1.2 等差数列（4种题型基础练+能力提升练）数学湘教版2019选择性必修第一册

1.2 等差数列（3种题型基础练+能力提升练） 题型一．等差数列的性质 1．（2023秋•新邵县期末）已知，，为非零实数，则下列说法正确的是　　 A．是，，成等差数列的充要条件 B．是，，成等比数列的充要条件 C．若，，成等比数列，则，，成等比数列 D．若，，成等差数列，则，，成等差数列 【分析】根据等差中项与等比中项对选项一一验证即可得出答案． 【解答】解：根据等差中项即可得出是，，成等差数列的充要条件，故正确； ，即，又，，为非零实数，所以根据等比中项即可证明，，成等比数列， ，，成等比数列，只能证明，即是，，成等比数列的充分不必要条件，故错误； 若，，成等比数列，则，则，则，，成等比数列，故正确； 若，，成等差数列，则，无法得到，故错误． 故选：． 【点评】本题主要考查等比数列、等差数列的性质，属于基础题． 2．（2023秋•华容县期末）已知数列、为等差数列，其前项和分别为、，且，则　2　． 【分析】根据已知条件，结合等差数列的前项和公式，即可求解． 【解答】解：． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查等差数列的性质，属于基础题． 3．（2023秋•雁峰区校级期末）在等差数列中，若，则　　 A．12 B．18 C．6 D．9 【分析】根据等差数列的性质转化运算即可． 【解答】解：因为等差数列中， 所以， 解得． 故选：． 【点评】本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 4．（2023秋•天心区校级期末）在等差数列中，，则的值为　　 A．20 B．40 C．60 D．80 【分析】根据等差数列性质计算即可． 【解答】解：在等差数列中，因为， 所以， 所以． 故选：． 【点评】本题考查等差数列的性质，属于基础题． 5．（2023秋•平江县期末）已知各项均为正数的等差数列单调递增，且，则　　 A．公差的取值范围是 B． C． D． 【分析】由已知结合等差数列的性质及通项公式分别检验各选项即可判断． 【解答】解：因为各项均为正数的等差数列单调递增， 所以，， 因为，则， 所以，错误； ，正确； ， 所以，正确； ，正确． 故选：． 【点评】本题主要考查了等差数列的性质及通项公式的应用，属于基础题． 6．（2023秋•邵东市校级期末）已知数列的前项和，则下列结论正确的是　　 A．是等差数列 B． C． D．有最大值 【分析】由与的关系求出数列的通项，可判断，根据数列性质可判断，根据前项和的函数性质可判断． 【解答】解：当时，， 当时，，符合， 故， 所以，， 所以数列是等差数列，首项为，公差，正确； ，正确； 因为公差，所以数列是递减数列，所以，错误； ， 易知当或5时，有最大值，错误． 故选：． 【点评】本题主要考查等差数列的性质，考查了转化思想，属于中档题． 7．（2023秋•长沙期末）设数列的前项和为，下列命题正确的是　　 A．若为等差数列，则，，仍为等差数列 B．若为等比数列，则，，仍为等比数列 C．若为等差数列，则为等差数列 D．若为等比数列，则为等差数列 【分析】根据等差数列、等比数列的知识对选项进行分析，从而确定正确答案． 【解答】解：设等差数列的公差为，则， 则， 同理可得， 所以， 所以，，仍为等差数列，故项正确； 取数列为，1，，1，，，，不能成等比数列，故项不正确； 设等差数列的公差为，则， 于是， 所以为等差数列，故项正确； 若，则无意义，此时为等差数列是不正确的，故项不正确． 故选：． 【点评】本题主要考查了等差数列与等比数列的性质的应用，属于中档题． 题型二．等差数列的通项公式 8．（2024春•钦州期末）《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于家畜偷吃禾苗的问题．假设有羊、骡子、马、牛吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求羊的主人、骡子的主人、马的主人、牛的主人共赔偿12斗粟．羊的主人说：“羊吃得最少，羊和骡子吃的禾苗总数只有马和牛吃的禾苗总数的一半．”骡子的主人说：“骡子吃的禾苗只有羊和马吃的禾苗总数的一半．”马的主人说：“马吃的禾苗只有骡子和牛吃的禾苗总数的一半．”若按照此比率偿还，则羊的主人应赔偿的粟的斗数为　　 A．1 B． C．2 D． 【分析】根据题意设羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次为，，，，由题意得，通过等差中项可判断羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次成等差数列，列出相关等式解求首项即可． 【解答】解：设羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次为，，，，由题意得， 通过等差中项可判断羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次成等差数列， 设该数列为，公差为， 由题意得， 即解得． 故选：． 【点评】本题主要考查等差数列的公式，属于基础题． 9．（2023秋•平江县期末）在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬至．从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水，清明日影长之和为28.5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为　　 A．25.5尺 B．34.5尺 C．37.5尺 D．96尺 【分析】由题意知，十二个节气其日影长依次成等差数列，设冬至日的日影长为尺，公差为尺，利用等差数列的通项公式，求出，即可求出，由此能求出结果． 【解答】解：设从冬至起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列， 设冬至日的日影长为尺，公差为尺， 冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水，清明日影长之和为28.5尺， ， 解得，， 大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为： （尺． 故选：． 【点评】本题考查等差数列的实际运用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 10．（2023秋•衡阳县校级期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”已知问题中五个爵位是由高到低排列的，古代数学中“以爵次分之”一般表示等差分配，若已知上造得三分鹿之二，即上造分得鹿．则以下说法不正确的有　　 A．大夫分得二鹿 B．不更、上造分得的鹿之和是簪褭的两倍 C．不更分得一鹿加三分鹿之一 D．不更、上造分得的鹿之和与大夫、公士分得的鹿之和相等 【分析】记五个爵位所分得鹿构成等差数列，利用题意求解即可判断． 【解答】解：设五个爵位所分得鹿构成等差数列， 则，， 故，； 故，，，，， 故选项、、正确，选项错误； 故选：． 【点评】本题考查了等差数列的基本应用，属于基础题． 11．（2023秋•华容县期末）《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其大意为：有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子？这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是　　 A．3 B．6 C．9 D．12 【分析】设第一个人分到的橘子个数为，利用等差数列的前项和公式即可求出． 【解答】解：设第一个人分到的橘子个数为， 由题意可得，， 解得， 即得到橘子最少的人所得的橘子个数是6个， 故选：． 【点评】本题主要考查等差数列的应用，考查了等差数列的前项和公式，属于基础题． 12．（2023秋•衡阳县校级期末）已知为等差数列，首项，公差，若，则　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】由已知结合等差数列的通项公式即可求解． 【解答】解：因为为等差数列，，公差， 所以， ， 则． 故选：． 【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，属于基础题． 13．（2023秋•天心区校级期末）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了高阶等差数列的概念．如数列1，3，6，10，后前两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有二阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为　　 A．174 B．184 C．188 D．190 【分析】可得，利用叠加法可得通项，从而确定． 【解答】解：设此数列为，则，，，， 所以 ， 所以． 故选：． 【点评】本题考查新定义，考查等差数列的应用，属于中档题． 题型三、等差数列与一次函数 14.已知数列{an}是等差数列，且an＝an2＋n(n∈N＋)，则实数a＝____. 【解析】∵{an}是等差数列，且an＝an2＋n， ∴an是关于n的一次函数，∴a＝0. 15.已知等差数列{an}的通项公式为an＝2n－1. (1)求首项a1和公差d； (2)画出数列{an}的图象； (3)判断数列{an}的增减性. 【解析】（1）由于an＝2n－1＝1＋2(n－1)， 所以首项a1＝1，公差d＝2. （2）数列{an}的图象是直线y＝2x－1上一些等间隔的点，如图所示. （3）由(1)可知d>0，所以数列{an}是递增数列. 题型四．等差数列的前n项和 16．（2023秋•隆回县校级期末）已知为等差数列的前项和，若，，则　　 A．26 B．27 C．28 D．29 【分析】由题意得，，成等差数列，结合条件求解即可． 【解答】解：由题意得，，成等差数列， ，又，， ，解得． 故选：． 【点评】本题考查等差数列前项和性质，属于基础题． 17．（2023秋•浏阳市期末）已知等差数列中，，则数列的前8项和等于　　 A．42 B．50 C．72 D．90 【分析】根据题意，分析可得，计算可得答案． 【解答】解：根据题意，等差数列中，， 则． 故选：． 【点评】本题考查等差数列的求和，涉及等差数列的性质，属于基础题． 18．（2023秋•湖南期末）等差数列的前项和为，若，，则　　 A．的公差为1 B．的公差为2 C． D． 【分析】根据已知条件，结合等差数列的前项和公式，以及等差数列的性质，即可求解． 【解答】解：设的公差为， ，， 则解得 故，． 故选：． 【点评】本题主要考查等差数列的前项和公式，以及等差数列的性质，属于基础题． 19．（2023秋•永州期末）已知等差数列的前项和为，且，，则　3　． 【分析】根据题意，等差数列中，，，，也成等差数列，分析其首项和公差，求出的值，进而计算可得答案． 【解答】解：根据题意，等差数列中，，，，也成等差数列， 其首项，第二项，则其公差， 则， 则． 故答案为：3． 【点评】本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的求和，属于基础题． 20．（2023秋•长沙期末）在等差数列中，，其前项和为，若，则等于　　 A．10 B．100 C．110 D．120 【分析】等差数列中，其前项和为，则数列也为等差数列，再求出的通项，代入即可． 【解答】解：因为数列是等差数列，则数列也为等差数列，设其公差为， 则，则，又因为， 所以，所以，所以． 故选：． 【点评】本题主要考查了等差数列的性质的应用，属于基础题． 21．（2023秋•新邵县期末）设等差数列的前项和为，若，，则　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用等差数列和的性质，求解即可． 【解答】解：等差数列的前项和为，若，， 则，，． ， ． 故选：． 【点评】本题考查等差数列的性质的应用，考查计算能力，属基础题． 22．（2023秋•华容县期末）等差数列的前项和记为，若，，则　　 A． B． C．前15项和最大 D．从第32项开始， 【分析】根据数列的函数特征，可判断，根据数列的求和公式可判断． 【解答】解：由，，可得数列为递减数列， 则，，故正确； 则前15项和最大，故正确； 与0无法比较， ，故错误． 故选：． 【点评】本题主要考查等差数列的性质，考查学生的归纳推理和运算求解的能力，属于基础题． 23．（2023秋•张家界期末）数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是　　 A． B．数列是等差数列 C．当时， D．当或4时，取得最大值 【分析】令可判断，利用结合等差数列的定义可判断，，利用二次函数的性质可判断． 【解答】解：对于，，，故正确； 对于，当时，， 当时，， 显然满足上式， ， ， 数列是等差数列，故正确； 对于，由可知，， 当时，，故错误； 对于，， 又， 当或4时，取得最大值，故正确． 故选：． 【点评】本题主要考查了等差数列的定义和性质，考查了等差数列的前项和公式，属于基础题． 24．（2023秋•衡阳县校级期末）是等差数列，公差为，前项和为，若，，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据，易分析出，，，，从而可判断选项，；又，得，，从而可判断选项，因为，所以，从而结合函数的单调性可判断选项． 【解答】解：由，得；又，得，，所以，故选项、正确． 由，得，；所以，， 所以，故选项错误． 因为，所以，则， 因此当时，，选项正确． 故选：． 【点评】本题考查等差数列的通项公式，前项和，数列与函数的综合问题，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题． 25．（2023秋•武陵区校级期末）在4和67之间插入一个项的等差数列后，仍是一个等差数列，且新等差数列的所有项之和等于781，则的值为　 　． 【分析】根据题设条件，建立方程，由此能求出的值． 【解答】解：题设知： ， 解得． 故答案为：20． 【点评】本题考查等差数列的前项和公式的灵活运用，解题时要认真审题，仔细解答． 一、单选题 1．已知数列{an}的前三项依次为－2,2,6，且前n项和Sn是关于n的不含常数项的二次函数，则a100等于(　　) A．394 B．392 C．390 D．396 答案　A 解析　因为数列{an}的前n项和Sn是关于n的不含常数项的二次函数， 所以数列{an}是等差数列． 又因为数列{an}的前三项依次为－2,2,6， 所以数列的首项为－2，公差为4， 所以数列{an}的通项公式为an＝4n－6(n∈N*)， 所以a100＝394. 二．多选题 2．（2023秋•隆回县校级期末）已知等差数列的前项和为，，，则　　 A． B．的前项和中最小 C．使时的最大值为9 D．数列的前10项和为 【分析】根据条件先求解出的通项公式以及前项和，代入的通项公式检验即可判断选项；根据的表达式结合二次函数的性质进行分析判断选项；由条件得到关于的一元二次不等式，由此求解出结果并判断选项；先判断为等差数列，然后利用公式进行求和并判断选项． 【解答】解：设等差数列的首项为，公差为， 所以，解得， 所以，， ，故错误； ， 由二次函数的性质可知，故正确； 令，解得，所以的最大值为9，故正确； 因为，所以是首项为，公差为的等差数列， 所以的前10项和为，故正确． 故选：． 【点评】本题主要考查等差数列的性质，考查学生归纳推理与数学运算的能力，属于中档题． 3．（2023秋•天心区校级期末）设公差小于0的数列的前项和为，若，则　　 A． B． C． D．当且仅当时，取最大值 【分析】由已知结合等差数列的求和公式及性质检验各选项即可判断． 【解答】解：选项，，即，，故错误； 选项，公差，等差数列为单调递减数列，又， ，即，故正确； 选项，，故正确； 选项，等差数列 为递减数列，， ，， 当且仅当或时，取最大值，故错误． 故选：． 【点评】本题主要考查了等差数列的求和公式及性质的应用，属于中档题． 4.（2023秋•武陵区校级月考）数列是等差数列，也是等差数列　　 A．若，则数列也是等差数列 B．若，，为常数，则是等差数列 C．若，则是等差数列 D．若，则可能是等比数列 【分析】根据等差数列的定义判断、，利用特殊例子说明、． 【解答】解：设的首项为，公差为，的首项为，公差为， 则，， 对于， 则是以为首项，为公差的等差数列，故正确； 对于，，为常数）， 则是以为首项，为公差的等差数列，故正确； 对于：令，，则，显然不是等差数列，故错误； 对于：令，，则，则为等差数列也为等比数列，故正确． 故选：． 【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的性质，属于基础题． 5．（2023秋•天元区校级月考）设等差数列的公差为，前项和为，若，，，则下列结论正确的是　　 A．数列是递增数列 B． C． D．数列中最大项为第6项 【分析】利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可判断出结论． 【解答】解：依题意，有， ，化为：，， 即，， ． 由，得，联立解得．等差数列是单调递减的． ，，中最大的是． ． 综上可得：正确． 故选：． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 6．(多选)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，则下列选项中可能是Sn所对应函数的图象的是(　　) 答案　ABC 解析　因为Sn是等差数列{an}的前n项和，所以Sn＝an2＋bn(a，b为常数，n∈N*)，则其对应函数为y＝ax2＋bx.当a＝0时，该函数的图象是过原点的直线上一些孤立的点，如选项C；当a≠0时，该函数的图象是过原点的抛物线上一些孤立的点，如选项A，B；选项D中的曲线不过原点，不符合题意． 三．填空题 7．（2023秋•武陵区校级月考）已知等差数列共有项，其中奇数项和为290，偶数项和为261，则　 　． 【分析】设该等差数列为，可得，①，②联合解之可得． 【解答】解：设该等差数列为， 可得其前项和 ， 代入已知数据可得，① 又奇数项和 ， 代入数据可得，② 由①②可得， 故答案为：29 【点评】本题考查等差数列的求和公式，涉及等差数列的性质，属中档题． 8．设数列{an}的前n项和为Sn，点(n∈N*)均在函数y＝3x－2的图象上，则数列{an}的通项公式an＝________. 答案　6n－5(n∈N*) 解析　依题意得＝3n－2，即Sn＝3n2－2n，所以数列{an}为等差数列，且a1＝S1＝1，a2＝S2－S1＝7，设其公差为d，则d＝6， 所以an＝6n－5(n∈N*)． 9．已知数列{an}满足a1＝1，若点在直线x－y＋1＝0上，则an＝________. 答案　n2(n∈N*) 解析　由题设可得－＋1＝0，即－＝1， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 故通项公式为＝n，所以an＝n2(n∈N*)． 10．在数列{an}中，an＋1＝，a1＝2，则a20＝________. 答案　 解析　对an＋1＝取倒数得＝＋3， ∴－＝3， ∴是以为首项，3为公差的等差数列． ∴＝＋3(n－1) ＝3n－＝， ∴an＝， ∴a20＝. 11．已知数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2.则ak·ak＋1<0的k值为________． 答案　23 解析　因为3an＋1＝3an－2， 所以an＋1－an＝－， 所以数列{an}是首项为15， 公差为－的等差数列， 所以an＝15－·(n－1)＝－n＋. 令an＝－n＋>0， 得n<23.5， 又k∈N*， 所以使ak·ak＋1<0的k值为23. 12．在下表所示的5×5正方形的25个空格中填入正整数，使得每一行，每一列都成等差数列，问标有*号的空格应填的数是________． * 74 2y 186 y 103 0 x 2x 答案　142 解析　记aij为第i行第j列的格中所填的数，则a52＝x，a41＝y. 由第3行得a33＝， 由第3列得a33＝2×103－2x， 所以2x＋y＝113.① 由第1列得a21＝3y， 则由第2行得a23＝2×74－3y， a33＋103＝a23＋2x，a23＝3×103－4x， 所以2×74－3y＝3×103－4x， 即4x－3y＝161，② 解①②，得x＝50，y＝13， 所以a15＝2×186－a55＝2×186－4x＝172，a13＝2a33－a53＝112，a14＝＝142， 故标有*号的空格应填142. 13．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，对任意正整数n，an＋2－an＝2＋cos nπ，Sn为{an}的前n项和，则S100＝________. 答案　5 050 解析　当n为奇数时，an＋2－an＝1，即数列{an}的奇数项是以1为首项，1为公差的等差数列； 当n为偶数时，an＋2－an＝3，即数列{an}的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列， 所以S100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)＝＋＝5 050. 四、解答题 14．在等差数列{an}中，已知am＝n，an＝m，求am＋n的值． 解　方法一　设公差为d，则d＝＝＝－1， 从而am＋n＝am＋(m＋n－m)d＝n＋n·(－1)＝0. 方法二　设等差数列的通项公式为an＝an＋b(a，b为常数)， 则 得a＝－1，b＝m＋n. 所以am＋n＝a(m＋n)＋b＝0. 15．已知无穷等差数列{an}中，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出序号能被4除余3的项组成数列{bn}． (1)求b1和b2； (2)求{bn}的通项公式； (3){bn}中的第503项是{an}中的第几项？ 解　数列{bn}是数列{an}的一个子数列，其序号构成以3为首项，4为公差的等差数列， 由于{an}是等差数列，因此{bn}也是等差数列． (1)因为a1＝3，d＝－5， 所以an＝3＋(n－1)×(－5)＝8－5n. 数列中序号被4除余3的项是{an}中的第3项，第7项，第11项，…， 所以b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27. (2)设{an}中的第m项是{bn}中的第n项， 即bn＝am， 则m＝3＋4(n－1)＝4n－1， 所以bn＝am＝a4n－1＝8－5×(4n－1)＝13－20n， 即{bn}的通项公式为bn＝13－20n. (3)b503＝13－20×503＝－10 047， 设它是{an}中的第m项，则－10 047＝8－5m， 解得m＝2 011， 即{bn}中的第503项是{an}中的第2 011项． 16．已知等差数列{an}：3,7,11,15，…. (1)135,4m＋19(m∈N*)是{an}中的项吗？试说明理由； (2)若ap，aq(p，q∈N*)是数列{an}中的项，则2ap＋3aq是数列{an}中的项吗？并说明你的理由． 解　a1＝3，d＝4，an＝a1＋(n－1)d＝4n－1. (1)令an＝4n－1＝135， ∴n＝34， ∴135是数列{an}中的第34项． 令an＝4n－1＝4m＋19，则n＝m＋5∈N*. ∴4m＋19是{an}中的第m＋5项． (2)∵ap，aq是{an}中的项， ∴ap＝4p－1，aq＝4q－1. ∴2ap＋3aq＝2(4p－1)＋3(4q－1)＝8p＋12q－5＝4(2p＋3q－1)－1∈N*， ∴2ap＋3aq是{an}中的第2p＋3q－1项． 17.某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1 150万元，购买当天先付150万元，按约定以后每月的这一天都交付50万元，并加付所有欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部付清后，买这40套住房实际花了多少钱？ 解　因购房时付150万元，则欠款1 000万元，依题意分20次付款，则每次付款的数额依次构成数列{an}，则a1＝50＋1 000×1%＝60， a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5， a3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59， a4＝50＋(1 000－50×3)×1%＝58.5， 所以an＝50＋[1 000－50(n－1)]×1% ＝60－(n－1)(1≤n≤20，n∈N*)． 所以{an}是以60为首项，－为公差的等差数列． 所以a10＝60－9×＝55.5， a20＝60－19×＝50.5. 所以S20＝×(a1＋a20)×20 ＝10×(60＋50.5)＝1 105. 所以实际共付1 105＋150＝1 255(万元)． 18．已知等差数列{an}的公差d>0，前n项和为Sn，且a2a3＝45，S4＝28. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝(c为非零常数)，且数列{bn}也是等差数列，求c的值． 解　(1)∵S4＝28， ∴＝28，a1＋a4＝14， ∴a2＋a3＝14， 又a2a3＝45，公差d>0， ∴a2<a3， ∴a2＝5，a3＝9， ∴解得 ∴an＝4n－3，n∈N*. (2)由(1)，知Sn＝2n2－n， ∴bn＝＝， ∴b1＝，b2＝，b3＝. 又{bn}也是等差数列， ∴b1＋b3＝2b2， 即2×＝＋， 解得c＝－(c＝0舍去)． 19．已知数列{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和，a8＝4，________. (1)判断2 023是否是数列{an}中的项，并说明理由； (2)求Sn的最小值． 从①S11＝－22，②S5＝S6中任选一个，补充在上面的问题中并作答． 解　若选①， (1)设数列{an}的公差为d， 则 解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝3n－20. 令3n－20＝2 023，得n＝681∈N*， 所以2 023是数列{an}中的第681项． (2)令an＝3n－20>0，解得n>， 所以当n≤6时，an<0. 故当n＝6时，Sn取到最小值， 为S6＝6a1＋15d＝－57. 若选②， (1)设数列{an}的公差为d， 则 解得 所以an＝2n－12. 令2n－12＝2 023，解得n＝∉N*， 所以2 023不是数列{an}中的项． (2)令2n－12>0，得n>6， 所以当n≤6时，an≤0. 故当n＝6或n＝5时，Sn取到最小值， 为S5＝S6＝－30. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2 等差数列（3种题型基础练+能力提升练） 题型一．等差数列的性质 1．（2023秋•新邵县期末）已知，，为非零实数，则下列说法正确的是　　 A．是，，成等差数列的充要条件 B．是，，成等比数列的充要条件 C．若，，成等比数列，则，，成等比数列 D．若，，成等差数列，则，，成等差数列 2．（2023秋•华容县期末）已知数列、为等差数列，其前项和分别为、，且，则　　． 3．（2023秋•雁峰区校级期末）在等差数列中，若，则　　 A．12 B．18 C．6 D．9 4．（2023秋•天心区校级期末）在等差数列中，，则的值为　　 A．20 B．40 C．60 D．80 5．（2023秋•平江县期末）已知各项均为正数的等差数列单调递增，且，则　　 A．公差的取值范围是 B． C． D． 6．（2023秋•邵东市校级期末）已知数列的前项和，则下列结论正确的是　　 A．是等差数列 B． C． D．有最大值 7．（2023秋•长沙期末）设数列的前项和为，下列命题正确的是　　 A．若为等差数列，则，，仍为等差数列 B．若为等比数列，则，，仍为等比数列 C．若为等差数列，则为等差数列 D．若为等比数列，则为等差数列 题型二．等差数列的通项公式 8．（2024春•钦州期末）《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于家畜偷吃禾苗的问题．假设有羊、骡子、马、牛吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求羊的主人、骡子的主人、马的主人、牛的主人共赔偿12斗粟．羊的主人说：“羊吃得最少，羊和骡子吃的禾苗总数只有马和牛吃的禾苗总数的一半．”骡子的主人说：“骡子吃的禾苗只有羊和马吃的禾苗总数的一半．”马的主人说：“马吃的禾苗只有骡子和牛吃的禾苗总数的一半．”若按照此比率偿还，则羊的主人应赔偿的粟的斗数为　　 A．1 B． C．2 D． 9．（2023秋•平江县期末）在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬至．从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水，清明日影长之和为28.5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为　　 A．25.5尺 B．34.5尺 C．37.5尺 D．96尺 10．（2023秋•衡阳县校级期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”已知问题中五个爵位是由高到低排列的，古代数学中“以爵次分之”一般表示等差分配，若已知上造得三分鹿之二，即上造分得鹿．则以下说法不正确的有　　 A．大夫分得二鹿 B．不更、上造分得的鹿之和是簪褭的两倍 C．不更分得一鹿加三分鹿之一 D．不更、上造分得的鹿之和与大夫、公士分得的鹿之和相等 11．（2023秋•华容县期末）《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其大意为：有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子？这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是　　 A．3 B．6 C．9 D．12 12．（2023秋•衡阳县校级期末）已知为等差数列，首项，公差，若，则　　 A．1 B．2 C．3 D．4 13．（2023秋•天心区校级期末）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了高阶等差数列的概念．如数列1，3，6，10，后前两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有二阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为　　 A．174 B．184 C．188 D．190 题型三、等差数列与一次函数 14.已知数列{an}是等差数列，且an＝an2＋n(n∈N＋)，则实数a＝____. 15.已知等差数列{an}的通项公式为an＝2n－1. (1)求首项a1和公差d； (2)画出数列{an}的图象； (3)判断数列{an}的增减性. 题型四．等差数列的前n项和 16．（2023秋•隆回县校级期末）已知为等差数列的前项和，若，，则　　 A．26 B．27 C．28 D．29 17．（2023秋•浏阳市期末）已知等差数列中，，则数列的前8项和等于　　 A．42 B．50 C．72 D．90 18．（2023秋•湖南期末）等差数列的前项和为，若，，则　　 A．的公差为1 B．的公差为2 C． D． 19．（2023秋•永州期末）已知等差数列的前项和为，且，，则　　． 20．（2023秋•长沙期末）在等差数列中，，其前项和为，若，则等于　　 A．10 B．100 C．110 D．120 21．（2023秋•新邵县期末）设等差数列的前项和为，若，，则　　 A． B． C． D． 22．（2023秋•华容县期末）等差数列的前项和记为，若，，则　　 A． B． C．前15项和最大 D．从第32项开始， 23．（2023秋•张家界期末）数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是　　 A． B．数列是等差数列 C．当时， D．当或4时，取得最大值 24．（2023秋•衡阳县校级期末）是等差数列，公差为，前项和为，若，，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 25．（2023秋•武陵区校级期末）在4和67之间插入一个项的等差数列后，仍是一个等差数列，且新等差数列的所有项之和等于781，则的值为　 　． 一、单选题 1．已知数列{an}的前三项依次为－2,2,6，且前n项和Sn是关于n的不含常数项的二次函数，则a100等于(　　) A．394 B．392 C．390 D．396 二．多选题 2．（2023秋•隆回县校级期末）已知等差数列的前项和为，，，则　　 A． B．的前项和中最小 C．使时的最大值为9 D．数列的前10项和为 3．（2023秋•天心区校级期末）设公差小于0的数列的前项和为，若，则　　 A． B． C． D．当且仅当时，取最大值 4.（2023秋•武陵区校级月考）数列是等差数列，也是等差数列　　 A．若，则数列也是等差数列 B．若，，为常数，则是等差数列 C．若，则是等差数列 D．若，则可能是等比数列 5．（2023秋•天元区校级月考）设等差数列的公差为，前项和为，若，，，则下列结论正确的是　　 A．数列是递增数列 B． C． D．数列中最大项为第6项 6．(多选)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，则下列选项中可能是Sn所对应函数的图象的是(　　) 三．填空题 7．（2023秋•武陵区校级月考）已知等差数列共有项，其中奇数项和为290，偶数项和为261，则　 　． 8．设数列{an}的前n项和为Sn，点(n∈N*)均在函数y＝3x－2的图象上，则数列{an}的通项公式an＝________. 9．已知数列{an}满足a1＝1，若点在直线x－y＋1＝0上，则an＝________. 10．在数列{an}中，an＋1＝，a1＝2，则a20＝________. 11．已知数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2.则ak·ak＋1<0的k值为________． 12．在下表所示的5×5正方形的25个空格中填入正整数，使得每一行，每一列都成等差数列，问标有*号的空格应填的数是________． * 74 2y 186 y 103 0 x 2x 13．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，对任意正整数n，an＋2－an＝2＋cos nπ，Sn为{an}的前n项和，则S100＝________. 四、解答题 14．在等差数列{an}中，已知am＝n，an＝m，求am＋n的值． 15．已知无穷等差数列{an}中，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出序号能被4除余3的项组成数列{bn}． (1)求b1和b2； (2)求{bn}的通项公式； (3){bn}中的第503项是{an}中的第几项？ 16．已知等差数列{an}：3,7,11,15，…. (1)135,4m＋19(m∈N*)是{an}中的项吗？试说明理由； (2)若ap，aq(p，q∈N*)是数列{an}中的项，则2ap＋3aq是数列{an}中的项吗？并说明你的理由． 17.某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1 150万元，购买当天先付150万元，按约定以后每月的这一天都交付50万元，并加付所有欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部付清后，买这40套住房实际花了多少钱？ 18．已知等差数列{an}的公差d>0，前n项和为Sn，且a2a3＝45，S4＝28. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝(c为非零常数)，且数列{bn}也是等差数列，求c的值． 19．已知数列{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和，a8＝4，________. (1)判断2 023是否是数列{an}中的项，并说明理由； (2)求Sn的最小值． 从①S11＝－22，②S5＝S6中任选一个，补充在上面的问题中并作答． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$