1.4.1 第3课时 空间中直线、平面的垂直（教师用书）-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

第3课时　空间中直线、平面的垂直 [学习任务] 1．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．(重点) 2．能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系．(重点、难点) [对应学生用书第20页] 知识点　空间中直线、平面垂直的向量表示 1．线线垂直的向量表示 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0． 2．线面垂直的向量表示 设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn． 3．面面垂直的向量表示 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0． [对应学生用书第21页] 探究一　直线和直线垂直 [例1]　已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1.求证：AB1⊥MN. [证明]　如图，以平面ABC内垂直于AC的直线为x轴，，AA1的方向分别为y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B1， M，N， 所以AB1＝， ＝， 所以AB1·＝－＋＋＝0. 所以AB1⊥，即AB1⊥MN. 利用空间向量证明两直线垂直的常用方法及步骤 (1)基向量法：①选取三个不共面的已知向量(通常是它们的模及其两两夹角为已知)为空间的一个基底；②把两直线的方向向量用基底表示；③利用向量的数量积运算，计算出两直线的方向向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直； (2)坐标法：①根据已知条件和图形特征，建立适当的空间直角坐标系，正确地写出各点的坐标；②根据所求出点的坐标求出两直线方向向量的坐标；③计算两直线方向向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直． 1．如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AC的中点．求证： (1)BD1⊥AC； (2)BD1⊥EB1. 证明　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为1，则B(1，1，0)，D1(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E，B1(1，1，1). (1)BD1＝(－1，－1，1)，＝(－1，1，0)， ∴BD1·＝(－1)×(－1)＋(－1)×1＋1×0＝0， ∴BD1⊥，∴BD1⊥AC. (2)BD1＝(－1，－1，1)， EB1＝， ∴BD1·EB1＝(－1)×＋(－1)×＋1×1＝0， ∴BD1⊥EB1，∴BD1⊥EB1. 探究二　直线和平面垂直 [例2]　如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E为PC的中点，EF⊥BP于点F.求证：PB⊥平面EFD. [证明]　由题意得，DA，DC，DP两两垂直， 所以以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图， 设DC＝PD＝1，则P(0，0，1)，A(1，0，0)，D(0，0，0)， B(1，1，0)，E. 所以＝(1，1，－1)， ＝， ＝. 法一　因为·＝(1，1，－1)· ＝0＋－＝0， 所以⊥，所以PB⊥DE. 因为PB⊥EF，又EF∩DE＝E，EF，DE⊂平面EFD. 所以PB⊥平面EFD. 法二　设F(x，y，z)，则＝(x，y，z－1)， ＝. 因为⊥，所以x＋－＝0， 即x＋y－z＝0.① 又因为∥，可设＝λ(0≤λ≤1)， 所以x＝λ，y＝λ，z－1＝－λ.② 由①②可知，x＝，y＝，z＝， 所以＝. 设n＝(x1，y1，z1)为平面EFD的法向量， 则有即 所以取z1＝1，则n＝(－1，－1，1). 所以∥n，所以PB⊥平面EFD. 用向量法证明线面垂直的方法及步骤 (1)利用线线垂直：①将直线的方向向量用坐标表示；②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直； (2)利用平面的法向量：①将直线的方向向量用坐标表示；②求出平面的法向量；③判断直线的方向向量与平面的法向量平行． 2．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC． 证明　方法一　设＝a，＝c， ＝b，连接BD，则＝＋＝(＋)＝(＋)＝(＋－)＝(b＋c－a). 因为＝＋＝a＋b，所以·＝(b＋c－a)·(a＋b)＝(b2－a2)＝0， 所以⊥，即EF⊥AB1.同理，EF⊥B1C． 又AB1∩B1C＝B1，所以EF⊥平面B1AC． 方法二　设正方体的棱长为2a，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2a，0，0)，C(0，2a，0)，B1(2a，2a，2a)，E(2a，2a，a)，F(a，a，2a)，所以＝(－a，－a，a)，＝(0，2a，2a)，＝(－2a，2a，0).因为·＝(－a，－a，a)·(0，2a，2a)＝0，·＝(－a，－a，a)·(－2a，2a，0)＝0， 所以EF⊥AB1，EF⊥AC． 又AB1∩AC＝A，所以EF⊥平面B1AC． 探究三　平面和平面垂直 [例3]　在四棱锥SABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD. [证明]　设AS＝AB＝1，建立如图所示的空间直角坐标系． 则B(1，0，0)，D(0，1，0)， A(0，0，0)，S(0，0，1)，E. 法一　连接AC，交BD于点O， 连接OE，则点O的坐标为. 易知＝(0，0，1)， ＝，∴＝，∴OE∥AS. 又AS⊥底面ABCD，∴OE⊥平面ABCD. 又OE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCD. 法二　设平面BDE的法向量为n1＝(x，y，z). 易知＝(－1，1，0)，＝， ∴即 令x＝1，可得平面BDE的一个法向量为n1＝(1，1，0). ∵AS⊥底面ABCD， ∴平面ABCD的一个法向量为n2＝＝(0，0，1). ∵n1·n2＝0，∴平面BDE⊥平面ABCD. 证明面面垂直的两种方法 (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明； (2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直． 3．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD. 证明：平面PQC⊥平面DCQ. 证明　如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，DA，DP，DC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz. 则D(0，0，0)，Q(1，1，0)，C(0，0，1)，P(0，2，0)， 则＝(1，1，0)，＝(0，0，1)，＝(1，－1，0)， ∴·＝0，·＝0， 即PQ⊥DQ，PQ⊥DC， 又DQ∩DC＝D，DQ，DC⊂平面DCQ， ∴PQ⊥平面DCQ.又PQ⊂平面PQC， ∴平面PQC⊥平面DCQ. 探究四　垂直关系中的探索性问题 [例4]　如图，在四棱锥PABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点． (1)求证：EF⊥CD； (2)已知点G在平面PAD内，且GF⊥平面PCB，试确定点G的位置． [解]　(1)证明　以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(如图)， 设AD＝a，则D(0，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E，P(0，0，a)， F， ∴＝，＝(0，a，0)， ∴·＝·(0，a，0)＝0， ∴EF⊥CD. (2)∵G∈平面PAD，设G(x，0，z)， ∴＝. 由(1)，知＝(a，0，0)，＝(0，－a，a). ∵GF⊥平面PCB， ∴·＝·(a，0，0) ＝a＝0， ·＝·(0，－a，a) ＝＋a＝0， ∴x＝，z＝0. ∴点G的坐标为，即点G为AD的中点． 解决立体几何中探索性问题的基本方法 (1)通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理； (2)探索性问题的关键是设点： ①空间中的点可设为(x，y，z)； ②坐标平面内的点其中一个坐标为0，如Oxy面上的点为(x，y，0)； ③坐标轴上的点两个坐标为0，如z轴上的点为(0，0，z)； ④直线(线段)AB上的点P，可设为＝λ，表示出点P的坐标，或直接利用向量运算． 4．(滕州高一月考)如图①，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥BE，如图②. (1)求证：A1E⊥平面BCDE； (2)在线段BD上是否存在点P，使平面A1EP⊥平面A1BD？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 解　(1)证明　因为DE⊥AB于点E，所以A1E⊥DE. 因为A1D⊥BE，ED⊥BE，且ED∩A1D＝D， 所以BE⊥平面A1DE. 所以BE⊥A1E.又因为BE∩DE＝E， 所以A1E⊥平面BCDE. (2)假设在线段BD上存在点P， 使平面A1EP⊥平面A1BD. 根据(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则E(0，0，0)，B(1，0，0)， D(0，，0)，A1(0，0，1)， 所以A1B＝(1，0，－1)，EA1＝(0，0，1)， A1D＝(0，，－1). 设P(x，y，0)，＝λ(0≤λ≤1)， 则(x－1，y，0)＝λ(－1，，0)，所以P(1－λ，λ，0)， 所以＝(1－λ，λ，0). 设平面A1EP的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)， 则即 令x1＝λ，则y1＝λ－1，所以m＝(λ，λ－1，0). 设平面A1BD的一个法向量为n＝(x2，y2，z2)， 则即 令y2＝1，则z2＝x2＝，所以n＝(，1，). 因为平面A1EP⊥平面A1BD， 所以m·n＝0，即3λ＋λ－1＝0，解得λ＝， 所以在线段BD上存在点P，使平面A1EP⊥平面A1BD，且＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$