1.3.1 空间直角坐标系（教师用书）-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

　　 1．3.1　空间直角坐标系 [学习任务] 1．了解空间直角坐标系的建系方式．(难点) 2．能在空间直角坐标系中求出点的坐标和由已知坐标作出点．(重点) 3．能在空间直角坐标系中求出向量的坐标．(重点) [对应学生用书第10页] 知识点一　空间直角坐标系 1．空间直角坐标系及相关概念 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz； (2)相关概念：O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分． 2．右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． [注意]　画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°，所以三个坐标平面把空间分成八个部分． 知识点二　空间直角坐标系中点和向量的坐标表示 1．空间直角坐标系中点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk. 在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 2．空间直角坐标系中向量的坐标表示 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk．有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z). [对应学生用书第11页] 探究一　求空间中点的坐标 [例1]　如图所示空间直角坐标系，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M在线段BC1上，且|BM|＝2|MC1|，N是线段D1M的中点，求点M，N的坐标． [解]　如图，过点M作MM1⊥BC于点M1，连接DM1， 取DM1的中点N1，连接NN1. 由|BM|＝2|MC1|， 知|MM1|＝|CC1|＝， |M1C|＝|BC|＝. 因为M1M∥DD1， 所以M1M与z轴平行，点M1与点M的横坐标、纵坐标相同， 点M的竖坐标为，所以M. 由N1为DM1的中点，知N1. 因为N1N与z轴平行， 且|N1N|＝＝， 所以N. 求某点P的坐标的方法 先找到点P在xOy平面上的射影M，过点M向x轴作垂线，确定垂足N.其中|ON|，|NM|，|MP|即为点P坐标的绝对值，再按O→N→M→P确定相应坐标的符号(与坐标轴同向为正，反向为负)，即可得到相应的点P的坐标． 1．如图所示，四棱锥DOABC中，建立空间直角坐标系Oxyz，若OD＝2，OA＝4，OC＝6，M是BD的中点，求点M的坐标． 解　法一　点M在x轴、y轴、z轴上的射影分别为M1，M2，M3，它们在坐标轴上的坐标分别为2，3，1，所以点M的坐标是(2，3，1). 法二　＝＋＋＝＋＋ ＝＋＋(－) ＝＋＋[－(＋)] ＝＋＋＝(2，3，1)， 所以点M的坐标为(2，3，1). 探究二　空间中点的对称问题 [例2]　点P(－2，1，3)关于x轴的对称点的坐标是________________，关于坐标平面Oxy的对称点的坐标是________________． [解析]　在空间直角坐标系中，点P(－2，1，3)关于x轴的对称点的横坐标不变，纵坐标与竖坐标都变为原来的相反数，即(－2，－1，－3)；点P(－2，1，3)关于坐标平面Oxy的对称点的横、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，即(－2，1，－3). [答案]　(－2，－1，－3)　(－2，1，－3) 在空间直角坐标系中，点P(x，y，z)关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标特点 (1)关于坐标原点的对称点为P1(－x，－y，－z)； (2)关于横轴(x轴)的对称点为P2(x，－y，－z)； (3)关于纵轴(y轴)的对称点为P3(－x，y，－z)； (4)关于竖轴(z轴)的对称点为P4(－x，－y，z)； (5)关于Oxy坐标平面的对称点为P5(x，y，－z)； (6)关于Oyz坐标平面的对称点为P6(－x，y，z)； (7)关于Ozx坐标平面的对称点为P7(x，－y，z). 其中的记忆方法为“关于谁谁不变，其余的相反”．如关于横轴(x轴)的对称点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于Oxy坐标平面的对称点，横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数． 2．已知点P(2，3，－1)，求： (1)点P关于各坐标平面对称的点的坐标； (2)点P关于各坐标轴对称的点的坐标； (3)点P关于坐标原点对称的点的坐标． 解　(1)设点P关于Oxy坐标平面的对称点为P′，则点P′在x轴上的坐标及在y轴上的坐标与点P的坐标相同，而点P′在z轴上的坐标与点P在z轴上的坐标互为相反数． 所以，点P关于Oxy坐标平面对称的点P′的坐标为(2，3，1). 同理，点P关于Oyz，Ozx坐标平面对称的点的坐标分别为(－2，3，－1)，(2，－3，－1). (2)设点P关于x轴对称的点为Q，则点Q在x轴上的坐标与点P的坐标相同，而点Q在y轴上的坐标及在z轴上的坐标与点P在y轴上的坐标及在z轴上的坐标互为相反数． 所以，点P关于x轴对称的点Q的坐标为(2，－3，1). 同理，点P关于y轴、z轴对称的点的坐标分别为(－2，3，1)，(－2，－3，－1). (3)点P(2，3，－1)关于坐标原点对称的点的坐标为(－2，－3，1). 探究三　空间向量的坐标表示 [例3]　如图所示，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，且PA＝AB＝1.试建立适当的空间直角坐标系，并求向量的坐标． [解]　∵PA＝AB＝AD＝1，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD， ∴，，是两两垂直的单位向量． 设＝e1，＝e2，＝e3，以{e1，e2，e3}为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz. 法一　∵＝＋＋ ＝－＋＋ ＝－＋＋(＋) ＝－＋＋(＋＋) ＝＋＝e2＋e3， ∴＝. 法二　如图，连接AC，BD交于点O，则O为AC，BD的中点，连接MO，ON. ∴＝＝，＝， ∴＝＋＝＋＝e2＋e3. ∴＝. 1．(变条件)若题中条件“PA＝AB＝1”变为“PA＝AB＝2”，则结果发生变化吗？ 解　求解过程一样，结果有变化，＝(0，1，1). 2．(变结论)若题中条件不变，如何求MN? 解　由已求可知， ＝e2＋e3. 所以||＝＝， 所以MN的长度为. 用坐标表示空间向量的步骤 3．在直三棱柱ABOA1B1O1中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，求，A1B的坐标． 解　因为＝－＝－(OO1＋O1D) ＝－＝－－－OO1， 所以＝(－2，－1，－4). 因为A1B＝－OA1＝－(＋AA1)＝－－OO1，所以A1B＝(－4，2，－4). [典例]　在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知△ABC的边长为1，三棱柱的高为2，建立适当的空间直角坐标系，并写出AA1，AB1，AC1的坐标． [错解分析]　本题易在建系时，误认为与垂直，从而以A为原点，分别以，，AA1的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系导致错误． [正解]　分别取BC，B1C1的中点D，D1，以D为原点，分别以，，DD1的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 则A，A1，B1，C1， 所以AA1＝(0，0，2)，AB1＝，AC1＝. 在建系时应该注意三条坐标轴所在的直线应当两两垂直，若图中没有建系的环境，则应根据已知条件，通过作辅助线来创造合适的建系环境． 学科网（北京）股份有限公司 $$