2.3.3&2.3.4 点到直线的距离公式&两条平行直线间的距离（教师用书）-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2．3.3　点到直线的距离公式 2．3.4　两条平行直线间的距离 [学习任务] 1．了解点到直线的距离公式的推导方法．(重点) 2．会求点到直线的距离．(重点) 3．会解决两条平行线间的距离等问题．(难点) [对应学生用书第53页] 知识点　点到直线的距离与两条平行直线间的距离 点到直线的距离 两条平行直线间的距离 定义 点到直线的垂线段的长度 夹在两条平行直线间的公垂线段的长度 公式 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离d＝ [对应学生用书第53页] 探究一　点到直线的距离公式及应用 [例1]　求点P(3，－2)到下列直线的距离： (1)y＝x＋； (2)y＝6； (3)x＝4. [解]　(1)直线y＝x＋化为一般式为3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式可得d＝＝. (2)因为直线y＝6与y轴垂直， 所以点P到它的距离d＝|－2－6|＝8. (3)因为直线x＝4与x轴垂直， 所以点P到它的距离d＝|3－4|＝1. 应用点到直线的距离公式时应注意的三个问题 (1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式； (2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用； (3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解． 1．(1)若点A(－3，－4)，B(6，3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为(　　) A．　　　　　　 B．－ C．－或－ D．或 (2)求垂直于直线x＋3y－5＝0，且与点P(－1，0)的距离是的直线l的方程． 解　(1)由点到直线的距离公式得＝，解得a＝－或a＝－. 答案　C (2)设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝0，则由点到直线的距离公式知 d＝＝＝. 所以|m－3|＝6，即m－3＝±6，得m＝9或m＝－3， 故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0. 探究二　两平行线间的距离公式及应用 [例2]　(1)直线－＝1与y＝x＋1之间的距离为(　　) A． B． C． D．24 (2)若两条平行直线3x－4y＋1＝0与ax－8y＋c＝0的距离为3，则a＝________，c＝________． [解析]　(1)两直线变形为3x－2y－12＝0与3x－2y＋2＝0，d＝＝＝.故选B． (2)由题意得3×(－8)－(－4)×a＝0.所以a＝6. 直线3x－4y＋1＝0即为6x－8y＋2＝0. 由平行线间的距离公式得＝3. 所以|2－c|＝30，即c＝－28或32. 故填：6，－28或32. [答案]　(1)B　(2)6　－28或32 解决两条平行直线间的距离问题的方法 (1)转化为点到直线的距离，体现了转化与化归的数学思想； (2)直接使用公式d＝，其中l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，需注意此时直线l1与l2的方程为一般式且x，y的系数分别对应相同． 2．(1)(广东广州中学高二期中)两平行直线3x－2y－1＝0和6x－4y＋3＝0间的距离是(　　) A． B． C． D． (2)(湖北孝感重点高中协作体高二期中联考)已知a<0，若直线l1：2x＋ay－1＝0与直线l2：(a＋1)x＋y－4＝0平行，则它们之间的距离为(　　) A． B． C． D．或 解析　(1)直线3x－2y－1＝0即为6x－4y－2＝0，所以两平行直线6x－4y－2＝0和6x－4y＋3＝0间的距离d＝＝.故选A. (2)因为直线l1：2x＋ay－1＝0与直线l2：(a＋1)x＋y－4＝0平行，所以2×1－a(a＋1)＝0.又a<0，所以a＝－2.此时直线l1：2x－2y－1＝0，l2：－x＋y－4＝0，即2x－2y＋8＝0.由平行直线间的距离公式可知，l1与l2间的距离d＝＝.故选A. 答案　(1)A　(2)A 探究三　距离公式的综合应用 [例3]　已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形另外三边所在直线的方程． [解]　设与直线l：x＋3y－5＝0平行的边所在的直线方程为l1：x＋3y＋c＝0(c≠－5). 由得正方形的中心坐标为P(－1，0)， 由点P到两直线l，l1的距离相等， 得＝， 解得c＝7或c＝－5(舍去). ∴l1：x＋3y＋7＝0. 又正方形另两边所在直线与l垂直， ∴设另两边所在直线的方程分别为 3x－y＋a＝0，3x－y＋b＝0. ∵正方形中心到四条边的距离相等， ∴＝， 解得a＝9或a＝－3， 同理得b＝9或b＝－3. ∴另两条边所在的直线方程分别为 3x－y＋9＝0，3x－y－3＝0. ∴另外三边所在的直线方程分别为 3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0，3x－y－3＝0. 利用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式解综合题时，需特别注意直线方程要化为一般式，同时要注意构造法、数形结合法的应用，本节中距离公式的形式为一些代数问题提供了几何背景，可构造几何图形，借助几何图形的直观性去解决问题． 3．(1)(赤壁一中月考)已知点M(a，b)在直线4x－3y＋c＝0上，若(a－1)2＋(b－1)2的最小值为4，则c＝________. (2)(武汉二中月考)在△ABC中，A(m，2)，B(－3，－1)，C(5，1)，若BC的中点M到AB的距离大于M到AC的距离，则m的取值范围为________. 解析　(1)因为点M(a，b)在直线4x－3y＋c＝0上，那么(a－1)2＋(b－1)2的最小值就是定点(1，1)到直线4x－3y＋c＝0的距离d的平方，所以d＝＝2，解得c＝－11或9. (2)易知BC中点为M(1，0).又kAB＝，所以AB的方程为y＋1＝(x＋3)，即3x－(m＋3)y－m＋6＝0.同理AC的方程为y－1＝(x－5)，即x－(m－5)y＋m－10＝0，依题意有＞，解得m＜. 答案　(1)－11或9　(2) [典例]　已知直线l过点A(1，2)，且原点到直线l的距离为1，求直线l的方程． [错解]　由题意设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0.因为原点到直线l的距离为1，所以＝1，解得k＝.所以所求直线l的方程为y－2＝(x－1)，即3x－4y＋5＝0. [错解分析]　符合题意的直线有两条，错解中忽略了斜率不存在的情况，从而只得到了一条直线． [正解]　当直线l过点A(1，2)且斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，原点到直线l 的距离为1，满足题意． 当直线l过点A(1，2)且斜率存在时，由题意设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0. 因为原点到直线l的距离为1， 所以＝1，解得k＝. 所以所求直线l的方程为 y－2＝(x－1)，即3x－4y＋5＝0. 综上所述，所求直线l的方程为x＝1或3x－4y＋5＝0. 当用待定系数法确定直线的斜率时，一定要对斜率是否存在进行讨论，否则容易犯解析不全的错误． 学科网（北京）股份有限公司 $$