2.4.2 圆的一般方程（教师用书）-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2．4.2　圆的一般方程 [学习任务] 1．正确理解圆的一般方程的形式及特点，会由一般方程求圆心和半径．(重点) 2．会在给定的条件下求圆的一般式方程．(重点) [对应学生用书第58页] 知识点　圆的一般方程 1．圆的一般方程的概念 当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程． 2．圆的一般方程对应的圆心和半径 圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为，半径长为． [对应学生用书第58页] 探究一　圆的一般方程的概念 [例1]　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求： (1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径． [解]　(1)因为方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆， 所以D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0， 即4m2＋4－4m2－20m＞0，解得m＜， 故m的取值范围为. (2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 可得圆心坐标为(－m，1)，半径r＝. 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的两种判断方法 (1)配方法：对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形为“标准”形式后，观察是否表示圆． (2)定义法：判断D2＋E2－4F是否大于零，确定它是否表示圆． 1．判断下列方程是否表示圆，若是，写出圆心和半径． (1)3x2＋y2＋2x＋1＝0； (2)x2＋y2＋xy＋1＝0； (3)x2＋y2＋x＋2y＋1＝0； (4)x2＋y2－4ax－2ay＋6a2＝0. 解　(1)由于x2，y2的系数不相等，所以该二元二次方程表示的不是圆． (2)由于该二次方程中含有xy项，所以该二元二次方程表示的不是圆． (3)由于D2＋E2－4F＝1＋4－4＞0，所以该二元二次方程表示的是圆．又由x2＋y2＋x＋2y＋1＝0可得＋(y＋1)2＝， 所以它表示以为圆心，以为半径的圆． (4)方程可变形为(x－2a)2＋(y－a)2＝a2.当a＝0时，方程表示点(0，0)；当a≠0时，方程表示圆心坐标是(2a，a)，半径是|a|的圆． 探究二　求圆的一般方程 [例2]　已知A(2，2)，B(5，3)，C(3，－1)，求△ABC的外接圆的方程． [解]　设△ABC外接圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意得解得 即△ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0. 1．(变结论)例题中若“点M(a，2)在△ABC的外接圆上”，其他条件不变，试求a的值． 解　设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意得解得 即△ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0. 又因为点M(a，2)在所求的圆上， 故点M(a，2)的坐标满足圆的方程， 可得a2＋22－8a－2×2＋12＝0， 即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或a＝6. 2．(变条件)例中将“点C(3，－1)”改为“圆C过A，B两点且圆关于直线y＝－x对称”，其他条件不变，如何求圆的方程？ 解　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则圆心是，因为圆关于直线y＝－x对称，则直线y＝－x经过圆心，即圆心在直线y＝－x上， 可得－＝，即D＝－E.又圆过点A(2，2)，B(5，3)， 由此可得， 解得D＝－13，E＝13，F＝－8， 故圆的一般方程是x2＋y2－13x＋13y－8＝0. 用待定系数法求圆的一般方程的步骤 (1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0； (2)根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组； (3)解此方程组，求出D，E，F的值； (4)将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程． 2．(1)过点M(－1，1)，且圆心与已知圆C：x2＋y2－4x＋6y－3＝0相同的圆的方程为________________． (2)过三点O(0，0)，M(7，1)，N(4，2)的圆的一般方程为________________． 解析　(1)将已知圆的方程化为标准方程(x－2)2＋(y＋3)2＝16，圆心C的坐标为(2，－3)，半径为4，故所求圆的半径为r＝|CM|＝＝5.所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25. (2)设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0).由已知，点O(0，0)，M(7，1)，N(4，2)的坐标满足上述方程，分别代入方程，可得关于D，E，F的三元一次方程组解方程组得D＝－8，E＝6，F＝0，于是得到所求圆的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0. 答案　(1)(x－2)2＋(y＋3)2＝25　(2)x2＋y2－8x＋6y＝0 探究三　与圆有关的轨迹问题 [例3]　已知直角△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求直角顶点C的轨迹方程． [解]　法一　设顶点C(x，y)，因为AC⊥BC，且A，B，C三点不共线，所以x≠3，且x≠－1. 又因为kAC＝，kBC＝，且kAC·kBC＝－1， 所以·＝－1，化简，得x2＋y2－2x－3＝0. 所以直角顶点C的轨迹方程为 x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1). 法二　同法一，得x≠3，且x≠－1. 由勾股定理，得|AC|2＋|BC|2＝|AB|2， 即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝16， 化简得x2＋y2－2x－3＝0. 所以直角顶点C的轨迹方程为 x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1). 法三　设AB的中点为D，由中点坐标公式，得D(1，0). 由直角三角形的性质，知|CD|＝|AB|＝2. 由圆的定义，知动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，以2为半径长的圆(因为A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点).设C(x，y)，则直角顶点C的轨迹方程为 (x－1)2＋y2＝4(x≠3，且x≠－1). 解决与圆有关的轨迹问题的方法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等． 3．(四川雅安高二月考)已知A(3，3)，点B是圆x2＋y2＝1上的动点，点M是线段AB上靠近A的三等分点，则点M的轨迹方程是(　　) A．(x－2)2＋(y－2)2＝ B．(x－2)2＋(y＋2)2＝ C．(x－3)2＋(y－3)2＝ D．(x－3)2＋(y＋3)2＝ 解析　设M(x，y)，B(a，b).因为点M是线段AB上靠近A的三等分点，所以a＝3x－6，b＝3y－6.又点B是圆x2＋y2＝1上的动点，所以(3x－6)2＋(3y－6)2＝1，即(x－2)2＋(y－2)2＝. 答案　A [典例]　已知圆的方程是x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，且点(1，2)在圆外，求实数k的取值范围． [错解]　将圆的方程配方，得＋(y＋1)2＝， 所以圆心坐标为，半径为. 因为点(1，2)在圆外，所以＋(2＋1)2＞，即k2＋k＋9＞0. 结合二次函数y＝k2＋k＋9的图象，知对一切k∈R，上述不等式恒成立，故实数k的取值范围是R. [错解分析]　由于方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0表示圆，故应该满足条件4－3k2＞0.由于审题不仔细，未挖掘出这个隐含条件，导致出错． [正解]　结合错解的结论再加上条件4－3k2＞0，可解得实数k的取值范围是. 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的前提是D2＋E2－4F＞0，因此在判断形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程是否表示圆时，不能忽略D2＋E2－4F＞0这一条件． 学科网（北京）股份有限公司 $$