1.4.2 第2课时 用空间向量研究夹角问题（教师用书）-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

第2课时　用空间向量研究夹角问题 [学习任务] 1．会用空间向量法求线线、线面、面面的夹角．(重点、难点) 2．正确区分向量夹角与所求线线角、面面角的关系．(易错点) [对应学生用书第25页] 知识点一　利用向量方法求两条异面直线所成的角 设两条异面直线l1，l2所成的角为θ，它们的方向向量分别为u，v，则 cos θ＝|cos u，v|＝＝． [注意]　不要将两异面直线所成的角与其方向向量的夹角等同起来，因为两异面直线所成角的范围是，而两个向量夹角的范围是[0，π]，事实上，两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系． 知识点二　利用向量方法求直线与平面所成的角 如图所示，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos u，n|＝＝． [注意]　(1)直线与平面所成的角是指这条直线与它在这个平面内的投影所成的角，其范围是. (2)若u，n是一个锐角，则θ＝－u，n；若u，n是一个钝角，则θ＝u，n－. 知识点三　利用向量方法求两个平面的夹角 1．平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角． 2．若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角，设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos n1，n2|＝＝. [注意]　(1)两个平面夹角的范围是，若夹角为，则两个平面垂直． (2)因为两个平面法向量的方向不确定，故n1，n2∈(0，π)，若n1，n2为钝角，应取其补角． [对应学生用书第26页] 探究一　求两条异面直线所成的角 [例1]　(2022·北京高二期末)如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E1在A1B1上，F1在C1D1上，且B1E1＝D1F1＝. (1)求向量BE1，DF1的坐标； (2)求BE1与DF1所成角的余弦值． [解]　(1)由题意可得B(1，1，0)，E1， D(0，0，0)，F1， 故BE1＝，DF1＝. (2)由(1)可知，BE1＝，DF1＝， 所以|BE1|＝ ＝， |DF1|＝ ＝， BE1·DF1＝0×0＋＋1×1＝， 所以cos BE1，DF1＝＝＝， 故BE1与DF1所成角的余弦值为. 求异面直线夹角的方法 (1)传统法：作出与异面直线所成角相等的平面角，进而构造三角形求解； (2)向量法：在两异面直线a与b上分别取点A，B和C，D，则与可分别为a，b的方向向量，则cos θ＝. 1．(南昌一中月考)如图，S是正三角形ABC所在平面外一点，M，N分别是AB和SC的中点，SA＝SB＝SC，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝90°，则异面直线SM与BN夹角的余弦值为(　　) A．－ 　B． C．－ D． 解析　不妨设SA＝SB＝SC＝1.以S为坐标原点，SA，SB，SC所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，S(0，0，0)，M，N，所以＝，＝，所以||＝，||＝，·＝－，所以cos 〈，〉＝＝－.因为异面直线的夹角为锐角或直角，所以异面直线SM与BN夹角的余弦值为. 答案　B 探究二　求直线与平面所成的角 [例2]　在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，求EB与平面ABCD夹角的余弦值． [解]　如图，建立空间直角坐标系． 设PD＝DC＝1， 由ABCD是正方形，PE＝EC， 得P(0，0，1)，B(1，1，0)，C(0，1，0)， 则E， 所以＝， 且||＝. 又因为平面ABCD的法向量为＝(0，0，1)， 设EB与平面ABCD的夹角为θ， 则sin θ＝|cos 〈，〉|＝＝＝. 所以cos θ＝， 即EB与平面ABCD夹角的余弦值为. 求直线与平面所成角的思路与步骤 思路一：找直线在平面内的投影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)； 思路二：用向量法求直线与平面所成角可利用向量夹角公式或法向量．利用法向量求直线与平面所成角的基本步骤： ①建立空间直角坐标系； ②求直线的方向向量； ③求平面的法向量n； ④计算：设线面角为θ，则sin θ＝. 2．(1)(山东潍坊高密三中高二月考)已知空间向量＝(1，0，－1)，平面α的一个法向量n＝(0，1，1)，则直线AB与平面α所成的角为(　　) A． B． C．或 D．或 (2)(豫南名校高二上期中联考)如图，在正三棱锥P­ABC中，PA，PB，PC两两垂直，E，F分别是AB，BC的中点，则直线AF与平面PEF所成角的正弦值为(　　) A． B． C D． 解析　(1)直线AB与平面α所成角的正弦值为sin θ＝|cos 〈，n〉|＝＝＝，则直线AB与平面α所成的角为. (2)以点P为原点，PA，PB，PC所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设PA＝2，则P(0，0，0)，A(2，0，0)，E(1，1，0)，F(0，1，1)，所以＝(－2，1，1)，＝(1，1，0)，＝(0，1，1).设平面PEF的法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝1，则n＝(1，－1，1)是平面PEF的一个法向量．设AF与平面PEF所成的角为θ，则sin θ＝＝＝. 答案　(1)A　(2)A 探究三　求平面与平面的夹角 [例3]　如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形． (1)证明：O1O⊥底面ABCD； (2)若∠CBA＝60°，求平面OC1B1与平面BDD1B1夹角的余弦值． [解]　(1)证明　因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，所以CC1⊥AC，DD1⊥BD. 又CC1∥DD1∥OO1，所以OO1⊥AC，OO1⊥BD， 因为AC∩BD＝O，所以O1O⊥底面ABCD. (2)因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD为菱形，AC⊥BD.又O1O⊥底面ABCD，所以OB，OC，OO1两两垂直．如图，以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系． 设棱长为2，因为∠CBA＝60°，所以OB＝，OC＝1， 所以O(0，0，0)，B1(，0，2)，C1(0，1，2)， 平面BDD1B1的一个法向量为n＝(0，1，0)， 设平面OC1B1的法向量为m＝(x，y，z)， 则由m⊥OB1，m⊥OC1，所以 取z＝－，则x＝2，y＝2， 所以m＝(2，2，－)， 所以|cos 〈m，n〉|＝＝＝. 所以平面C1B1O与平面BDD1B1的夹角的余弦值为. 向量法求两平面的夹角 (或其某个三角函数值)的步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系，写出相应点的坐标； (2)求出两个半平面的法向量n1，n2； (3)设两平面的夹角为θ，则cos θ＝|cos n1，n2|. [注意]　若要求的是二面角，则根据图形判断该二面角是钝角还是锐角，再用法向量求解． 3．正方形ABCD所在平面外有一点P，PA⊥平面ABCD.若PA＝AB，求平面PAB与平面PCD的夹角的大小． 解　以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝1， 则A(0，0，0)，B(0，1，0)，P(0，0，1)， D(1，0，0)，C(1，1，0). 平面PAB的法向量为n1＝(1，0，0). 设平面PCD的法向量为n2＝(x，y，z)， 则得 令x＝1，则z＝1. 所以n2＝(1，0，1)，cos n1，n2＝＝. 所以平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值为. 且夹角的范围为，所以此角的大小为45°. 4．如图，在四棱锥QABCD中，底面ABCD为正方形，AD＝2，QC＝3，QA＝QD＝. (1)证明：平面QAD⊥平面ABCD； (2)求二面角BQDA的余弦值． 解　(1)证明　因为底面ABCD是正方形，所以CD⊥AD. 因为CD＝2，QD＝，QC＝3，所以CD2＋QD2＝QC2， 所以CD⊥QD. 又AD∩QD＝D，AD⊂平面QAD，QD⊂平面QAD， 所以CD⊥平面QAD. 因为CD⊂平面ABCD，所以平面QAD⊥平面ABCD. (2)以A为坐标原点，，的方向分别为x轴、y轴的正方向，建立如图的空间直角坐标系Axyz，则B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，Q(0，1，2)， 所以＝(－2，2，0)， ＝(－2，1，2). 设平面BDQ的法向量为 m＝(x，y，z)， 则即 令z＝1，可得m＝(2，2，1). 由(1)可知＝(2，0，0)是平面ADQ的一个法向量， 则cos m，＝＝＝. 故二面角BQDA的余弦值为. 探究四　空间角的探索性问题 [例4]　(天津静海一中月考)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥底面ABCD，E为AD的中点，M是棱PC的中点，PA＝PD＝2，BC＝AD＝1，CD＝. (1)求证：PE∥平面BMD； (2)求直线PB与平面BMD所成角的余弦值； (3)线段PA上是否存在一点N，使得平面BMN与平面BMD所成角的余弦值为？若存在，求出线段PN的长度；若不存在，请说明理由． [解]　(1)证明　如图，连接EC交BD于F，连接MF.由题知ED与BC平行且相等，所以四边形DEBC是平行四边形，因此BD与EC互相平分，F是EC的中点．又M是PC的中点，所以MF∥PE，又PE⊄平面BDM，MF⊂平面BDM，所以PE∥平面BDM. (2)因为∠ADC＝90°，所以BE⊥AD．又PA＝PD，E是AD的中点，所以PE⊥AD．因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE⊂平面PAD，所以PE⊥平面ABCD． 以E为原点，以EA，EB，EP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(0，，0)，D(－1，0，0)，P(0，0，)，C(－1，，0)， 所以M，＝(0，，－)，＝(－1，－，0)，＝. 设平面BDM的法向量是n＝(x，y，z)， 则 令x＝，则n＝(，－1，0)是平面BDM的一个法向量． 设直线PB与平面BMD所成的角为θ， 则sin θ＝＝＝， 所以cos θ＝＝. (3)假设存在满足题意的点N.设＝λ(0≤λ≤1).因为＝(1，0，－)，所以＝－＝λ－＝λ(1，0，－)－(0，，－)＝(λ，－，－λ＋).设平面BMN的法向量是m＝(x0，y0，z0)，则m·＝－x0－y0＋z0＝0， m·＝λx0－y0＋(1－λ)z0＝0，取x0＝，则m＝是平面BMN的一个法向量． 由题意得|cos 〈m，n〉|＝＝＝，解得λ＝或. 又PA＝2，所以PN＝或. 所以存在满足题意的点N，且PN＝或PN＝. 求解存在性问题的基本策略：首先假定题中的数学对象存在，其次构建空间直角坐标系，再次利用空间向量法把存在性问题转化为求参数是否有解问题，最后解方程，下结论．利用上述思维策略，可使此类存在性难题变为常规问题． 5．(衡阳高二期中)如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，CA＝4，CB＝4，CC1＝2，∠ACB＝90°，点M在线段A1B1上． (1)若A1M＝3MB1，求异面直线AM和A1C所成角的余弦值； (2)若直线AM与平面ABC1所成角为30°，试确定点M的位置． 解　(1)以C为原点，分别以CA，CB，CC1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则C(0，0，0)，A(4，0，0)，A1(4，0，2)，B1(0，4，2). ∵A1M＝3MB1，∴M(1，3，2). 可得A1C＝(－4，0，－2)，＝(－3，3，2)， ∴cos A1C，＝＝＝. ∴异面直线AM和A1C所成角的余弦值为. (2)由(1)得＝(－4，4，0)，AC1＝(－4，0，2). 设n＝(a，b，c)是平面ABC1的一个法向量，可得 取a＝1，得b＝1，c＝，∴n＝(1，1，). ∵直线AM与平面ABC1所成角为30°， ∴与n所成角为60°或120°， ∴|cos ，n|＝. 设点M的横坐标为x，则＝(x－4，4－x，2)， ∴＝ ＝＝，解得x＝2或6. ∵M在A1B1上，∴x＜4，故x＝2.即点M为线段A1B1的中点时，直线AM与平面ABC1所成角为30°. 学科网（北京）股份有限公司 $$