1.2 空间向量基本定理（教师用书）-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

　　 [学习任务] 1．类比平面向量基本定理，理解并掌握空间向量基本定理．(重点) 2．能熟练地用基底表示向量，并能解决平行、垂直、夹角等问题．(重点、难点) [对应学生用书第7页] 知识点　空间向量基本定理 1．定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．空间向量的正交分解 (1)正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． (2)单位正交基底：空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示． [对应学生用书第8页] 探究一　基底的判断 [例1]　已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底． [解]　假设，，共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x，y，使得＝x＋y成立， 即e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3) ＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3. 因为{e1，e2，e3}是空间的一个基底， 所以e1，e2，e3不共面，所以此方程组无解． 即不存在实数x，y，使得＝x＋y成立， 所以，，不共面． 故{，，}能作为空间的一个基底． 判断给出的三个向量组成的向量组能否作为基底，关键是要判断这三个向量是否共面，首先应考虑三个向量是否是零向量，其次判断三个非零向量是否共面．如果从正面难以入手判断三个向量是否共面，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组，若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量不共面． 1．(河北邢台六校高二期中联考)若{a，b，c}为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是(　　) A．{a＋c，a－b，b＋c} B．{c，a＋b，a－b} C．{a，a＋b，a－b} D．{a＋b，a＋b＋c，c} 解析　对于A，因为(a＋c)－(a－b)＝b＋c，所以向量a＋c，a－b，b＋c是共面向量，因此这三个向量不能构成基底，故A错误；对于B，因为{a，b，c}为空间的一个基底，所以这三个向量不共面，若{c，a＋b，a－b}不构成一个基底，则有c＝x(a＋b)＋y(a－b)，即c＝(x＋y)a+(x－y)b，所以向量a，b，c是共面向量，这与这三个向量不共面矛盾，故假设不正确，因此{c，a+b，a－b}能构成一个基底，故B正确；对于C，因为(a＋b)+(a－b)＝2a，所以向量a，a＋b，a－b是共面向量，因此这三个向量不能构成一个基底，故C错误；对于D，因为(a＋b＋c)－(a＋b)＝c，所以向量a＋b，a＋b＋c，c是共面向量，因此这三个向量不能构成一个基底，故D错误．故选B． 答案　B 探究二　利用基底表示向量 [例2]　如图，在三棱柱ABCA′B′C′中，已知＝a，＝b，＝c，点M，N分别是BC′，B′C′的中点，试用基底{a，b，c}表示向量，. [解]　＝＋ ＝＋(＋)＝＋＋ ＝＋(－)＋ ＝＋＋＝(a＋b＋c). 连接A′N(图略). ＝＋＝＋(＋) ＝＋(＋)＝a＋b＋c. (变条件)若把本例中的“＝a”改为“＝a”，其他条件不变，则结果是什么？ 解　因为M为BC′的中点，N为B′C′的中点， 所以＝(＋)＝a＋b. ＝(＋)＝(＋＋) ＝＋＋ ＝＋(－)＋ ＝＋－＝b＋a－c. 用基底表示向量的策略 (1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律； (2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求． 2．(1)(安徽皖北县中联盟联考)在空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，点M在AC上，且＝4，N为BD的中点，则＝(　　) A．a－b＋c B．a－b－c C．－a－b－c D．－a＋b－c (2)(河北石家庄期末)如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，点M是A1D1的中点，点N是CA1上的点，且CN∶CA1＝1∶4，则向量可表示为(　　) A．a＋b＋c B．a＋b＋c C．a－b－c D．a＋b－c 解析　(1)因为＝4，N为BD的中点，所以＝＋＋＝＋(－)＋(－)＝－＋＝a－b＋c．故选A． (2)因为在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，点M是A1D1的中点，点N是CA1上的点，且CN∶CA1＝1∶4，所以＝＋＝－＋＝－＋(－)＝－＋(＋－)＝＋－＝a＋b－c．故选D． 答案　(1)A　(2)D 探究三　空间向量基本定理的应用 [例3]　如图，已知在直三棱柱ABCA′B′C′中，AC＝BC＝AA′， ∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点． (1)求证：CE⊥A′D； (2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值． [解]　(1)证明　设＝a，＝b，＝c，这三个向量不共面，{a，b，c}构成空间的一个基底． 根据题意，|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0. 所以＝b＋c，＝－c＋b－a. 所以·＝－c2＋b2＝0， 所以⊥，即CE⊥A′D. (2)因为＝－a＋c， 所以||＝|a|，由(1)得||＝|a|， 所以·＝(－a＋c)· ＝c2＝|a|2， 所以cos ，＝＝. 所以异面直线CE与AC′所成角的余弦值为. 将几何问题转化为向量问题的求解策略 (1)将距离和线段长转化为求向量的模； (2)将线线、线面、面面垂直问题转化为向量垂直问题； (3)将空间角问题转化为向量夹角问题． 3．如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设＝a，＝b，AA1＝c. (1)试用a，b，c表示向量； (2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长． 解　(1)＝MA1＋A1B1＋B1N＝BA1＋＋B1C1＝(c－a)＋a＋(b－a)＝a＋b＋c. (2)∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c ＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×＋2×1×1×＝5， ∴|a＋b＋c|＝，∴||＝|a＋b＋c|＝， 即MN＝. 对基底概念理解不清、向量分解不彻底致错 [典例]　如图(1)，在长方体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点．若A1A＝a，A1D1＝b，A1B1＝c，试用基底{a，b，c}表示向量C1M． [错解]　如图(2)，连接A1M，A1C1，则C1M＝A1M－A1C1＝A1A＋－(A1B1＋A1D1)＝a＋－c－b. [错解分析]　错解中可以用基底{a，b，c}表示，向量分解不彻底导致错误． [正解]　如图(2)，连接A1M，A1C1，则C1M＝A1M－A1C1＝A1A＋－(A1B1＋A1D1)＝A1A＋(A1B1＋A1D1)－(A1B1＋A1D1)＝A1A－(A1B1＋A1D1)＝a－b－c. 用基底表示向量时，最后结果应只含基向量，基底可以表示空间中的任意一个向量． 学科网（北京）股份有限公司 $$