2.2.3 直线的一般式方程（教师用书）-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2．2.3　直线的一般式方程 [学习任务] 1．掌握直线的一般式方程，理解直线的一般式方程与二元一次方程．(重点、难点) 2．能正确进行直线方程的关系五种形式之间的转化．(难点、易混点) 3．能用直线的一般式方程解决有关问题． [对应学生用书第48页] 知识点　直线的一般式方程 1．定义：关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 2．系数的几何意义：当B≠0时，则－＝k(斜率)，－＝b(y轴上的截距)； 当B＝0，A≠0时，则－＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率． [对应学生用书第48页] 探究一　直线的一般式方程 [例1]　根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是，且经过点A(5，3)； (2)斜率为4，在y轴上的截距为－2； (3)经过A(－1，5)，B(2，－1)两点； (4)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1. [解]　(1)由直线方程的点斜式得 y－3＝(x－5)，即x－y－5＋3＝0. (2)由斜截式得直线方程为y＝4x－2， 即4x－y－2＝0. (3)由两点式得＝， 即2x＋y－3＝0. (4)由截距式得直线方程为＋＝1. 即x＋3y＋3＝0. 关于直线的一般式方程与其他形式的方程 一般情况下，直线的一般式方程与直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式都可以进行互化，但是最常用的是一般式方程化斜截式方程，可以得出斜率及y轴上的截距，用于作图或转化解题． 1．(陕西高一期末)求经过点A(－2，3)，B(4，－1)的直线的两点式方程，并把它化成一般式、斜截式和截距式． 解　过A，B两点的直线的两点式方程为＝. 整理，得2x＋3y－5＝0，此为直线方程的一般式． 将方程2x＋3y－5＝0移项得3y＝－2x＋5，等式两边同时除以3，得y＝－x＋，此为直线方程的斜截式． 将方程2x＋3y－5＝0化为2x＋3y＝5，两边同时除以5并整理，得＋＝1，此为直线方程的截距式． 探究二　一般式下直线的平行和垂直问题 [例2]　(1)如果直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0(a∈R)平行，那么a＝________． (2)已知直线l1：(k－3)x＋(5－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0垂直，则k的值是________． [解析]　(1)当a＝0时，不符合题意；当a＝－1时，不符合题意；当a≠0且a≠－1时，l1可化为y＝－x＋，l2可化为y＝－x－，由题意知－＝－且≠－，解得a＝－2或a＝1. (2)由l1⊥l2，得2(k－3)2＋(5－k)×(－2)＝0，即k2－5k＋4＝0，解得k＝1或k＝4. [答案]　(1)－2或1　(2)1或4 利用一般式直线方程判断直线位置关系的方法 若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)，则： (1)当A1B2－A2B1≠0时，l1与l2相交； (2)当A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0时，l1∥l2； (3)当A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1＝0时，l1与l2重合； (4)当A1A2＋B1B2＝0时，l1⊥l2. 2．(1)已知直线l1：x＋my＋6＝0和l2：mx＋4y＋2＝0互相平行，则实数m的值为(　　) A．－2　 B．2　　 C．±2　 D．2或4 (2)已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程： ①过点(－1，3)，且与l平行； ②过点(－1，3)，且与l垂直． 解　(1)因为直线l2的斜率存在，故当l1∥l2时，直线l1的斜率也一定存在，所以－＝－，解得m＝±2. 答案　C (2)法一　l的方程可化为y＝－x＋3， ∴l的斜率为－. ①∵l′与l平行，∴l′的斜率为－. 又l′过点(－1，3)， 由点斜式知方程为y－3＝－(x＋1)， 即3x＋4y－9＝0. ②∵l′与l垂直，∴l′的斜率为， 又l′过点(－1，3)， 由点斜式可得方程为y－3＝(x＋1)， 即4x－3y＋13＝0. 法二　①由l′与l平行，可设l′的方程为 3x＋4y＋m＝0(m≠－12). 将点(－1，3)代入上式得m＝－9. ∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0. ②由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0. 将(－1，3)代入上式得n＝13. ∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0. 探究三　含参数的一般式方程有关的问题 [例3]　已知直线l：mx－y－m＋4＝0. (1)求证直线l恒过定点，并求出该定点坐标； (2)是否存在实数m，使得直线与x轴和y轴的正半轴都相交？若存在，求出m的范围，并求出与两坐标轴围成的三角形面积的最小值；若不存在，请说明理由． [解]　(1)法一　由mx－y－m＋4＝0得 (x－1)m＋(－y＋4)＝0. 所以当即时，直线l恒过定点(1，4). 法二　由mx－y－m＋4＝0得 y－4＝m(x－1)， 表示过点(1，4)的点斜式， 即直线恒过定点(1，4). (2)存在实数m.由(1)知直线l恒过第一象限的点(1，4). 得l与x轴和y轴的交点分别为 A，B(0，4－m)(m≠0)， 由题意得所以m＜0. 所以当m＜0时，直线l与x轴和y轴的正半轴都相交． 此时S△OAB＝|OA|·|OB| ＝·|4－m|＝ ＝. 因为m＜0， 所以S△OAB＝＋4 ＝＋8. 所以当－＝0，即m＝－4时， △OAB的面积取得最小值8. 已知含参数的直线的一般式方程， 求参数的值或取值范围的步骤 3．设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0. (1)已知直线l在x轴上的截距为－3，求m的值； (2)已知直线l的斜率为1，求m的值． 解　(1)令y＝0，则x＝， 所以＝－3， 得m＝－或m＝3(舍去).所以m＝－. (2)由直线l化为斜截式方程得 y＝x＋，则＝1， 得m＝－2或m＝－1(舍去).所以m＝－2. [典例]　已知直线l1：x＋2(m－1)y－3＝0与l2：(2m－1)x－(m－1)y＋6＝0平行，求m的值． [正解]　当m－1＝0，即m＝1时，直线l1与l2的斜率均不存在，此时两直线的方程为l1：x－3＝0与l2：x＋6＝0，所以l1∥l2. 当m≠1时，此时两条直线的方程为l1：y＝－x＋与l2：y＝x＋.由l1∥l2得－＝， 解得m＝，经检验知，此时有≠， 所以当l1∥l2时，m＝1或m＝. 解题时易出现遗漏m＝1，即斜率不存在的情形，误把k1＝k2且b1≠b2当成两条直线平行的条件，忘记了这一结论是在两条直线斜率都存在，即方程中y前的系数均不为零的前提下才成立． 学科网（北京）股份有限公司 $$