2.2.1 直线的点斜式方程（教师用书）-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

　　 2．2.1　直线的点斜式方程 [学习任务] 1．了解直线方程的点斜式的推导过程．(难点) 2．掌握直线方程的点斜式并会应用．(重点) 3．掌握直线方程的斜截式，了解截距的概念．(重点、易错点) [对应学生用书第43页] 知识点　直线的点斜式方程和斜截式方程 类型 点斜式 斜截式 条件 直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k 直线l的斜率为k，且与y轴的交点为P0(0，b) 图形 方程 y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b 适用 范围 斜率存在 [对应学生用书第43页] 探究一　直线的点斜式方程 [例1]　写出满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)经过点A(－3，－1)，斜率为； (2)经过点B(，1)，倾斜角是120°； (3)经过点C(0，5)且与x轴垂直． [解]　(1)y＋1＝(x＋3). (2)倾斜角为120°，则斜率为－， 所以该直线方程为y－1＝－(x－). (3)因为直线垂直于x轴，斜率不存在，所以该直线的方程为x＝0.(y轴所在的直线方程) 求直线的点斜式方程的步骤 [注意]　斜率不存在时，过点P(x0，y0)的直线与x轴垂直，直线上所有点的横坐标相等，都为x0，故直线方程为x＝x0. 1．(1)一条直线经过点(2，5)，倾斜角为45°，则这条直线的点斜式方程为________． (2)经过点(－5，2)且平行于y轴的直线方程为________． (3)求经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝x倾斜角的2倍的直线的点斜式方程． 解析　(1)因为倾斜角为45°，所以斜率k＝tan 45°＝1， 所以直线的点斜式方程为y－5＝x－2. (2)因为直线平行于y轴，所以直线不存在斜率，所以方程为x＝－5. (3)因为直线y＝x的斜率为，所以倾斜角为30°. 所以所求直线的倾斜角为60°，其斜率为. 所以所求直线方程为y＋3＝(x－2). 答案　(1)y－5＝x－2　(2)x＝－5 (3)y＋3＝(x－2) 探究二　直线的斜截式方程 [例2]　根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. [解]　(1)由直线方程的斜截式可知， 所求直线方程为y＝2x＋5. (2)由于直线的倾斜角为150°， 所以斜率k＝tan 150°＝－， 由斜截式可得方程为y＝－x－2. (3)由于直线的倾斜角为60°， 所以斜率k＝tan 60°＝. 由于直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3， 所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3， 故所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3. 求直线的斜截式方程的策略 (1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要点斜式中的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示； (2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程，只需知道参数k，b的值即可； (3)利用直线的斜截式求方程务必灵活，如果已知斜率k，只需引入参数b；如果已知截距b，只需引入参数k. 2．(1)直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有(　　) A．k＞0，b＞0　　　　 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0 (2)直线l的斜率为3且它在y轴上的截距为－3. ①求直线l的方程； ②求直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积． 解　(1)因为直线y＝kx通过第一、三象限，所以k＞0，根据直线y＝kx＋b与y轴的交点坐标为(0，b)，且直线经过第四象限，可由直线y＝kx向下平移得到，所以b＜0. 答案　B (2)①由斜截式得直线l的方程为y＝3x－3. ②在y＝3x－3中，令y＝0，得直线l与x轴上的截距为1，则直线l与坐标轴所围成的三角形面积 S＝×|1|×|－3|＝. 探究三　两直线平行与垂直的应用 [例3]　已知直线l1：y＝－x＋3a与直线l2：y＝(a2－5)x＋6. (1)当a为何值时，l1∥l2? (2)当a为何值时，l1⊥l2? [解]　设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2， 则k1＝－1，k2＝a2－5. (1)当l1∥l2时，有解得a＝－2. (2)当l1⊥l2时，k1k2＝－1，即a2－5＝1， 所以a2＝6，所以a＝±. 1．(变结论)在本例条件不变的情况下，求证：无论a为何值时，直线l2恒过定点，并求出定点． 解　由y＝(a2－5)x＋6知，无论a为何值，l2在y轴上的截距恒为6.即l2恒过定点(0，6). 2．(变条件)本例条件变为：已知直线l：y＝(a2－2)x＋2a＋8与直线y＝－x＋1垂直，且与直线y＝3x＋a2在y轴上的截距相同，求a的值． 解　由题意得 解得所以a＝－2. 两条直线平行和垂直的判定 (1)平行的判定 (2)垂直的判定 3．(1)(白城一中月考)已知直线l1：y＝2x＋3a，l2：y＝(a2＋1)x＋3，若l1∥l2，则实数a＝________. (2)(天津七中周练)已知直线l1：y＝－2x＋3，l2：y＝(2m－1)x－5，若l1⊥l2，则实数m＝________. 解析　(1)因为l1∥l2，所以a2＋1＝2，即a2＝1，所以a＝±1.又l1与l2不能重合，所以3a≠3，即a≠1，故a＝－1. (2)因为l1⊥l2，所以(2m－1)×(－2)＝－1，所以m＝. 答案　(1)－1　(2) [典例]　已知直线l1：y＝－x－，l2：y＝－x－m，当l1∥l2时，求m的值． [错解]　由l1∥l2，得－＝－，即m(m－2)＝3，解得m＝－1或m＝3，即m的值为－1或3. [错解分析]　解本题时忽略直线重合的情况，导致产生增解m＝3. [正解]　由l1∥l2，得 解得m＝－1. ∴m的值为－1. 当两条直线的斜率存在时，两条直线平行的等价条件是斜率相等且纵截距不相等，解题时容易忽略纵截距不相等，导致产生增解． 学科网（北京）股份有限公司 $$