末]仔细观察资料卡中的 信息，可以发现水银的凝固点比酒精的凝固点高(　B　) A. 156.17 ℃ B. 78.43 ℃ C. 279 ℃ D. 435 ℃ B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 易错点　将减法转化为加法时，因忽略符号而致错 7. [2024·衡水模拟]与－3 相等的是(　A　) A. －3－ B. 3－ C. －3＋ D. 3＋ A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 　利用有理数的减法解数轴的相关问题 8. 已知有理数 a ， b ， c 在数轴上对应点的位置如图. (1)判断下列各式的符号： a － b ， b － c ， c － a ； 【解】 a － b ＜0， b － c ＜0， c － a ＞0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 【解】由数轴及题意可得 a ＝－2， b ＝－ ， c ＝1， 所以 c － b ＝1－ ＝ ， b － a ＝ －(－2)＝ .所以 c － b ＝ b － a . (2)若｜ a ｜＝2，｜ b ｜＝ ，｜ c ｜＝1，试比较 c － b 与 b － a 的大小关系. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 　利用有理数的加减法的意义解实际问题 9. [新考法 建立数学模型法]李老师进行家访，从学校出发， 先向西开车行驶4 km到达 A 同学家，继续向西行驶7 km 到达 B 同学家，然后又向东行驶15 km到达 C 同学家，最 后回到学校. (1)以学校为原点，以向东为正方向，用1个单位长度表示 1 km，画出数轴，并在数轴上表示出 A ， B ， C 三名 同学的家的位置. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 【解】如答图. (2) A 同学家离 C 同学家有多远？ 【解】4－(－4)＝8(km). 答： A 同学家离 C 同学家有8 km远. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (3)李老师一共行驶了多少千米？ 【解】4＋7＋15＋4＝30(km). 答：李老师一共行驶了30 km. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 $$华师版 七年级上 第1章　有理数 1.8　有理数的加减混合运算 01 认知基础练 02 素养提升练 目 录 CONTENTS 名师点金 有理数加减混合运算的方法： 1. 用减法法则将减法转化为加法.2.写成省略括号和加号的 和的形式.3.进行有理数的加法运算. 说明：运用运算律能使运算更加简便.一般情况下，常采 用同类结合法、凑整法、为零相消法等. 知识点1　将有理数的加减运算统一成加法运算 1. 将式子3－10－7写成和的形式，正确的是(　D　) A. 3＋10＋7 B. －3＋(－10)＋(－7) C. 3－(＋10)－(＋7) D. 3＋(－10)＋(－7) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. 把6－(＋3)－(－7)＋(－2)统一成加法运算，下列变形正确 的是(　C　) A. －6＋(－3)＋(－7)＋(－2) B. 6＋(－3)＋(－7)＋(－2) C. 6＋(－3)＋(＋7)＋(－2) D. 6＋(＋3)＋(－7)＋(－2) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3. [2024·北大附中月考]下列式子可读作“负1、负3、正6、 负8的和”的是(　B　) A. －1＋(－3)＋(＋6)－(－8) B. －1－3＋6－8 C. －1－(－3)－(－6)－(－8) D. －1－(－3)－6－(－8) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. [母题 教材P34例1] 将－3－(＋6)－(－5)＋(－2)写成省略 括号和加号的和的形式，正确的是(　D　) A. －3＋6－5－2 B. －3－6＋5＋2 C. －3－6－5－2 D. －3－6＋5－2 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 知识点2　加法运算律在加减混合运算中的应用 5. 下列各式的结果等于3的是(　C　) A. (－2)－(－9)＋(＋3)－(－1) B. 0－1＋2－3＋4－5 C. 4.5－2.3＋2.5－3.7＋2 D. －2－(－7)＋(－6)＋0＋(＋3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (－2)－(－9)＋(＋3)－(－1)＝－2＋9＋3＋1＝11，故 A选项不符合题意；0－1＋2－3＋4－5＝2＋4－1－3－5 ＝－3，故B选项不符合题意；4.5－2.3＋2.5－3.7＋2＝ 4.5＋2.5＋2－(3.7＋2.3)＝9－6＝3，故C选项符合题 意；－2－(－7)＋(－6)＋0＋(＋3)＝－2＋7－6＋3＝2，故 D选项不符合题意. 【点拨】 【答案】C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. [情境题 游戏活动型]小红和小明拿到的卡片如图所示，规 定：正方形表示加，圆形表示减，运算结果小的获胜.已 知小红和小明的起始数均为0，则下列说法正确的是 (　B　) A. 小红获胜 B. 小明获胜 C. 不分胜负 D. 无法确定 B 【点拨】 小红：0－4.5＋3.2－1.1＋1.4＝－1；小明：0－8＋ 2－(－6)＋(－7)＝－7.－7＜－1，所以小明获胜. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. [新考法 过程辨析法]阅读下列计算过程，并回答问题. 　－ ＋3.2－ ＋7.8 ＝ ＋(3.2＋7.8)(第一步) ＝－ ＋(3.2＋7.8)(第二步) ＝－1＋11(第三步) ＝10.(第四步) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)写出计算过程中所用到的运算律，并指出是哪一步； 【解】计算过程中用到了加法交换律和结合律，在第 一步运用. (2)写出第二步的加法运算法则. 【解】第二步的加法运算法则是同号两数相加取相同 的符号，并把绝对值相加. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. 计算：14－(－12)＋(－25)－17. 【解】14－(－12)＋(－25)－17 ＝14＋12＋(－25)＋(－17) ＝(14＋12)＋[(－25)＋(－17)] ＝26＋(－42) ＝－16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 易错点　运算符号和性质符号混淆致错 9. 已知 a ＝－4， b ＝－5， c ＝－7，求式子 a － b － c 的值. 【解】当 a ＝－4， b ＝－5， c ＝－7时， a － b － c ＝(－4)－(－5)－(－7)＝－4＋5＋7＝8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　利用加法的运算律进行加减混合计算(凑整法) 10. 阅读下面的解题过程并解答问题： 计算：53.27－(－18)＋(－21)＋46.73－15＋21. 解：原式＝53.27＋18－21＋46.73－15＋21(第一步) ＝(53.27＋46.73)＋(－21＋21)＋(18－15)(第二步) ＝100＋0＋3(第三步) ＝103(第四步). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 计算过程中，第一步把原式化成 ⁠的 形式；第二步是根据 得到的，目的 是 ⁠. 请你根据以上解题技巧进行计算： －21 ＋ － － . 省略括号和加号的和　 加法交换律和结合律　 使计算简化　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 【解】原式＝－21 ＋3 ＋ － ＝－21－ ＋3＋ ＋ － ＝(－21＋3)＋( － ＋ )＋( － ) ＝－18. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　利用有理数加减法的规律求式子的值(阅读类 比法) 11. 已知 － ＝ ，得到 ＝ ＋ ； 已知 － ＝ ，得到 ＝ ＋ ； 已知 － ＝ ，得到 ＝ ＋ . (1)按照上面的规律填空： ＝ ＋ ， ＝ ＋ ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)已知 a ， b ， c 都是质数( a ＜ b ＜ c )，且 ＋ ＋ ＝1 ，求 a ＋ b ＋ c 的值. 【解】由题意，得 a ， b ， c 的值分别是2，3，5. 所以 a ＋ b ＋ c ＝2＋3＋5＝10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　利用有理数的加减法解决实际问题 12. [立德树人 节约资源]某校举办了“废纸回收，变废为 宝”活动，各班收集的废纸均以5 kg为标准，超过的记 为“＋”，不足的记为“－”，七年级六个班级的废纸 收集情况如表所示，统计员小虎不小心将一个数据弄脏 看不清了，但他记得三班收集废纸最少，且收集废纸最 多和最少的班级的质量差为4 kg. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 班级 一 二 三 四 五 六 与标准质量 的差值( kg ) ＋1 ＋2 －1.5 0 －1 (1)请你计算七年级六班收集废纸的质量； 【解】由题意，得六班收集废纸的质量最多，超过标 准质量4－1.5＝2.5(kg).所以七年级六班收集废纸的 质量为5＋2.5＝7.5(kg). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)若本次活动收集废纸质量排名前三的班级可获得 荣誉称号，请计算获得荣誉称号的班级收集废纸的 总质量； 【解】由(1)得六班收集废纸的质量最大，为7.5 kg， 结合表中数据可得本次活动收集废纸质量排名前三的 班级为六班、二班、一班，所以获得荣誉称号的班级 收集废纸的总质量为(5＋1)＋(5＋2)＋7.5＝20.5(kg). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 【解】卖出的废纸的总质量为(5＋1)＋(5＋2)＋(5－ 1.5)＋5＋(5－1)＋7.5＝6＋7＋3.5＋5＋4＋7.5＝ 33(kg). 所以废纸卖出的总价格为30×2＋(33－30)×2.5＝ 67.5(元). (3)若七年级六个班级将本次活动收集的废纸集中卖出， 30 kg(包括30 kg)以内的2元/千克，超出30 kg的部分 2.5元/千克，求废纸卖出的总价格. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$华师版 七年级上 第1章　有理数 1.8　有理数的加减混合运算 测素养　有理数的加减 一、选择题(每题4分，共32分) 1. 下列运算中，正确的有(　D　) ①(－5)＋5＝0；②(－10)＋(＋7)＝－3； ③0＋(－4)＝－4；④(－3)＋2＝－1； ⑤(－1)＋(＋2)＝－1. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2. 计算 ＋ ＋ ＋ 时，下列所运用的运算 律恰当的是(　A　) A A. ＋ B. ＋ C. ＋ ＋ D. 以上都不对 【点拨】 观察发现，－ 与 ，－ 与＋ 的最简公分母均为 其中一个分数的分母，分别结合计算较为简单. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 3. [母题·教材P32例 2023 绍兴]计算2－3的结果是(　A　) A. －1 B. －3 C. 1 D. 3 4. 若｜ a －1｜＋｜ b ＋3｜＝0，则 a ＋ b 等于(　B　) A. －4 B. －2 C. 2 D. 4 A B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 5. [2024·北京四中模拟]有理数 a ， b 在数轴上的对应点的位 置如图所示，下列结论中正确的是(　B　) A. a ＞－2 B. ｜ a ｜＞ b C. a ＋ b ＞0 D. b － a ＜0 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 6. 数轴上表示数 m 和 m ＋2的点到原点的距离相等，则 m 为 (　D　) A. －2 B. 2 C. 1 D. －1 【点拨】 由题意得， m 与 m ＋2互为相反数，则 m ＋ m ＋2＝ 0，所以 m ＝－1. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 7. [新考法 规律探究法]计算：1＋(－2)＋3＋(－4)＋5＋(－6) ＋…＋19＋(－20)等于(　B　) A. 10 B. －10 C. 20 D. －20 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 8. [2024·重庆八中月考]如图，将部分偶数依顺序排列成三角 形数阵，从上到下称为行，图中数6为第2行、从左向右第 2个数；数－24为第4行、从左向右第3个数，那么第11 行、从左向右第5个数为(　A　) A. 210 B. 230 C. －210 D. －230 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 【点拨】 由题图可知：第一行有1个数，第二行有3个数，第三 行有5个数，所以前10行共有1＋3＋5＋…＋19＝100(个) 数.这些数按绝对值从小到大为2开始的偶数，所以第11 行、从左向右第5个数的绝对值为2×(100＋5)＝210.因为 这些数按绝对值从小到大依次为正数，负数，正数，负 数，…， 所以第11行，从左向右第5个数为正数，即为210.故选A. 【答案】A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 二、填空题(每题4分，共24分) 9. [2023·滨州]计算2－｜－3｜的结果为 ⁠. 10. 绝对值大于1而小于7的所有整数的和是 ⁠. 11. 在－1，0，－｜－2｜，5，－(＋4)这5个数中任意取2个 数相减，所得的差中最大值是 ⁠. －1　 0　 9　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 12. [真实情境题 航空航天]2024年5月3日，嫦娥六号探测器 由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发 射，准确进入地月转移轨道，嫦娥六号探测器开启世界 首次月球背面采样返回之旅.月球表面的温度，中午大约 是101 ℃，半夜大约是－153 ℃，中午比半夜高 ⁠ ℃. 254　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 13. 将一根12 cm长的木棒和一根9 cm长的木棒捆在一起，长 度为17 cm，则两根木棒的捆绑长度(重叠部分的长度) 为 cm. 14. [新考向 数学文化]我国的《洛书》中记载着世界上最古 老的一个幻方：将1～9这九个数字填入3×3的方格内， 使三行、三列、两对角线上的三个数字之和都相等.如图 所示的幻方中，字母 m 所表示的数字是 ⁠. 4　 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 三、解答题(共44分) 15. (10分)[母题 教材P36练习T2] 计算： (1)12－(－5)＋(－6)－(－10)； 【解】原式＝12＋5－6＋10＝21. (2)－[1.4－(－3.6＋5.2)－4.3]－(－1.5). 【解】原式＝－(1.4－1.6－4.3)＋1.5＝4.5＋ 1.5＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 16. (12分)用简便方法计算： (1) ＋ ＋ ＋ ＋ ； 【解】原式＝［ ＋ ］＋［ ＋ ］＋ ＝0＋(－1)＋ ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 (2)3.587－(－5)＋ ＋(＋7)－( ＋3 )－(＋1.587). 【解】原式＝3.587＋5＋ ＋7＋ ＋(－ 1.587)＝[3.587＋(－1.587)]＋(5＋7)＋［( －5 )＋ ］＝2＋12＋ ＝5 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 17. (10分)数轴是体现数形结合思想的一个有力工具，可使 一些复杂问题变得容易解决.已知在数轴上，点 A ， B 分 别表示有理数 a ， b . a 4 －4 －4 －4 b 2 0 4 －2 A ， B 两点的距离 2 4 8 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 (1)利用有理数的减法，分别计算以上表格中点 A ， B 之 间的距离，并填在对应的空格内； a 4 －4 －4 －4 b 2 0 4 －2 A ， B 两点的距离 2 4 8 2 2 4 8 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 (2)请用数学式子表示出 A ， B 两点间的距离 d 与数 a ， b 之间的关系； 【解】由题意得 d ＝｜ a － b ｜. (3)请利用数轴和(2)中的结论解决下列问题：求所有到表 示数4和－6的距离之和为10的整数的和. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 【解】因为数轴上4到－6的距离为｜4－(－6)｜＝ 10， 所以所有到表示数4和－6的距离之和为10的数的取值 范围为－6～4，包括－6和4. 所以满足条件的整数有－6，－5，－4，－3，－2， －1，0，1， 2，3，4.所以它们的和为－6－5－4－3 －2－1＋0＋1＋2＋3＋4＝－11. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 18. (12分)[2024·咸阳阶段练习]近几年，全球的新能源汽车 发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大 幅度增加.小明家新换了一辆新能源汽车，他连续7天记 录了每天行驶的路程(如表，以40 km为标准，多于40 km的记为“＋”，不足40 km的记为“－”). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 第一 天 第二 天 第三 天 第四 天 第五 天 第六 天 第七 天 与标准路程 的差值(km) －6 －5 ＋8 ＋2 －5 ＋11 ＋15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 (1)请求出小明家的新能源汽车这7天一共行驶了多少 千米？ 【解】40×7＋(－6)＋(－5)＋(＋8)＋(＋2)＋(－5)＋ (＋11)＋(＋15)＝300(km). 答：小明家的新能源汽车这7天一共行驶了300 km. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 (2)已知汽油车每行驶100 km需用汽油5.5升，汽油价为 8.2元/升，而新能源汽车每行驶100 km耗电量为15 度，每度电0.56元，小明家换成新能源汽车后这7天 的行驶费用比汽油车节省多少钱？ 【解】300÷100×5.5×8.2＝135.3(元)， 300÷100×15×0.56＝25.2(元)， 135.3－25.2＝110.1(元). 答：小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省110.1元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 $$华师版 七年级上 第1章　有理数 1.8　有理数的加减混合运算 练素养　加法运算律的七种应用技巧 名师点金 1. 利用加法的运算律简化运算，应把握四个“结合”与两 个“方法”.四个“结合”：①同号结合；②同形结合； ③相反数结合；④凑整结合.两个“方法”：①分解法； ②裂项法. 2. “结合”时，要连同符号一起移动. 技巧1　同号结合法 1. 计算：0.36＋(－7.4)＋0.5＋(－0.6)＋0.14. 【解】原式＝(0.36＋0.14＋0.5)＋[(－7.4)＋(－0.6)] ＝1＋(－8) ＝－7. 1 2 3 4 5 6 7 技巧2　同形结合法 2. 计算： ＋3 ＋ ＋2 ＋ ＋1 . 1 2 3 4 5 6 7 【解】原式＝［( －2 )＋( －3 )］＋( 3 ＋2 )＋( －1 ＋1 ) ＝(－6)＋6＋ ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 技巧3　相反数结合法 3. 计算： ＋ ＋6＋ ＋ ＋(－6). 1 2 3 4 5 6 7 【解】原式＝［ ＋ ＋ ］＋[6＋(－6)]＋ ( － ) ＝0＋0＋ ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 技巧4　凑整结合法 4. 计算：－4 － －2 ＋1 . 【解】原式＝( －4 －2 )＋( 3 ＋1 ) ＝－7＋5 ＝－2. 1 2 3 4 5 6 7 技巧5　拆数分解法 5. 计算：－3 ＋2 ＋ . 【解】原式＝(－3)＋ ＋2＋ ＋(－5)＋ ＝[(－3)＋2＋(－5)]＋［( － )＋ ＋( － )］ ＝－6＋0 ＝－6. 1 2 3 4 5 6 7 技巧6　裂项相消法 6. [新考法 阅读类比法]观察下列等式： ＝1－ ， ＝ － ， ＝ － . 计算： ＋ ＋ ＝1－ ＋ － ＋ － ＝1－ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 请按照上述方法计算： ＋ ＋ ＋…＋ . 【解】原式＝1－ ＋ － ＋ － ＋…＋ － ＝1－ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 技巧7　数形结合法 7. [新考法学科内综合] (1)如图①，把一个面积为1的正方形 等分成两个面积为 的长方形，接着又把其中一个面积为 的长方形等分成两个面积为 的正方形；再把其中一个 面积为 的正方形等分成两个面积为 的长方形.如此进行 下去，请根据图形规律计算： ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ⁠； 　 1 2 3 4 5 6 7 【点拨】 由题图可得 ＋ ＋ ＋ ＋ ＝1－ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 (2)请你利用图②，再设计一个能求 ＋ ＋ ＋ ＋ 的 值的几何图形； 【解】如答图所示. 1 2 3 4 5 6 7 (3)利用上述方法计算 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ 的值. 【解】如答图，一个边长 为1的正方形纸片，图形 ①的面积是正方形纸片面 积的 ，图形②的面积是 图形①面积的2倍的 ， 1 2 3 4 5 6 7 即 ×2× ＝ ，图形③的面积是图形②面积的2倍的 ，即 ×2× ＝ ，图形④的面积是图形③面积的2倍的 ，即 ×2× ＝ ，图形⑤的面积是图形④面积的2倍的 ，即 ×2× ＝ ，图形⑥的面积是图形⑤面积的2倍的 ，即 ×2× ＝ ，图形⑦的面积是图形⑥面积的2倍，即2× ＝ ，所以 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ 等于图形①②③ ④⑤⑥的面积之和，所以 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝1－ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 $$华师版 七年级上 第1章　有理数 1.9　有理数的乘法 1.有理数的乘法法则 01 认知基础练 02 素养提升练 目 录 CONTENTS 名师点金 1. 有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负， 并把绝对值相乘；任何数与0相乘，都得0. 2. 有理数乘法的运算步骤：(1)确定积的符号；(2)确定积的 绝对值. 知识点1　有理数的乘法法则 1. [宋德原创题]填空. (1)(－2)×(－3) 　＝ ( × ⁠) 　＝ ⁠. 　两数相乘，同号得 ，并把它们的 ⁠ 相乘. ＋　 2　 3　 6　 正　 绝对值　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)(－3)× 　＝ ( × ⁠) 　＝－ . 　两数相乘，异号得 ，并把它们的 ⁠ 相乘. －　 3　 　 负　 绝对值　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2. [母题·教材P41例1 2023 天津]计算 ×(－2)的结果等 于(　D　) A. － B. －1 C. D. 1 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 知识点2　有理数乘法法则的运用 3. [母题 教材P42练习T4] 下列说法中，错误的是(　C　) A. 一个数同1相乘，仍得这个数 B. 一个数同－1相乘，得原数的相反数 C. 互为相反数的两数的积为1 D. 一个数同0相乘，得0 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4. 已知两个有理数 a ， b ，如果 ab ＜0且 a ＋ b ＞0，那么 (　D　) A. a ＞0， b ＞0 B. a ＜0， b ＜0 C. a ， b 同号 D. a ， b 异号，且正数的绝对值较大 【点拨】 因为 ab ＜0，所以 a ， b 异号.又因为 a ＋ b ＞0，所以 正数的绝对值较大. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5. [新考法·数形结合法 2023 杭州]已知数轴上的点 A ， B 分 别表示数 a ， b ，其中－1＜ a ＜0，0＜ b ＜1.若 ab ＝ c ， 数 c 在数轴上用点 C 表示，则点 A ， B ， C 在数轴上的位 置可能是(　B　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6. [2023·济南]有理数 a ， b 在数轴上对应点的位置如图所 示，则下列结论正确的是(　D　) A. ab ＞0 B. a ＋ b ＞0 C. a ＋3＜ b ＋3 D. －3 a ＜－3 b 【点拨】 从题图中得出 a ＝2，－3＜ b ＜－2. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7. 在有理数2，3，－4，－5，6中，任取两个数相乘，所得 积的最大值是(　B　) A. 24 B. 20 C. 18 D. 30 【点拨】 在2，3，－4，－5，6这五个数中，任取两个数相 乘，所得积的最大值为(－4)×(－5)＝20.故选B. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8. [2024·滨州期中]按如图程序计算，如果输入的数是－2， 那么输出的数是 ⁠. －162　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9. 计算：(－2)×0＋5. 【解】(－2)×0＋5 ＝0＋5 ＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 易错点　因考虑问题不全面而出错 10. [新考法 分类讨论法]若｜ a ｜＝3，｜ b ｜＝4，且 a ＋ b ＜0，则 ab ＝ ⁠. ±12　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 　利用有理数的乘法法则进行乘法计算 11. (1) [新考法 过程辨析法]在计算( －9 )×( －8 )时，小 明是这样做的： 原式＝9 ×8 (第一步) ＝3×8(第二步) ＝24.(第三步) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 他的计算对吗？如果不对，是从哪一步开始出错的？请 写出正确的解题过程. 【解】不对，是从第二步开始出错的. 原式＝9 ×8 ＝ × ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2) × ＋ × . 【解】 × ＋ × ＝ × ＋ × ＝－1－ ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 　利用有理数乘法解实际应用 12. [情境题·数字迷宫 2023 温州龙港期中]一座有两道环路的 数字迷宫如图所示，外环两个路口的数字分别为－5， 4，内环两个路口的数字分别为－3，2.要想进入迷宫中 心需破解密码：两个路口的数相乘，若乘积最大，沿这 两个路口就可到达迷宫中心，则乘积最大的值是 ⁠. 15　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13. [新趋势·跨学科 2024 佛山阶段练习]一振子从点 A 开始左 右来回振动8次，规定向右为正，向左为负，这8次振动 的记录如下(单位：mm)：＋10，－9，＋8，－6，＋ 7.5，－6，＋8，－7. (1)求该振子停止时所在的位置在 A 点的哪侧？距 A 点多远？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【解】(＋10)＋(－9)＋(＋8)＋(－6)＋(＋7.5)＋(－6) ＋(＋8)＋(－7)＝＋5.5(mm)， 所以该振子停止时所在的位置在 A 点的右侧，距 A 点 5.5 mm远. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)如果振子振动1 mm用时0.02 s，那么完成8次振动共 需多少秒？ 【解】｜＋10｜＋｜－9｜＋｜＋8｜＋｜－6｜＋｜ ＋7.5｜＋｜－6｜＋｜＋8｜＋｜－7｜＝61.5(mm)， 0.02×61.5＝1.23(s)， 即完成8次振动共需1.23 s. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 　利用有理数的乘法法则探究与加法结合的计算 应用 14. [新考法 分类讨论法]【阅读】我们学习了有理数的加法 法则与有理数的乘法法则.在学习此内容时，掌握了法 则，同时也学会了分类思考. 【探索】 (1)若 ab ＝6，则 a ＋ b 的值为 .(填序号) ①正数；②负数；③0. ①②　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (3)数轴上 A ， B 两点分别表示有理数 a ， b ，若 ab ＜0， 试比较 a ＋ b 与0的大小. (2)若 a ＋ b ＝－5，且 a ， b 为整数，则 ab 的最大值 为 ⁠. 6　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【解】(3)因为 ab ＜0，所以 a ， b 异号. 当 a ＞0， b ＜0时， 若｜ a ｜＞｜ b ｜，则 a ＋ b ＞0； 若｜ a ｜＝｜ b ｜，则 a ＋ b ＝0； 若｜ a ｜＜｜ b ｜，则 a ＋ b ＜0. 当 a ＜0， b ＞0时， 若｜ a ｜＞｜ b ｜，则 a ＋ b ＜0； 若｜ a ｜＝｜ b ｜，则 a ＋ b ＝0； 若｜ a ｜＜｜ b ｜，则 a ＋ b ＞0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$华师版 七年级上 第1章　有理数 1.9　有理数的乘法 2.有理数乘法的运算律　 第1课时　多个有理数的乘法 01 认知基础练 02 素养提升练 目 录 CONTENTS 名师点金 　　几个因数相乘，首先观察算式中有无因数为0，若有因 数为0，则积为0；若全是非0因数，则先根据负因数的个数 确定积的符号，再把绝对值相乘. 知识点1　有理数乘法的交换律和结合律 1. 在算式1.25× ×(－8)＝1.25×(－8)× 的变形 中，运用了(　A　) A. 乘法交换律 B. 乘法交换律和结合律 C. 乘法结合律 D. 加法交换律 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2. 下面的计算没有运用乘法结合律的是(　D　) A. 2×(－5×23)＝[2×(－5)]×23 B. (－4)×35×(－25)＝[(－4)×(－25)]×35 C. －56×125＝－7×(8×125) D. 57×99＝57×(100－1) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3. [新考向 知识情境化]小阳在做一道计算题：－ × ×■ 时，不小心将一滴墨水滴在了本子上，盖住了其中一个数 字，导致他无法计算，在求助老师时，老师告诉他：“被 盖住的数字是4，7，10，11其中的一个，并且这道题直接 用乘法结合律来计算会非常简便.”则被盖住的数字可能 是 ⁠. 7　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识点2　多个有理数相乘 4. 下列算式中，积为负数的是(　D　) A. 0×(－3) B. 2×(－3)×4×(－5) C. (－3)×(－5) D. (－2)×(－3)×4×(－5) 【点拨】 D A选项，0×(－3)＝0，结果为0，不符合题意；B 选项，2×(－3)×4×(－5)＝120，结果为正，不符合 题意；C选项，(－3)×(－5)＝15，结果为正，不符合 题意；D选项，(－2)×(－3)×4×(－5)＝－120，结 果为负，符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5. 四个有理数相乘，积的符号是负号，则这四个有理数中， 正数有 (　A　) A. 1个或3个 B. 1个或2个 C. 2个或4个 D. 3个或4个 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6. 计算 × × 的结果为(　D　) A. B. C. D. 【点拨】 先判断符号，再将带分数化为假分数进行乘法计算. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7. [2024·苏州阶段练习]小明同学有五张写着不同数字的卡 片：＋4，＋1，0，＋5，－2，他从中任取三张卡片，计 算卡片上数字的乘积，其中最小的乘积是 ⁠. －40　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 易错点　几个有理数相乘时忽视符号法则而致错 8. 计算：(－12.5)× ×(－4). 【解】(－12.5)× ×(－4) ＝－12.5×4× ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 　利用有理数的乘法运算律求值 9. [新考法·类比法 2023 重庆一中模拟]阅读材料，回答下列 问题： × ＝ × ＝1； × × × ＝ × × × ＝ × ＝1×1＝1. 根据以上信息，请求出下式的结果： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 × × ×…× × × × ×…× . 【解】原式＝ × × ×…× × × × ×…× ＝ ( × )× ×( × )×…× ＝ 1×1×1×…×1＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 $$华师版 七年级上 第1章　有理数 1.9　有理数的乘法 2.有理数乘法的运算律　 第2课时　有理数乘法的分配律 01 认知基础练 02 素养提升练 目 录 CONTENTS 名师点金 运用乘法运算律的四点注意事项： 1. 运用乘法交换律时，交换因数的位置要连同符号一 起交换. 2. 运用分配律时，要用括号外的数乘括号内的每一个 数，不能有遗漏. 3. 逆用：可以逆用运算律. 4. 推广：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数 的位置，或者先把其中的几个因数相乘. 知识点1　有理数乘法的分配律 1. 计算：－ ×(10－0.05)＝－8＋0.04，这个运算应用了 (　D　) A. 加法结合律 B. 乘法结合律 C. 乘法交换律 D. 分配律 D 1 2 3 4 5 6 7 2. 算式－25×14－39×(－14)＝(－25＋39)×14逆用了 (　D　) A. 加法交换律 B. 乘法交换律 C. 乘法结合律 D. 分配律 D 1 2 3 4 5 6 7 3. 计算71 ×(－8)，最简单的方法是(　C　) A. ×(－8) B. － ×8 C. ×(－8) D. 71 ×(－10＋2) C 1 2 3 4 5 6 7 知识点2　有理数乘法的运算律 4. 在算式(－0.125)×15×(－8)× ＝[(－0.125)×(－ 8)]× 中，没有用到的运算律是(　C　) A. 乘法交换律 B. 乘法结合律 C. 分配律 D. 乘法交换律和乘法结合律 【点拨】 用到了乘法交换律和乘法结合律. C 1 2 3 4 5 6 7 5. 下列变形不正确的是(　C　) A. 5×(－6)＝(－6)×5 B. ×(－12)＝(－12)× C. ×(－4)＝(－4)× ＋ ×4 D. (－25)×(－16)×(－4)＝[(－25)×(－4)]×(－16) C 1 2 3 4 5 6 7 易错点　用分配律时易漏乘或弄错符号 6. 用分配律计算(－3)× ，正确的是(　A　) A. (－3)×4＋(－3)× ＋(－3)×1 B. (－3)×4＋(－3)× C. (－3)×(－4)－(－3)× ＋(－3)×1 D. (－3)×4＋3× ＋(－3)×1 A 【点拨】 不要漏乘括号内的1. 1 2 3 4 5 6 7 　利用有理数的乘法运算律进行巧算 7. 如图，请你参考老师的讲解，用运算律简便计算： (1)999×(－15)； 【解】原式＝(1 000－1)×(－15) ＝－15 000＋15 ＝－14 985. 1 2 3 4 5 6 7 (2)999×118 ＋999× －999×18 . 【解】原式＝999×［118 ＋( － )－18 ］ ＝999×100 ＝99 900. 1 2 3 4 5 6 7 $$华师版 七年级上 第1章　有理数 全章热门考点整合应用 名师点金 　　本章主要学习了有理数的定义及其相关概念，有理数 的运算，科学记数法与近似数等.本章内容是中考考查的基 础知识之一，命题形式多以选择题和简单的计算题为主， 注重对基础知识和基本技能的考查，其热门考点可概括 为：八个概念、一种运算、六种运算技巧、三种思想. 　八个概念 概念1　正数和负数 1. [新视角 规律探索题]已知一列数：－1， ，－ ， ，－ ， ，－ ，…. (1)请按这列数的特点写出第11个数. 【解】第11个数为－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 (2)－ 是这列数中的某个数吗？简要说明理由. 【解】－ 不是这列数中的某个数，因为在这列数 中，分母是偶数的数前面的符号为“＋”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 概念2　有理数 2. [2024·北京四中月考]下列7个数：－ ，1.010 010 001， ，0，－π，－3.262 662 666 2…(每两个2之间依次多一 个6)，0.2，其中有理数有(　C　) A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【点拨】 根据有理数的定义可知，其中－ ，1.010 010 001， ，0，0.2是有理数，共5个，故选C. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 概念3　数轴 3. [新考向 知识情境化]如图， A ， B 分别为数轴上的两个 点，点 A 表示的数为－10，点 B 表示的数为90. (1)请写出到 A ， B 两点距离相等的点 M 对应的数. 【解】点 M 对应的数为40. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 点 A 在原点左侧，距离原点10个单位长度，点 B 在原点右侧，距离原点90个单位长度，故 A ， B 两点 之间的距离为90＋10＝100(个)单位长度，100÷2＝ 50(个).由题图可知，到 A ， B 两点距离都等于50个单 位长度的点 M 对应的数为40. 【点拨】 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 (2)电子蚂蚁 P 从点 B 出发，以每秒3个单位长度的速度向 左运动，同时另一只电子蚂蚁 Q 从点 A 出发，以每秒2 个单位长度的速度向右运动，经过多长时间这两只电 子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度？ 【解】相遇前，两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度时，(100－35)÷(2＋3)＝13(秒)；相遇后，两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度时，(35＋100)÷(2＋3)＝27(秒)，即经过13秒或27秒这两只电子蚂蚁在 数轴上相距35个单位长度. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 概念4　相反数 4. 如图，点 A ， B 表示的数互为相反数，则点 B 表示的数是 (　A　) A. 2 B. －2 C. D. － A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 概念5　绝对值 5. 已知 a ， b 分别是两个不同的点 A ， B 所表示的有理 数，且｜ a ｜＝5，｜ b ｜＝2，它们在数轴上的位置 如图所示. (1)试确定数 a ， b . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 【解】因为｜ a ｜＝5，｜ b ｜＝2， 所以 a ＝±5， b ＝±2. 由数轴可知 a ＜ b ＜0， 所以 a ＝－5， b ＝－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 (2)表示 a ， b 两数的点相距多远？ 【解】－2－(－5)＝3，所以表示 a ， b 两数的点相距3个单位长度. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 (3)若 C 点在数轴上，且 C 点到 B 点的距离是 C 点到 A 点距 离的 ，请直接写出 C 点表示的数. 【解】 C 点表示的数为－0.5或－2.75. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 概念6　倒数 6. [2024·重庆八中月考]已知 a ， b 互为相反数， c ， d 互为倒数， m 是绝对值最小的负整数，数轴上数 n 表 示的点到原点的距离为2.5个单位长度，求3 m ＋ － n ＋ cd 的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 【解】由题意，得 a ＋ b ＝0， cd ＝1， m ＝－1， n ＝2.5 或 n ＝－2.5.当 n ＝2.5时，3 m ＋ － n ＋ cd ＝3×(－ 1)＋ －2.5＋1＝－4.5； 当 n ＝－2.5时，3 m ＋ － n ＋ cd ＝3×(－1)＋ －(－ 2.5)＋1＝0.5. 综上，3 m ＋ － n ＋ cd 的值为－4.5或0.5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 概念7　科学记数法 7. [真实情境题 航空航天]神舟十八号载人飞船与长征二号F 遥十八运载火箭组合体于2024年4月25日20时58分57秒在 酒泉卫星发射中心发射.长征二号F(CZ－2F)是捆绑四个 助推器的两级运载火箭，起飞质量为480 t，将480 t用科 学记数法可表示为 kg. 4.8×105　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 概念8近似数 8. [新趋势·跨学科 2024 苏州吴中区期末]光在不同介质中由 于折射率的不同会产生不同的传输速度，比如在纯净水中 其速度大约为2.25×108 m/s，其中近似数2.25×108精确 到 位. 百万　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 　一种运算——有理数的运算 9. [2023·株洲]计算(－4)× ＝(　A　) A. －6 B. 6 C. －8 D. 8 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 10. [2023·重庆]用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第① 个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个 图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此 规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为(　B　) A. 14 B. 20 C. 23 D. 26 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 11. [真实情境题 生活应用]外卖送餐为我们生活带来了许多 便利.某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况， 规定送餐量超过40单(送一次外卖称为一单)的部分记为 “＋”，低于40单的部分记为“－”，下表是该外卖小 哥一周的送餐量： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量/单 －3 ＋4 －5 ＋ 14 －8 ＋7 ＋ 12 (1)求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单； 【解】40＋[(－3)＋(＋4)＋(－5)＋(＋14)＋(－8)＋(＋ 7)＋(＋12)]÷7＝43(单). 所以该外卖小哥这一周平均每天送餐43单. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 (2)外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送餐补贴构成， 送餐补贴的标准如下：每天送餐量不超过40单的部 分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分， 每单补贴6元；超过50单的部分，每单补贴8元.求该 外卖小哥这一周的工资为多少元. 【解】(40×7－3－5－8)×4＋(4＋7＋10×2)×6＋(4 ＋2)×8＋30×7＝1 500(元). 所以该外卖小哥这一周的工资为1 500元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 　六种运算技巧 技巧1　准确运用运算律 12. 计算下列各题： (1)21－49.5＋10.2－2－3.5＋19； 【解】原式＝[(21＋19)＋10.2]＋[(－49.5－3.5)－2] ＝50.2－55＝－4.8. (2) ÷ ＋ ×24－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 【解】原式＝ × ＋( ＋ － )×24－ ＝－ ＋ ×24＋ ×24－ ×24＋125 ＝－ ＋(270＋56－330＋125)＝－ ＋121 ＝120 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 技巧2　逆用运算律 13. 用简便方法计算：(－3)× ＋0.25×24.5＋ ×(－25％). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 【解】原式＝3× ＋ × ＋ × ＝ × ＝33× ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 技巧3　先化成倒数，再用运算律 14. 计算： ÷ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 【解】因为( － ＋ － )÷ ＝ ×(－24) ＝－16＋2－4＋12 ＝－6， 所以 ÷( － ＋ － )＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 技巧4　借数凑整法 15. 计算：89＋899＋8 999＋89 999－9－99－999－9 999－ 99 999. 【解】方法一：原式＝(90＋900＋9 000＋90 000－4)－ (10＋100＋1 000＋10 000＋100 000－5)＝99 990－111 110－4＋5＝－11 119. 方法二：原式＝(89－9)＋(899－99)＋(8 999－999)＋(89 999－9 999)－(100 000－1)＝80＋800＋8 000＋80 000－ (100 000－1)＝88 880－100 000＋1＝－11 119. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 技巧5　巧妙组合法 16. 计算：1－3－5＋7＋9－11－13＋15＋17－…－2 021＋2 023＋2 025－2 027－2 029＋2 031. 【解】原式＝(1－3－5＋7)＋(9－11－13＋15)＋…＋( 2 017－2 019－2 021＋2 023)＋(2 025－2 027－2 029＋ 2 031)＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 技巧6　裂项相消法 17. 计算： ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 【解】原式＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝( 1－ )＋( － )＋( － )＋( － )＋( － )＋( － )＋ ＋( － )＋( － ) ＝1－ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 　三种思想 思想1　数形结合思想 18. [2024·清华附中月考]有理数 a ， b 在数轴上的对应点的 位置如图所示，下列结论中正确的是(　D　) A. a ＞－2 B. ab ＞0 C. － a ＜ b D. ｜ a ｜＞｜ b ｜ D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 思想2　转化思想 19. 下列各式中，可以写成 a － b ＋ c 的是(　B　) A. a －(＋ b )－(＋ c ) B. a －(＋ b )－(－ c ) C. a －(－ b )＋(－ c ) D. a －(－ b )＋(＋ c ) 【点拨】 A. a －(＋ b )－(＋ c )＝ a － b － c ； B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 20. 计算： ÷ . 【解】原式＝1 × － × ＝－ － ＝－7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 思想3　分类讨论思想 21. 比较2 a 与－2 a 的大小. 【解】当 a ＜0时，2 a ＜－2 a ； 当 a ＝0时，2 a ＝－2 a ； 当 a ＞0时，2 a ＞－2 a . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 $$华师版 七年级上 第1章　有理数 集训课堂 测素质　认识有理数 一、选择题(每题3分，共30分) 1. 四个数－3，0，1，π中，负数是(　A　) A. －3 B. 0 C. 1 D. π 2. [2023·泸州]下列各数中，最大的是(　C　) A. －3 B. 0 C. 2 D. ｜－1｜ A C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 3. [2023·深圳]如果＋10℃表示零上10摄氏度，则零下8摄氏 度表示为(　B　) A. ＋8℃ B. －8℃ C. ＋10℃ D. －10℃ B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 4. [情境题 生活应用]化学老师在实验室中发现了四个因操作 不规范沾染污垢或被腐蚀的砝码，经过测量，超出标准质 量的部分记为正数，不足的部分记为负数，下面砝码中质 量最接近标准质量的是(　D　) A B C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 【点拨】 求出超出标准质量的克数和不足标准质量的克数的绝 对值，绝对值小的则是最接近标准质量的. 【答案】D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 5. [2024·重庆八中月考]下列各组数中互为相反数的是 (　C　) A. ＋(－5)与 B. －(－8)与23 C. －｜＋3｜与3 D. ＋ 与3 【点拨】 C A. ＋(－5)＝－5，与 不互为相反数，故不合题意； B. －(－8)＝8， 23＝8，不互为相反数，故不合题意；C. －｜＋3｜＝－3，与3互为相反数，故符合题意；D. ＋ ＝3 ，与3 不互为相反数，故不合题意，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 6. [2023·重庆一中模拟]数轴上点 A ， B ， M 表示的数分别 是 a ，2 a ，9， AM ＝ BM ，则 a 的值是(　C　) A. 3 B. 4.5 C. 6 D. 18 【点拨】 因为点 A ， B ， M 表示的数分别是 a ，2 a ，9， AM ＝ BM ，所以 a ＋2 a ＝9×2，解得 a ＝6. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 7. 如图，四个有理数在数轴上的对应点为 M ， P ， N ， Q ，若点 M ， N 表示的有理数互为相反数，则图中表示 绝对值最小的数的点是(　C　) A. 点 M B. 点 N C. 点 P D. 点 Q 【点拨】 如图，因为点 M ， N 表示的有理数互为相反数，所 以原点的位置大约在点 O ，所以表示绝对值最小的数的点 是点 P ，故选C. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 8. [母题 教材P23习题T4] 绝对值不大于11.1的整数有 (　D　) A. 11个 B. 12个 C. 22个 D. 23个 【点拨】 本题易漏掉负数和0而造成错解. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 9. [新趋势 跨学科综合]几种气体的液化温度(标准大气压下) 如下表： 气体 氧气 氢气 氮气 氦气 液化温度/℃ －183 －252.8 －195.8 －268.9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 其中液化温度最低的气体是(　A　) A A. 氦气 B. 氮气 C. 氢气 D. 氧气 【点拨】 负数比较大小，绝对值大的数反而小. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 10. 设 x 为有理数，若｜ x ｜＝ x ，则(　D　) A. x 为正数 B. x 为负数 C. x 为非正数 D. x 为非负数 【点拨】 绝对值是它本身的数是非负数. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 二、填空题(每题4分，共24分) 11. 比较大小：＋ － . 12. [新视角 开放题]写出一个数，使这个数的绝对值等于它 的相反数： ⁠. ＜　 －2(答案不唯一)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 13. [真实情境题 体育赛事]巴黎奥组委向外界公布，备受瞩 目的奥运会开幕式于当地时间2024年7月26日晚7时30分 开始.此时巴黎处于夏令时，与北京的时差为－6小时， 这意味着国内的观众在2024年7月 日 ⁠ 时 分欣赏到这场开启于塞纳河的奥运开幕式. 14. 数轴上与原点距离为4个单位长度的点表示的数 是 ⁠. 27　 1　 30　 ±4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 15. [2024·北京四中月考]已知直径为1个单位长度的圆形纸片 上的点 A 与数轴上表示－1的点重合，若将该圆形纸片沿 数轴滚动一周(无滑动)后点 A 与数轴上的点A'重合，则点 A'表示的数为 ⁠. 16. [新考法 探究数的特征法]观察下列各数：－ ， ，－ ， ，－ ，…，根据它们的排列规律写出第100个数 为 ⁠. π－1或－π－1　 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 【点拨】 找规律法就是从给出的特殊量中寻找其一般规律的 方法，对于按照一定的顺序给出的一系列量，我们要根 据这些已知的量找出其一般排列规律，通常可采用 找规律. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 三、解答题(共46分) 17. (10分)[2024·北京四中月考]在数轴上表示下列各数，并 按从小到大的顺序用“＜”号把这些数连接起来：3.5， －3，0，2 ，－ . 【解】如答图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 按从小到大的顺序用“＜”号把这些数连接起来为－3＜ － ＜0＜2 ＜3.5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 18. (10分)(1)若｜ a －2｜＋｜ b －3｜＋｜ c －4｜＝0，求 a ＋ b ＋ c 的值； 【解】由题意可得 a －2＝0， b －3＝0， c －4＝0， 所以 a ＝2， b ＝3， c ＝4. 所以 a ＋ b ＋ c ＝2＋3＋4＝9. (2)若 y ＝｜ x ｜＋3，求 y 的最小值. 【解】因为｜ x ｜≥0，所以 y ＝｜ x ｜＋3≥3. 所以 y 的最小值为3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 19. (12分) [新视角 规律探索题]化简下列各式，并回答 问题： (1)－(－2)＝ ⁠； (2)＋ ＝ 　－ 　； (3)－[－(－4)]＝ ⁠； (4)－[－(＋3.5)]＝ ⁠； (5)－{－[－(－5)]}＝ ⁠； 2　 － 　 －4　 3.5　 5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 (6)－{－[－(＋5)]}＝ ⁠. 问：①若＋5前面有2 024个负号，化简结果是多少？ ②若－5前面有2 025个负号，化简结果是多少？你能 总结出什么规律？ 【解】①若＋5前面有2 024个负号，化简结果是5. －5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ②若－5前面有2 025个负号，化简结果是5. 规律：在一个数的前面有偶数个负号，化简结果是其 本身；在一个数的前面有奇数个负号，化简结果是这 个数的相反数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 20. (14分)[情境题 生活应用]快递分拣机器人不仅可以自动规 划最优路线，将包裹准确放入相应的格口，还会感应避 让障碍物、自动归队取包裹，没电的时候还会自己找充 电桩充电.每台分拣机器人每小时可以分拣1.8万件包 裹，大大提高了分拣效率，某分拣仓库计划平均每天分 拣20万件包裹，但实际每天的分拣量与计划相比会有出 入.下表是该仓库10月份第三周分拣包裹的情况(超过计 划量记为正，未达到计划量记为负). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 星期 一 二 三 四 五 六 日 分拣情况/万件 ＋6 －3 －4 ＋5 －1 ＋7 －8 (1)该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天是星 期 ，最少的一天是星期 ，最多的一天比 最少的一天多分拣 万件包裹. 六　 日　 15　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 (2)该仓库本周实际一共分拣包裹多少万件？ 【解】由题意可得，该仓库本周实际一共分拣包裹 20＋6＋20－3＋20－4＋20＋5＋20－1＋20＋7＋20－ 8＝142(万件). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 $$华师版 七年级上 第1章　有理数 集训课堂 练素养　1.数轴的三种常见题型 名师点金 　　数轴是非常重要的数学工具，它使数和点建立了对应 关系，揭示了数与形之间的内在联系.运用数轴解决有关问 题，可以打开思路，优化解题过程. 题型1　数轴的折叠问题 1. [2024·合肥庐阳区模拟]如图，在数轴上，点 A 表示数 a ， 点 B 表示数 b ，点 C 表示数 c ， b 是最小的正整数，且 a ， c 满足｜ a ＋2｜＋( c －6)2＝0. (1) a ＝ ， b ＝ ， c ＝ ⁠. －2　 1　 6　 1 2 3 (1)因为 b 是最小的正整数，所以 b ＝1.因为｜ a ＋ 2｜≥0，( c －6)2≥0，且｜ a ＋2｜＋( c －6)2＝0，所 以｜ a ＋2｜＝0，( c －6)2＝0，所以 a ＋2＝0， c －6＝ 0，所以 a ＝－2， c ＝6. 【点拨】 1 2 3 (2)若将数轴折叠，使点 A 与点 C 重合，则折痕与数轴的 交点所表示的数为 ，点 B 与数 ⁠对应的点重 合，这时如果 M ， N ( M 在 N 的左侧)两点之间的距离 为2 024，且 M ， N 两点经折叠后重合，则点 M 表示的 数是 ，点 N 表示的数是 ⁠. 2　 3　 －1 010　 1 014　 1 2 3 (2)将数轴折叠，使得点 A 与点 C 重合，则折痕与 数轴的交点表示的数是 ＝2.点 B 到折痕与数轴的 交点的距离为1个单位长度，2＋1＝3，所以点 B 与数3 对应的点重合.因为 M ， N 两点之间的距离为2 024， 且 M ， N 两点经折叠后重合，所以点 M 和点 N 到数2 对应的点的距离均为 ＝1 012.又因为 M 在 N 的左 侧，所以点 M 表示的数是－1 010，点 N 表示的数是 1 014. 【点拨】 1 2 3 题型2　数轴上点的规律问题 2. [新考向 知识情境化]综合与实践：一只电子跳蚤从数轴上 原点处出发，第1次向左跳动1个单位长度，第2次向右跳 动2个单位长度，第3次向左跳动3个单位长度，第4次向右 跳动4个单位长度，第5次向左跳动5个单位长度，第6次向 右跳动6个单位长度，如此往返. 1 2 3 (1)第1次跳动的落点位置对应的有理数是 ，第2次 跳动的落点位置对应的有理数是 ，第2 024次跳动 的落点位置对应的有理数是 ⁠. －1　 1　 1 012　 1 2 3 (1)根据题意可知第1次跳动的落点位置对应的有理 数是－1，第2次跳动的落点位置对应的有理数是1，第 2 024次跳动的落点位置对应的有理数是0－1＋2－3＋4 －5＋6－7＋…＋2 018－2 019＋2 020－2 021＋2 022－ 2 023＋2 024＝1 012. 【点拨】 1 2 3 (2)若该电子跳蚤从表示－8的点处出发，则第1次跳动的 落点位置对应的有理数是 ，第2 024次跳动的落 点位置对应的有理数是 ，第 ⁠次跳动的 落点位置是原点. －9　 1 004　 16　 1 2 3 (2)该电子跳蚤从表示－8的点处出发，第1次跳动 的落点位置对应的有理数是－8－1＝－9，第2 024次跳 动的落点位置对应的有理数是－8－1＋2－3＋4－5＋6 －7＋…＋2 018－2 019＋2 020－2 021＋2 022－2 023 ＋2 024＝－8＋1 012＝1 012－8＝1 004.因为－8－1＋ 2－3＋4－5＋6－7＋…＋16＝－8＋8＝8－8＝0，所以 第16次跳动的落点位置是原点. 【点拨】 1 2 3 (3)若该电子跳蚤从表示 m ( m 是正整数)的点处出发，则第 1次跳动的落点位置对应的有理数是 ，第2 024次跳动的落点位置对应的有理数是 ⁠， 第2 n ( n 是正整数)次跳动的落点位置对应的有理数 是 ⁠. m －1　 m ＋1 012　 m ＋ n 　 1 2 3 (3)第1次跳动的落点位置对应的有理数是 m －1， 第2 024次跳动的落点位置对应的有理数是 m －1＋2－3 ＋4－5＋6－…－2 019＋2 020－2 021＋2 022－2 023＋ 2 024＝ m ＋1 012，第2 n ( n 是正整数)次跳动的落点位 置对应的有理数是 m －1＋2－3＋4－5＋6－…－(2 n － 1)＋2 n ＝ m ＋ n . 【点拨】 1 2 3 题型3　数轴上的点的距离问题 3. [新考法 阅读类比法]阅读下列材料：我们知道｜ x ｜的几 何意义是数轴上数 x 的对应点与原点之间的距离，即｜ x ｜＝｜ x －0｜，也就是说，｜ x ｜表示数轴上数 x 与数0 对应点之间的距离.这个结论可以推广为｜ x1－ x2｜表示 数轴上数 x1与数 x2对应点之间的距离. 例1：已知｜ x ｜＝2，求 x 的值. 1 2 3 解：在数轴上与原点距离为2的点表示的数为－2和2， 所以 x 的值为－2或2. 例2：已知｜ x －1｜＝2，求 x 的值. 解：在数轴上与1对应的点的距离为2的点表示的数为3和 －1， 所以 x 的值为3或－1. 1 2 3 仿照材料中的解法，求下列各式中 x 的值. (1)｜ x ＋2｜＝4； 【解】原式可化为｜ x －(－2)｜＝4. 在数轴上与－2对应的点的距离为4的点表示的数为2和 －6， 所以 x 的值为2或－6. 1 2 3 (2)｜ x ＋3｜＋｜ x －1｜＝6. 【解】原式可化为｜ x －(－3)｜＋｜ x －1｜＝6. 在数轴上与表示－3和1的点的距离之和为6的点表示的数 为2和－4， 所以 x 的值为2或－4. 1 2 3 $$华师版 七年级上 第1章　有理数 集训课堂 练素养　2.绝对值的三种常见应用 名师点金 1. 在比较两个负数的大小时，通常比较它们的绝对值，绝 对值大的反而小. 2. 由绝对值的定义可知，绝对值等于一个正数的数有两 个，故在解题时不能漏掉一个解.此外，由绝对值的性质 可知，绝对值表示的是非负数，故在解决几个数的绝对 值的和等于零的问题时，要注意每个绝对值符号内的数 都等于零. 应用1　利用绝对值比较大小 1. [母题 教材P22练习T3] 比较下列各组数的大小： (1)－3.5与－4.2； 【解】｜－3.5｜＝3.5，｜－4.2｜＝4.2. 因为3.5＜4.2，所以－3.5＞－4.2. 1 2 3 4 5 6 (2)－ 与－ . 【解】－ ＝－ ， ＝ ＝ ， ＝ ， 因为 ＜ ，所以－ ＞－ . 1 2 3 4 5 6 应用2　利用绝对值的性质求值 2. [2024·广元期末]若｜ a －1｜与( b －2)2互为相反数，则 a ＋ b 的值为 ⁠. 3. 已知｜ a ｜＝2，｜ b ｜＝3，且在数轴上 a 在 b 的右边， 求 a ， b 的值. 3　 1 2 3 4 5 6 【解】因为｜ a ｜＝2，｜ b ｜＝3， 所以 a ＝±2， b ＝±3. 因为在数轴上 a 在 b 的右边， 所以 b ＜ a . 所以 a ＝2， b ＝－3或 a ＝－2， b ＝－3， 即 a ＝±2， b ＝－3. 1 2 3 4 5 6 4. 已知｜ a －1｜＋｜ b －2｜＋｜ c －3｜＝0，求式子2 a ＋ b ＋ c 的值. 【解】由题意得 a －1＝0， b －2＝0， c －3＝0， 所以 a ＝1， b ＝2， c ＝3. 所以2 a ＋ b ＋ c ＝2×1＋2＋3＝7. 1 2 3 4 5 6 5. 根据｜ x ｜是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下 列问题： (1)当 x 取何值时，｜ x －2 025｜有最小值？这个最小值是 多少？ 【解】当 x ＝2 025时，｜ x －2 025｜有最小值，这个 最小值是0. 1 2 3 4 5 6 (2)当 x 取何值时，2 025－｜ x －1｜有最大值，这个最大 值是多少？ 【解】当 x ＝1时，2 025－｜ x －1｜有最大值，这个最 大值是2 025. 1 2 3 4 5 6 应用3　利用绝对值解实际生活中的应用问题 6. [情境题 生活应用]某出租车司机某日从公司出发，在东西 方向的人民路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下表 (规定向东为正，向西为负，单位：千米)： 第1批 第2批 第3批 第4批 第5批 5 2 －4 －3 10 1 2 3 4 5 6 若该出租车每千米耗油0.08 L，那么在这个过程中共耗油 多少升？ 【解】5＋2＋｜－4｜＋｜－3｜＋10＝24(千米)， 0.08×24＝1.92(L). 答：在这个过程中共耗油1.92 L. 1 2 3 4 5 6 $$华师版 七年级上 第1章　有理数 集训课堂 练素养　3.有理数与相关概念之间关系的应用 名师点金 　　有理数这部分的概念比较多，如有理数、数轴、相反 数、绝对值等，这些概念比较难理解，概念与概念之间又 容易混淆.因此，加强对概念的理解和辨析尤为重要. 应用1　用有理数的定义识别有理数 1. [母题 教材P7习题T4] 把下列各数填入相应的大括号里： － ，0.618，－3.14，260，－2 025， ，0，0.3. 正分数集合： ； 整数集合： ； 非正数集合： ； 有理数集合：{－ ，0.618，－3.14，260，－2 025， ，0，0.3，…}. － ，0.618，－3.14，260，－2 025， ，0，0.3， 1 2 3 4 5 6 应用2　用有理数与数轴的关系求移动点表示的数 2. [新考法 数形结合法]如图，在数轴上有 A ， B ， C 三点. (1)若将点 B 向左移动5个单位长度后，这三个点表示的数 谁最小？ 【解】将点 B 向左移动5个单 位长度后，点 B 表示的数是－ 6.因为－6＜－3＜3，所以点 B 表示的数最小. 1 2 3 4 5 6 (2)若将点 C 先向左移动4个单位长度后，再向右移动3个 单位长度，用“＞”号连接这三个点所表示的数. 【解】将点 C 先向左移动4个单位长度后，再向右移动3个单位长度，则点 C 表示的数是2，2＞－1＞－3. 1 2 3 4 5 6 应用3　用有理数与相反数的关系求字母的值 3. 已知 a ， b 在没有标明单位长度的数轴上的对应点的位置 如图所示. (1)说出 a ， b 的正负性. 【解】 a 为负数， b 为正数. 1 2 3 4 5 6 (2)若 a 与－ a 相隔2 024个单位长度，则 a 是多少？ 【解】因为 a 与－ a 相隔2 024个单位长度， 所以 a 与－ a 对应的点都距离原点1 012个单位长度. 又因为 a 在原点的左侧，所以 a ＝－1 012. 1 2 3 4 5 6 应用4　用有理数与绝对值的关系求值 4. [2024·北京四中月考]有理数 a ， b ， c 在数轴上对应点的 位置如图. (1)用“＞”号或“＜”号填空：－ b 0， a － b 0， b － c 0， c － a 0. ＜　 ＜　 ＜　 ＞　 1 2 3 4 5 6 (2)化简：｜ a － b ｜－｜ b － c ｜＋｜ c － a ｜. 【解】结合(1)可得 ｜ a － b ｜－｜ b － c ｜＋｜ c － a ｜ ＝－( a － b )－[－( b － c )]＋( c － a ) ＝ b － a ＋ b － c ＋ c － a ＝2 b －2 a . 1 2 3 4 5 6 应用5　用绝对值的意义求数轴上两点间的距离 5. [新考法 阅读类比法]先阅读材料，后探究相关的问题. 【阅读】｜5－2｜表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2 两数在数轴上所对应的两点之间的距离；｜5＋2｜可以看 作｜5－(－2)｜，表示5与－2差的绝对值，也可理解为5 与－2两数在数轴上所对应的两点之间的距离. 1 2 3 4 5 6 【探究】(1)如图，先在数轴上画出表示2.5的相反数的点 B ，再把点 A 向左移动1.5个单位长度，得到点 C ，则点 B 和点 C 表示的数分别为 和 ， B ， C 两点 之间的距离是 ⁠； 【点拨】 点 B 表示的数是－2.5，点 C 表示的数是1， B ， C 两 点之间的距离是｜1－(－2.5)｜＝1＋2.5＝3.5. －2.5　 1　 3.5　 1 2 3 4 5 6 (2)数轴上分别表示 x 和－1的两点 F 和 D 之间的距离可表 示为 ，如果 F ， D 两点之间的距离 为3，那么 x ＝ ⁠； 【点拨】 由题意得 F 和 D 之间的距离可表示为｜ x －(－ 1)｜.如果 F ， D 两点之间的距离为3，那么 x 所对应的 点与－1所对应的点之间的距离为3，那么 x ＝－4或2. ｜ x －(－1)｜　 －4或2　 1 2 3 4 5 6 (3)若点 E 表示的整数为 y ，则当 y ＝ 时，｜ y ＋ 4｜与｜ y －2｜的值相等； 【点拨】 若使｜ y ＋4｜＝｜ y －2｜，则 y 所对应的点到－4 所对应的点与2所对应的点的距离相等，可得 y ＝－1. －1　 1 2 3 4 5 6 (5)当 a ＝ 时，｜ a －1｜＋｜ a ＋5｜＋｜ a －4｜的 值最小，最小值是 ⁠. 1　 9　 (4)要使｜ z ＋5｜＋｜ z －2｜取得最小值，求相应的 z 的 取值范围； 【解】要使｜ z ＋5｜＋｜ z －2｜取得最小值，则 z 所对应的点在－5所对应的点和2所对应的点之间(包含 端点)，则 z 的取值范围是－5≤ z ≤2. 1 2 3 4 5 6 ｜ a －1｜＋｜ a ＋5｜＋｜ a －4｜表示在数轴上点 a 所对应的点分别与1，－5， 4所对应的点的距离之和. 当－5≤ a ≤4时，｜ a ＋5｜＋｜ a －4｜的值最小，最 小值为9，当 a ＝1时，｜ a －1｜的值最小，最小值为 0，所以当 a ＝1时，｜ a －1｜＋｜ a ＋5｜＋｜ a －4｜ 的值最小，最小值为9. 【点拨】 1 2 3 4 5 6 应用6　用有理数解决实际问题 6. [2024·泸州阶段练习]随着网络的发展，人民群众喜欢在网络上购物或寄物.小李负责在一条东西方向的交通线进行收取和发放快递.某天早上8点到驿站，乘坐动力三轮车开始了一天的工作，为了便于统计，他自己每到一个代办点用三个数字来记录：第一个数字为行驶的方向和距离，第二个数据为发放的货物件数，第三个数字为收取的货物件数；例：(＋3，5，6)表示向东行驶了3千米，发放了5件货物，收取了6件货物.到下午6点下班时，其记录情况如下：(＋3，5，6)，(＋4，2，3)，(＋5，4，7)，(－2，0，5)，(－7，0，9)，(－3， 　 A 　， 　 B 　)，(－2，3，7)，(－4，5，2)，(－3，12，5)，(＋9， 　 C 　，0)，其中｜ A ｜＝0， B 与－4互为相反数，当天收取货物件数刚好与发放货物件数相等. 1 2 3 4 5 6 (1)如果每千米耗油0.02升，当天的油价为8.95元/升，那 么全天的油费约为多少元？(结果精确到0.1) 【解】｜＋3｜＋｜＋4｜＋｜＋5｜＋｜－2｜＋｜－ 7｜＋｜－3｜＋｜－2｜＋｜－4｜＋｜－3｜＋｜＋ 9｜＝3＋4＋5＋2＋7＋3＋2＋4＋3＋9＝42(千米)， 42×0.02×8.95＝7.518≈7.5(元)， 所以全天的油费约为7.5元. 1 2 3 4 5 6 (2)求 A ， B ， C 的值. 【解】因为｜ A ｜＝0， B 与－4互为相反数， 所以 A ＝0， B ＝4，则收取货物件数为6＋3＋7＋5＋9 ＋4＋7＋2＋5＋0＝48(件). 因为当天收取货物件数刚好与发放货物件数相等，所 以 C ＝48－(5＋2＋4＋0＋0＋0＋3＋5＋12)＝17. 1 2 3 4 5 6 (3)如果小李的基本工资为60元/天，发放一件货物补助0.2 元，收取一件货物补助0.5元.请计算小李这天的工资 为多少元？ 【解】依题意得48×0.2＋48×0.5＝33.6(元)， 33.6＋60＝93.6(元)， 所以小李这天的工资为93.6元. 1 2 3 4 5 6 $$