冲刺训练08：空间中直线、平面的垂直-2020-2021学年高二数学期末满分冲刺训练（人教A版2019选择性必修第一册）

冲刺训练08：空间中直线、平面的垂直 1．设的方向向量为的方向向量为.若，则等于（ ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用直线垂直，方向向量垂直，数量积为0即可. 【解答】因为，所以， 则有，所以，即. 故选：C 【点评】本题主要考查了空间直线垂直，方向向量数量积为，属于基础题. 2．设直线、的方向向量分别为，，若，则实数等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，可得出，利用空间向量数量积的坐标运算可求得实数的值. 【解答】因为，所以，则，解得， 故选：B. 【点评】本题考查利用空间向量法处理线线垂直，考查计算能力，属于基础题. 3．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列四个命题：①若，，，则；②若，，则；③若，，则或；④若，，，则．其中正确命题的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】设直线，的方向向量分别为，，的法向量分别为，将各选项中的题设条件转化为向量的关系后可得相应的结论是否成立. 【解答】对于①，因为，，故，，故，因，故， 故①正确. 对于②，因为，，故，，故即，故②正确. 对于③，因为，，故，，故即或， 故③正确. 对于④, 因为，，，故，，， 故即，故④正确. 故选：D. 【点评】本题考查空间中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，此类问题一般是根据位置关系的判定定理和性质定理来考虑，也可以利用直线的方向向量和法向量的关系来判断位置关系，本题属于中档题. 4．已知，，，若，且平面，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得出可求得的值，由平面，可得出，可得出关于实数、的方程组，进而可解得实数、的值，由此可得出向量的坐标. 【解答】，，，则，解得， ， 平面，、平面，所以，，， 则，解得，因此，. 故选：D. 【点评】本题考查利用向量垂直、线面垂直求参数，考查计算能力，属于中等题. 5．已知空间中四点，，，，若，则________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】由已知可得，再判断垂直关系 【解答】∵，∴．∴． 故答案为：. 【点评】本题向量垂直与数量积的关系，是基础题. 6．在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点. （1）求证：EF⊥CD； （2）在平面PAD内是否存在一点G，使GF⊥平面PCB？若存在，求出点G坐标；若不存在，试说明理由. 【答案】（1）证明详见解析；（2）存在，. 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求的坐标，根据数量积等于0可得答案； （2）假设存在满足条件的点G，向量法证明线面垂直可得答案. 【解答】（1）证明：由题意知，DA，DC，DP两两垂直. 如图 以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设AD＝a， 则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)， E，P(0，0，a)，F，，， 因为，所以， 从而得EF⊥CD. （2）存在.理由如下：假设存在满足条件的点G， 设G(x，0，z)，则， 若使GF⊥平面PCB，则由 ，得x＝； 由，得z＝0， 所以G点坐标为， 故存在满足条件的点G，且点G为AD的中点. 【点评】本题考查了向量法证明线线垂直，证明线面垂直及存在性的问题，属于基础题. 7．如图，在四棱锥中，四边形为矩形，是以为直角的等腰直角三角形，平面平面.证明：平面平面. 【答案】证明见解析. 【分析】首先取的中点，的中点，连接，得到，根据平面平面，得到平面，根据，得到，再以点为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，，根据，即可证明平面平面. 【解答】取的中点，的中点，连接，则， 又平面平面，平面平面， 所以平面， 又，所以， 以点为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 如图所示： 设，，则，，， ，， 所以，，， 设是平面的法向量，是平面的法向量， 则由，，得 令，则，即， 同理，，令，可得，即. 因为，所以平面平面. 【点评】本题主要考查利用向量法证明面面垂直，同时考查学生的计算能力，属于简单题. 8．如图，在四棱锥中，平面与底面所成的角的大小为45°，底面为直角梯形，．问： （1）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． （2）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）存在，为棱的中点；（2）存在，是的中点. 【分析】以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系. （1）设，则由平面可得，从而得到即为棱的中点. （2）设，则由平面可得，再根据可得满足的方程组，解方程组后可得的坐标即是的中点.