素养提升07 抛体运动及其规律应用-2024年暑假高一物理弯道超车（人教版2019必修第一册）

素养提升07 抛体运动及其规律应用 01 考点梳理 【考点1 平抛运动的基本规律】 1．关于平抛运动必须掌握的四个物理量 物理量 相关分析 飞行时间(t) t＝，飞行时间取决于下落高度h，与初速度v0无关 水平射程(x) x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关 落地速度 (v) v＝＝，以θ表示落地时速度与水平方向间的夹角，有tanθ＝＝，所以落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关 速度的 改变量 (Δv) 因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示 2.平抛运动的两个重要推论 (1)做平抛运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图甲所示。其推导过程为tanθ＝＝＝。 (2)做平抛运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tanθ＝2tanα。如图乙所示。其推导过程为tanθ＝＝＝＝2tanα。 【考向1 平抛运动的理解及基本规律的应用】 【典例1】（23-24高一下·四川达州·期末）愤怒的小鸟是曾经风靡全球的2D画面游戏，该游戏是通过调节发射小鸟的力度与角度达到轰击肥猪堡垒的目的，现简化为右图模型：假设小鸟从离草地高度h=12.8m处用弹弓以水平抛射，恰好击中肥猪的堡垒（将小鸟和肥猪堡垒均视为质点，忽略空气阻力，重力加速度g取10m/s2），求： （1）小鸟击中肥猪堡垒时速度的大小和方向； （2）若击中肥猪堡垒前小鸟经过位置A时速度与竖直方向夹角，则小鸟从位置A到肥猪堡垒所用的时间。 【考向2 多物体平抛问题】 【典例2】（23-24高一下·贵州·阶段练习）乒乓球是我国的国球，是一项集健身、竞技和娱乐为一体的运动项目。我国乒乓健儿也多次在国际赛事上取得优异成绩。如图，两名运动员从乒乓球台两端的正上方不同高度处分别发出A、B两球（B球的高度大于A球的高度，两球到球网的水平距离相等），假设两球都做平抛运动，都恰好能越过球网，同时落到对方台面上，则下列说法正确的是（　　） A．A球比B球先出发 B．B球先到达球网上端 C．落到球台前瞬间，B球的速度一定较大 D．B球落到球台上时，距球网更近 【素养能力提升】 1．“化曲为直”思想在平抛运动中的应用 根据合运动与分运动的等效性，利用运动分解的方法，将其转化为我们所熟悉的两个方向上的直线运动： (1)水平方向的匀速直线运动； (2)竖直方向的自由落体运动。 2．对多物体平抛问题的四点提醒 (1)若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只取决于两物体的水平分运动。 (2)若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同，二者间距由两物体的水平分运动和竖直高度差决定。 (3)若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动。 (4)两条平抛运动轨迹的相交处是两物体的可能相遇处，两物体要在此处相遇，必须同时到达此处。 【考点二 与斜面或圆弧面有关的平抛运动】 做平抛运动的物体，落点不在水平面上，而是在斜面、竖直面、弧面上时，应将平抛运动的知识与几何知识结合起来，分解速度或分解位移，在水平方向和竖直方向分别列式求解。 常见的模型 已知条件 情境示例 解题策略 已知速度方向 从斜面外平抛，垂直落在斜面上(如图所示)，末速度的方向垂直于斜面 分解速度tanθ＝＝，t＝ 从斜面外平抛，恰好从斜面顶点无碰撞切入斜面(如图所示)，末速度方向沿斜面方向 分解速度tanθ＝＝，t＝ 从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道(如图所示)，末速度方向沿该点圆弧的切线方向 已知位移方向 从斜面上平抛又落到斜面上(如图所示)，位移的方向沿斜面向下 分解位移 tanθ＝＝＝，t＝ 从斜面外平抛，落在斜面上位移最小(如图所示)，位移方向垂直于斜面 分解位移 tanθ＝＝＝，t＝ 利用 位移 关系 从圆心处水平抛出，落到半径为R的圆弧上(如图所示)，位移大小等于半径R 从与圆心等高的圆弧上水平抛出，落到半径为R的圆弧上(如图所示)，水平位移x与R的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径的平方 注：从斜面上某点水平抛出，又落到斜面上的平抛运动，当速度与斜面平行时，物体到斜面的距离最远，且从抛出到距斜面最远所用的时间为平抛运动时间的一半。 【考向1 与斜面有关的平抛运动】 【典例3】（23-24高一下·河南郑州·期末）跳台滑雪是一项勇敢者的运动，运动员穿专用滑雪板，在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞行一段距离后着陆。现有某运动员从跳台A处沿水平方向飞出，在斜坡B处着陆，如图所示。测得A、B间的竖直高度差为20m，斜坡与水平方向的夹角为30°，不计空气阻力，g取。则下列说法错误的是（　　） A．运动员在A处的速度大小为 B．运动员在空中飞行的时间为2s C．运动员在空中离坡面的最大距离为 D．运动以从A到B速度变化量为10m/s 【考向2 与圆弧有关的平抛运动】 【典例4】（多选）（23-24高一下·山东菏泽·期中）如图所示为固定的半圆形竖直轨道，AB为水平直径，O为圆心，同时从A点水平抛出甲、乙两个小球，初速度分别为、，落在轨道上的C、D两点，OC、OD连线与竖直方向的夹角均为30°，忽略空气阻力，两小球均可视为质点。则（　　） A．甲、乙两球同时落到轨道上 B． C．乙球的速度变化量比甲球的大 D．乙球在D点速度的反向延长线一定过O点 【考点三 类平抛运动的分析】 1．类平抛运动与平抛运动的区别 做平抛运动的物体初速度水平，物体只受与初速度垂直的竖直向下的重力，a＝g；做类平抛运动的物体初速度不一定水平，但物体所受合力与 初速度的方向垂直且为恒力，a＝。 2．求解方法 (1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力方向)的匀加速直线运动。 (2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度a分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向上列方程求解。 【典例5】（23-24高一下·广东深圳·期末）风洞，被称为飞行器的摇篮，我国的风洞技术世界领先。如图所示，在一次实验中，风洞竖直放置且足够长，质量为m的小球从A点以速度沿直径水平进入风洞。小球在风洞中运动时受到的风力F恒定，方向竖直向上，风力大小F可在0~3mg间调节。小球可视作质点，碰壁后不反弹，重力加速度g取，风洞横截面直径。 （1）当时，求小球撞击右壁的速度大小和方向； （2）保持不变，调节F的大小，求小球撞击右壁的区域长度。 【素养能力提升】 求解类平抛运动问题的关键 (1)对研究对象受力分析，找到物体所受合力的大小、方向，判断是否恒定，正确求出加速度。 (2)应用运动的合成与分解的方法求解。 【考点三 斜抛运动】 1．斜上抛运动的分析 利用运动的合成与分解分析：可看作沿水平方向的匀速直线运动和沿竖直方向的竖直上抛运动的合运动。 以斜上抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy。 初速度可以分解为v0x＝v0cosθ，v0y＝v0sinθ。在水平方向，物体的位移和速度分别为 x＝v0xt＝(v0cosθ)t① vx＝v0x＝v0cosθ② 在竖直方向，物体的位移和速度分别为 y＝v0yt－gt2＝(v0sinθ)t－gt2③ vy＝v0y－gt＝v0sinθ－gt④ 2．斜上抛运动的极值 结合1中分析，在最高点，vy＝0，由④式得t＝⑤ 将⑤式代入③式得物体的射高ym＝⑥ 物体落回与抛出点同一高度时，有y＝0， 由③式得总时间t总＝⑦ 将⑦式代入①式得物体的射程xm＝ 当θ＝45°时，sin2θ最大，射程最大。 所以对于给定大小的初速度v0，沿θ＝45°方向斜向上抛出时，射程最大。 3．斜上抛运动的处理技巧 (1)对斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可逆向看成平抛运动。 (2)分析完整的斜上抛运动时，可根据对称性求解某些问题。 【考向1 斜抛运动的理解及其运动规律的应用】 【典例6】（23-24高二下·河南新乡·期末）如图所示，将一篮球从地面上方的B点斜向上抛出，刚好垂直击中篮板上的A点。若抛射点水平向右移动一小段距离，仍使抛出的篮球垂直击中A点，不计空气阻力，则下列方法可行的是（　　） A．增大抛射速度的大小，同时增大抛射角 B．增大抛射速度的大小，同时减小抛射角 C．减小抛射速度的大小，同时增大抛射角 D．减小抛射速度的大小，同时减小抛射角 【考向2 逆向思维分析斜上抛运动】 【典例7】（2024·山东烟台·三模）跑酷，又称自由奔跑，是一种结合了速度、力量和技巧的极限运动。如图甲所示为一城墙的入城通道，通道宽度L=6m，一跑酷爱好者从左墙根由静止开始正对右墙加速运动，加速到M点时斜向上跃起，到达右墙壁P点时，竖直方向的速度恰好为零，P点距离地面高h=0.8m，然后立即蹬右墙壁，使水平方向的速度变为等大反向，并获得一竖直方向速度，恰好能跃到左墙壁上的Q点，P点与Q点等高，飞跃过程中人距地面的最大高度为H=2.05m，重力加速度g取10m/s2，整个过程中人的姿态可认为保持不变，如图乙所示，则下列说法中正确的是（    ） A．人助跑的距离为3.6m B．人助跑的距离为3m C．人刚离开墙壁时的速度大小为6m/s D．人刚离开P点时的速度方向与竖直方向夹角的正切值为 【考向3 斜抛运动与平抛运动综合分析】 【典例8】（23-24高一下·海南·期中）如图所示，某同学在A点将同一个飞镖（可视为质点）以大小相等的速度v0先后沿着AO方向、斜向上两个方向掷出，运动轨迹分别如图中①、②所示，并分别击中靶心O点正下方的P点和靶心。已知A点和O点在同一水平面上，忽略空气阻力，则下列说法正确的是（    ） A．飞镖两次飞行轨迹的位移相同 B．飞镖沿轨迹①飞行的时间一定大于沿轨迹②飞行的时间 C．飞镖沿轨迹①飞行的时间一定小于沿轨迹②飞行的时间 D．飞镖沿轨迹②到达靶心O点时的速率大于沿轨迹①到达P点时的速率 【考向4 多物体斜抛运动分析】 【典例9】（23-24高二下·浙江台州·期末）如图所示，在湖边山坡上的同一位置以相同大小的初速度，沿同一竖直面同时抛出两石子A和B，初速度方向与水平方向夹角均为，两石子均做抛体运动。下列说法正确的是（　　） A．A石子先入水 B．两石子落水前始终在同一条竖直线上 C．调整初速度大小，两石子可能在空中相遇 D．将抛出点位置改到点，两石子落水的时间间隔变小 02 素养提升练 一、单选题 1．（23-24高一下·河南郑州·期中）甲、乙两同学在相对的两个等高平台上做高空抛物游戏，两平台到地面的距离为h，两平台间距离为L，两球分别从平台上的A、B两点同时水平抛出，两小球恰好在地面相遇，如果使两球的速度都变为原来的三倍，则两球相遇处距地面的高度是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·云南大理·期末）如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上。设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、c高度相同，b、d高度相同，a、c分别在b、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，若以最小的初速度完成跳跃，则它应跳到（　　） A．荷叶a B．荷叶b C．荷叶c D．荷叶d 3．（23-24高一下·湖南·阶段练习）跳台滑雪是冬奥会的重要项目之一。如图所示，跳台与水平面间高度差为，倾斜赛道与水平方向的夹角。某次训练中，运动员以速度从跳台顶端水平飞出，经过一段时间后落在倾斜赛道上，取，重力加速度为，空气阻力忽略不计，运动员（包括滑雪板）视为质点。则运动员在空中运动的过程中，下列说法正确的是（    ） A．运动员在空中运动的时间是2s B．运动员落在斜坡赛道上的速度大小为50m/s C．运动员离倾斜赛道的最远距离为12.8m D．若运动员从跳台飞出的速度可达到30m/s，则他的水平位移为120m 4．（23-24高一下·广东清远·期末）2021年9月2日，辽宁沈阳桃仙国际机场以“过水门”最高礼遇，迎接第八批志愿军烈士遗骸回家。两辆消防车凌空喷射出两道在空中最高点对接的巨型水柱，出现一个“水门”状的效果。若不计空气阻力，两侧同一水平位置喷射出的水柱恰好是对称的抛物线，下列说法正确的是（　　） A．两侧喷射出的水初速度相同 B．两侧喷射出的水从喷出点至最高点所用的时间相等 C．任意一小段水柱，其受到的合力方向总与其速度方向垂直 D．取任意一小段水柱，在相等时间间隔内速度的变化量不相同 5．（23-24高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）乒乓球运动是我国喜闻乐见的体育运动，所有人都可以通过乒乓球运动来锻炼身体。某同学在一次乒乓球练习中，以大小为的初速度将乒乓球水平击出，乒乓球在空中形成一段抛物线，乒乓球在点的速度方向与水平方向成角，运动到点时速度方向与水平方向成角，取重力加速度大小，不计空气阻力，则乒乓球从A点运动到B点的竖直位移大小为（　　） A．0.1m B．0.4m C．0.45m D．0.9m 7．（23-24高一下·福建莆田·期中）小凡和小成用软件模拟抛体运动过程，如图所示，在一个倾角为的斜面上，以一与斜面成角的初速度抛出一个小球，他们发现当满足（不考虑小球的二次反弹）时，小球落回斜面时速度与斜面垂直。若已知，小球的初速度大小为，重力加速度取g，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．改变抛出角度，使得小球水平落到斜面上，则 B．改变抛出角度，使得小球水平落到斜面上，小球距离斜面最远距离为 C．改变抛出角度，使得小球垂直落到斜面上，小球运动的时间为 D．改变抛出角度，使得小球垂直落到斜面上，落球点与抛出点距离为 8．（23-24高一上·天津和平·期末）流量是指单位时间内通过管道横截面的流体体积，在生活中经常需要测量流量来解决实际问题。环保人员在检查时发现一根排污管正在向外满口排出大量污水。如图所示。他测出水平管口距落点的竖直高度为h，管口的直径为d，污水落点距管口的水平距离为，重力加速度为g。根据这些测量计算排出污水的流量为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一下·江西南昌·期末）一乒乓球自动发球机从同一高度沿同一水平方向发射两球分别落在图中所示的A、B处，发射速度大小分别为、；两球在空中运动的时间分别为、，忽略空气阻力，则有（    ） A． B． C． D． 10．（22-23高一下·天津西青·期中）如图所示，以的速度水平抛出的小球，飞行一段时间垂直地撞在倾角的斜面上，按考虑，以下结论中正确的（　　） A．物体飞行时间是 B．物体飞行的时间是 C．物体撞击斜面时的速度大小为 D．物体下降的距离是 11．（23-24高一下·安徽宿州·阶段练习）如图所示的光滑固定斜面长为、宽为、倾角为，一物块（可看成质点）从斜面左上方顶点沿水平方向射入，恰好从底端右侧点离开斜面，已知重力加速度为，不计空气阻力（　　） A．物块加速度的大小 B．物体轨迹变加速曲线运动 C．物块由运动到所用的时间 D．物块由点水平射入时初速度的大小 12．（23-24高一下·广西南宁·期中）如图所示，四分之一圆弧面的半径R与斜面的竖直高度相等，斜面的倾角为，圆弧面的圆心为图中O点，在斜面的顶端A点将多个小球以不同的水平速度抛出，设小球碰到接触面后均不再反弹，已知重力加速度为g，则以下说法正确的是（    ） A．小球有可能垂直打到圆弧面上 B．小球抛出的初速度越大，则运动时间越短 C．小球抛出的速度等于时，运动时间最长 D．若小球抛出的速度小于，则落到接触面时速度偏角均相同 13．（23-24高一下·河南郑州·期中）某校秋季运动会分为竞技组和健身组，健身组设置了定点投篮项目。如图甲所示，某选手正在进行定点投篮，篮球在空中划出了一道漂亮的弧线。在篮球运动所在的竖直平面内建立坐标系xOy，如图乙所示，篮球由A点投出，A、B、C、D是篮球运动轨迹上的四点，B为篮球运动的最高点，A、B、C、D四点的坐标分别为，、、，重力加速度为g，空气阻力忽略不计。则下列说法正确的是（    ） A．篮球经过A、C两点时速度相同 B．篮球经过B点时速度大小为 C．篮球从A到B与B到C过程中，速度变化相同 D．D点的纵坐标 三、解答题 14．（23-24高一下·山东潍坊·期中）某战区实战演习中，发射炮弹拦截靶机过程如图所示，ABCD-A1B1C1D1为立方体，ABCD位于水平面内，靶机沿D1C1方向匀速飞行，到达D1点时炮弹从A点斜向上发射升空，在C1点恰好水平击中靶机，忽略空气阻力，已知立方体边长为L，重力加速度大小为g。求： （1）靶机飞行的速度大小； （2）炮弹发射的初速度大小。 15．（22-23高一下·四川南充·期末）很多商场的门前都放置一台儿童游乐玩具——弹珠枪。如图，是一个正方形光滑斜台，边长为，与水平面的倾角为，弹珠由弹珠枪击打，弹珠沿着边经过斜台拐角边半径为的四分之一的圆弧轨道，最后离开圆弧轨道在斜面内运动。重力加速度为。若弹珠经过点后恰好经过点，求： （1）弹珠经过点时的速率？ （2）弹珠经过点时对圆弧轨道的压力大小？ 16．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）圆柱形容器的横截面在竖直平面内，如图所示，其半径，从其内部最高点A分别以水平初速度、抛出两个小球（均可视为质点），最终分别落在圆弧上的B点和C点，已知OB与OC相互垂直，且OB与竖直方向的夹角。取重力加速度大小g=10，，，不计空气阻力，求 （1）小球从被抛出到落在B点的时间； （2）小球被抛出时的初速度、的大小之比； （3）小球到达C点时的速度大小。 17．（23-24高一下·四川凉山·期末）近日，我国东部战区位台岛周边开展“联合利剑-2024A”演习。假设在演习中，我国歼20战机以v0=450m/s水平匀速飞行，到达某地形底端B点正上方时释放一颗导弹（忽略空气阻力，导弹运动看作平抛运动），并垂直击中目标A。已知该地形可看作倾角为θ=37°的山坡，（g=10m/s2，，），求： （1）导弹的飞行时间； （2）AB两点之间的距离。 18．（23-24高一下·广东广州·期中）如图甲，某同学将离地h=1.25m的网球以=13m/s的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离x=4.80m；其轨迹所在平面及俯视图如图乙。当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为H=8.45m的P点。网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍。平行墙面的速度分量不变。重力加速度g取10m/s2.求： （1）网球上升的时间t1和下降的时间t2； （2）网球碰墙后的速度大小v；（计算结果保留根号） （3）着地点到墙壁的距离d、 19．（22-23高一下·山西运城·期中）如图所示为某滑雪训练场地的模型图，左侧斜坡轨道的倾角为，斜坡长度为，斜坡底端有一小段水平轨道，A为水平轨道的末端，右侧有一倾角为的斜面体BC，A、C两点等高．运动员从斜坡的最高点O由静止滑下，由A点离开轨道，经过一段时间运动员垂直落在斜面体BC上，忽略空气阻力和一切摩擦，运动员可视为质点，重力加速度取，，，，。求： （1）运动员离开A点时的速度大小； （2）A、B两点之间的高度差； （3）若运动员改变下滑的位置，则落在斜面体BC上的最小速度（结果保留整数）。 03 体验高考 1．（2024·浙江·高考真题）如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，则水离开出水口的速度大小为（　　） A． B． C． D． 2．（2024·湖北·高考真题）如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上。设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分别在c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，若以最小的初速度完成跳跃，则它应跳到（　　） A．荷叶a B．荷叶b C．荷叶c D．荷叶d 3．（2024·海南·高考真题）在跨越河流表演中，一人骑车以25m/s的速度水平冲出平台，恰好跨越长的河流落在河对岸平台上，已知河流宽度25m，不计空气阻力，取，则两平台的高度差h为（　　） A．0.5m B．5m C．10m D．20m 4．（2024·江苏·高考真题）喷泉a、b形成如图所示的形状，不计空气阻力，则喷泉a、b的（　　） A．加速度相同 B．初速度相同 C．最高点的速度相同 D．在空中的时间相同 5．（多选）（2024·山东·高考真题）如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．运动时间为 B．落地速度与水平方向夹角为60° C．重物离PQ连线的最远距离为10m D．轨迹最高点与落点的高度差为45m 6．（2024·北京·高考真题）如图所示，水平放置的排水管满口排水，管口的横截面积为S，管口离水池水面的高度为h，水在水池中的落点与管口的水平距离为d。假定水在空中做平抛运动，已知重力加速度为g，h远大于管口内径。求： （1）水从管口到水面的运动时间t； （2）水从管口排出时的速度大小； （3）管口单位时间内流出水的体积Q。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 素养提升07 抛体运动及其规律应用 01 考点梳理 【考点1 平抛运动的基本规律】 1．关于平抛运动必须掌握的四个物理量 物理量 相关分析 飞行时间(t) t＝，飞行时间取决于下落高度h，与初速度v0无关 水平射程(x) x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关 落地速度 (v) v＝＝，以θ表示落地时速度与水平方向间的夹角，有tanθ＝＝，所以落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关 速度的 改变量 (Δv) 因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示 2.平抛运动的两个重要推论 (1)做平抛运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图甲所示。其推导过程为tanθ＝＝＝。 (2)做平抛运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tanθ＝2tanα。如图乙所示。其推导过程为tanθ＝＝＝＝2tanα。 【考向1 平抛运动的理解及基本规律的应用】 【典例1】（23-24高一下·四川达州·期末）愤怒的小鸟是曾经风靡全球的2D画面游戏，该游戏是通过调节发射小鸟的力度与角度达到轰击肥猪堡垒的目的，现简化为右图模型：假设小鸟从离草地高度h=12.8m处用弹弓以水平抛射，恰好击中肥猪的堡垒（将小鸟和肥猪堡垒均视为质点，忽略空气阻力，重力加速度g取10m/s2），求： （1）小鸟击中肥猪堡垒时速度的大小和方向； （2）若击中肥猪堡垒前小鸟经过位置A时速度与竖直方向夹角，则小鸟从位置A到肥猪堡垒所用的时间。 【答案】（1），方向与水平方向的夹角为；（2） 【详解】（1）小鸟做平抛运动，竖直方向有 可得小鸟击中肥猪堡垒时竖直分速度为 则小鸟击中肥猪堡垒时的速度大小为 设速度的方向与水平方向的夹角为，则有 可得 （2）小鸟从抛出到击中肥猪堡垒所用时间为 若击中肥猪堡垒前小鸟经过位置A时速度与竖直方向夹角，则小鸟在位置A时，有 解得小鸟在位置A时的竖直分速度为 则小鸟从抛出到位置A所用时间为 则小鸟从位置A到肥猪堡垒所用的时间为 【考向2 多物体平抛问题】 【典例2】（23-24高一下·贵州·阶段练习）乒乓球是我国的国球，是一项集健身、竞技和娱乐为一体的运动项目。我国乒乓健儿也多次在国际赛事上取得优异成绩。如图，两名运动员从乒乓球台两端的正上方不同高度处分别发出A、B两球（B球的高度大于A球的高度，两球到球网的水平距离相等），假设两球都做平抛运动，都恰好能越过球网，同时落到对方台面上，则下列说法正确的是（　　） A．A球比B球先出发 B．B球先到达球网上端 C．落到球台前瞬间，B球的速度一定较大 D．B球落到球台上时，距球网更近 【答案】D 【详解】A．B球下落的高度大于A球下落的高度，由竖直方向的位移关系 可知，B球下落的时间大于A球下落时间，由于两球同时落到对方台面上，故B球比A球先发出，A错误； B．由于B球的高度大于A球，故B球到达球网上端时的竖直方向的分速度大于A的竖直方向的分速度，故B球从网高落入台面所用的时间较少，两球同时落到对方台面上，故A球先到达球网上端，B错误； C．B球抛出点到网的高度大于A球抛出点到网的高度，故B球从抛出点到达球网的上端所用的时间大于A球，此过程中水平位移相同，故B球的水平初速度小于A球的水平初速度。两球落到地面时，A球的水平方向的分速度较大，B球的竖直方向分速度较大，且AB球下落高度和网的高度以及水平位移没有具体数据，故无法判断落到球台前瞬间两球的速度大小关系，C错误； D．B球的水平初速度小于A球的水平初速度，又由于B球从网高落入台面所用的时间较少，根据水平方向的位移 B球落到球台上时，距球网更近，D正确。 故选D。 【素养能力提升】 1．“化曲为直”思想在平抛运动中的应用 根据合运动与分运动的等效性，利用运动分解的方法，将其转化为我们所熟悉的两个方向上的直线运动： (1)水平方向的匀速直线运动； (2)竖直方向的自由落体运动。 2．对多物体平抛问题的四点提醒 (1)若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只取决于两物体的水平分运动。 (2)若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同，二者间距由两物体的水平分运动和竖直高度差决定。 (3)若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动。 (4)两条平抛运动轨迹的相交处是两物体的可能相遇处，两物体要在此处相遇，必须同时到达此处。 【考点二 与斜面或圆弧面有关的平抛运动】 做平抛运动的物体，落点不在水平面上，而是在斜面、竖直面、弧面上时，应将平抛运动的知识与几何知识结合起来，分解速度或分解位移，在水平方向和竖直方向分别列式求解。 常见的模型 已知条件 情境示例 解题策略 已知速度方向 从斜面外平抛，垂直落在斜面上(如图所示)，末速度的方向垂直于斜面 分解速度tanθ＝＝，t＝ 从斜面外平抛，恰好从斜面顶点无碰撞切入斜面(如图所示)，末速度方向沿斜面方向 分解速度tanθ＝＝，t＝ 从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道(如图所示)，末速度方向沿该点圆弧的切线方向 已知位移方向 从斜面上平抛又落到斜面上(如图所示)，位移的方向沿斜面向下 分解位移 tanθ＝＝＝，t＝ 从斜面外平抛，落在斜面上位移最小(如图所示)，位移方向垂直于斜面 分解位移 tanθ＝＝＝，t＝ 利用 位移 关系 从圆心处水平抛出，落到半径为R的圆弧上(如图所示)，位移大小等于半径R 从与圆心等高的圆弧上水平抛出，落到半径为R的圆弧上(如图所示)，水平位移x与R的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径的平方 注：从斜面上某点水平抛出，又落到斜面上的平抛运动，当速度与斜面平行时，物体到斜面的距离最远，且从抛出到距斜面最远所用的时间为平抛运动时间的一半。 【考向1 与斜面有关的平抛运动】 【典例3】（23-24高一下·河南郑州·期末）跳台滑雪是一项勇敢者的运动，运动员穿专用滑雪板，在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞行一段距离后着陆。现有某运动员从跳台A处沿水平方向飞出，在斜坡B处着陆，如图所示。测得A、B间的竖直高度差为20m，斜坡与水平方向的夹角为30°，不计空气阻力，g取。则下列说法错误的是（　　） A．运动员在A处的速度大小为 B．运动员在空中飞行的时间为2s C．运动员在空中离坡面的最大距离为 D．运动以从A到B速度变化量为10m/s 【答案】D 【详解】B．运动员做平抛运动，在竖直方向 解得 B正确； A．在水平方向 则水平速度为 A正确； C．运动员沿斜面方向的分加速度为 在垂直斜面方向的分加速度为 当运动员运动方向与斜面平行时，离斜面最远。此时垂直斜面方向的分速度为零，可得，运动员离斜面最远为 其中 解得 C正确； D．运动以从A到B速度变化量为 D错误。 本题选择错误的，故选D。 【考向2 与圆弧有关的平抛运动】 【典例4】（多选）（23-24高一下·山东菏泽·期中）如图所示为固定的半圆形竖直轨道，AB为水平直径，O为圆心，同时从A点水平抛出甲、乙两个小球，初速度分别为、，落在轨道上的C、D两点，OC、OD连线与竖直方向的夹角均为30°，忽略空气阻力，两小球均可视为质点。则（　　） A．甲、乙两球同时落到轨道上 B． C．乙球的速度变化量比甲球的大 D．乙球在D点速度的反向延长线一定过O点 【答案】AB 【详解】AC．由图可知，两个物体下落的高度是相等的，根据 又 可知甲乙两球下落到轨道的时间相等，甲乙两球下落到轨道的速度变化相等，故A正确，C错误； B．设圆形轨道的半径为，则甲水平位移为 乙水平位移为 可得 水平方向做匀速直线运动，则有 故B正确； D．设乙球在D点速度偏转角为，有 设乙球在D点位移偏转角为，有 可见 即在D点速度反向延长线平分水平位移，所以乙球在D点速度的反向延长线不过O点，故D错误。 故选AB。 【考点三 类平抛运动的分析】 1．类平抛运动与平抛运动的区别 做平抛运动的物体初速度水平，物体只受与初速度垂直的竖直向下的重力，a＝g；做类平抛运动的物体初速度不一定水平，但物体所受合力与 初速度的方向垂直且为恒力，a＝。 2．求解方法 (1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力方向)的匀加速直线运动。 (2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度a分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向上列方程求解。 【典例5】（23-24高一下·广东深圳·期末）风洞，被称为飞行器的摇篮，我国的风洞技术世界领先。如图所示，在一次实验中，风洞竖直放置且足够长，质量为m的小球从A点以速度沿直径水平进入风洞。小球在风洞中运动时受到的风力F恒定，方向竖直向上，风力大小F可在0~3mg间调节。小球可视作质点，碰壁后不反弹，重力加速度g取，风洞横截面直径。 （1）当时，求小球撞击右壁的速度大小和方向； （2）保持不变，调节F的大小，求小球撞击右壁的区域长度。 【答案】（1），速度方向与水平方向夹角为；（2）15m 【详解】（1）当时，小球做平抛运动，水平方向有 解得 竖直分速度为 小球撞击右壁的速度大小 令速度与水平方向夹角为，则有 ， （2）结合上述，当时，小球做平抛运动，竖直方向的分位移 解得 当时，根据牛顿第二定律有 小球做类平抛运动，则有 ， 解得 则小球撞击右壁的区域长度 【素养能力提升】 求解类平抛运动问题的关键 (1)对研究对象受力分析，找到物体所受合力的大小、方向，判断是否恒定，正确求出加速度。 (2)应用运动的合成与分解的方法求解。 【考点三 斜抛运动】 1．斜上抛运动的分析 利用运动的合成与分解分析：可看作沿水平方向的匀速直线运动和沿竖直方向的竖直上抛运动的合运动。 以斜上抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy。 初速度可以分解为v0x＝v0cosθ，v0y＝v0sinθ。在水平方向，物体的位移和速度分别为 x＝v0xt＝(v0cosθ)t① vx＝v0x＝v0cosθ② 在竖直方向，物体的位移和速度分别为 y＝v0yt－gt2＝(v0sinθ)t－gt2③ vy＝v0y－gt＝v0sinθ－gt④ 2．斜上抛运动的极值 结合1中分析，在最高点，vy＝0，由④式得t＝⑤ 将⑤式代入③式得物体的射高ym＝⑥ 物体落回与抛出点同一高度时，有y＝0， 由③式得总时间t总＝⑦ 将⑦式代入①式得物体的射程xm＝ 当θ＝45°时，sin2θ最大，射程最大。 所以对于给定大小的初速度v0，沿θ＝45°方向斜向上抛出时，射程最大。 3．斜上抛运动的处理技巧 (1)对斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可逆向看成平抛运动。 (2)分析完整的斜上抛运动时，可根据对称性求解某些问题。 【考向1 斜抛运动的理解及其运动规律的应用】 【典例6】（23-24高二下·河南新乡·期末）如图所示，将一篮球从地面上方的B点斜向上抛出，刚好垂直击中篮板上的A点。若抛射点水平向右移动一小段距离，仍使抛出的篮球垂直击中A点，不计空气阻力，则下列方法可行的是（　　） A．增大抛射速度的大小，同时增大抛射角 B．增大抛射速度的大小，同时减小抛射角 C．减小抛射速度的大小，同时增大抛射角 D．减小抛射速度的大小，同时减小抛射角 【答案】B 【详解】由于篮球始终垂直击中A点，可运用逆向思维，把篮球的运动看作从A点开始的平抛运动，当抛出点水平向右移动一小段距离时，从A点抛出的篮球仍落在B点，则竖直高度不变，水平位移增大。球在空中运动的时间与竖直分速度 即时间和竖直分速度均不变，水平方向满足 因水平位移增大，时间不变，则水平分速度增大，可得合速度 即合速度增大，合速度与水平方向的夹角的正切值 可知正切值减小，所以抛射角减小，故选B。 【考向2 逆向思维分析斜上抛运动】 【典例7】（2024·山东烟台·三模）跑酷，又称自由奔跑，是一种结合了速度、力量和技巧的极限运动。如图甲所示为一城墙的入城通道，通道宽度L=6m，一跑酷爱好者从左墙根由静止开始正对右墙加速运动，加速到M点时斜向上跃起，到达右墙壁P点时，竖直方向的速度恰好为零，P点距离地面高h=0.8m，然后立即蹬右墙壁，使水平方向的速度变为等大反向，并获得一竖直方向速度，恰好能跃到左墙壁上的Q点，P点与Q点等高，飞跃过程中人距地面的最大高度为H=2.05m，重力加速度g取10m/s2，整个过程中人的姿态可认为保持不变，如图乙所示，则下列说法中正确的是（    ） A．人助跑的距离为3.6m B．人助跑的距离为3m C．人刚离开墙壁时的速度大小为6m/s D．人刚离开P点时的速度方向与竖直方向夹角的正切值为 【答案】AD 【详解】AB．人到达右墙壁P点时，竖直方向的速度恰好为零，根据逆向思维，可知从点到点的逆过程为平抛运动，则 从点到点的过程为斜抛运动，根据对称性可得 解得 ，， 人助跑的距离为 故A正确，B错误； C．人刚离开墙壁时竖直方向的速度大小为 人刚离开墙壁时的速度大小为 故C错误； D．人刚离开P点时的速度方向与竖直方向夹角的正切值为 故D正确。 故选AD。 【考向3 斜抛运动与平抛运动综合分析】 【典例8】（23-24高一下·海南·期中）如图所示，某同学在A点将同一个飞镖（可视为质点）以大小相等的速度v0先后沿着AO方向、斜向上两个方向掷出，运动轨迹分别如图中①、②所示，并分别击中靶心O点正下方的P点和靶心。已知A点和O点在同一水平面上，忽略空气阻力，则下列说法正确的是（    ） A．飞镖两次飞行轨迹的位移相同 B．飞镖沿轨迹①飞行的时间一定大于沿轨迹②飞行的时间 C．飞镖沿轨迹①飞行的时间一定小于沿轨迹②飞行的时间 D．飞镖沿轨迹②到达靶心O点时的速率大于沿轨迹①到达P点时的速率 【答案】C 【详解】A．飞镖两次飞行轨迹的位移分别为和，可知位移大小不相等，方向不同，故A错误； BC．飞镖水平方向做匀速直线运动，则有 由于飞镖两处飞行的水平位移相等，轨迹①的水平速度大于轨迹②的水平速度，则飞镖沿轨迹①飞行的时间一定小于沿轨迹②飞行的时间，故B错误，C正确； D．根据对称性可知，飞镖沿轨迹②到达靶心O点时的速率等于；轨迹①做平抛运动，飞镖到达P点时的速率大于，故飞镖沿轨迹②到达靶心O点时的速率小于沿轨迹①到达P点时的速率，故D错误。 故选C。 【考向4 多物体斜抛运动分析】 【典例9】（23-24高二下·浙江台州·期末）如图所示，在湖边山坡上的同一位置以相同大小的初速度，沿同一竖直面同时抛出两石子A和B，初速度方向与水平方向夹角均为，两石子均做抛体运动。下列说法正确的是（　　） A．A石子先入水 B．两石子落水前始终在同一条竖直线上 C．调整初速度大小，两石子可能在空中相遇 D．将抛出点位置改到点，两石子落水的时间间隔变小 【答案】B 【详解】ACD．两石子抛出后，只受重力作用，竖直方向加速度为重力加速度，设抛出点到水面的高度为h，竖直向下为正方向。斜向上抛出的空中运动时间为，斜向下抛出的空中运动时间为，则 得 ， 则B石子先入水，两石子不可能在空中相遇，将抛出点位置改到点，两石子落水的时间间隔不变，故ACD错误； B．两石子水平速度相等，竖直方向的加速度相同，则两石子落水前始终在同一条竖直线上，故B正确； 故选B。 02 素养提升练 一、单选题 1．（23-24高一下·河南郑州·期中）甲、乙两同学在相对的两个等高平台上做高空抛物游戏，两平台到地面的距离为h，两平台间距离为L，两球分别从平台上的A、B两点同时水平抛出，两小球恰好在地面相遇，如果使两球的速度都变为原来的三倍，则两球相遇处距地面的高度是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，设球的初速度为，球的初速度为。竖直方向由 可得，小球在空中的飞行时间为 水平方向有 在两球初速度均变为原来三倍后，设两球相遇时的时间为，则水平方向有 可得： 则小球的下降高度为 则两球将在离地高处相遇。 故选C。 2．（23-24高一下·云南大理·期末）如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上。设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、c高度相同，b、d高度相同，a、c分别在b、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，若以最小的初速度完成跳跃，则它应跳到（　　） A．荷叶a B．荷叶b C．荷叶c D．荷叶d 【答案】B 【详解】平抛运动在竖直方向做自由落体运动 水平方向做匀速直线运动 x=v0t 水平初速度 要使水平初速度最小，则需要水平位移x最小、竖直位移h最大；由于a、b荷叶与青蛙的水平位移最小，b、d荷叶与青蛙的高度差最大，跳到荷叶b上同时满足水平位移最小，竖直位移最大，故ACD错误，B正确。 故选B。 3．（23-24高一下·湖南·阶段练习）跳台滑雪是冬奥会的重要项目之一。如图所示，跳台与水平面间高度差为，倾斜赛道与水平方向的夹角。某次训练中，运动员以速度从跳台顶端水平飞出，经过一段时间后落在倾斜赛道上，取，重力加速度为，空气阻力忽略不计，运动员（包括滑雪板）视为质点。则运动员在空中运动的过程中，下列说法正确的是（    ） A．运动员在空中运动的时间是2s B．运动员落在斜坡赛道上的速度大小为50m/s C．运动员离倾斜赛道的最远距离为12.8m D．若运动员从跳台飞出的速度可达到30m/s，则他的水平位移为120m 【答案】D 【详解】A．运动员水平飞出后，由平抛运动的规律得 ， 经过一段时间后落在倾斜赛道上，则 解得 故A错误； B．运动员落在斜坡赛道上的竖直方向速度大小为 则运动员落在斜坡赛道上的速度大小为 故B错误； C．运动员在垂直于斜坡赛道方向的初速度大小为 运动员在垂直于斜坡赛道方向的加速度大小为 运动员离倾斜赛道的距离最远时，在垂直于斜坡赛道方向的速度为零，则运动员离倾斜赛道的最远距离为 故C错误； D．由，解得运动员落到地面的时间为 水平位移的大小 所以若运动员从跳台飞出的速度可达到30m/s，则他不会落到倾斜赛道上，水平位移为120m，故D正确。 故选D。 4．（23-24高一下·广东清远·期末）2021年9月2日，辽宁沈阳桃仙国际机场以“过水门”最高礼遇，迎接第八批志愿军烈士遗骸回家。两辆消防车凌空喷射出两道在空中最高点对接的巨型水柱，出现一个“水门”状的效果。若不计空气阻力，两侧同一水平位置喷射出的水柱恰好是对称的抛物线，下列说法正确的是（　　） A．两侧喷射出的水初速度相同 B．两侧喷射出的水从喷出点至最高点所用的时间相等 C．任意一小段水柱，其受到的合力方向总与其速度方向垂直 D．取任意一小段水柱，在相等时间间隔内速度的变化量不相同 【答案】B 【详解】A．两侧同一水平位置喷射出的水柱恰好是对称的抛物线，可知两辆消防车喷射出水的初速度大小相等，但方向不同，故A错误； B．由于不计阻力，水柱只受重力，所以可视为从最高点做平抛运动，两侧喷射出的水到达最高点的时间相等，故B正确； C．水柱受重力作用，重力与速度方向不垂直，故C错误； D．根据 可知取任意一小段水柱，在相等时间间隔内速度的变化量相同，故D错误。 故选B。 5．（23-24高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）乒乓球运动是我国喜闻乐见的体育运动，所有人都可以通过乒乓球运动来锻炼身体。某同学在一次乒乓球练习中，以大小为的初速度将乒乓球水平击出，乒乓球在空中形成一段抛物线，乒乓球在点的速度方向与水平方向成角，运动到点时速度方向与水平方向成角，取重力加速度大小，不计空气阻力，则乒乓球从A点运动到B点的竖直位移大小为（　　） A．0.1m B．0.4m C．0.45m D．0.9m 【答案】B 【详解】分解乒乓球在A、B两点的速度，可得 ， 根据 可得 故选B。 7．（23-24高一下·福建莆田·期中）小凡和小成用软件模拟抛体运动过程，如图所示，在一个倾角为的斜面上，以一与斜面成角的初速度抛出一个小球，他们发现当满足（不考虑小球的二次反弹）时，小球落回斜面时速度与斜面垂直。若已知，小球的初速度大小为，重力加速度取g，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．改变抛出角度，使得小球水平落到斜面上，则 B．改变抛出角度，使得小球水平落到斜面上，小球距离斜面最远距离为 C．改变抛出角度，使得小球垂直落到斜面上，小球运动的时间为 D．改变抛出角度，使得小球垂直落到斜面上，落球点与抛出点距离为 【答案】D 【详解】A．小球水平落到斜面上，采用逆向思维，看成小球做平抛运动落在斜面上，位移偏转角为，速度偏转角为，所以 故A错误； B．采用逆向思维，看成小球做平抛运动落在斜面上，平抛运动的初速度 速度v垂直于斜面的分量 重力加速度垂直于斜面的分量 小球距离斜面最远距离为 故B错误； C．小球垂直落到斜面上，此时小球初速度沿斜面方向的分量为0，即 根据题意，此时 由于 则 联立得 故C错误； D．小球垂直落到斜面上，落球点与抛出点距离为 故D正确。 故选D。 8．（23-24高一上·天津和平·期末）流量是指单位时间内通过管道横截面的流体体积，在生活中经常需要测量流量来解决实际问题。环保人员在检查时发现一根排污管正在向外满口排出大量污水。如图所示。他测出水平管口距落点的竖直高度为h，管口的直径为d，污水落点距管口的水平距离为，重力加速度为g。根据这些测量计算排出污水的流量为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】污水从管口排出做平抛运动，设水流速度为，根据平抛运动规律，有 可求出 流量为 故选A。 二、多选题 9．（23-24高一下·江西南昌·期末）一乒乓球自动发球机从同一高度沿同一水平方向发射两球分别落在图中所示的A、B处，发射速度大小分别为、；两球在空中运动的时间分别为、，忽略空气阻力，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】ABCD．两球在空中的运动可视为平抛运动，则有 由于两球下落高度相同，则有 由于 则有 故BC正确，AD错误； 故选BC。 10．（22-23高一下·天津西青·期中）如图所示，以的速度水平抛出的小球，飞行一段时间垂直地撞在倾角的斜面上，按考虑，以下结论中正确的（　　） A．物体飞行时间是 B．物体飞行的时间是 C．物体撞击斜面时的速度大小为 D．物体下降的距离是 【答案】AC 【详解】ABC．根据题意，由几何关系可知，物体落在斜面上时，速度与水平方向的夹角为 由平抛运动规律有 解得 设物体撞击斜面时的速度大小为，则有 解得 故B错误，AC正确； D．竖直方向上，由可得，下落高度为 故D错误。 故选AC。 11．（23-24高一下·安徽宿州·阶段练习）如图所示的光滑固定斜面长为、宽为、倾角为，一物块（可看成质点）从斜面左上方顶点沿水平方向射入，恰好从底端右侧点离开斜面，已知重力加速度为，不计空气阻力（　　） A．物块加速度的大小 B．物体轨迹变加速曲线运动 C．物块由运动到所用的时间 D．物块由点水平射入时初速度的大小 【答案】CD 【详解】AB．物块合力沿斜面向下，所以 解得 物体做匀加速运动，故AB不符合题意； C．沿斜面方向 解得 故C符合题意； D．沿水平方向有 解得 故D符合题意。 故选CD。 12．（23-24高一下·广西南宁·期中）如图所示，四分之一圆弧面的半径R与斜面的竖直高度相等，斜面的倾角为，圆弧面的圆心为图中O点，在斜面的顶端A点将多个小球以不同的水平速度抛出，设小球碰到接触面后均不再反弹，已知重力加速度为g，则以下说法正确的是（    ） A．小球有可能垂直打到圆弧面上 B．小球抛出的初速度越大，则运动时间越短 C．小球抛出的速度等于时，运动时间最长 D．若小球抛出的速度小于，则落到接触面时速度偏角均相同 【答案】AD 【详解】A．如图所示 根据平抛运动推论：速度方向延长线交于水平位移的中点，当圆心O为图中水平位移的中点时，即小球垂直打在圆弧面B点时，故A正确； B．根据 当小球打在斜面上时，小球抛出的初速度越大，小球下落高度越大，可知小球运动的时间越长；当小球打在圆弧面上时，小球抛出的初速度越大，小球下落高度越小，可知小球运动的时间越短，故B错误； C．当小球刚好落在O点正下方时，下落高度最大，运动时间最长，则有 ， 联立解得 故C错误； D．若小球抛出的速度小于，可知小球均落在斜面上，根据平抛运动推论可知，落到斜面上时速度偏角均满足 即落到斜面时速度偏角均相同，故D正确。 故选AD。 13．（23-24高一下·河南郑州·期中）某校秋季运动会分为竞技组和健身组，健身组设置了定点投篮项目。如图甲所示，某选手正在进行定点投篮，篮球在空中划出了一道漂亮的弧线。在篮球运动所在的竖直平面内建立坐标系xOy，如图乙所示，篮球由A点投出，A、B、C、D是篮球运动轨迹上的四点，B为篮球运动的最高点，A、B、C、D四点的坐标分别为，、、，重力加速度为g，空气阻力忽略不计。则下列说法正确的是（    ） A．篮球经过A、C两点时速度相同 B．篮球经过B点时速度大小为 C．篮球从A到B与B到C过程中，速度变化相同 D．D点的纵坐标 【答案】CD 【详解】A．依题意，可知篮球抛出后做斜抛运动，利用逆向思维，可知篮球从B点做平抛运动到A点，由图乙知A点和C点在同一水平线上，则可知篮球在两点处的速度大小相等，但方向不同，所以两点处的速度不相同，故A错误； B．利用逆向思维，篮球从B点到A点做平抛运动，设运动时间为，则有 ， 联立解得 故B错误； C．根据，可知篮球从A到B与B到C过程中，水平方向上发生的位移相等，运动时间相等，因此速度变化相同，故C正确； D．篮球由B到D，由图乙可得 ，， 联立解得 因此D点的纵坐标为，故D正确。 故选CD。 三、解答题 14．（23-24高一下·山东潍坊·期中）某战区实战演习中，发射炮弹拦截靶机过程如图所示，ABCD-A1B1C1D1为立方体，ABCD位于水平面内，靶机沿D1C1方向匀速飞行，到达D1点时炮弹从A点斜向上发射升空，在C1点恰好水平击中靶机，忽略空气阻力，已知立方体边长为L，重力加速度大小为g。求： （1）靶机飞行的速度大小； （2）炮弹发射的初速度大小。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）炮弹做反向平抛运动，在竖直方向 解得 则靶机飞行的速度大小为 （2）炮弹水平位移为 炮弹水平方向的分速度为 炮弹在竖直方向 解得 则炮弹发射的初速度大小为 15．（22-23高一下·四川南充·期末）很多商场的门前都放置一台儿童游乐玩具——弹珠枪。如图，是一个正方形光滑斜台，边长为，与水平面的倾角为，弹珠由弹珠枪击打，弹珠沿着边经过斜台拐角边半径为的四分之一的圆弧轨道，最后离开圆弧轨道在斜面内运动。重力加速度为。若弹珠经过点后恰好经过点，求： （1）弹珠经过点时的速率？ （2）弹珠经过点时对圆弧轨道的压力大小？ 【答案】（1）（2） 【详解】（1）因为弹珠经过点后恰好经过点，从这个平面看，相当于类平抛，设弹珠经过点时的速率为v，因此可得 联立解得 （2）弹珠经过点时，弹珠在这个平面受力为重力沿斜面向下的分力和轨道的支持力，因此根据合力提供向心力可得 解得 根据牛顿第三定律可知，轨道对弹珠的支持力和弹珠对圆弧轨道的压力相等。 16．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）圆柱形容器的横截面在竖直平面内，如图所示，其半径，从其内部最高点A分别以水平初速度、抛出两个小球（均可视为质点），最终分别落在圆弧上的B点和C点，已知OB与OC相互垂直，且OB与竖直方向的夹角。取重力加速度大小g=10，，，不计空气阻力，求 （1）小球从被抛出到落在B点的时间； （2）小球被抛出时的初速度、的大小之比； （3）小球到达C点时的速度大小。 【答案】（1）0.6s；（2）；（3） 【详解】（1）根据平抛运动规律，对落在B点的小球有 解得 （2）根据平抛运动规律，对落在B点的小球有 1 对落在C点的小球有 解得 s R 解得 （3）对落在C点的小球有，竖直方向的分速度大小 解得 17．（23-24高一下·四川凉山·期末）近日，我国东部战区位台岛周边开展“联合利剑-2024A”演习。假设在演习中，我国歼20战机以v0=450m/s水平匀速飞行，到达某地形底端B点正上方时释放一颗导弹（忽略空气阻力，导弹运动看作平抛运动），并垂直击中目标A。已知该地形可看作倾角为θ=37°的山坡，（g=10m/s2，，），求： （1）导弹的飞行时间； （2）AB两点之间的距离。 【答案】（1）60s；（2）33750m 【详解】（1）设导弹落到A点竖直方向的速度为，由题意有 解得 t=60s （2）导弹发射点到A的水平位移 AB的距离 解得 18．（23-24高一下·广东广州·期中）如图甲，某同学将离地h=1.25m的网球以=13m/s的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离x=4.80m；其轨迹所在平面及俯视图如图乙。当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为H=8.45m的P点。网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍。平行墙面的速度分量不变。重力加速度g取10m/s2.求： （1）网球上升的时间t1和下降的时间t2； （2）网球碰墙后的速度大小v；（计算结果保留根号） （3）着地点到墙壁的距离d、 【答案】（1），；（2）；（3） 【详解】（1）网球上升时在竖直方向上为竖直上抛 解得 网球下降时在竖直方向上为自由落体 解得 （2）根据题意可知，网球斜向上飞出，设竖直方向上分速度为，水平分速度为，如图所示 则有 其中，在竖直方向上 解得 设网球水平分速度垂直墙面速度分量大小为，平行墙面的速度分量为，如图所示 则有 其中，根据题意，网球水平分速度垂直墙面速度分量大小为 可得 由于网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍，平行墙面的速度分量不变，则碰后垂直墙面速度分量大小为 平行墙面的速度分量为 网球反弹后速度如图所示 则有 （3）着地点到墙壁的距离 19．（22-23高一下·山西运城·期中）如图所示为某滑雪训练场地的模型图，左侧斜坡轨道的倾角为，斜坡长度为，斜坡底端有一小段水平轨道，A为水平轨道的末端，右侧有一倾角为的斜面体BC，A、C两点等高．运动员从斜坡的最高点O由静止滑下，由A点离开轨道，经过一段时间运动员垂直落在斜面体BC上，忽略空气阻力和一切摩擦，运动员可视为质点，重力加速度取，，，，。求： （1）运动员离开A点时的速度大小； （2）A、B两点之间的高度差； （3）若运动员改变下滑的位置，则落在斜面体BC上的最小速度（结果保留整数）。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）运动员在斜坡上运动时，根据牛顿第二定律得 解得 又由运动学公式得 代入数据解得 （2）设运动员落在斜面体上时的竖直分速度大小为，则由 运动员离开A点后做平抛运动，则竖直方向有 解得平抛时间为 设水平位移为x，竖直位移为y，则有 结合几何关系，有A、B两点之间的高度差为 （3）设运动员从斜坡上D点静止释放，运动到A点时的速度为，从A点离开平台做平抛运动.由 ， 由几何关系得 又 落在斜面上瞬时速度为 由以上整理得 当 时，即 时，速度最小，代入数据解得 03 体验高考 1．（2024·浙江·高考真题）如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，则水离开出水口的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设出水孔到水桶中心距离为x，则 落到桶底A点时 解得 故选C。 2．（2024·湖北·高考真题）如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上。设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分别在c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，若以最小的初速度完成跳跃，则它应跳到（　　） A．荷叶a B．荷叶b C．荷叶c D．荷叶d 【答案】C 【详解】青蛙做平抛运动，水平方向匀速直线，竖直方向自由落体则有 可得 因此水平位移越小，竖直高度越大初速度越小，因此跳到荷叶c上面。 故选C。 3．（2024·海南·高考真题）在跨越河流表演中，一人骑车以25m/s的速度水平冲出平台，恰好跨越长的河流落在河对岸平台上，已知河流宽度25m，不计空气阻力，取，则两平台的高度差h为（　　） A．0.5m B．5m C．10m D．20m 【答案】B 【详解】车做平抛运动，设运动时间为，竖直方向 水平方向 其中 、 解得 故选B。 4．（2024·江苏·高考真题）喷泉a、b形成如图所示的形状，不计空气阻力，则喷泉a、b的（　　） A．加速度相同 B．初速度相同 C．最高点的速度相同 D．在空中的时间相同 【答案】A 【详解】A．不计空气阻力，在喷泉喷出的水在空中只受重力，加速度均为重力加速度，故A正确； D．设喷泉喷出的水竖直方向的分速度为，水平方向速度为，竖直方向，根据对称性可知在空中运动的时间 可知 D错误； BC．最高点的速度等于水平方向的分速度 由于水平方向的位移大小关系未知，无法判断最高点的速度大小关系，根据速度的合成可知无法判断初速度的大小，BC错误； 故选A。 5．（多选）（2024·山东·高考真题）如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．运动时间为 B．落地速度与水平方向夹角为60° C．重物离PQ连线的最远距离为10m D．轨迹最高点与落点的高度差为45m 【答案】BD 【详解】AC．将初速度分解为沿方向分速度和垂直分速度，则有 ， 将重力加速度分解为沿方向分速度和垂直分速度，则有 ， 垂直方向根据对称性可得重物运动时间为 重物离PQ连线的最远距离为 故AC错误； B．重物落地时竖直分速度大小为 则落地速度与水平方向夹角正切值为 可得 故B正确； D．从抛出到最高点所用时间为 则从最高点到落地所用时间为 轨迹最高点与落点的高度差为 故D正确。 故选BD。 6．（2024·北京·高考真题）如图所示，水平放置的排水管满口排水，管口的横截面积为S，管口离水池水面的高度为h，水在水池中的落点与管口的水平距离为d。假定水在空中做平抛运动，已知重力加速度为g，h远大于管口内径。求： （1）水从管口到水面的运动时间t； （2）水从管口排出时的速度大小； （3）管口单位时间内流出水的体积Q。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）水在空中做平抛运动，由平抛运动规律得，竖直方向 解得水从管口到水面的运动时间 （2）由平抛运动规律得，水平方向 解得水从管口排出时的速度大小 （3）管口单位时间内流出水的体积 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$