1.1.2 空间向量的数量积运算（教师用书）-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

1．1.2　空间向量的数量积运算 [学习任务] 1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法． 2．掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．(重点) 3．能用向量的数量积解决夹角与距离问题．(难点) [对应学生用书第4页] 知识点一　空间向量的夹角 1．夹角的定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． 2．夹角的范围：[0，π]． 3．两向量垂直：如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b． 知识点二　空间向量的数量积 1．空间两个向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b．即a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉．零向量与任意向量的数量积为0 运算律 数乘向量与向量数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R 交换律 a·b＝b·a 分配律 (a＋b)·c＝a·c＋b·c 2.空间向量数量积的性质 a⊥b ⇔a·b＝0； a·a＝|a||a|cos 〈a，a〉＝|a|2. 知识点三　投影向量及直线与平面所成的角 1．投影向量 (1)向量a在向量b上的投影先将向量a与向量b平移到同一平面α内，如图①，向量c称为向量a在向量b上的投影向量． (2)向量a在直线l上的投影 如图②，向量c称为向量a在直线l上的投影． (3)向量a在平面β上的投影 如图③，分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，则向量(a′)称为向量a在平面β上的投影向量． 2．直线与平面所成的角 如图③，向量a与向量a′的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． [对应学生用书第5页] 探究一　空间向量的数量积运算 [例1]　(链接教科书第7页例2)已知正四面体OABC的棱长为1，如图所示．求： (1)·； (2)(＋)·(＋). [解]　在正四面体OABC中， ||＝||＝||＝1. ，＝，＝，＝60°. (1)·＝||||cos ∠AOB＝1×1×cos 60°＝. (2)(＋)·(＋) ＝(＋)·(－＋－) ＝(＋)·(＋－2) ＝2＋2·－2·＋2－2· ＝12＋2×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1＋1－1＋1－1＝1. 1．(变条件，变设问)在本例条件下，若E，F分别是OA，OC的中点，求： (1)·； (2)·； (3)·. 解　(1)·＝· ＝||||cos ， ＝cos 60°＝. (2)·＝·＝||2＝. (3)·＝·＝||||cos ， ＝cos 120°＝－. 求空间向量的数量积的步骤 (1)将待求数量积的两向量的模长及它们的夹角理清； (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角余弦值的乘积； (3)代入a·b＝|a||b|cos a，b求解． 1．已知在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中点，F为A1D1的中点．求下列向量的数量积： (1)·ED1； (2)·AB1． 解　如图所示，设＝a，＝b，AA1＝c， 则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0. (1)·ED1＝·(EA1＋A1D1) ＝b·＝|b|2＝42＝16. (2)·AB1＝(BA1＋A1F)·(＋AA1) ＝·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0. 探究二　利用空间向量的数量积证明垂直 [例2]　如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD. [证明]　设A1B1＝a，A1D1＝b，A1A＝c， 则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|. ∵A1O＝A1A＋＝A1A＋(＋) ＝c＋a＋b， ＝－＝b－a， ＝＋＝(＋)＋CC1 ＝a＋b－c. ∴A1O·＝·(b－a) ＝c·b－c·a＋a·b－a2＋b2－b·a ＝(b2－a2)＝(|b|2－|a|2)＝0. 于是A1O⊥，即A1O⊥BD. 同理可证A1O⊥，即A1O⊥OG. 又BD∩OG＝O， 于是有A1O⊥平面GBD. 用向量法证明几何中垂直关系问题的思路 (1)要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可； (2)用向量法证明线面垂直，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量的数量积证明线线垂直即可． 2．(1)(华中师大一附中月考)已知矩形ABCD，若PA⊥平面ABCD，则以下等式中可能不成立的是(　　) A．·＝0 B．·＝0 C．·＝0 D．·＝0 (2)(深圳中学月考)已知空间中四点A，B，E，C，若·＝·，则________.(选填“⊥”“∥”或“＝”) 解析　(1)因为四边形ABCD为矩形，且PA⊥平面ABCD，所以DA⊥PB，AB⊥PD，PA⊥CD，故选项A中，·＝0正确；选项C中，·＝0正确；选项D中，·＝0正确；而选项B只有四边形ABCD为正方形时才正确．故选B． (2)因为·＝·，所以·(－)＝·＝0，所以⊥. 答案　(1)B　(2)⊥ 探究三　利用空间向量的数量积解决夹角和距离问题 [例3]　如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.求线段AC1的长度． [解]　设＝a，＝b，AA1＝c， 则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0， c·a＝c·b＝2×1×cos 120°＝－1. ∵AC1＝＋CC1＝＋＋AA1＝a＋b＋c， ∴|AC1|＝|a＋b＋c|＝ ＝ ＝＝. ∴线段AC1的长为. 2．(变结论)题目中条件不变，求线段DB1的长度． 解　DB1＝＋AA1＋A1B1＝a－b＋c， 所以|DB1|＝|a－b＋c|＝ ＝＝. 3．(变结论)题目中条件不变，求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值． 解　设异面直线AC1与A1D所成的角为θ， 则cos θ＝|cos 〈AC1，A1D〉|＝. ∵AC1＝a＋b＋c，A1D＝b－c， ∴AC1·A1D＝(a＋b＋c)·(b－c)＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋12－22＝－2，|A1D|＝ ＝＝. ∴cos θ＝＝＝. 故异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为. 1．利用向量的数量积求异面直线所成角的方法步骤： (1)根据题设条件在两异面直线上取两个向量； (2)将求异面直线所成角转化为求向量的夹角问题； (3)利用向量的数量积求角的大小． 2．求解距离问题时，先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个向量和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝求解即可． 3．(黑龙江大庆铁人中学高二月考)如图，在一个120°的二面角的棱上有两点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB垂直．若AB＝，AC＝1，BD＝2，则CD的长为(　　) A．2 B．3 C．2 D．4 解析　∵＝＋＋，∴2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·. ∵⊥，⊥，∴·＝0，·＝0. 又·＝||||cos (180°－120°)＝×1×2＝1，∴2＝1＋2＋4＋2×1＝9，∴||＝3.故选B． 答案　B 混淆向量的夹角与空间角 [典例]　如图，在平面角为120°的二面角αABβ中，AC⊂α，BD⊂β，且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B.已知AC＝AB＝BD＝6，求线段CD的长． [错解]　CD＝6. [错解分析]　本题易错的地方是混淆二面角的平面角与向量夹角的概念，而误认为，＝120°，得到错误答案． [正解]　∵AC⊥AB，BD⊥AB， ∴·＝0，·＝0. ∵二面角αABβ的平面角为120°， ∴，＝180°－120°＝60°. ∴2＝(＋＋)2 ＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2· ＝3×62＋2×62×cos 60°＝144. ∴CD＝12. 利用向量的数量积的性质解决有关平面或空间中角的问题时，要特别注意向量的夹角与所求角的区别与联系，切不可忽略角的取值范围而盲目套用．利用向量求二面角的平面角时，一般不能保证所求的角就是二面角的平面角，也有可能是二面角的平面角的补角，这时要结合实际图形对所求的角进行适当的处理． 学科网（北京）股份有限公司 $$