第10讲 公式法 十字相乘法 分组分解法（八大题型）-【暑假自学课】2024年新七年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

第10讲 公式法 十字相乘法 分组分解法（八大题型） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点精准练（八大题型） 模块四 小试牛刀过关测 1、 能用完全平方公式把简单的多项式进行因式分解； 2、会综合用提公因式法和公式法把多项式分解因式； 3、 熟练掌握首项系数为1的形如型的二次三项式的因式分解； 4、 基础较好的同学可进一步掌握首项系数非1的简单的整系数二次三项式的因式分解； 5、掌握好分组分解法. 一、公式法——平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 【方法规律】（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式. （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 二、因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 三、因式分解注意事项 （1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式； （3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 四、公式法——完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 【方法规律】（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 五、因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 六、因式分解注意事项 （1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式； （3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 七、十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在 ，则 【方法规律】（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号 （2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止. 八、首项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 　　按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即. 【方法规律】（1）分解思路为“看两端，凑中间” 　　（2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 九、分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 【方法规律】分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 十、添、拆项法 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 题型1：运用平方差公式分解因式 1．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式能用平方差公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 3．下列多项式中，可以运用平方差公式进行因式分解的是( ) A． B． C． D． 题型2：运用完全平方公式分解因式 4．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（       ） A． B． C． D． 5．若分解因式能用完全平方公式分解因式，则的值为（    ） A．10 B． C． D． 6．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中能用完全平方公式进行因式分解的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型3：判断是否能用公式法分解因式 7．下列多项式中，不能用公式法进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 8．下列多项式不能用公式法因式分解的是（　　） A． B． C． D． 9．运用公式法将下列各式因式分解，错误的是（    ） A． B． C． D． 题型4：综合运用公式法和提公因式法分解因式 10．把下列各式分解因式： （1）                      （2） （3）                      （4） 11．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．分解因式： (1)； (2)； (3)． 13．因式分解： (1) (2) (3) (4) 14．因式分解： (1)； (2)． (3)； (4)． 题型5：十字相乘法 15．用十字相乘法解方程： (1)； (2)． 16．用十字相乘法分解因式： (1)； (2)； (3)． 17．要使能在有理数的范围内因式分解，则整数的值有（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 18．【材料阅读】利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以为未知数，为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二次项系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解因式的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二次项系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： 【应用新知】 （1）用十字相乘法分解因式：； （2）用十字相乘法分解因式：； 【拓展提升】 （3）结合本题知识，分解因式：． 题型6：分组分解法 19．分解因式：． 20．因式分解：． 21．因式分解：； 22．因式分解： 23．阅读下列解题的过程． 分解因式： 解： 请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)； (2)． 题型7：因式分解在计算中的应用 24．用简便方法计算：． 25．计算：1002－992＋982－972＋962－952＋…＋22－1 26．计算： 27．已知满足 （1）利用因式分解求的值；（2）求的值 题型8：因式分解的其他应用 28．长方形的周长为，它的两边，是整数，且满足，求它的面积． 29．阅读下列材料： 利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法． 运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式． 例如： 根据以上材料，解答下列问题： （1）用多项式的配方法将化成的形式； （2）利用上面阅读材料的方法，把多项式进行因式分解； （3）求证：，取任何实数时，多项式的值总为正数． 30．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的边长为的小正方形，长为、宽为的长方形以及边长为的大正方形． 利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，例如图2可以解释整式乘法：，也可以解释因式分解：． (1)若用4个类材料围成图3的形状，设外围大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，观察图案，指出下列关系式中正确的是（写出所有正确结论的序号）______． ①；②；③；④；⑤． (2)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，在虚框中画出图形，并根据所画图形，将多项式分解因式为______． (3)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为则的值为______．（直接写出结果） 一、单选题 1．下列分解因式中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中能用完全平方公式进行因式分解的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．下列各式的分解因式： ①；②； ③；④ 其中正确的个数有（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．已知，，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 5．已知是因式分解的结果，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．在多项式添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式分解因式，则下列表述正确的是（ ） 嘉琪：添加， 陌陌：添加， 嘟嘟：添加， A．嘉琪和陌陌的做法正确 B．嘉琪和嘟嘟的做法正确 C．陌陌和嘟嘟的做法正确 D．三位同学的做法都不正确 7．因式分解的值为（    ） A． B． C． D． 8．已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，则甲与丙相减的结果是(  ) A． B．5 C．1 D． 9．如果，那么的值是（    ） A． B． C．1 D．0 10．要使能在有理数的范围内因式分解，则整数的值有（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 11．的分解因式结果中，含有的因式是(　　) A． B． C． D． 12．对于一个正整数n，若能找到正整数，使得，则称n为一个“好数”，例如：，则就是一个“好数”，那么从到这个正整数中“好数”有( ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 二、填空题 13．分解因式： = ． 14．分解因式： ． 15．因式分解： ． 16．分解因式： = 17．与之积等于的因式为 ． 18．分解因式： ．（其中且为整数） 19．分解因式： ． 20．正数满足，那么 ． 三、解答题 21．把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 22．在有理数范围分解因式 (1) (2) (3) (4) 23．因式分解： (1)； (2)； (3)． 24．分解因式： (1)； (2)． 25．分解因式：． 26．因式分解：． 27．因式分解：； 28．下面是小明同学的数学笔记，笔记中有一道因式分解题，小明在练书法时不小心将笔记中的两个数字沾上了墨水，分别求出“▲”“■”代表的数字 因式分解：． 29．在化简的过程中，小明有以下三种方法来进行化简： 解法一：…（ ） 原式 解法二：…（ ） 原式 解法三：…（ ） 原式      小明发现三种解答的结果不同，请你帮小明来判断上述解法是否正确，对的在括号里打“√”，并在错误处划“_____”或写出错误原因．若三种解答都错误，请你再写出正确的解答过程． 30．材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． (1)根据材料1，把分解因式； (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 31．如图，大长方形是由三个小长方形和一个小正方形拼成的． 观察猜想：请根据此图填空：（______）（______）． 说理验证：事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形： （______）（______）（提示：提公因式）（______）（______）． 于是，我们可以利用此方法进行多项式的因式分解． 尝试运用：例题：把多项式因式分解． 请利用上述方法将下列多项式因式分解： （1）； （2）． 32．已知一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，以它的百位数字作为十位，个位数字作为个位，组成一个新的两位数s，若s等于M的千位数字与十位数字的平方差，则称这个数M为“平方差数”，将它的百位数字和千位数字组成两位数，个位数字和十位数字组成两位数，并记． 例如：6237是“平方差数”，因为，所以6237是“平方差数”； 此时． 又如：5135不是“平方差数”，因为，所以5135不是“平方差数”． (1)判断7425是否是“平方差数”？并说明理由； (2)若是“平方差数”，且比M的个位数字的9倍大30，求所有满足条件的“平方差数”M． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 公式法 十字相乘法 分组分解法（八大题型） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点精准练（八大题型） 模块四 小试牛刀过关测 1、 能用完全平方公式把简单的多项式进行因式分解； 2、会综合用提公因式法和公式法把多项式分解因式； 3、 熟练掌握首项系数为1的形如型的二次三项式的因式分解； 4、 基础较好的同学可进一步掌握首项系数非1的简单的整系数二次三项式的因式分解； 5、掌握好分组分解法. 一、公式法——平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 【方法规律】（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式. （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 二、因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 三、因式分解注意事项 （1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式； （3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 四、公式法——完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 【方法规律】（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 五、因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 六、因式分解注意事项 （1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式； （3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 七、十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在 ，则 【方法规律】（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号 （2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止. 八、首项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 　　按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即. 【方法规律】（1）分解思路为“看两端，凑中间” 　　（2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 九、分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 【方法规律】分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 十、添、拆项法 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 题型1：运用平方差公式分解因式 1．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式分解因式，准确判断是解题的关键． 【解析】解：A、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意； B、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意； C、原式，能利用平方差公式进行因式分解，符合题意； D、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意， 故选：C． 2．下列各式能用平方差公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键． 根据平方差公式分析判断即可． 【解析】解：A、不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； B、可用完全平方公式分解，不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； C、不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； D、能用平方差公式进行因式分解，故此选项符合题意； 故选：D． 3．下列多项式中，可以运用平方差公式进行因式分解的是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握平方差公式的特点是解题的关键．根据平方差公式判断即可． 【解析】解：与无法利用平方差公式因式分解，则A不符合题意； 无法利用平方差公式因式分解，则B不符合题意； ，则C符合题意； 无法利用平方差公式因式分解，则D不符合题意； 故选：C． 题型2：运用完全平方公式分解因式 4．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查用完全平方公式进行因式分解，熟练运用完全平方公式.是解题的关键 利用完全平方公式逐项判断即可解答． 【解析】解：A、，不能用完全平方公式进行因式分解； B、，不能用完全平方公式进行因式分解； C、，不能用完全平方公式进行因式分解； D、，能用完全平方公式进行因式分解； 故选：D． 5．若分解因式能用完全平方公式分解因式，则的值为（    ） A．10 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，先根据两平方确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值． 【解析】解：∵多项式能用完全平方公式分解因式， 又∵， ∴ ， 解得 ． 故选：C． 6．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中能用完全平方公式进行因式分解的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【解析】略 题型3：判断是否能用公式法分解因式 7．下列多项式中，不能用公式法进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解本题的关键． 利用平方差公式，以及完全平方公式判断即可． 【解析】解：A、不能用公式法因式分解，故此选项符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意． 故选：A． 8．下列多项式不能用公式法因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的因式分解．A、B选项考虑利用完全平方公式分解，C、D选项考虑利用平方差公式分解． 【解析】解：A、，故选项A不符合题意； B、，故选项B不符合题意； C、不是平方差的形式，不能运用公式法因式分解，故选项C符合题意； D、，故选项D不符合题意； 故选：C． 9．运用公式法将下列各式因式分解，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】略 题型4：综合运用公式法和提公因式法分解因式 10．把下列各式分解因式： （1）                      （2） （3）                      （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】（1）利用提公因式法进行因式分解，即可求解； （2）先分组，再利用平方差公式法因式分解，即可求解； （3）先利用完全平方公式法因式分解，再利用平方差公式法，即可求解； （4）先将原式化简，再利用完全平方公式法因式分解，即可求解． 【解析】解：（1）                                             ； （2）                   ； （3）                                          ； （4）                        ． 【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法，并灵活选用合适的方法进行因式分解是解题的关键． 11．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先去括号，再利用完全平方公式进行分解即可； （2）直接利用完全平方公式进行分解即可； （3）先利用平方差公式进行分解，再利用完全平方公式进行二次分解即可； （4）先利用完全平方公式进行分解，再利用平方差公式进行二次分解即可． 【解析】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 【点睛】本题考查公式法分解因式，积的乘方．掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是解题的关键． 12．分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解； （2）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解； （3）先利用平方差公式进行因式分解，再利用完全平方公式进行因式分解． 【解析】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式． 【点睛】本题考查因式分解．熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． 13．因式分解： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先提公因式，然后根据平方差公式因式分解； （2）先提公因式，再根据完全平方公式因式分解； （3）先提公因式，再根据平方差公式因式分解； （4）直接根据完全平方公式因式分解，再根据平方差公式因式分解即可求解． 【解析】（1）解：原式= =； （2）解：原式＝ =； （3）解：原式= =； （4）解：原式＝ =   =． 【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 14．因式分解： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据提公因式法和完全平方公式进行因式分解即可； （2）根据平方差公式与完全平方公式因式分解即可； （3）根据平方差公式与提公因式法因式分解即可； （4）根据提公因式法与平方差公式因式分解即可． 【解析】（1） = = （2） = = = （3） = = = （4） = = = = 【点睛】本题考查了提公因式法、平方差公式和完全平方公式，解决此题的关键是熟练掌握因式分解的基本方法． 题型5：十字相乘法 15．用十字相乘法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】根据十字相乘法可分别求解（1）（2）． 【解析】（1）解： ， 或， 或； （2）解：， ， 或， 或． 【点睛】本题主要考查利用因式分解进行求解方程，熟练掌握因式分解是解题的关键． 16．用十字相乘法分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】用十字相乘法分解因式求解即可． 【解析】（1）原式． （2）原式 ． （3）原式 【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 17．要使能在有理数的范围内因式分解，则整数的值有（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据把-6分解成两个因数的积，m等于这两个因数的和，分别分析得出即可． 【解析】解：∵-1×6=-6，-6×1=-6，-2×3=-6，-3×2=-6， ∴m=-1+6=5或m=-6+1=-5或m=-2+3=1或m=-3+2=-1， ∴整数m的值有4个， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了十字相乘法分解因式，对常数16的正确分解是解题的关键． 18．【材料阅读】利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以为未知数，为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二次项系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解因式的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二次项系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： 【应用新知】 （1）用十字相乘法分解因式：； （2）用十字相乘法分解因式：； 【拓展提升】 （3）结合本题知识，分解因式：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，因式分解，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用． （1）利用十字相乘法进行求解即可； （2）利用十字相乘法进行求解即可； （3）将看成一个整体，再利用十字相乘法进行求解即可． 【解析】解：（1）； （2）； （3） 题型6：分组分解法 19．分解因式：． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，先分组得到，再利用平方差公式和提公因式法分解因式，进一步提取公因式分解因式即可得到答案． 【解析】解： ． 20．因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查的是利用分组分解法分解因式，先把后三项作为一组，利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可，熟练的分组是解本题的关键． 【解析】解： ． 21．因式分解：； 【答案】 【分析】本题租用考查了分解因式，先分组得到，进而提取公因式得到，再利用平方差公式分解因式即可． 【解析】解： ． 22．因式分解： 【答案】 【分析】本题考查的是多项式的因式分解，掌握分组分解因式是解本题的关键；本题先分成2组分别提公因式x，再进一步的提公因式分解因式即可． 【解析】解： ； 23．阅读下列解题的过程． 分解因式： 解： 请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中所给方法可进行因式分解； （2）根据题中所给方法可进行因式分解． 【解析】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键． 题型7：因式分解在计算中的应用 24．用简便方法计算：． 【答案】． 【分析】此题考查了因式分解的应用，先设，然后通过十字相乘法因式分解进行解答即可，解题的关键是熟练掌握十字相乘法因式分解的应用． 【解析】解：设， 则原式， ， ， ∴原式． 25．计算：1002－992＋982－972＋962－952＋…＋22－1 【答案】5050 【分析】观察发现：把每两项作为一组，利用平方差公式把原式化为：，再利用和式特点求值即可得到答案． 【解析】解：原式＝（1002－992）＋（982－972）＋（962－952）＋…＋（22－1） ＝（100＋99）＋（98＋97）＋（96＋95）＋…＋（2＋1） ＝（100＋1）＋（99＋2）＋（98＋3）＋（97＋4）＋…＋（51＋50） ＝50×（100＋1） ＝5050． 【点睛】本题考查的是利用平方差公式进行有理数的简便运算，含乘方的有理数的混合运算，掌握平方差公式是解题的关键． 26．计算： 【答案】. 【分析】利用平方差公式将各因式分解后进行约分即可得解. 【解析】， = = =. 【点睛】此题考查有理数的混合运算，运用规律拆分是解决问题的关键. 27．已知满足 （1）利用因式分解求的值；（2）求的值 【答案】（1）2 （2）34，±8 【分析】（1）提取公因式进行因式分解即可求解； （2）根据（1）知的值，即可推出，即可求出，即可求解的值. 【解析】解：（1） ∴       ∴ ∵ ∴； （2）根据（1）知=2 ∴ ∴， ∵ ， ∴ ∴ 故答案为（1）2 （2）34，±8. 【点睛】本题主要考查了因式分解与完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式并学会对公式进行适当变形是解答本题的关键. 题型8：因式分解的其他应用 28．长方形的周长为，它的两边，是整数，且满足，求它的面积． 【答案】 【分析】利用因式分解得出．然后根据周长求出边长再求面积即可求解． 【解析】∵长方形周长为16cm， ∴． ∵，     ∴． 因式分解，得：， 即． ∴或者， 解得：或． ∵，是整数，     ∴． ∴该矩形的面积为． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，二元一次方程组的应用，熟练掌握因式分解方法是解题的关键． 29．阅读下列材料： 利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法． 运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式． 例如： 根据以上材料，解答下列问题： （1）用多项式的配方法将化成的形式； （2）利用上面阅读材料的方法，把多项式进行因式分解； （3）求证：，取任何实数时，多项式的值总为正数． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【分析】（1）根据题意，利用配方法进行解答，即可得到答案； （2）根据题意，根据材料的方法进行解答，即可得到答案； （3）利用配方法把代数式进行化简，然后由完全平方的非负性，即可得到结论成立. 【解析】解：（1） = ； （2） ； （3）证明： ； ∵，， ∴的值总是正数． 即的值总是正数． 【点睛】此题考查了因式分解的应用，配方法的应用，以及非负数的性质：偶次方，熟练掌握配方法、因式分解的方法是解本题的关键． 30．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的边长为的小正方形，长为、宽为的长方形以及边长为的大正方形． 利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，例如图2可以解释整式乘法：，也可以解释因式分解：． (1)若用4个类材料围成图3的形状，设外围大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，观察图案，指出下列关系式中正确的是（写出所有正确结论的序号）______． ①；②；③；④；⑤． (2)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，在虚框中画出图形，并根据所画图形，将多项式分解因式为______． (3)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为则的值为______．（直接写出结果） 【答案】(1)①③④⑤ (2)画图见解析， (3)9或21或12 【分析】本题考查整式乘法与图形面积的关系，掌握数形结合思想成为解题关键． （1）根据图形表示出两个正方形边长与a、b的关系、，结合面积加减计算逐个判断即可； （2）根据整式得到两个大正方形、两个小正方形、五个长方形，然后画出图形即可解答； （3）根据因式分解平方项凑长宽展开求解即可解答． 【解析】（1）解：由图形可得，、，故①正确， ∴，即②错误； 由图形可得，，即，即③正确； ∵、， ∴，即，即④正确； ∵，，即故⑤正确． 故答案为：①③④⑤． （2）解：由题意可得，图形如图所示， ∴． 故答案为：． （3）解：由题意可得， ①当，， ②当，， ③当，． 故答案为：9或21或12． 一、单选题 1．下列分解因式中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是因式分解，掌握利用提公因式法和公式法因式分解是解决此题的关键． 【解析】解：A. ，不是完全平方公式，不能分解，符合题意； B.，分解因式正确，不符合题意； C. ，分解正确，不符合题意； D. ，分解正确，不符合题意； 故选A． 2．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中能用完全平方公式进行因式分解的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【解析】略 3．下列各式的分解因式： ①；②； ③；④ 其中正确的个数有（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】逐项分析即可 【解析】解：①； ②不能分解因式； ③不能分解因式； ④不能用完全平方公式因式分解． 故选：A． 【总结】本题主要考查因式分解，因式分解主要为提公因式法和公式法，本题中熟练掌握公式法是解题关键． 4．已知，，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】先利用平方差公式分解因式，再运用整体的思想求代数式的值，熟练掌握和运用平方差公式是解本题的关键． 【解析】，， 故选：B 5．已知是因式分解的结果，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解与多项式相乘的关系，注意正确计算多项式的乘法，然后系数对应相等．把多项式相乘展开，再根据对应项系数相等求解即可． 【解析】∵， ∴ ∴． 故选：A． 6．在多项式添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式分解因式，则下列表述正确的是（ ） 嘉琪：添加， 陌陌：添加， 嘟嘟：添加， A．嘉琪和陌陌的做法正确 B．嘉琪和嘟嘟的做法正确 C．陌陌和嘟嘟的做法正确 D．三位同学的做法都不正确 【答案】A 【分析】利用完全平方公式分解即可． 【解析】解：添加，，故嘉琪的表述是正确的； 添加，，故陌陌的表述是正确的； 嘟嘟的表述不是完全平方公式，故是错误的． 故选：A． 【点睛】本题考查因式分解—公式法．熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 7．因式分解的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分组分解法分解因式即可． 【解析】解：原式 ； 故选B． 【点睛】本题考查因式分解．解题的关键是掌握分组分解法分解因式． 8．已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，则甲与丙相减的结果是(  ) A． B．5 C．1 D． 【答案】D 【分析】此题考查了十字相乘法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．把题中的积分解因式后，确定出各自的整式，相减即可． 【解析】解：∵甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数， ∴甲为，乙为，丙为， 则甲与丙相减的差为：； 故选：D 9．如果，那么的值是（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，根据已知可得，根据完全平方公式因式分解代数式，进而代入即可求解． 【解析】解：∵ ∴，则， ∴， 故选：A． 10．要使能在有理数的范围内因式分解，则整数的值有（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据把-6分解成两个因数的积，m等于这两个因数的和，分别分析得出即可． 【解析】解：∵-1×6=-6，-6×1=-6，-2×3=-6，-3×2=-6， ∴m=-1+6=5或m=-6+1=-5或m=-2+3=1或m=-3+2=-1， ∴整数m的值有4个， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了十字相乘法分解因式，对常数16的正确分解是解题的关键． 11．的分解因式结果中，含有的因式是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，利用添项和分组分配法分解因式即可得解，掌握分组分配法是解题的关键． 【解析】解：∵ ， ∴的分解因式结果中，含有因式， 故选：C． 12．对于一个正整数n，若能找到正整数，使得，则称n为一个“好数”，例如：，则就是一个“好数”，那么从到这个正整数中“好数”有( ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据题意得出，进而可得只要是合数，就是好数，即可求解． 【解析】解：由，可得 ， 所以，只要是合数，就是好数， 以内的好数有：、、、、 故选：C． 二、填空题 13．分解因式： = ． 【答案】 【分析】根据平方差公式分解因式即可． 【解析】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查平方差公式分解因式，掌握平方差公式是解题的关键． 14．分解因式： ． 【答案】 【分析】先提取公因式x，再利用十字相乘法分解因式即可． 【解析】解： = = 故答案为：． 【点睛】本题考查用提公因式法和十字相乘法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 15．因式分解： ． 【答案】 【分析】利用平方差公式：，进行两次分解． 【解析】解： ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了用公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 16．分解因式： = 【答案】 【分析】先用完全平方公式因式分解，再用平方差因式分解． 【解析】 【点睛】此题考查了因式分解，解题的关键是熟悉公式法因式分解． 17．与之积等于的因式为 ． 【答案】/ 【分析】根据平方差公式将分解因式，并变形为，即可得出答案． 【解析】解：∵ ， ∴与之积等于的因式为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分解因式的应用，解题的关键是熟练掌握平方差公式． 18．分解因式： ．（其中且为整数） 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，直接根据提公因式和平方差公式因式分解即可求解． 【解析】解：原式 故答案为：． 19．分解因式： ． 【答案】 【分析】先利用乘法公式展开、合并得到原式，再进行分组得到完全平方公式，所以原式，然后再把括号内分组分解即可． 【解析】解：原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解——分组分解，理解分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式，并灵活运用整体代入思想解答是解题的关键． 20．正数满足，那么 ． 【答案】64 【分析】将式子因式分解为(a-c)(b+2)=0，求得a=c,同理可得a=b=c,再=12可化为a2+4a-12=0，求出a的值，再求得值即可． 【解析】解：∵， ∴ab-bc+2(a-c)=0, 即(a-c)(b+2)=0, ∵b﹥0, ∴b+2≠0, ∴a-c=0, ∴a=c, 同理可得a=b,b=c, ∴a=b=c, ∴=12可化为a2+4a-12=0 ∴(a+6)(a-2)=0, ∵a为正数， ∴a+6≠0, ∴a-2=0, ∴a=2, 即a=b=c=2, ∴(2+2) ×(2+2) ×(2+2)=64 故答案为64． 【点睛】本题考查因式分解的应用；能够将所给式子进行正确的因式分解是解题的关键． 三、解答题 21．把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接利用平方差公式分解因式即可； （2）直接提取公因式3a，进而利用完全平方公式分解因式即可； （3）直接提取公因式2，进而利用平方差公式、完全平方公式分解因式即可． 此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键． 【解析】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ． 22．在有理数范围分解因式 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查的是因式分解，掌握利用提公因式法和公式法因式分解是解决此题的关键． （1）利用提公因式法因式分解即可； （2）把看着一个整体，利用完全平方公式因式分解即可； （3）设，先计算，再分解关于a的多项式，然后代入还原继续因式分解即可； （4）利用分组分解法，利用两次完全平方公式因式分解即可． 【解析】（1）解： （2） （3）设， 则原式， ， ∴原式 （4） ， . 23．因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题的关键． （1）直接利用完全平方公式即可得出答案； （2）直接提取公因式，再用平方差公式分解因式即可得出答案； （3）先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式得出答案． 【解析】（1） （2） （3） 24．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解法则；熟悉因式分解的一般步骤，并正确运用其法则是解题的关键． （1）本题先用提公因式法提出公因式，再运用十字相乘法进行因式分解； （2）本题先进行分组，再运用平方差公式进行因式分解． 【解析】（1）解： （2） 25．分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查的是十字相乘法因式分解．先利用十字相乘法因式分解，在利用平方差公式进行因式分解． 【解析】解： ． 26．因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查的是利用分组分解法分解因式，先把后三项作为一组，利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可，熟练的分组是解本题的关键． 【解析】解： ． 27．因式分解：； 【答案】 【分析】本题租用考查了分解因式，先分组得到，进而提取公因式得到，再利用平方差公式分解因式即可． 【解析】解： ． 28．下面是小明同学的数学笔记，笔记中有一道因式分解题，小明在练书法时不小心将笔记中的两个数字沾上了墨水，分别求出“▲”“■”代表的数字 因式分解：． 【答案】“▲”代表的数字是3，“■”代表的数字是． 【分析】本题考查了因式分解，解二元一次方程组．根据同意得到，再根据等式的性质得到二元一次方程组，据此求解即可． 【解析】解：设“▲”代表的数字为，“■”代表的数字为， ． ， ， 解得， “▲”代表的数字是3，“■”代表的数字是． 29．在化简的过程中，小明有以下三种方法来进行化简： 解法一：…（ ） 原式 解法二：…（ ） 原式 解法三：…（ ） 原式      小明发现三种解答的结果不同，请你帮小明来判断上述解法是否正确，对的在括号里打“√”，并在错误处划“_____”或写出错误原因．若三种解答都错误，请你再写出正确的解答过程． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查整式的乘法和因式分解，按照整式乘法和因式分解的运算法则求解即可． 【解析】解法一：× 原式     错误原因：提公因式后未变号 解法二：× 原式      错误原因：计算时未变号 解法三：× 原式         错误原因：完全平方公式计算错误 正确计算步骤如下： 原式 30．材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． (1)根据材料1，把分解因式； (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）利用十字相乘法分解因式即可； （2）①利用十字相乘法分解因式即可； ②利用十字相乘法分解因式即可． 【解析】（1） ； （2）① ； ② ． 31．如图，大长方形是由三个小长方形和一个小正方形拼成的． 观察猜想：请根据此图填空：（______）（______）． 说理验证：事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形： （______）（______）（提示：提公因式）（______）（______）． 于是，我们可以利用此方法进行多项式的因式分解． 尝试运用：例题：把多项式因式分解． 请利用上述方法将下列多项式因式分解： （1）； （2）． 【答案】观察猜想：，；说理验证：，，，；（1）；（2） 【分析】本题主要考查了因式分解在几何图形中的应用，十字相乘法分解因式： 观察猜想：由图可知四个小长方形的面积之和等于大长方形的面积，据此求解即可； 说理验证：先提取公因式x和q分组分解因式，再提取公因式进行分解因式即可； （1）仿照题意分解因式即可； （2）把看作一个整体仿照题意分解因式即可． 【解析】解；观察猜想：由图可知四个小长方形的面积之和等于大长方形的面积，即， 故答案诶：； 说理验证：由题意得， 故答案为：，，，； （1） ； （2） ． 32．已知一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，以它的百位数字作为十位，个位数字作为个位，组成一个新的两位数s，若s等于M的千位数字与十位数字的平方差，则称这个数M为“平方差数”，将它的百位数字和千位数字组成两位数，个位数字和十位数字组成两位数，并记． 例如：6237是“平方差数”，因为，所以6237是“平方差数”； 此时． 又如：5135不是“平方差数”，因为，所以5135不是“平方差数”． (1)判断7425是否是“平方差数”？并说明理由； (2)若是“平方差数”，且比M的个位数字的9倍大30，求所有满足条件的“平方差数”M． 【答案】(1)是，理由如下 (2) 【分析】（1）根据“平方差数”的定义计算即可； （2）由M是“平方差数”，得，由比M的个位数字的9倍大30，得，进而得，结合分解分数的方法分解并分情况讨论即可． 【解析】（1）解： 7254是“平方差数”．理由如下： ∵， ∴7254是“平方差数”． （2）∵是“平方差数”， ∴， ∵比M的个位数字的9倍大30， ∴，即， ∴， 即． ∵且均为30的正因数， ∴将30分解为或或． ①， 解得， ∵， ∴； ②， 解得， ∵， ∴（舍）； ③， 解得， ∵，， ∴（舍）或5214． ∴． 【点睛】本题主要考查因式分解的应用，解答的关键是理解“平方差数”，明确条件与所求的关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$