1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示（教师用书）-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

　　 1．4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 [学习任务] 1．能用向量语言表述直线和平面． 2．理解直线的方向向量与平面的法向量．(重点) 3．会求直线的方向向量与平面的法向量．(重点、难点) [对应学生用书第16页] 知识点　空间中点、直线和平面的向量表示 1．空间直线的向量表示式 如图，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta＝＋t． 2．空间平面的向量表示式 如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y． 3．平面的法向量 直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则a叫做平面α的法向量．过空间点A，且以向量a为法向量的平面α，可以用集合表示为{P|a·＝0}． [对应学生用书第16页] 探究一　求直线的方向向量 [例1]　(1)已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于(　　) A．0　　 B．1　　 C．　　 D．3 (2)在如图所示的坐标系中，ABCDA1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为________，直线BC1的一个方向向量为________． [解析]　(1)∵A(0，y，3)和B(－1，2，z)， ∴＝(－1，2－y，z－3). ∵直线l的一个方向向量为m＝(2，－1，3)， 故设＝km. ∴－1＝2k，2－y＝－k，z－3＝3k. 解得k＝－，y＝z＝. ∴y－z＝0. (2)∵DD1∥AA1，AA1＝(0，0，1)， ∴直线DD1的一个方向向量为(0，0，1). ∵BC1∥AD1，AD1＝(0，1，1)， ∴直线BC1的一个方向向量为(0，1，1). [答案]　(1)A　(2)(0，0，1)　(0，1，1)(答案不唯一) 求直线的方向向量关键是找到直线上两点，用所给的基向量表示以两点为起点和终点的向量，其难点是向量的运算． 1．(1)(北京朝阳区高二期中)若点A(－1，0，2)，B(1，4，10)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A．(1，2，4) B．(1，4，2) C．(0，2，－1) D．(0，4，12) (2)(广东云浮高二期中)已知直线l的一个方向向量为m＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，a，3)和B(－1，2，b)两点，则a＋b＝(　　) A．0 B．1 C． D．3 解析　(1)由＝(2，4，8)，l的方向向量与平行，只有选项A满足题意，故选A． (2)∵A(0，a，3)和B(－1，2，b)在直线l上，＝(－1，2－a，b－3)，且直线l的一个方向向量为m＝(2，－1，3)，∴设＝λm，则(－1，2－a，b－3)＝λ(2，－1，3)，解得λ＝－，a＝b＝，∴a＋b＝3.故选D． 答案　(1)A　(2)D 探究二　求平面的法向量 [例2]　如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量． [解]　因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直． 如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则D(0, ，0)，E，B(1，0，0)，C(1，，0)， 于是＝，＝(1，，0). 设n＝(x，y，z)是平面ACE的法向量， 则即所以 令y＝－1，则x＝z＝. 所以平面ACE的一个法向量为n＝(，－1，). (变问法)本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量． 解　以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则P(0，0，1)，C(1，，0)， 所以＝(1，，－1)，即为直线PC的一个方向向量． 设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z). 因为D(0，，0)，所以＝(0，，－1). 由得所以 令y＝1，则z＝. 所以平面PCD的一个法向量为n＝(0，1，). 利用待定系数法求平面的法向量的步骤 (1)设平面的法向量为n＝(x，y，z). (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2). (3)根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组 (4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量． 2．(1)(黑龙江哈尔滨九中高二开学考试)已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面ABC的一个单位法向量是(　　) A． B． C． D． (2)已知正四棱锥P­ABCD如图所示，在①－＋－， ②＋，③＋，④＋＋＋中，不能作为底面ABCD的法向量的是________. 解析　(1)依题意，得＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1).设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)， 则令x＝1，得平面ABC的一个法向量n＝(1，1，1)，于是得与n同向的单位向量为＝，与n反向的单位向量为－＝，D满足，显然选项A，B，C中的向量与不共线，即A，B，C不满足．故选D． (2)由题意可知，－＋－＝＋＝0，＋＝2，＋＝2，＋＋＋＝4，所以不能作为底面ABCD的法向量的是①. 答案　(1)D　(2)① 探究三　确定点的位置 [例3]　已知点A(2，4，0)，B(1，3，3)，如图，以的方向为正向，在直线AB上建立一条数轴，P，Q为轴上的两点，且分别满足条件： (1)AP∶PB＝1∶2； (2)AQ∶QB＝2∶1. 求点P和点Q的坐标． [解]　由已知，得＝2， 即－＝2(－)， ＝＋. 设点P坐标为(x，y，z)，则上式换用坐标表示，得 (x，y，z)＝(2，4，0)＋(1，3，3)， 即x＝＋＝，y＝＋1＝，z＝0＋1＝1. 因此，点P的坐标是. 因为AQ∶QB＝2∶1， 所以＝－2，－＝－2(－)， ＝－＋2. 设点Q的坐标为(x′，y′，z′)，则上式换用坐标表示，得 (x′，y′，z′)＝－(2，4，0)＋2(1，3，3)＝(0，2，6)， 即x′＝0，y′＝2，z′＝6.因此，点Q的坐标是(0，2，6). 求空间中点的坐标，一般要根据具体的题目条件恰当地设出点的坐标，根据向量式列出方程组，把向量运算转化为代数运算，解方程组可得点的坐标． 3．已知点A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C为线段AB上一点且＝，则点C的坐标为____________________. 解析　设C(x，y，z)，∵C为线段AB上一点且＝，∴＝，即(x－4，y－1，z－3)＝(－2，－6，－2)， ∴∴ 因此点C的坐标为. 答案　 学科网（北京）股份有限公司 $$