2.3.1&2.3.2 两条直线的交点坐标&两点间的距离公式（教师用书）-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

　　 2．3.1　两条直线的交点坐标 2．3.2　两点间的距离公式 [学习任务] 1．会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标并能判定两条直线的位置关系． 2．掌握两点间的距离公式及其应用．(重点) 3．会运用坐标法证明简单的几何问题． [对应学生用书第50页] 知识点一　两条直线的交点坐标 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系如表所示： 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点个数 1 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 知识点二　两点间的距离公式 1．公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝． 2．文字叙述：平面内两点间的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根． [对应学生用书第51页] 探究一　两条直线的交点问题 [例1]　分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点；若不相交，说明它们的位置关系． (1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3. [解]　(1)解方程组得 因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1). (2)方程组有无数个解，这表明直线l1和l2重合． (3)方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2. 求两直线的交点坐标的方法及注意事项 (1)方法：联立这两条直线的方程组成方程组，这个方程组的解对应的实数对即为两条直线的交点坐标； (2)注意事项：解题过程中注意对其中参数进行分类讨论． 1．(1)直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1)，则m＋n的值为(　　) A．12 B．10 C．－8 D．－6 (2)(重庆两江中学月考)经过两直线l1：2x－y＋3＝0与l2：x＋2y－1＝0的交点，且平行于直线3x＋2y＋7＝0的直线方程是(　　) A．2x－3y＋5＝0 B．2x＋3y－1＝0 C．3x＋2y－2＝0 D．3x＋2y＋1＝0 解析　(1)将(2，－1)代入3x＋my－1＝0可得m＝5， 将(2，－1)代入4x＋3y－n＝0可得n＝5，所以m＋n＝10. (2)由解得所以直线l1与l2的交点坐标为(－1，1). 易知直线3x＋2y＋7＝0的斜率为－， 则过点(－1，1)且平行于直线3x＋2y＋7＝0的直线方程是y－1＝－(x＋1)，即3x＋2y＋1＝0.故选D. 答案　(1)B　(2)D 探究二　两点间的距离公式 角度一　两点间距离的计算 [例2]　已知△ABC三顶点坐标A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状． [解]　法一　∵|AB|＝＝2， |AC|＝＝2， |BC|＝＝2， ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|， ∴△ABC是等腰直角三角形． 法二　∵kAC＝＝，kAB＝＝－， 则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB. 又|AC|＝＝2， |AB|＝＝2， ∴|AC|＝|AB|，∴△ABC是等腰直角三角形． 计算两点间距离的方法 (1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝； (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解． 角度二　距离公式在几何证明中的应用 [例3]　在△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2). [证明]　设BC所在边为x轴，以D为原点，建立平面直角坐标系，如图所示，设A(b，c)，C(a，0)，则B(－a，0)， 因为|AB|2＝(a＋b)2＋c2， |AC|2＝(a－b)2＋c2， |AD|2＝b2＋c2， |DC|2＝a2， 所以|AB|2＋|AC|2＝2(a2＋b2＋c2)， |AD|2＋|DC|2＝b2＋c2＋a2， 所以|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2). 用坐标法(解析法)解决几何问题的基本步骤 第一步：建立适当的直角坐标系，用坐标表示有关的量； 第二步：进行有关的代数计算； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系． 在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考查是否为直角；二是要考虑三角形边的长度特征，主要考查边是否相等或是否满足勾股定理． [注意]　建系时让图形中尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算． 2．已知正三角形ABC的边长为a，在平面上求点P，使|PA|2＋|PB|2＋|PC|2最小，并求出最小值． 解　以正三角形的一边所在直线为x轴，此边中线所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 则A，B，C. 设P(x，y)，则有|PA|2＋|PB|2＋|PC|2 ＝＋y2＋＋y2＋x2＋ ＝3x2＋3y2－ay＋a2 ＝3x2＋3＋a2. ∴当P时，|PA|2＋|PB|2＋|PC|2有最小值a2. 1．对称问题的主要类型及解法 (1)点关于点对称：点关于点的对称问题是最基本的对称问题，用中点坐标公式求解．点M(a，b)关于点(x0，y0)的对称点为M′(2x0－a，2y0－b)； (2)直线关于点对称：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再用两点式求出直线方程．或者求出一个对称点，再利用直线平行，由点斜式得所求直线方程； (3)点关于直线对称：点(x1，y1)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的对称点(x2，y2)可由 得出； (4)直线关于直线对称：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的直线l2的方程的求法：转化为点关于直线对称，在直线l1上任取两点P1和P2，求出P1，P2关于l的对称点，再用两点式求出直线l2的方程． 2．利用对称性求距离的最值 由平面几何知识(三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差的绝对值小于第三边)可知，解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题时，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线l的异侧，则先求A，B两点中某一点，如A关于直线l的对称点A′，得直线A′B的方程，再求其与直线l的交点即可．对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解． 1．已知直线l：y＝3x＋3，求： (1)点P(4，5)关于直线l的对称点坐标； (2)直线y＝x－2关于直线l对称的直线的方程； (3)直线l关于点A(3，2)对称的直线的方程． 解　(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点M在直线l上，且直线PP′垂直于直线l， 即解得 ∴点P′的坐标为(－2，7). (2)解方程组得 则点在所求直线上． 在直线y＝x－2上取一点M(2，0)， 设点M关于直线l的对称点为M′(x0，y0)， 则解得 ∴点M′也在所求直线上． 由两点式得直线方程为＝， 化简得直线方程为7x＋y＋22＝0. (3)在直线l上取两点E(0，3)，F(－1，0)， 则E，F关于点A(3，2)的对称点为E′(6，1)，F′(7，4). ∵点E′，F′在所求直线上， ∴由两点式得直线方程为＝， 即3x－y－17＝0. 2．在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得： (1)P到A(4，1)和B(0，4)的距离之差最大； (2)P到A(4，1)和C(3，4)的距离之和最小． 解　(1)如图，设点B关于l的对称点B′的坐标为(a，b)，kBB′kl＝－1， 即3×＝－1， ∴a＋3b－12＝0.① 又BB′的中点坐标为，且在直线l上， ∴3×－－1＝0，即3a－b－6＝0.② 由①②得a＝3，b＝3，∴B′(3，3). 于是直线AB′的方程为＝， 即2x＋y－9＝0. 解由l的直线方程与AB′的直线方程组成的方程组得 即l与AB′的交点坐标为(2，5)，∴P(2，5). (2)如图，设C关于l的对称点为C′， 可求出C′的坐标为. ∴AC′所在直线的方程为 19x＋17y－93＝0. AC′和l交点坐标为P. 故P点坐标为. 学科网（北京）股份有限公司 $$