2.1.1 倾斜角与斜率（教师用书）-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

　　 2．1.1　倾斜角与斜率 [学习任务] 1．理解直线的斜率和倾斜角的概念．(重点) 2．掌握倾斜角与斜率的对应关系．(重点) 3．掌握过两点的直线的斜率公式．(重点) 4．掌握直线的斜率与方向向量的关系．(难点) [对应学生用书第37页] 知识点一　直线的倾斜角 1．倾斜角的定义 当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠APx，直线l′的倾斜角是∠BPx. 2．倾斜角的范围 直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°. 知识点二　直线的斜率 1．斜率的定义 一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α． 2．斜率公式 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝．当x1＝x2时，直线P1P2斜率不存在． [对应学生用书第37页] 探究一　直线的倾斜角 [例1]　(1)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(　　) A.α＋45° B．α－135° C．135°－α D．当0°≤α＜135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180°时，倾斜角为α－135° (2)已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为________. [解析]　(1)根据题意，画出图形，如图所示： 因为0°≤α＜180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面， 不合题意，通过画图(如图所示)可知：当0°≤α＜135°时，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D. (2)设直线l2的倾斜角为α2，由l1和l2向上的方向所成的角为120°，所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°. [答案]　(1)D　(2)135° 求直线的倾斜角的方法及两点注意 (1)方法：结合图形，根据倾斜角的定义求倾斜角； (2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°；②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. 1．如图，直线l的倾斜角为(　　) A．60° B．120° C．30° D．150° 解析　由图易知l的倾斜角为45°＋105°＝150°. 答案　D 探究二　直线的斜率 [例2]　经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α. (1)A(2，3)，B(4，5)； (2)C(－2，3)，D(2，－1)； (3)P(－3，1)，Q(－3，10). [解]　(1)存在，直线AB的斜率kAB＝＝1， 即tan α＝1，又0°≤α＜180°，所以倾斜角α＝45°. (2)存在，直线CD的斜率kCD＝＝－1， 即tan α＝－1，又0°≤α＜180°，所以倾斜角α＝135°. (3)不存在．因为xP＝xQ＝－3，所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°. 1．利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项 (1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的； (2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置． 2．在0°≤α＜180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记． 倾斜角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150° 斜率k 0 1 － －1 － 2．已知经过两点(5，m)和(m，8)的直线的斜率大于1，则m的取值范围是(　　) A．(5，8)　　　　　　 B．(8，＋∞) C． D． 解析　由题意知＞1，得－1＞0，即＜0，所以5＜m＜. 答案　D 探究三　直线的倾斜角及斜率的应用 [例3]　(1)(江门高一月考)已知A(－3，－5)，B(1，3)，C(5，11)三点，这三点________(填“是”或“否”)在同一直线上． (2)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，求直线l的斜率的范围和倾斜角的范围． [解]　(1)由题意可知直线AB的斜率kAB＝＝2，直线BC的斜率kBC＝＝2.因为kAB＝kBC，即两条直线的斜率相同，并且它们过同一点B，所以A，B，C三点在同一直线上．故填是． [答案]　是 (2)如图所示． 因为kAP＝＝1， kBP＝＝－， 所以k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)， 所以α∈[45°，120°]. 1．利用斜率公式解决三点共线的方法 2．解决斜率取值范围问题的基本方法——数形结合 斜率k的大小与正切函数之间的关系是用倾斜角α来联系的，因此，可以由倾斜角的变化得出斜率的变化．解决这类问题时，可利用数形结合思想直观地判断直线的位置． 3．已知A(3，3)，B(－4，2)，C(0，－2). (1)求直线AB和AC的斜率； (2)当点D在线段BC上(包括端点)移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 解　(1)由斜率公式可得 直线AB的斜率kAB＝＝， 直线AC的斜率kAC＝＝. (2)如图所示，当点D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是. [典例]　已知点A(2，1)，B(－2，2)，若直线l过点P，且总与线段AB有交点，则直线l的斜率k的取值范围是___________________________________________． [错解]　由题意，得kPA＝＝，kPB＝＝－.要使过点P的直线l总与线段AB有交点，需－≤k≤，即直线l的斜率k的取值范围为. [错解分析]　解本题时易由kPA＝，kPB＝－得直线l的斜率k的取值范围是.事实上，在直线l的允许活动范围内，l的倾斜角连续变化时，直线斜率的变化并不一定连续，当直线l垂直于x轴(直线l的倾斜角为90°)时，直线l的斜率不存在，出错的原因是忽略了直线斜率的变化与倾斜角的变化的关系，以及直线倾斜角为90°时直线无斜率． [正解]　如图，当直线l由PA绕点P转动到PB时，l的斜率先逐渐变大，当直线l垂直于x轴时，l无斜率，继续转动时斜率为负值并逐渐变大直到等于直线PB的斜率，所以直线l的斜率k≥kPA＝＝或k≤kPB＝＝－，即k≥或k≤－. [答案]　 当直线的倾斜角0°≤α＜90°时，随着α的增大，直线的斜率k为非负值且逐渐增大；当直线的倾斜角90°＜α＜180°时，随着α的增大，直线的斜率k为负值且逐渐增大． 学科网（北京）股份有限公司 $$