1.1.1 空间向量及其线性运算（教师用书）-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

　　 1．1.1　空间向量及其线性运算 [学习任务] 1．理解空间向量的概念．(难点) 2．掌握空间向量的线性运算．(重点) 3．掌握空间向量共线和共面的充要条件及应用．(重点、难点) [对应学生用书第1页] 知识点一　空间向量的有关概念 1．定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量． 2．长度：空间向量的大小叫做空间向量的长度或模． 3．表示法 4．几个特殊向量 名称 定义 表示法 零向量 长度为0的向量 0 单位向量 模为1的向量 |a|＝1或 ||＝1 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量 －a 共线向量 (或平行 向量) 表示空间向量a，b的有向线段所在的直线互相平行或重合，则向量a，b叫做共线向量或平行向量(另：0与任意向量共线) a∥b 相等向量 方向相同且模相等的向量 a＝b或 ＝ 知识点二　空间向量的线性运算 空间向 量的线 性运算 加法 a＋b＝＋＝ 减法 a－b＝－＝ 数乘 当λ＞0时，λa＝λ＝； 当λ＜0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a； (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，λ(μa)＝(λμ)a； (3)分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb 知识点三　空间向量的共线和共面 1．共面向量 平行于同一个平面的向量． 2．空间向量共线和共面的充要条件 共线(平行)向量 共面向量 对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb 3.直线l的方向向量 在直线l上取非零向量a，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． [对应学生用书第2页] 探究一　空间向量的概念辨析 [例1]　给出下列命题： ①|a|＝|b|是向量a＝b的必要不充分条件； ②向量a，b相等的充要条件是 ③若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件． 其中正确的是________．(填序号) [解析]　a＝b⇒|a|＝|b|，|a|＝|b|⇒/ a＝b，故①正确． 由a∥b，知a与b的方向相同或相反，故②错误． ∵＝，∴||＝||且∥. 又A，B，C，D不共线，∴四边形ABCD是平行四边形． 反之，在平行四边形ABCD中，有＝，故③正确． [答案]　①③ 空间向量的概念问题 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是模相等、方向相反． 1．(1)下列说法正确的是(　　) A．向量与向量是相等向量 B．与实数类似，对于两个向量a，b，有a＝b，a>b，a<b三种大小关系 C．向量的模是一个正实数 D．若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合 (2)(多选)下列说法中正确的是(　　) A．单位向量都相等 B．任一向量与它的相反向量都不相等 C．四边形ABCD是平行四边形的充要条件是＝ D．“向量的模为0”是“一个向量的方向是任意的”的充要条件 解析　(1)向量与向量是相反向量，不是相等向量，因此A不正确；与实数不一样，两个实数可以比较大小，而两个向量不能比较大小，因此B不正确；向量的模是一个非负实数，因此C不正确；两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合，D正确，故选D． (2)A不正确，单位向量的模均相等且为1，但方向并不一定相同．B不正确，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的．易知C，D正确． 答案　(1)D　(2)CD 探究二　空间向量的线性运算 [例2]　已知平行六面体ABCDA′B′C′D′，化简下列向量表达式， 并在图中标出化简结果的向量： (1)＋＋； (2)－＋； (3)＋＋(－). [解]　(1)＋＋＝＋＋＝. (2)－＋＝－(－)＝－＝. (3)＋＋(－)＝＋(＋)＝＋. 设M是线段CB′的中点，则＋＋(－)＝＋＝. 向量，，如图所示． (变问法)若本例条件不变，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量： (1)＋＋； (2)＋＋. 解　(1)＋＋＝－＋ ＝＋， 设P是线段CC′的中点， 则＋＋＝＋＝. (2)＋＋＝＋(＋)＝＋， 设Q是线段A′C′的中点， 则＋＋＝＋＝＋＝.向量， 如图所示． 利用线性运算进行向量化简的技巧 (1)数形结合：利用线性运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量用已知向量表示； (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙利用中点坐标公式． [注意]　(1)向量减法是加法的逆运算，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量； (2)首尾相连的若干向量构成封闭图形时，它们的和向量为零向量． 2．已知M，N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，点P在线段MN上，且MP＝2PN，设＝a，＝b，＝c，则＝(　　) A．a＋b＋c B．a＋b＋c C．a＋b＋c D．a＋b＋c 解析　因为＝＋，＝(＋)，＝，＝＋，＝，所以＝＋(＋)＝＋＝×(＋)＋×＝＋＋＝a＋b＋c． 答案　B 探究三　空间向量的共线、共面问题 [例3]　(1)已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线； (2)如图所示，对于任意空间四边形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点，请问与，是否共面？若共面，请给出证明；不共面，请说明理由． [解]　(1)因为M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD，ABEF都是平行四边形， 所以＝＋＋＝＋＋. 又因为＝＋＋＋ ＝－＋－－， 所以2＝＋＋－＋－－＝，即＝2. 所以与共线． (2)与，共面，证明如下： 在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD上的点，由向量加法法则，得 ＝＋＋，＝＋＋，① 又E，F分别是AB，CD的中点， 故有＝－，＝－，② 将②代入①中，再两式相加得2＝＋， 所以＝＋，即与，共面． (1)判断向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使得a＝λb成立，同时要充分利用空间向量运算法则，结合具体的图形进行化简，从而得到a∥b，即a与b共线．反之，当两个空间向量共线时，即存在实数λ，使得a＝λb成立，既可以用于证明，也可以用待定系数法求参数的值； (2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示． 3．(1)已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则A，B，C，D中一定共线的三点是________． (2)已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点O满足＝＋＋. ①判断，，三个向量是否共面； ②判断M是否在平面ABC内． 解　(1)＝＋＝2a＋4b＝2， 所以A，B，D三点共线． 答案　A，B，D (2)①∵＋＋＝3， ∴－＝(－)＋(－)， 即＝＋＝－－， ∴向量，，共面． ②由①知向量，，共面，而它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线， ∴M，A，B，C共面，即M在平面ABC内． 混淆平行直线与平行向量而致错 [典例]　已知下列命题： ①若A，B，C，D在一条直线上，则与是共线向量； ②若A，B，C，D不在一条直线上，则与不是共线向量； ③向量与是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上． 其中是真命题的有________．(填序号) [错解]　①②③ [错解分析]　因为向量是自由的，可以平移，所以平行向量就是共线向量，但是共线向量所在的直线却不一定重合，也有可能平行，关键是看这两个向量所在的直线有没有公共点，如果没有公共点，那么对应的两条直线平行；否则，对应的两条直线重合． [正解]　①为真命题，若A，B，C，D在一条直线上，则向量，方向相同或相反，是共线向量；②为假命题，若AB∥CD，则A，B，C，D不在一条直线上，但与是共线向量；③为真命题，因为，两个向量所在的直线有公共点A，所以三点共线．故填①③. [答案]　①③ 平行直线与平行向量的区别与联系：①平行向量所在的直线既可以平行又可以重合；②两条平行直线的方向向量一定是平行向量，非零的平行向量所在的直线若不重合，则一定平行． 学科网（北京）股份有限公司 $$