专题2.1 全等三角形的性质（3个考点八大题型）-2024-2025学年八年级数学上册《重难点题型•高分突破》（人教版）

专题2.1 全等三角形的性质（3个考点八大题型） 【题型01：全等图形的概念】 【题型02：全等三角形的对应元素的判断】 【题型03：全等三角形的性质-求长度】 【题型04：全等三角形的性质-求角度】 【题型05：全等三角形的性质-判断结论】 【题型06：全等三角形的性质-探究线段和角度之间的关系】 【题型07：全等三角形的性质-动点问题】 【题型08：全等三角形的性质-证明题】 【题型01：全等图形的概念】 1．下列各组图形中，是全等图形的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各组图形中，属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 3．下列叙述中错误的是（    ） A．能够完全重合的两个图形称为全等图形 B．全等图形的形状和大小都相同 C．所有正方形都是全等图形 D．平移、翻折、旋转前后的图形全等 4．下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（    ） A．B．C．D． 【题型02：全等三角形的对应元素的判断】 5.（2022秋•荆州月考）如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，若∠B＝90°，∠C＝60°，∠D′＝105°，则∠A′＝　　°． 6.（2022春•南阳期末）如图，四边形ABCD≌四边形A'B′C'D'，若∠A＝110°，∠C＝60°，∠D′＝105°，则∠B＝　　． 7.如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′全等，则∠A′=　 　 ，∠A=　 　 ，B′C′=　 　 ，AD=　 　 ． 8.如图，△ABC 中，点 A（0，1），点 C（4，3），如果要使△ABD 与△ABC 全等，那么符合条件的点 D 的坐标为　 　. 【题型03：全等三角形的性质-求长度】 9．如图，三点共线，三点共线，且，则长为（    ）    A．5 B．6 C．7 D．8 10．如图，△ABC≌△DEF，点A与D，B与E分别是对应顶点，若测得∠A=∠D=90°，AB=3，DG=1，AG=2，则梯形CFDG的面积是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 11．如图，点在同一直线上，若，，，则等于（    ） A． B． C． D． 12．如图，，B、C、D在同一直线上，且，，则长（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 13．如图，，，则的长为（    ）    A．7 B．5 C．3 D．2 14．如图，，点在上，与相交于点．则的周长为（    ） A．15 B．16 C．17 D．12 15．如图所示，，则的长是（    ） A．10 B．8 C．6 D．4 16．如图，已知，若，，则的长为（    ）    A．5 B．4 C．3 D．2 【题型04：全等三角形的性质-求角度】 17．如图，已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 18．如图，若，，，则的度数为（   ）     A． B． C． D． 19．已知图中的两个三角形全等，则的度数是（　　） A． B． C． D． 20．如图，，如果，，那么度数是（    ） A． B． C． D． 21．如图，已知点在上，点在上，，且，若，则（　　）    A． B． C． D． 22．如图，已知和和D分别是对应顶点，且，则的度数是（   ）    A．80° B．60° C．30° D．不能确定 23．如图，，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 24．如图，已知，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 25．如图，，点在上，与相交于点，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【题型05：全等三角形的性质-判断结论】 26．如图，，，三点共线，则下列结论中：①； ②；③；④；正确的有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 27．如图，， 与，与是对应边，则下列结论错误的是（      ） A． B． C． D． 28．如图，已知，则下列边或角的关系正确的是（ ） A． B． C． D． 29．如图，已知，与交于点C，与交于点D，则下列说法错误的是（　　） A． B． C． D． 30．如图所示，，下面四个结论中，不正确的是（    ）． A．和的面积相等 B．和的周长相等 C． D．，且 31．如图，若，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【题型06：全等三角形的性质-探究线段和角度之间的关系】 32．如图所示，已知于点，．    (1)若，，求的长． (2)试判断和的关系，并说明理由 33．已知：如图所示，平分，于点，交的延长线于点，在上有一点，且． (1)若，，求的长． (2)试说明与的关系． 34．如图，于E，于F，若 (1)求证：平分； (2)直接写出之间的等量关系． 35．在中，，直线经过点C，且于点D，于点E. (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，猜想线段与有怎样的数量关系？请写出这个关系，并加以证明； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：； (3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系不必证明. 36．阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在中，，求边上的中线的取值范围． (1)小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：①延长到Q使得； ②再连接，把、、集中在中；③利用三角形的三边关系可得，则的取值范围是___________． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． (2)请写出图1中与的位置关系并证明； (3)思考：已知，如图2，是的中线，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明． 37．（1）如图1，为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则__________；    （2）如图2，在中，，剪去后成为四边形，则__________； （3）如图2，根据（1）和（2）的求解过程，请归纳与的关系是______________； （4）若没有剪去，而是将折成如图3的形状，试探究与的关系，并说明理由． 【题型07：全等三角形的性质-动点问题】 38．如图，在中，厘米，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上以a厘米/秒的速度由C点向A点运动．当与全等时，a的值为（    ） A．3 B．4 C．4或6 D．2或3 39．如图，，，、分别为线段和射线上的一点，若点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，二者速度之比为3:7，运动到某时刻同时停止，在射线上取一点，使与全等，则的长为（    ）    A．18 B．70 C．88或62 D．18或70 40．如图，在中，．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B向终点B运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线B﹣C﹣A向终点A运动，点P，Q都运动到各自的终点时停止．设运动时间为t（秒），直线l经过点C，且，过点P，Q分别作直线l的垂线段，垂足为E，F．当与全等时，t的值不可能是（　　） A．2 B． C．3 D．6 41．如图，，于，于，且，点从向运动，每分钟走，点从向运动，每分钟走，当两点同时出发分钟后全等于，则此时的值是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 42．《姑苏繁华图》是清代苏州籍宫廷画家徐扬的作品，全长，如图，，，，点在线段AB上以的速度由点向点运动，同时，点在线段BD上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为，当与全等时，的值是（    ） A．2 B．1或1.5 C．2或1.5 D．2或3 43．如图，在中，，点M，N分别在的垂线与线段上移动，，，，若和以点M、N、A为顶点的三角形全等，则的值为（    ）    A． B．或 C．或 D． 【题型08：全等三角形的性质-证明题】 44．如图，，且点，，在一条直线上，点在上，延长交于点． (1)试说明：． (2)若，，求的长． 45．如图所示，，若，，求的度数． 46．如图，点，，在同一条直线上，于点，于点，且，，．求： (1)的长； (2)的度数． 47．如图，A，E，C三点在同一直线上，且．    (1)求证：； (2)猜想：当满足什么条件时？并证明你的猜想． 48．如图所示，已知于点D，． (1)若，，求的长； (2)求证：． 49．如图，已知．    (1)若，，求的度数； (2)若，，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 全等三角形的性质（3个考点八大题型） 【题型01：全等图形的概念】 【题型02：全等三角形的对应元素的判断】 【题型03：全等三角形的性质-求长度】 【题型04：全等三角形的性质-求角度】 【题型05：全等三角形的性质-判断结论】 【题型06：全等三角形的性质-探究线段和角度之间的关系】 【题型07：全等三角形的性质-动点问题】 【题型08：全等三角形的性质-证明题】 【题型01：全等图形的概念】 1．下列各组图形中，是全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等图形的概念，形状和大小完全相同的图形是全等图形，据此即可求解． 【详解】解：根据全等图形的概念，只有B选项中的两个图形形状和大小完全相同，是全等图形， 故选：B． 2．下列各组图形中，属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等图形．根据全等图形的定义（能够完全重合的两个图形叫做全等形）逐项判断即可得． 【详解】解：A、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意； B、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意； C、两个图形能够完全重合，是全等图形，则此项符合题意； D、两个图形的形状不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意； 故选：C． 3．下列叙述中错误的是（    ） A．能够完全重合的两个图形称为全等图形 B．全等图形的形状和大小都相同 C．所有正方形都是全等图形 D．平移、翻折、旋转前后的图形全等 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，全等形的性质，由全等图形的性质和平移，折叠，旋转的性质依次判断可求解． 【详解】解：A、能够完全重合的两个图形称为全等形，故A选项不符合题意； B、全等形的形状和大小都相同，故B选项不符合题意； C、所有正方形不一定是全等形，故D选项符合题意； D、平移、翻折、旋转前后的图形全等，故D选项不符合题意； 故选：C． 4．下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等图形的识别，能够完全重合的平面图形，即形状、大小相同的图形是全等图形，据此即可求解． 【详解】解：由全等图形的定义可知，B为全等图形， 故选：B ． 【题型02：全等三角形的对应元素的判断】 5.（2022秋•荆州月考）如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，若∠B＝90°，∠C＝60°，∠D′＝105°，则∠A′＝　　°． 【答案】105． 【解答】解：∵四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′， ∴∠A＝∠A′，∠D＝∠D′， ∵∠D′＝105°， ∴∠D＝105°， ∵∠B＝90°，∠C＝60°， ∴∠A＝105°， ∴∠A′＝105°， 故答案为：105． 6.（2022春•南阳期末）如图，四边形ABCD≌四边形A'B′C'D'，若∠A＝110°，∠C＝60°，∠D′＝105°，则∠B＝　　． 【答案】85°． 【解答】解：根据题意得：∠D＝∠D′＝105°， 所以∠B＝360°﹣∠A﹣∠C﹣∠D＝360°﹣110°﹣60°﹣105°＝85°． 7.如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′全等，则∠A′=　 　 ，∠A=　 　 ，B′C′=　 　 ，AD=　 　 ． 【答案】120；70；12；6 【解析】【解答】∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′全等， 由题意得：∠A′=∠D =∠120°，∠D′=∠A=70°，B′C′=CB=12，AD = D′A′=6 8.如图，△ABC 中，点 A（0，1），点 C（4，3），如果要使△ABD 与△ABC 全等，那么符合条件的点 D 的坐标为　 　. 【答案】 或 或（-1，3） 【解析】【解答】解：因为 与 的一条边 重合 当点D在 的下方时，满足条件的坐标有 和 ； 当点D在 的上方时，满足条件的坐标是 . 故满足条件的为 或 或（-1，3） 【题型03：全等三角形的性质-求长度】 9．如图，三点共线，三点共线，且，则长为（    ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质求出，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：C． 10．如图，△ABC≌△DEF，点A与D，B与E分别是对应顶点，若测得∠A=∠D=90°，AB=3，DG=1，AG=2，则梯形CFDG的面积是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】先求出梯形AGEB的面积等于梯形CFDG的面积，根据全等求出AB=DE=3，求出EG，根据梯形面积公式求出即可． 【详解】解：∵△ABC≌△DEF，AB=3， ∴DE=AB=3， ∵DG=1， ∴EG=3-1=2， ∵△ABC≌△DEF， ∴S△ABC=S△DEF， ∴都减去△GEC的面积得：梯形AGEB的面积等于梯形CFDG的面积，即S梯形CFDG=（AB+EG）AG=（3+2）×2=5， 故选A． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和梯形面积公式的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 11．如图，点在同一直线上，若，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质和线段和差，根据全等三角形的性质得出，，再由线段和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：． 12．如图，，B、C、D在同一直线上，且，，则长（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应边相等得到，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 13．如图，，，则的长为（    ）    A．7 B．5 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质； 根据全等三角形的对应边相等可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 14．如图，，点在上，与相交于点．则的周长为（    ） A．15 B．16 C．17 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据得到，根据周长为，选择即可． 【详解】∵，， ∴， ∴， 故选A． 15．如图所示，，则的长是（    ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】A 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等． 根据全等三角形的性质可得，进而可得答案． 【详解】解：， ， ， ， ． 故选：A． 16．如图，已知，若，，则的长为（    ）    A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等求得即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【题型04：全等三角形的性质-求角度】 17．如图，已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质和平行线的性质，能熟记全等三角形的对应角相等是解此题的关键．根据全等三角形的性质得出，，求出，根据平行线的性质得出，再求出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 18．如图，若，，，则的度数为（   ）     A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和，三角形的外角定理，解题的关键是掌握全等三角形对应角相等，三角形的内角和是180度，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． 先根据三角形的外角定理得出，再根据全等三角形的性质得出，最后根据三角形的内角和定理和对顶角相等，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 19．已知图中的两个三角形全等，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的知识．解题时要认准对应关系．全等图形要根据已知的对应边去找对应角，并运用“全等三角形对应角相等”即可得答案． 【详解】解：图中的两个三角形全等 与，与分别是对应边，那么它们的夹角就是对应角 故选：D． 20．如图，，如果，，那么度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，由全等三角形的性质可得出，，由角的和差关系即可得出，即可求出答案． 【详解】解：∵ ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 21．如图，已知点在上，点在上，，且，若，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质和三角形的内角和定理，根据全等三角形的性质，，，又，，得到，在中根据内角和定理求解，熟练掌握全等三角形的性质及三角形内角和定理，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解： ， ，， ， ， ， ， 在中，由三角形内角和定理可得， ，，， ， 故选：C． 22．如图，已知和和D分别是对应顶点，且，则的度数是（   ）    A．80° B．60° C．30° D．不能确定 【答案】A 【分析】 本题考查了全等三角形的性质以及三角形的内角和性质，先根据得，，再运用三角形的内角和性质列式计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， 在中， 故选：A 23．如图，，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，由全等的性质，得,，由三角形内角和定理，得，于是，. 【详解】解：∵， ∴,. ∵, ∴. ∴. ∴. 故选：A． 24．如图，已知，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定、三角形内角和定理，由，推出，再求出，再根据三角形内角和定理进行求解． 【详解】∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C 25．如图，，点在上，与相交于点，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形全等的判定及平角的定义．由，得，,即是等腰三角形，由可得，故，最后根据平角的性质即可得的度数． 【详解】解： ， ，， ， ， ， ． 故选：A． 【题型05：全等三角形的性质-判断结论】 26．如图，，，三点共线，则下列结论中：①； ②；③；④；正确的有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题． 【详解】延长交于H，延长交于F，    ∵， ∴ ∴， ∴， ∴ 故①②正确， ∴， 故③是错误的， ∵， ∴， 故④是正确的， 故选：C． 27．如图，， 与，与是对应边，则下列结论错误的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的判定，根据全等三角形对应角相等得到，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 根据现有条件无法证明， 故选：C． 28．如图，已知，则下列边或角的关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：， ∴、正确，符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 故选：． 29．如图，已知，与交于点C，与交于点D，则下列说法错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理．根据全等三角形的性质，可得，，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，，故A、C选项正确，不符合题意；B选项错误，符合题意； ∵， ∴，故D选项正确，不符合题意； 故选：B 30．如图所示，，下面四个结论中，不正确的是（    ）． A．和的面积相等 B．和的周长相等 C． D．，且 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的性质及应用，熟练掌握全等三角形对应边、对应角相等的性质是解答本题的关键． 【详解】解：∵， ∴两个全等的三角形是一定能够完全重合的图形， ∴和的面积与周长都相等． ∴选项A、B都正确，不符合题意． 又∵， ∴ ∴（全等三角形的对应角相等） ∴与不一定相等， ∴选项C不正确，符合题意． 又∵， ∴（全等三角形的对应边相等） 又∵ ∴（内错角相等两直线平行） ∴选项D正确，不符合题意． 31．如图，若，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质“对应边相等，对应角相等”解答即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， 没有理由能证明， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 【题型06：全等三角形的性质-探究线段和角度之间的关系】 32．如图所示，已知于点，．    (1)若，，求的长． (2)试判断和的关系，并说明理由 【答案】(1)3 (2)，，理由见解析 【分析】（1）根据，得出， ，根据即可求解； （2）根据全等的性质得出，，然后由即可得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ∵，， ∴， ∴； （2）∵ ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴，且． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形的内角和，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等，对应角相等． 33．已知：如图所示，平分，于点，交的延长线于点，在上有一点，且． (1)若，，求的长． (2)试说明与的关系． 【答案】(1)的长为8或16 (2)与相等或互补 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并求出三角形全等是解题的关键，难点在于要分情况讨论． （1）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后分点在点的左边与右边两种情况讨论求解； （2）根据全等三角形对应角相等可得，然后分两种情况讨论解答． 【详解】（1）如图，以点为圆心，为半径画弧交于点、，则， 平分，，， ， 在和中， ， ， ， 点在点的左边时，， 点在点的右边时，， 综上所述，的长为8或16； （2）， ， 点在点的左边时，， 点在点的右边时，， 综上所述，与相等或互补． 34．如图，于E，于F，若 (1)求证：平分； (2)直接写出之间的等量关系． 【答案】(1)见解析 (2)结论：，见解析部分 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，角平分线的判定，注意：全等三角形的判定定理有全等三角形的对应边相等，对应角相等． （1）根据相“”定理得出，故可得出，所以平分； （2）由（1）中可知平分，故可得出，所以，故． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∴在和中， ， ∴ ∴， ∵ ∴平分； （2）解：结论： 理由：∵ ∴ ∵ ∴ ∵， ∵ 即：． 35．在中，，直线经过点C，且于点D，于点E. (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，猜想线段与有怎样的数量关系？请写出这个关系，并加以证明； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：； (3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系不必证明. 【答案】(1)，证明见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质； （1）利用证明，利用线段的和差关系即可完成； （2）利用证明，利用线段的和差关系即可完成； （3）利用证明，利用线段的和差关系即可完成． 【详解】（1）解：， 证明如下： ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴； ∵， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴； （3）解：， 证明如下： ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴． 36．阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在中，，求边上的中线的取值范围． (1)小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：①延长到Q使得； ②再连接，把、、集中在中；③利用三角形的三边关系可得，则的取值范围是___________． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． (2)请写出图1中与的位置关系并证明； (3)思考：已知，如图2，是的中线，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题是三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质，倍长中线法，构造全等三角形． （1）由题意可得及三角形三边关系，即可求解； （2）通过证明，得出，即可得出结论； （3）同（2）得，则，进而判断出，进而判断出，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∵， ∴， 故答案为； （2），理由如下， 延长到Q使，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴； （3），理由如下， 在下图中，延长到Q使得，连接， 由（2）知，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， 延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 综上：． 37．（1）如图1，为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则__________；    （2）如图2，在中，，剪去后成为四边形，则__________； （3）如图2，根据（1）和（2）的求解过程，请归纳与的关系是______________； （4）若没有剪去，而是将折成如图3的形状，试探究与的关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4），理由见解析 【分析】（1）根据三角形的内角和为，三角形的外角和定理，则，，，即可； （2）根据三角形的内角和为，三角形的外角和定理，则，，，即可； （3）根据（1）和（2）可知，，根据，即可； （4）根据折叠的性质，则，根据全等三角形的性质，三角形内角和，平角的性质，则，，，再根据等量代换，即可． 【详解】（1）为直角三角形，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：．    （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：．    （3）由（1）和（2）得，， ∵， ∴， ∴． （4），理由见下： 由题意得，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的性质，三角形的内角和和三角形的外角和定理． 【题型07：全等三角形的性质-动点问题】 38．如图，在中，厘米，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上以a厘米/秒的速度由C点向A点运动．当与全等时，a的值为（    ） A．3 B．4 C．4或6 D．2或3 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质等知识点，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 分和两种情况时，分别依据全等三角形的对应边相等求得点Q的移动速度即可． 【详解】解：分两种情况： ①当时，， ∴点P运动的时间为秒， ∴点Q的运动速度为厘米/秒； ②当时，， ∴点P运动的时间为， ∴点Q的运动速度为厘米/秒； 综上所述，当点Q的运动速度为4或6厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 故选：C． 39．如图，，，、分别为线段和射线上的一点，若点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，二者速度之比为3:7，运动到某时刻同时停止，在射线上取一点，使与全等，则的长为（    ）    A．18 B．70 C．88或62 D．18或70 【答案】D 【分析】设，则，使与全等，由可知，分两种情况：当时，当时，列方程即可求解．本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论思想是解答此题的关键． 【详解】解：设，则，因为，使与全等，可分两种情况： 情况一：当时， ∵， ∴， 解得：， ∴； 情况二：当时， ∵， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，或70． 故选：D． 40．如图，在中，．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B向终点B运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线B﹣C﹣A向终点A运动，点P，Q都运动到各自的终点时停止．设运动时间为t（秒），直线l经过点C，且，过点P，Q分别作直线l的垂线段，垂足为E，F．当与全等时，t的值不可能是（　　） A．2 B． C．3 D．6 【答案】C 【分析】分三种情况讨论得出关于t的方程，解方程求得t的值．本题考查了三角形全等的性质、一元一次方程的应用，根据题意得出关于t的方程是解题的关键． 【详解】解：当P在上，Q在上时，如图，过点P，Q，C分别作直线l于点E，直线l于点F，于点D， ∵， ∴， ∵于E，于F． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 当P在上，Q在上时，即P、Q重合时，则， 由题意得，， 解得； 当P在上，Q在上时，即A、Q重合时，则， 由题意得，， 解得． 综上，当与全等时，t的值为2或或6． ∴t的值不可能是3． 故选：C． 41．如图，，于，于，且，点从向运动，每分钟走，点从向运动，每分钟走，当两点同时出发分钟后全等于，则此时的值是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，由题意得，，如图，当全等于时，得到，根据速度为米分钟即可求解． 【详解】由题意得， 如图，当全等于时， 点从向运动，每分钟走 故选：A． 42．《姑苏繁华图》是清代苏州籍宫廷画家徐扬的作品，全长，如图，，，，点在线段AB上以的速度由点向点运动，同时，点在线段BD上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为，当与全等时，的值是（    ） A．2 B．1或1.5 C．2或1.5 D．2或3 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质，一元一次方程的应用．由题意知分时和时两种情况，再根据全等的性质列方程求解即可． 【详解】解：∵点P在线段上以的速度由点A向点B运动，点Q在线段上以的速度由点B向点D运动， ∴，， ∴． ∵， ∴可分类讨论：①当时， ∴， ∴， 解得：； ②当时， ∴， ∴， 解得：． 综上可知x的值是2或3． 故选：D． 43．如图，在中，，点M，N分别在的垂线与线段上移动，，，，若和以点M、N、A为顶点的三角形全等，则的值为（    ）    A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，分情况讨论，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， ∴分两种情况讨论： 当时， ， 当时， ， 即的值为或， 故选：B． 【题型08：全等三角形的性质-证明题】 44．如图，，且点，，在一条直线上，点在上，延长交于点． (1)试说明：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理．熟练掌握了全等三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键． （1）由，可得，，由点，，在一条直线上，可求，则．．，进而可得． （2）由，可得，，则，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，． ∵点，，在一条直线上， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． （2）解：∵，， ∴，，又， ∴． ∴． ∴的长为7． 45．如图所示，，若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，先根据全等三角形的性质得到，进而证明，求出即可得到答案． 【详解】解：， ， ，即 ， ． 46．如图，点，，在同一条直线上，于点，于点，且，，．求： (1)的长； (2)的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查全等三角形的性质，等角的余角相当的性质， （1）根据全等三角形的性质得到，即可求出的长； （2）由全等三角形的性质得到，根据等角的余角相等得到，求出． 【详解】（1），，， ， ． （2）， ， ． ， ， ∴ 又点，，在同一条直线上， ， ． 47．如图，A，E，C三点在同一直线上，且．    (1)求证：； (2)猜想：当满足什么条件时？并证明你的猜想． 【答案】(1)见解析 (2)当中时，． 【分析】本题考查了全等三角形的性质定理和平行线的性质和判定． （1）根据全等三角形的性质得出，，再求出答案即可； （2）根据全等三角形的性质得出，根据平行线的性质得出，求出，再求出答案即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴； （2）解：猜想，时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴当是直角三角形时，． 48．如图所示，已知于点D，． (1)若，，求的长； (2)求证：． 【答案】(1)3 (2)见解析 【分析】（1）根据，得出， ，根据即可求解； （2）根据全等的性质得出，易得， 则，即可求证． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形的内角和，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等，对应角相等． 49．如图，已知．    (1)若，，求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据全等三角形的对应角相等，三角形的外角的性质计算； （2）根据全等三角形的对应边相等计算． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， 即， ， ， ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$