1.4.2 第1课时 用空间向量研究距离问题（教师用书）-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

1．4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时　用空间向量研究距离问题 [学习任务] 1．掌握利用空间向量求点、线、面间的距离公式和推导方法． 2．会用空间向量解决有关距离的问题．(重点) [对应学生用书第23页] 知识点一　点P到直线l的距离 如图，直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点．设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得点P到直线l的距离为PQ＝＝． 知识点二　点P到平面α的距离 如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度．因此PQ＝＝＝． [对应学生用书第23页] 探究一　点到直线的距离 [例1]　在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到直线EF的距离． [解]　以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图． 设DA＝2，则A(2，0，0)， E(0，2，1)，F(1，0，2)， 所以＝(1，－2，1)， ＝(1，0，－2). 所以||＝＝， ·＝1×1＋0×(－2)＋(－2)×1＝－1， 所以在上的投影为＝ . 所以点A到直线EF的距离 d＝ ＝＝. 求点P到直线l的距离的步骤 (1)在直线l上取一点A，同时确定直线l的方向向量n，并求其单位向量u＝； (2)计算直线上点A与已知点P对应的向量； (3)计算·u； (4)由公式d＝ 求距离． 1．在四棱锥 P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝2AB＝4，且PD与底面ABCD所成的角为45°，则点B到直线PD的距离为(　　) A．2 B．2 C．2 D．2 解析　因为PA⊥平面ABCD，所以∠PDA为PD与平面ABCD所成的角，所以∠PDA＝45°，所以PA＝AD＝4.以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，P(0，0，4)，D(0，4，0)，则＝(0，－4，4)，＝ (－2，0，4)，所以点B到直线PD的距离为d＝＝＝2. 答案　B 探究二　点到平面的距离 [例2]　已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1，AB＝1，AA1＝2，点E为CC1的中点，求点D1到平面BDE的距离． [解]　以点D为原点，建立空间直角坐标系Dxyz，如图， 则D(0，0，0)，B(1，1，0)， D1(0，0，2)，E(0，1，1)， 所以＝(1，1，0)，＝(0，1，1). 设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)， 则n⊥，n⊥. 故有所以所以 取x＝1，则y＝－1，z＝1，所以n＝(1，－1，1). 因为DD1＝(0，0，2)，所以DD1·n＝2，|n|＝， 所以点D1到平面BDE的距离 d＝＝＝， 即点D1到平面BDE的距离为. 求点到平面的距离的主要方法 (1)作点到平面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离； (2)在三棱锥中用等体积法求解； (3)向量法：d＝(n为平面的法向量，A为平面上一点，MA为过点A的斜线段). [注意]　线面距、面面距实质上是求点面距，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行． 2．(1)已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，则点P(－2，1，4)到平面α的距离为(　　) A．10 B．3 C． D． (2)(北京十二中高二上期中)在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，2)，D(2，2，2)，则四面体A­BCD的体积为(　　) A． B． C． D． 解析　(1)由＝(－1，－2，4)，得点P到平面α的距离d＝＝. (2)不妨设平面ABC的法向量n＝(x，y，z)，因为＝(－2，2，0)，＝(－2，0，2)，所以即令x＝1，则n＝(1，1，1)是平面ABC的一个法向量．因为＝(0，－2，－2)，所以D到平面ABC的距离d＝＝＝.又||＝||＝||＝2，所以△ABC为等边三角形，所以S△ABC＝×2×2×sin 60°＝2，所以四面体A­BCD的体积V＝S△ABCd＝. 答案　(1)D　(2)B 探究三　直线到它的平行平面的距离 [例3]　在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CC1的中点． (1)求证：DA∥平面A1EFD1； (2)求直线AD到平面A1EFD1的距离． [解]　(1)证明　如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Dxyz， 则D(0，0，0)，A(a，0，0)， D1(0，0，a)，A1(a，0，a)， 所以＝(a，0，0)，D1A1＝(a，0，0)，所以DA∥D1A1. 又D1A1⊂平面A1EFD1，DA⊄平面A1EFD1， 所以DA∥平面A1EFD1. (2)由F是CC1的中点知F， 所以D1F＝，＝. 设n＝(x，y，z)是平面A1EFD1的法向量，则 所以取z＝1，得y＝， 则n＝， 所以在n上的投影向量的模，即为点D到平面A1EFD1的距离 d＝＝＝a.又DA∥A1D1， 所以直线AD到平面A1EFD1的距离是a. 求直线到它的平行平面的距离，先在直线上找到一点，然后转化为点到平面的距离求解，且这个点要适当选取，以求解最简为准则． 3．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1＝AB＝BC＝3，AC＝2，D是AC的中点． (1)求证：B1C∥平面A1BD； (2)求直线B1C到平面A1BD的距离． 解　(1)证明　连接AB1交A1B于点E, 则E是AB1的中点，连接DE.因为D是AC的中点， 所以DE∥B1C.又DE⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，所以B1C∥平面A1BD. (2)因为B1C∥平面A1BD，所以B1C到平面A1BD的距离就等于点B1到平面A1BD的距离． 建立如图所示的空间直角坐标系，则B1(0，2，3)，B(0，2，0)， A1(－1，0，3)， 所以DB1＝(0，2，3)， ＝(0，2，0)，DA1＝(－1，0，3). 设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)， 所以 取z＝1，则x＝3，y＝0，所以n＝(3，0，1). 所以点B1到平面A1BD的距离为＝， 即直线B1C到平面A1BD的距离为. 探究四　两个平行平面间的距离 [例4]　已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离． [解]　以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 则D(0，0，0)，A1(1，0，1)， B(1，1，0)，D1(0，0，1)， 所以A1B＝(0，1，－1)， A1D＝(－1，0，－1)， A1D1＝(－1，0，0). 设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令z＝1，得y＝1，x＝－1，∴n＝(－1，1，1). 所以点D1到平面A1BD的距离 d＝＝＝. 又由题意易得平面A1BD∥平面B1CD1， 所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离， 所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离为. 平面α平行于平面β，则α，β之间的距离就是α内任一点到β的距离，所以求两平行平面间的距离，可根据定义转化为点到平面的距离求解． 4．如图所示，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱AA1＝3，底面边长AB＝2，E，F分别为棱BC，B1C1的中点． (1)求证：平面BD1F∥平面C1DE； (2)求平面BD1F与平面C1DE间的距离． 解　(1)证明　如图，以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则D(0，0，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，3)，C1(0，2，3)， B1(2，2，3)，B(2，2，0)，E(1，2，0)，F(1，2，3)， 所以D1F＝(1，2，0)，＝(1，2，0)， 所以D1F∥，所以D1F∥DE. 又因为DE⊂平面DEC1， D1F⊄平面DEC1， 所以D1F∥平面DEC1. 又因为＝(－1，0，3)，EC1＝(－1，0，3)， 所以∥EC1，所以BF∥EC1. 又因为EC1⊂平面C1DE，BF⊄平面C1DE， 所以BF∥平面C1DE. 因为D1F∩BF＝F，所以平面BD1F∥平面C1DE. (2)由(1)可知平面BD1F与平面C1DE间的距离等于D1到平面C1DE的距离， 设平面C1DE的法向量为n＝(x，y，z)， 由得得 令x＝6，得n＝(6，－3，2).又D1C1＝(0，2，0)， 所以D1到平面C1DE的距离 d＝＝＝， 所以平面BD1F与平面C1DE间的距离为. 学科网（北京）股份有限公司 $$