1.3.2 空间向量运算的坐标表示（教师用书）-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

1．3.2　空间向量运算的坐标表示 [学习任务] 1．掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直．(重点) 2．掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用这些知识解决简单几何体中的问题．(重点、难点) [对应学生用书第13页] 知识点一　空间向量的坐标运算 1．空间向量的坐标 一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标． 2．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).则有 运算 坐标表示 加法 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 知识点二　空间向量的相关结论 1．空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 平行(a∥b) a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔ 垂直(a⊥b) a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量) 模 |a|＝＝ 夹角公式 cos a，b＝＝ 2.向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则 (1)P1P2＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)； (2)P1P2＝|P1P2| ＝. [对应学生用书第14页] 探究一　空间向量的坐标运算 [例1]　(1)已知a＝(1，1，0)，b＝(0，1，1)，则a·(－2b)＝________，(a－b)·(2a－3b)＝________． (2)已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ＝________． [解析]　(1)a·(－2b)＝－2a·b＝－2(0＋1＋0)＝－2，a－b＝(1，0，－1)，2a－3b＝2(1，1，0)－3(0，1，1)＝(2，－1，－3).所以(a－b)·(2a－3b)＝(1，0，－1)·(2，－1，－3)＝2＋0＋3＝5. (2)若a，b，c三向量共面，则存在实数x，y使得a＝xb＋yc. 因为a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)， 所以(2，－1，3)＝x(－1，4，－2)＋y(7，5，λ)＝(－x＋7y，4x＋5y，－2x＋λy)， 即解得λ＝. [答案]　(1)－2　5　(2) 关于空间向量坐标运算的两类问题 (1)直接计算问题 首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算． (2)由条件求向量或点的坐标 首先用坐标形式设出向量，然后通过建立方程(组)，解方程(组)求出其坐标． 1．(多选)已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3，2)，则下列结论不正确的是(　　) A．a＋b＝(10，－5，－6) B．a－b＝(2，－1，－6) C．a·b＝10 D．|a|＝6 解析　a＋b＝(10，－5，－2)，a－b＝(－2，1，－6)， a·b＝22，|a|＝6，所以A，B，C均不正确． 答案　ABC 探究二　利用空间向量的坐标运算解决空间中的平行、垂直问题 [例2]　如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证： (1)AM∥平面BDE； (2)AM⊥平面BDF. [证明]　(1)如图，建立空间直角坐标系， 设AC∩BD＝N，连接NE， 则点N，E的坐标分别为 ，(0，0，1). ∴＝. 又点A，M的坐标分别是(，，0)，， ∴＝. ∴＝. 又NE与AM不共线， ∴NE∥AM. 又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE， ∴AM∥平面BDE. (2)由(1)知＝. ∵D(，0，0)，F(，，1)， ∴＝(0，，1)，∴·＝0， ∴⊥，即AM⊥DF. 同理，⊥，即AM⊥BF. 又DF∩BF＝F，且DF⊂平面BDF，BF⊂平面BDF， ∴AM⊥平面BDF. 1．判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解． 2．利用向量证明直线、平面平行或垂直，则要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明． 2．正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3B1P＝PD1，若PQ⊥AE，＝λ，求λ的值． 解　如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A(1，0，0)，E，B(1，1，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)， 由题意，可设点P的坐标为(a，a，1)， 因为3B1P＝PD1，所以3(a－1，a－1，0)＝(－a，－a，0)， 所以3a－3＝－a，解得a＝， 所以点P的坐标为. 由题意可设点Q的坐标为(b，b，0)， 因为PQ⊥AE，所以·＝0， 所以·＝0， 即－－＝0，解得b＝. 所以点Q的坐标为. 因为＝λ，所以(－1，－1，0)＝λ， 所以＝－1，故λ＝－4. 探究三　利用坐标运算解决夹角、距离问题 [例3]　在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，点G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点，应用空间向量的方法求解下列问题： (1)求证：EF⊥B1C； (2)求EF与C1G所成角的余弦值； (3)求FH的长． [解]　(1)证明　如图所示，建立空间直角坐标系，则有E，F，C(0，1，0)，C1(0，1，1)， B1(1，1，1)，G. ∵＝－＝， B1C＝(0，1，0)－(1，1，1)＝(－1，0，－1)， ∴·B1C＝×(－1)＋×0＋×(－1)＝0， ∴⊥B1C，即EF⊥B1C. (2)∵C1G＝－(0，1，1)＝， ∴|C1G|＝. 又·C1G＝×0＋×＋×(－1) ＝，||＝， ∴cos 〈，C1G〉＝＝＝. 即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为. (3)∵F，H， ∴＝， ∴||＝ ＝. (1)利用向量坐标求异面直线所成角的步骤： ①根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系； ②利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标； ③利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角． (2)利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤： ①建立适当的空间直角坐标系； ②求出线段端点的坐标； ③利用两点间的距离公式求出线段的长． 3．如图，已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，且PA＝AD＝2. (1)求M，N两点之间的距离； (2)求直线PA与MN所成的角． 解　(1)以A为原点，建立空间直角坐标系，如图所示． 由题意得A(0，0，0)，B(0，2，0)， D(－2，0，0)，C(－2，2，0)，P(0，0，2)， 所以M(0，1，0)，N(－1，1，1)， 所以＝(－1，0，1)，故M，N两点之间的距离 ||＝＝. (2)由题易得＝(0，0，2)，因为＝(－1，0，1)，所以cos ，＝＝＝， 所以，＝45°，故直线PA与MN所成的角为45°. [典例]　已知向量a＝(1，2，－1)，b＝(m，m2＋3m－6，n)，若向量a，b同向，求实数m，n的值． [错解]　由题意可知a∥b，所以＝＝，即 解得或 故m＝－3，n＝3或m＝2，n＝2. [错解分析]　“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件．错解中忽略了“同向”这一限制条件，从而导致错误． [正解]　由题意可知a∥b，所以＝＝，即 解得或 故m＝－3，n＝3或m＝2，n＝－2. 当m＝－3，n＝3时，b＝(－3，－6，3)＝－3a，向量a，b反向，不符合题意，舍去； 当m＝2，n＝－2时，b＝(2，4，－2)＝2a， 向量a，b同向，符合题意． 综上，m＝2，n＝－2. 由于向量可以任意平移，因此有关向量的平行问题与直线的平行问题是有区别的，并且两向量同向与两向量平行也是不等价的．若两向量平行，则两向量可能同向也可能反向． 学科网（北京）股份有限公司 $$