第13讲 公式法 （2个知识点+5种经典题型+试题练习）-2024年新七年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第13讲 公式法 （2个知识点+5种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．因式分解-运用公式法 1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法． 平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； 完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2； 　2、概括整合： ①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反． ②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍． 3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止． 【例1】（2023秋•宝山区期末）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2021秋•杨浦区期中）若分解因式时有一个因式是，则另一个因式是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2022•宽城区校级一模）因式分解：　　． 【变式3】（2023•宽城区模拟）分解因式：　　． 【变式4】（2022秋•青浦区期中）． 知识点2．提公因式法与公式法的综合运用 先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可． 【例2】．把代数式分解因式，下列结果中正确的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023秋•崇明区期末）下列各式因式分解正确的是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023秋•普陀区校级期末）多项式添加一个单项式后能用分组分解法进行因式分解．如果将和分成一组，和此单项式分成一组，那么这个单项式为 　　． 【变式3】（2023秋•浦东新区期末）分解因式：　　．（其中且为整数） 【变式4】（2022秋•静安区期中）因式分解 （1）； （2）． 经典题型汇编 题型一、公因式 1．（22-23七年级上·上海青浦·期中）单项式与单项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·上海长宁·期中）和的最大公因式是 ． 3．（19-20七年级上·上海嘉定·期末）分解因式： 题型二、平方差公式分解因式 4．（23-24七年级上·上海青浦·期中）利用平方差公式计算：= ． 5．（23-24七年级上·上海松江·期中）下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（    ）． A． B． C． D． 6．（23-24七年级上·上海普陀·期末）因式分解：． 题型三、完全平方公式分解因式 7．（23-24七年级上·上海松江·期中）因式分解： ． 8．（2022七年级上·上海·专题练习）已知多项式，把它加上下列单项式后不可以用完全平方公式进行因式分解的是（    ） A．x B．-x C． D． 9．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）因式分解：． 题型四、综合运用公式法分解因式 10．（21-22七年级上·上海浦东新·期中）因式分解： ． 11．（23-24七年级上·上海长宁·期中）在有理数范围内因式分解： ． 12．（23-24七年级上·上海闵行·阶段练习）分解因式： 题型五、综合提公因式和公式法分解因式 13．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）分解因式： ．（其中且为整数） 14．（21-22七年级上·上海浦东新·期中）下列各式中，正确的因式分解是（    ） A． B． C． D． 15．（23-24七年级上·上海奉贤·期末）因式分解：． 试题练习 一、单选题 1．（22-23七年级上·上海普陀·期中）多项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 2．（七年级上·上海·期末）已知，，，那么的值是（    ） A． B． C． D． 3．（20-21七年级上·上海·期中）把代数式ax2﹣8ax+16a分解因式，下列结果中正确的是（　　） A．a（x+4）2 B．a（x﹣4）2 C．a（x﹣8）2 D．a（x+4）（x﹣4） 4．（23-24七年级上·上海普陀·期末）如果，那么的值是（    ） A． B． C．1 D．0 5．（22-23七年级上·上海青浦·期中）下列多项式中可以用完全平方公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 6．（20-21七年级上·上海闵行·期中）有一种用“因式分解”法产生的密码记忆法，方法是：取一个多项式，如：，将此多项式因式分解的结果是：．再取两个值，如：，那么各个因式的值是：，于是就可以把“162130”作为一个六位数密码．如果取多项式以及，那么下列密码不可能是用上述方法产生的是（    ） A．221820 B．222018 C．222180 D．201822 二、填空题 7．（22-23七年级上·上海嘉定·期中）多项式的公因式是 ． 8．（22-23七年级上·上海青浦·期中）计算= ． 9．（23-24七年级上·上海松江·期中）若可以用完全平方公式因式分解，则m的值是 ． 10．（21-22七年级上·上海杨浦·期中）由多项式与多项式相乘的法则可知： 即：（a＋b）（a2﹣ab＋b2）＝a3﹣a2b＋ab2＋a2b﹣ab2＋b3＝a3＋b3 即：（a＋b）（a2﹣ab＋b2）＝a3＋b3①，我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式． 同理，（a﹣b）（a2＋ab＋b2）＝a3﹣b3②，我们把等式②叫做多项式乘法的立方差公式． 请利用公式分解因式：﹣64x3＋y3＝ ． 11．（20-21七年级上·上海·期中）因式分解： ． 12．因式分解： ． 13．（23-24七年级上·上海长宁·期中）在有理数范围内因式分解： ． 14．（20-21七年级上·上海浦东新·期中）当达到最大值时， ． 15．（七年级上·上海嘉定·期末）写出多项式与多项式的一个公因式 16．（20-21七年级上·上海浦东新·期中）多项式可以分解成两个一次因式的积，那么整数的值可取 个． 17．（22-23七年级上·上海徐汇·期末）分解因式： = 18．（2022七年级上·上海·专题练习）（ ）；（ ）； ； 三、解答题 19．（23-24七年级上·上海长宁·期中） 20．（23-24七年级上·上海闵行·期中）简便计算： 21．（20-21七年级上·上海静安·课后作业）计算：1002－992＋982－972＋962－952＋…＋22－1 22．（23-24七年级上·上海长宁·期中）分解因式：（n为大于2的正整数） 23．（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解：． 24．（21-22七年级上·上海·期末）因式分解： (1)； (2)． 25．（22-23七年级·上海·假期作业）把下列各式分解因式： (1)； (2)． 26．（23-24七年级上·上海静安·期中）先阅读下列解题过程，然后完成后面的题目． 分解因式： 解： 以上解法中，在的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值保持与的值相等，必须减去同样的一项．按照这个思路， (1)试把多项式分解因式； (2)试把多项式分解因式． 27．（22-23七年级上·上海·期末）阅读材料： 在代数式中，将一个多项式添上某些项，使添项后的多项式中的一部分成为一个完全平方式，这种方法叫做配方法．如果我们能将多项式通过配方，使其成为的形式，那么继续利用平方差公式就能把这个多项式因式分解．例如，分解因式：． 解：原式 即原式 请按照阅读材料提供的方法，解决下列问题． 分解因式： (1)； (2)． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 公式法 （2个知识点+5种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．因式分解-运用公式法 1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法． 平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； 完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2； 　2、概括整合： ①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反． ②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍． 3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止． 【例1】（2023秋•宝山区期末）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据平方差公式进行因式分解分别判断即可． 【解答】解：不能进行因式分解， 故不符合题意； 不能因式分解， 故不符合题意； ， 故符合题意； 不能因式分解， 故不符合题意， 故选：． 【点评】本题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 【变式1】（2021秋•杨浦区期中）若分解因式时有一个因式是，则另一个因式是　　 A． B． C． D． 【分析】可运用平方差公式对所给代数式进行因式分解得到所求的另一个因式． 【解答】解：， 故选：． 【点评】本题考查了公式法分解因式，是平方差的形式，所以考虑利用平方差公式分解因式． 【变式2】（2022•宽城区校级一模）因式分解：　　． 【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键． 【变式3】（2023•宽城区模拟）分解因式：　　． 【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键． 【变式4】（2022秋•青浦区期中）． 【分析】利用平方差公式进行因式分解，注意把第一式看作一个整体进行化简计算． 【解答】解： ． 【点评】本题考查因式分解，涉及到平方差公式，解题的关键是要把第一式看作一个整体． 知识点2．提公因式法与公式法的综合运用 先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可． 【例2】．把代数式分解因式，下列结果中正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】直接提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【解答】解： ． 故选：． 【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键． 【变式1】（2023秋•崇明区期末）下列各式因式分解正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】将各式因式分解后进行判断即可． 【解答】解：，则不符合题意； ，则不符合题意； ，则不符合题意； ，则符合题意； 故选：． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【变式2】（2023秋•普陀区校级期末）多项式添加一个单项式后能用分组分解法进行因式分解．如果将和分成一组，和此单项式分成一组，那么这个单项式为 　　． 【分析】先分解得到分组后的公因式是，从而可得答案． 【解答】解：， 必须与一组， ， 故答案为： 【点评】本题考查的是因式分解，掌握分组分解因式的方法是解本题的关键． 【变式3】（2023秋•浦东新区期末）分解因式：　　．（其中且为整数） 【分析】先提公因式，再利用平方差公式进行计算即可． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 【点评】本题考查提公因式法，公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提，提公因式是解决问题的关键． 【变式4】（2022秋•静安区期中）因式分解 （1）； （2）． 【分析】（1）用平方差公式分解因式即可； （2）先提公因式，然后用完全平方公式分解因式即可． 【解答】解：（1） ； （2） ． 【点评】本题主要考查了分解因式，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式． 经典题型汇编 题型一、公因式 1．（22-23七年级上·上海青浦·期中）单项式与单项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】找到系数的最大公因数，再找到因式的公共部分即可． 【详解】解：由于3和9的公因数是3，和的公共部分为, 所以．和的公因式为. 故选A． 【点睛】本题主要考查公因式，熟练掌握如何去找公因式是解题的关键． 2．（23-24七年级上·上海长宁·期中）和的最大公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了公因式定义，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的找出公因式即可． 【详解】解：和的最大公因式是， 故答案为：． 3．（19-20七年级上·上海嘉定·期末）分解因式： 【答案】 【分析】运用平方差公式分解因式即可. 【详解】原式= = = = 【点睛】本题考查了运用公式法分解因式，解题需要注意的是每个因式都要分解到不能再分解为止. 题型二、平方差公式分解因式 4．（23-24七年级上·上海青浦·期中）利用平方差公式计算：= ． 【答案】8016 【分析】本题考查利用平方差公式进行因式分解，先将原式利用平方差公式变形，再进行计算． 【详解】解：， 故答案为：8016． 5．（23-24七年级上·上海松江·期中）下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解概念进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、是因式分解，不是因式分解，故该选项是错误的； B、这个多项式没办法进行因式分解，不是因式分解，故该选项是错误的； C、是因式分解，故该选项是正确的； D、这个多项式没办法进行因式分解，不是因式分解，故该选项是错误的； 故选：C 【点睛】本题考查了因式分解的概念，一个多项式化为几个整式的积的过程叫因式分解；难度较小． 6．（23-24七年级上·上海普陀·期末）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查利用公式法进行因式分解，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键． 利用完全平方公式、平方差公式进行因式分解，注意要分解彻底． 【详解】解： 题型三、完全平方公式分解因式 7．（23-24七年级上·上海松江·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】直接运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为： 【点睛】本题考查了因式分解，涉及完全平方公式，一个多项式化为几个整式的积的过程叫因式分解；难度较小． 8．（2022七年级上·上海·专题练习）已知多项式，把它加上下列单项式后不可以用完全平方公式进行因式分解的是（    ） A．x B．-x C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式即可一一判定． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题； D、不能用完全平方式进行因式分解，故D符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了利用完全平方公式进行因式分解，熟练掌握和运用利用完全平方公式进行因式分解是解决本题的关键． 9．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】利用完全平方公式分解因式即可．此题考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． 【详解】原式， ， =． 题型四、综合运用公式法分解因式 10．（21-22七年级上·上海浦东新·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】将当作整体，对式子先进行配方，然后利用平方差公式求解即可． 【详解】解：原式． 故答案是：． 【点睛】此题考查了因式分解，涉及了平方差公式，解题的关键是掌握因式分解的方法，并将当作整体，得到平方差的形式． 11．（23-24七年级上·上海长宁·期中）在有理数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先分组，然后根据完全平方公式与平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 12．（23-24七年级上·上海闵行·阶段练习）分解因式： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，根据平方差公式与完全平方公式因式分解，即可求解． 【详解】解： ． 题型五、综合提公因式和公式法分解因式 13．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）分解因式： ．（其中且为整数） 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，直接根据提公因式和平方差公式因式分解即可求解． 【详解】解：原式 故答案为：． 14．（21-22七年级上·上海浦东新·期中）下列各式中，正确的因式分解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式，进而判断得出答案． 【详解】解：．，故此选项不合题意； ．，故此选项符合题意； ．，故此选项不合题意； ．，故此选项不合题意； 故选：． 【点睛】本题考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键． 15．（23-24七年级上·上海奉贤·期末）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了提取公因式法和公式法进行因式分解，先分组，再提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 试题练习 一、单选题 1．（22-23七年级上·上海普陀·期中）多项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的，进而得出答案． 【详解】解：在多项式中，系数4、6的最大公约数为2，相同字母的最低次幂是，所以多项式多项式的公因式是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了公因式，掌握公因式的定义是解题关键． 2．（七年级上·上海·期末）已知，，，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将因式分解为(a-b)(a-c)，再将其值代入计算即可． 【详解】∵，，， ∴=a(a-b)-c(a-b)=(a-b)(a-c) =(2017x+2016-2017x-2017)×(2017x+2016-2017x-2018)=-1×(-2)=2． 故选：A． 【点睛】考查了利用因式分解进行简便计算，解题关键是要将因式分解为(a-b)(a-c)的形式． 3．（20-21七年级上·上海·期中）把代数式ax2﹣8ax+16a分解因式，下列结果中正确的是（　　） A．a（x+4）2 B．a（x﹣4）2 C．a（x﹣8）2 D．a（x+4）（x﹣4） 【答案】B 【分析】直接提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：ax2﹣8ax+16a ＝a（x2﹣8x+16） ＝a（x﹣4）2． 故选B． 【点睛】本题主要考查了分解因式，解题的关键在于能够熟练掌握分解因式的方法． 4．（23-24七年级上·上海普陀·期末）如果，那么的值是（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，根据已知可得，根据完全平方公式因式分解代数式，进而代入即可求解． 【详解】解：∵ ∴，则， ∴， 故选：A． 5．（22-23七年级上·上海青浦·期中）下列多项式中可以用完全平方公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】能用完全平方公式分解的式子的特点是：三项；两项平方项的符号需相同；有一项是两平方项底数积的2倍，据此逐项分析即可． 【详解】解：A．不能用完全平方公式因式分解，故不符合题意； B．不能用完全平方公式因式分解，故不符合题意； C．不能用完全平方公式因式分解，故不符合题意； D．，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了完全平方公式进行因式分解，熟练掌握是解答本题的关键．两个平方项的符号需相同；另一项是两底数积的2倍，是易错点． 6．（20-21七年级上·上海闵行·期中）有一种用“因式分解”法产生的密码记忆法，方法是：取一个多项式，如：，将此多项式因式分解的结果是：．再取两个值，如：，那么各个因式的值是：，于是就可以把“162130”作为一个六位数密码．如果取多项式以及，那么下列密码不可能是用上述方法产生的是（    ） A．221820 B．222018 C．222180 D．201822 【答案】C 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式将因式分解，根据题意即可进行解答． 【详解】解：， 当时，， ∴可以产生的密码是：202218，201822，222018，221820，182220，182022； 不能产生的密码是222180， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法和步骤． 二、填空题 7．（22-23七年级上·上海嘉定·期中）多项式的公因式是 ． 【答案】 【分析】根据找公因式的方法得出答案即可． 【详解】解：多项式的公因式是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了公因式．确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 8．（22-23七年级上·上海青浦·期中）计算= ． 【答案】 【分析】把原式变形后利用完全平方公式因式分解，进行计算即可． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】此题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 9．（23-24七年级上·上海松江·期中）若可以用完全平方公式因式分解，则m的值是 ． 【答案】 【分析】直接利用完全平方公式进行解题即可． 【详解】解：可以用完全平方公式因式分解， 的值等于：． 故答案为：． 【点睛】本题考查完全平方公式应用，能够熟练掌握完全平方公式是解题关键． 10．（21-22七年级上·上海杨浦·期中）由多项式与多项式相乘的法则可知： 即：（a＋b）（a2﹣ab＋b2）＝a3﹣a2b＋ab2＋a2b﹣ab2＋b3＝a3＋b3 即：（a＋b）（a2﹣ab＋b2）＝a3＋b3①，我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式． 同理，（a﹣b）（a2＋ab＋b2）＝a3﹣b3②，我们把等式②叫做多项式乘法的立方差公式． 请利用公式分解因式：﹣64x3＋y3＝ ． 【答案】 【分析】根据题意根据立方差公式因式分解即可． 【详解】﹣64x3＋y3 故答案为： 【点睛】本题考查了因式分解，根据题意套用立方差公式是解题的关键． 11．（20-21七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】根据平方差公式进行因式分解即可； 【详解】原式； 故答案是． 【点睛】本题主要考查了平方差公式进行因式分解，准确分析化简是解题的关键． 12．因式分解： ． 【答案】 【分析】先提取公因式4，再根据平方差公式进行分解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了综合提公因式和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式要先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 13．（23-24七年级上·上海长宁·期中）在有理数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，然后根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14．（20-21七年级上·上海浦东新·期中）当达到最大值时， ． 【答案】2020 【分析】由非负性的性质得到，再对所求式子因式分解，整体代入求解即可． 【详解】解：∵达到最大值， ∴，即， ∴， 故答案为：2020． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，整体代入求解是解题的关键． 15．（七年级上·上海嘉定·期末）写出多项式与多项式的一个公因式 【答案】 【分析】对两个多项式进行因式分解，可得即可求出它们的公因式. 【详解】 则多项式与多项式的一个公因式是. 故答案为 【点睛】考查多项式的因式分解，掌握常用的因式分解的方法是解题的关键. 16．（20-21七年级上·上海浦东新·期中）多项式可以分解成两个一次因式的积，那么整数的值可取 个． 【答案】6 【分析】把12分解为两个整数的积的形式，p等于这两个整数的和． 【详解】解：∵把12分成两个整数乘积的形式有：；；；；；， ∴p的值为；；；；；， ∴整数p的值为或或，共6个． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了二次三项式的分解因式：．这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和． 17．（22-23七年级上·上海徐汇·期末）分解因式： = 【答案】 【分析】先用完全平方公式因式分解，再用平方差因式分解． 【详解】 【点睛】此题考查了因式分解，解题的关键是熟悉公式法因式分解． 18．（2022七年级上·上海·专题练习）（ ）；（ ）； ； 【答案】 【分析】利用幂的乘方和积的乘方法则，即可得出结果；利用平方差公式，即可得出结果；利用完全平方公式，即可得出答案． 【详解】解：． 故答案为： ． 故答案为： ∵； ， ∴， 即． 故答案为： 【点睛】本题考查了幂的乘方、积的乘方、平方差公式、完全平方公式，解本题的关键在熟练掌握相关法则．积的乘方：；平方差公式：；完全平方公式：． 三、解答题 19．（23-24七年级上·上海长宁·期中） 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解．先提出公因式，再利用完全平方公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解： 20．（23-24七年级上·上海闵行·期中）简便计算： 【答案】16 【分析】本题考查了平方差公式因式分解；根据平方差公式去括号化简即可． 【详解】解：原式 ． 21．（20-21七年级上·上海静安·课后作业）计算：1002－992＋982－972＋962－952＋…＋22－1 【答案】5050 【分析】观察发现：把每两项作为一组，利用平方差公式把原式化为：，再利用和式特点求值即可得到答案． 【详解】解：原式＝（1002－992）＋（982－972）＋（962－952）＋…＋（22－1） ＝（100＋99）＋（98＋97）＋（96＋95）＋…＋（2＋1） ＝（100＋1）＋（99＋2）＋（98＋3）＋（97＋4）＋…＋（51＋50） ＝50×（100＋1） ＝5050． 【点睛】本题考查的是利用平方差公式进行有理数的简便运算，含乘方的有理数的混合运算，掌握平方差公式是解题的关键． 22．（23-24七年级上·上海长宁·期中）分解因式：（n为大于2的正整数） 【答案】 【分析】本题考查的是综合提公因式与公式法分解因式，本题先提取公因式，再利用完全平方公式与平方差公式进行分解即可，熟记把多项式的每个因式都分解到不能再分解为止是解本题的关键． 【详解】解： ． 23．（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解：． 【答案】． 【分析】此题考查了公式法分解因式和十字相乘法分解因式，先利用平方差公式分解因式，然后根据十字相乘法和完全平方公式即可求解，解题的关键是熟练掌握公式法因式分解及其应用． 【详解】解：原式， ， ， ． 24．（21-22七年级上·上海·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用提公因式法进行分解，即可解答； （2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． 25．（22-23七年级·上海·假期作业）把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据平方差公式因式分解，再由完全平方公式因式分解即可得到答案； （2）先利用多项式乘以多项式展开，再进行分组，最后利用完全平方公式因式分解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查因式分解得综合应用，涉及平方差公式、完全平方公式及分组分解等方法，熟记因式分解的常用公式是解决问题的关键． 26．（23-24七年级上·上海静安·期中）先阅读下列解题过程，然后完成后面的题目． 分解因式： 解： 以上解法中，在的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值保持与的值相等，必须减去同样的一项．按照这个思路， (1)试把多项式分解因式； (2)试把多项式分解因式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照材料根据原式加上配成完全平方公式，再减去，运用平方差公式因式分解即可； （2）仿照材料根据原式加上配成完全平方公式，再减去，再运用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了因式分解、完全平方公式、平方差公式，阅读材料、掌握材料介绍的方法是解答本题的关键． 27．（22-23七年级上·上海·期末）阅读材料： 在代数式中，将一个多项式添上某些项，使添项后的多项式中的一部分成为一个完全平方式，这种方法叫做配方法．如果我们能将多项式通过配方，使其成为的形式，那么继续利用平方差公式就能把这个多项式因式分解．例如，分解因式：． 解：原式 即原式 请按照阅读材料提供的方法，解决下列问题． 分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原式按照阅读材料提供的方法得到，利用完全平方公式和平方差公式分解即可； （2）原式按照阅读材料提供的方法得到，利用完全平方公式和平方差公式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是明确题意，可以根据材料中的例子对所求的式子进行因式分解． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$