专题09 直线的点斜式方程和斜截式方程4种常考题型归类（37题）-2024年考点通关新高二暑假数学素养提升讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

2024年考点通关新高二暑假数学素养提升讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 专题09 直线的点斜式方程和斜截式方程4种常考题型归类（37题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 直线的点斜式方程 题型二 直线的斜截式方程 题型三 直线的图象及应用 题型四 平行与垂直问题 知识点1：直线的点斜式方程 已知条件（使用前提） 直线过点和斜率（已知一点+斜率） 图示 点斜式方程形式 适用条件 斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程） 1.点斜式方程中的点只要是这条直线上的点,哪一个都可以. 2.当直线与轴平行或重合时,方程可简写为.特别地,轴的方程是;当直线与轴平行或重合时,不能应用点斜式方程.此时可将方程写成.特别地,轴的方程是. 知识点2：直线的斜截式方程 已知条件（使用前提） 直线的斜率为且在轴上的纵截距为（已知斜率+纵截距） 图示 点斜式方程形式 适用条件 斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程） 1.直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况. 2.截距是一个实数,它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标,可以为正数、负数和0.当直线过原点时,它在轴上的截距和在轴上的截距都为0. 3.由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在轴上的截距,如直线的斜率,在轴上的截距为. 解题策略 1．关于点斜式的几点说明 (1)直线有点斜式方程的前提条件：①斜率必须存在；②已知一点P(x0，y0)和斜率k.只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程． (2)方程y－y0＝k(x－x0)与方程k＝不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P(x0，y0)的一条直线． (3)当k取任意实数时，方程y－y0＝k(x－x0)表示恒过定点(x0，y0)的无数条直线． 2．斜截式与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别，当k≠0时，y＝kx＋b即为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数，一次函数y＝kx＋b(k≠0)必是一条直线的斜截式方程．截距不是距离，可正、可负、可为零． 3.直线的点斜式方程的适用范围 已知直线上一点的坐标以及直线的斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线的点斜式方程表示直线，点斜式应在直线斜率存在的条件下使用，当直线的斜率不存在时，直线的方程不能用点斜式表示． 4.直线的斜截式方程的求解策略 (1)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别． (2)直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断． 5.(1)两条直线平行和垂直的判定 已知直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2， ①若l1∥l2，则k1＝k2，此时两条直线与y轴的交点不同，即b1≠b2；反之k1＝k2，且b1≠b2时，l1∥l2.所以有l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2. ②若l1⊥l2，则k1k2＝－1；反之k1k2＝－1时，l1⊥l2.所以有l1⊥l2⇔k1k2＝－1. (2)若已知含参数的两条直线平行或垂直，求参数的值时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系，注意考虑b1≠b2这个条件． 题型一 直线的点斜式方程 1．（2024·高二课时练习）已知直线的方程是，则（　　） A．直线经过点，斜率为-1 B．直线经过点，斜率为-1 C．直线经过点，斜率为-1 D．直线经过点，斜率为1 2.（2023春·江西九江·高二德安县第一中学校考期中）过两点的直线方程为( ) A． B． C． D． 3．（2024·高二课时练习）已知直线l经过点，，求直线l的方程，并求直线l在y轴上的截距. 4.【多选】（2023·江苏·高二假期作业）过点，且斜率的直线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·上海宝山·高一上海交大附中校考期末）在平面直角坐标系中，过点且倾斜角为的直线不经过第__________象限. 6.（2023秋·高二课时练习）点在直线上的射影为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 7．（河南省开封市2023-2024学年高二下学期期末数学试题）已知直线的一个方向向量为，且经过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·上海宝山·高二统考期末）直线过点，且与向量垂直，则直线的方程为______. 9.（2023秋·高二课时练习）写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点(－1,4)且倾斜角为135°的直线； (2)过点P(3，－4)且与x轴平行的直线； (3)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得到的直线； (4)过点P(1,2)且与直线y＝2x＋1平行的直线． 10.（2023秋·高二课时练习）求分别满足下列条件的直线方程，如果能用点斜式表示的，请用点斜式表示． (1)过点P(－4,3)，斜率k＝－3； (2)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝x的倾斜角的2倍； (3)经过点(－5,2)，且平行于y轴； (4)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点． 11.（2023·吉林·统考模拟预测）中，，，，则边上的高所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 12．（2024·高一单元测试）已知的顶点分别为，求： (1)直线AB的方程 (2)AB边上的高所在直线的方程 13．（2024·江苏·高二假期作业）已知在第一象限，若，，，，求： (1)AB边所在直线的方程； (2)AC边所在直线的点斜式方程. 14.（2024秋·高二校考课时练习）有一个装有进出水管的容器，每单位时间进出的水量是一定的，设从某时刻开始10分钟内只进水，不出水，在随后的30分钟内既进水又出水，得到时间x(分)与水量y(升)之间的关系如图所示，则y与x的函数关系式为_______    15.（2022秋·广东广州·高二华南师大附中校考阶段练习）直线，均过点P（1，2），直线过点A（-1，3），且. (1)求直线，的方程 (2)若与x轴的交点Q，点M（a，b）在线段PQ上运动，求的取值范围 题型二 直线的斜截式方程 16.（2023·全国·高三专题练习）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 17.（2023·全国·高三专题练习）已知直线的倾斜角为，且在轴上的截距为，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 18.（2023秋·高二课时练习）根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； (3)倾斜角为，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 19.（2023秋·高二课时练习）根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)写出斜率为－1，在y轴上截距为－2的直线的斜截式方程； (2)求过点A(6，－4)，斜率为－的直线的斜截式方程； (3)已知直线方程为2x＋y－1＝0，求直线的斜率，在y轴上的截距，以及与y轴交点的坐标． 20.（2023秋·河南周口·高二周口恒大中学校考期末）已知直线与直线互相垂直，直线与直线在轴上的截距相等，则直线的方程为_________. 21.（2023·高二课时练习）已知直线与两坐标轴围成的三角形面积为6，则值是（    ） A． B． C． D． 22.（2023·全国·高三专题练习）若直线不经过第二象限，则实数的取值范围为______． 题型三 直线的图象及应用 23.（2024·高二课时练习）写出下列直线的斜率以及在y轴上的截距.并画出图形. (1)； (2). 24．【多选】（2024·高二课时练习）一次函数，则下列结论正确的有（    ） A．当时，函数图像经过一、二、三象限 B．当时，函数图像经过一、三、四象限 C．时，函数图像必经过一、三象限 D．时，函数在实数上恒为增函数 25.（2023·全国·高二专题练习）直线经过第二、三、四象限，则斜率和在轴上的截距满足的条件为（    ） A．， B．， C．， D．， 26.（2023春·甘肃兰州·高二兰州五十九中校考开学考试）若直线经过第一、二、三象限，则有（    ） A． B． C． D． 27．（2024·高二课时练习）已知，，则下列直线的方程不可能是的是（    ） A． B． C． D． 28.（2023·全国·高三专题练习）若直线的方程中，，，则此直线必不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 29.（2023·全国·高二专题练习）方程表示的直线可能是 A． B． C．D． 30．【多选】（2024·高二课时练习）已知直线，，则它们的图象可能为（    ） A． B． C． D． 31.（2023秋·广东惠州·高二统考期末）已知直线的方程是，的方程是（，），则下列各图形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 32．（2024·全国·高三专题练习）在同一平面直角坐标系下，直线总在直线的上方，则（    ） A．， B．， C．， D．， 题型四 平行与垂直问题 33.（2023秋·高二课时练习）(1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？ (2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？ 34.（2023秋·高二课时练习）已知直线l过点A(2，－3)． ①若l与过点(－4,4)和(－3,2)的直线l′平行，求其方程； ②若l与过点(－4,4)和(－3,2)的直线l′垂直，求其方程． 35.（2023秋·高二课时练习）过点且与过点和的直线平行的直线方程为__________． 36.（2023春·广东东莞·高二校考开学考试）与向量平行，且经过点的直线方程为（    ） A． B． C． D． 37.（2023秋·高二课时练习）已知直线l1：y＝－x＋和直线l2：6my＝－x＋4，问：m为何值时，直线l1与l2平行？m为何值时，直线l1与l2垂直？ $$2024年考点通关新高二暑假数学素养提升讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 专题09 直线的点斜式方程和斜截式方程4种常考题型归类（37题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 直线的点斜式方程 题型二 直线的斜截式方程 题型三 直线的图象及应用 题型四 平行与垂直问题 知识点1：直线的点斜式方程 已知条件（使用前提） 直线过点和斜率（已知一点+斜率） 图示 点斜式方程形式 适用条件 斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程） 1.点斜式方程中的点只要是这条直线上的点,哪一个都可以. 2.当直线与轴平行或重合时,方程可简写为.特别地,轴的方程是;当直线与轴平行或重合时,不能应用点斜式方程.此时可将方程写成.特别地,轴的方程是. 知识点2：直线的斜截式方程 已知条件（使用前提） 直线的斜率为且在轴上的纵截距为（已知斜率+纵截距） 图示 点斜式方程形式 适用条件 斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程） 1.直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况. 2.截距是一个实数,它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标,可以为正数、负数和0.当直线过原点时,它在轴上的截距和在轴上的截距都为0. 3.由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在轴上的截距,如直线的斜率,在轴上的截距为. 解题策略 1．关于点斜式的几点说明 (1)直线有点斜式方程的前提条件：①斜率必须存在；②已知一点P(x0，y0)和斜率k.只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程． (2)方程y－y0＝k(x－x0)与方程k＝不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P(x0，y0)的一条直线． (3)当k取任意实数时，方程y－y0＝k(x－x0)表示恒过定点(x0，y0)的无数条直线． 2．斜截式与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别，当k≠0时，y＝kx＋b即为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数，一次函数y＝kx＋b(k≠0)必是一条直线的斜截式方程．截距不是距离，可正、可负、可为零． 3.直线的点斜式方程的适用范围 已知直线上一点的坐标以及直线的斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线的点斜式方程表示直线，点斜式应在直线斜率存在的条件下使用，当直线的斜率不存在时，直线的方程不能用点斜式表示． 4.直线的斜截式方程的求解策略 (1)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别． (2)直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断． 5.(1)两条直线平行和垂直的判定 已知直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2， ①若l1∥l2，则k1＝k2，此时两条直线与y轴的交点不同，即b1≠b2；反之k1＝k2，且b1≠b2时，l1∥l2.所以有l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2. ②若l1⊥l2，则k1k2＝－1；反之k1k2＝－1时，l1⊥l2.所以有l1⊥l2⇔k1k2＝－1. (2)若已知含参数的两条直线平行或垂直，求参数的值时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系，注意考虑b1≠b2这个条件． 题型一 直线的点斜式方程 1．（2024·高二课时练习）已知直线的方程是，则（　　） A．直线经过点，斜率为-1 B．直线经过点，斜率为-1 C．直线经过点，斜率为-1 D．直线经过点，斜率为1 【答案】C 【分析】将直线的方程化为点斜式方程的形式，即可得出答案. 【详解】根据已知可得出直线的点斜式方程为， 所以，直线经过点，斜率为-1. 故选：C. 2.（2023春·江西九江·高二德安县第一中学校考期中）过两点的直线方程为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由两点，可得过两点的直线的斜率为， 又由直线的点斜式方程，可得，即. 故选：B. 3．（2024·高二课时练习）已知直线l经过点，，求直线l的方程，并求直线l在y轴上的截距. 【答案】，. 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率，再利用直线点斜式方程求解作答. 【详解】依题意，直线的斜率， 直线的方程为，即，当时，， 所以直线的方程为，直线l在y轴上的截距为. 4.【多选】（2023·江苏·高二假期作业）过点，且斜率的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】根据直线方程的点斜式可得，，即. 故选：CD. 5．（2024·上海宝山·高一上海交大附中校考期末）在平面直角坐标系中，过点且倾斜角为的直线不经过第__________象限. 【答案】四 【分析】由题意可写出直线的方程，作出其图象，即可得答案. 【详解】由题意知在平面直角坐标系中，过点且倾斜角为的直线方程为， 即，直线与x轴交点为，与y轴交点为， 即该直线经过一、二、三象限，不经过第四象限， 故答案为：四 6.（2023秋·高二课时练习）点在直线上的射影为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，，， 由点斜式直线方程得直线l的方程为：，即； 故选：C. 7．（河南省开封市2023-2024学年高二下学期期末数学试题）已知直线的一个方向向量为，且经过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线的方向向量求出直线的斜率，再由点斜式求出直线方程. 【详解】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率， 又直线经过点，所以直线的方程为，即. 故选：D 8．（2024·上海宝山·高二统考期末）直线过点，且与向量垂直，则直线的方程为______. 【答案】 【分析】依题意可得直线的斜率，再由点斜式求出直线方程. 【详解】因为直线过点，且与向量垂直， 所以直线的斜率，所以直线的方程为， 即. 故答案为： 9.（2023秋·高二课时练习）写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点(－1,4)且倾斜角为135°的直线； (2)过点P(3，－4)且与x轴平行的直线； (3)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得到的直线； (4)过点P(1,2)且与直线y＝2x＋1平行的直线． 【解析】(1)由题意知，直线的斜率k＝tan135°＝－1，故所求直线的点斜式方程为y－4＝－[x－(－1)]，即y－4＝－(x＋1)． (2)与x轴平行的直线，其斜率k＝0，由直线的点斜式方程可得直线方程为y－(－4)＝0×(x－3)，即y＝－4. (3)直线y＝x＋1的斜率k＝1.由题意知，所求直线与直线y＝x＋1垂直，所以所求直线的斜率k′＝－1，又点P(3,4)在所求直线上，由点斜式方程知，所求直线的方程为y－4＝－(x－3)． (4)由题意知，所求直线的斜率为2，且过点P(1,2)，所以所求直线方程为y－2＝2(x－1)． 10.（2023秋·高二课时练习）求分别满足下列条件的直线方程，如果能用点斜式表示的，请用点斜式表示． (1)过点P(－4,3)，斜率k＝－3； (2)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝x的倾斜角的2倍； (3)经过点(－5,2)，且平行于y轴； (4)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点． 【解析】(1)∵直线过点P(－4,3)，斜率k＝－3， 由直线的点斜式方程得直线方程为y－3＝－3(x＋4)． (2)∵直线y＝x的斜率为， ∴直线y＝x的倾斜角为30°. ∴所求直线的倾斜角为60°，故其斜率为. ∴所求直线方程为y＋3＝(x－2)． (3)∵直线平行于y轴，∴直线的斜率不存在，∴直线方程为x＝－5. (4)过点P(－2,3)，Q(5，－4)的直线的斜率kPQ＝＝＝－1.又直线过点P(－2，3)，∴由直线的点斜式方程可得直线方程为y－3＝－(x＋2)． 11.（2023·吉林·统考模拟预测）中，，，，则边上的高所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设边上的高所在的直线为， 由已知可得，，所以直线l的斜率. 又过，所以的方程为， 整理可得，. 故选：A. 12．（2024·高一单元测试）已知的顶点分别为，求： (1)直线AB的方程 (2)AB边上的高所在直线的方程 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由AB的坐标可得斜率，由点斜式方程可写出方程，化为一般式即可； （2）由垂直关系可得高线的斜率，由高线过点C，同（1）可得. 【详解】（1），， 由点斜式方程可得， 化为一般式可得 （2）由（1）可知， 故AB边上的高线所在直线的斜率为， 又AB边上的高线所在直线过点， 所以方程为， 化为一般式可得.    13．（2024·江苏·高二假期作业）已知在第一象限，若，，，，求： (1)AB边所在直线的方程； (2)AC边所在直线的点斜式方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得直线与轴平行，且过点，可得直线的方程； （2）由题意可得直线的倾斜角为，可得斜率，根据点斜式方程求解即可． 【详解】（1）如图所示，    直线过点，，可得直线与轴平行， 故边所在直线的方程为 （2）由可得直线的倾斜角为， 故斜率， 故所在直线的方程为． 14.（2024秋·高二校考课时练习）有一个装有进出水管的容器，每单位时间进出的水量是一定的，设从某时刻开始10分钟内只进水，不出水，在随后的30分钟内既进水又出水，得到时间x(分)与水量y(升)之间的关系如图所示，则y与x的函数关系式为_______    【答案】 【详解】当时,直线段过点, ,∴此时方程为. 当时,直线段过点,, ∴此时方程为.即. 故答案为： 15.（2022秋·广东广州·高二华南师大附中校考阶段练习）直线，均过点P（1，2），直线过点A（-1，3），且. (1)求直线，的方程 (2)若与x轴的交点Q，点M（a，b）在线段PQ上运动，求的取值范围 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）过点，方程为，整理得， 所以，由于，所以， 所以直线的方程为. （2）由令，解得，所以， 表示与连线的斜率，， 所以的取值范围是. 题型二 直线的斜截式方程 16.（2023·全国·高三专题练习）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设直线的倾斜角为， 因为直线的斜率为， 所以，又， 所以， 故选：A 17.（2023·全国·高三专题练习）已知直线的倾斜角为，且在轴上的截距为，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 又直线在轴上的截距为，所以直线的方程为； 故选：C 18.（2023秋·高二课时练习）根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； (3)倾斜角为，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 【解析】(1)由直线的斜截式方程可知，所求直线方程为y＝2x＋5. (2)由于倾斜角α＝150°，则斜率k＝tan150°＝－，由斜截式可得所求直线方程为y＝－x－2. (3)由于直线的倾斜角为，则其斜率k＝tan＝－.由于直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，则直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求直线方程为y＝－x＋3或y＝－x－3. 19.（2023秋·高二课时练习）根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)写出斜率为－1，在y轴上截距为－2的直线的斜截式方程； (2)求过点A(6，－4)，斜率为－的直线的斜截式方程； (3)已知直线方程为2x＋y－1＝0，求直线的斜率，在y轴上的截距，以及与y轴交点的坐标． 【解析】(1)易知k＝－1，b＝－2， 由直线的斜截式方程知，所求直线方程为y＝－x－2. (2)由于直线斜率k＝－，且过点A(6，－4)，根据直线的点斜式方程得直线方程为y＋4＝－(x－6)，化为斜截式方程为y＝－x＋4. (3)直线方程2x＋y－1＝0可化为y＝－2x＋1，由直线的斜截式方程知，直线的斜率k＝－2，在y轴上的截距b＝1，直线与y轴交点的坐标为(0,1)． 20.（2023秋·河南周口·高二周口恒大中学校考期末）已知直线与直线互相垂直，直线与直线在轴上的截距相等，则直线的方程为_________. 【答案】 【详解】因为直线l与直线垂直，所以直线l的斜率. 又因为直线在y轴上的截距为6，所以直线l在y轴上的截距为6， 所以直线l的方程为. 故答案为： 21.（2023·高二课时练习）已知直线与两坐标轴围成的三角形面积为6，则值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于直线，能与两坐标轴围成三角形，则， 令，得，所以直线与轴交点坐标为， 令，得，所以直线与轴交点坐标为， 所以直线与两坐标轴围成的三角形面积为， 解得. 故选：D 22.（2023·全国·高三专题练习）若直线不经过第二象限，则实数的取值范围为______． 【答案】 【详解】由直线不过第二象限需满足， 解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 题型三 直线的图象及应用 23.（2024·高二课时练习）写出下列直线的斜率以及在y轴上的截距.并画出图形. (1)； (2). 【答案】(1)斜率为－3，在y轴上的截距为5，图像见解析 (2)斜率为，在y轴上的截距为0，图像见解析 【分析】（1）根据斜率和截距的概念可直接写出结果，然后两点作图法作出图像即可； （2）根据斜率和截距的概念可直接写出结果，然后两点作图法作出图像即可. （1） 斜率为－3，在y轴上的截距为5；图像如下图： （2） 斜率为，在y轴上的截距为0，图像如下图： 24．【多选】（2024·高二课时练习）一次函数，则下列结论正确的有（    ） A．当时，函数图像经过一、二、三象限 B．当时，函数图像经过一、三、四象限 C．时，函数图像必经过一、三象限 D．时，函数在实数上恒为增函数 【答案】ABCD 【分析】根据一次函数的斜率以及的正负，对选项逐个判断即可； 【详解】在一次函数中，若，则图像经过一、二、三象限； 若，则图像经过一、三、四象限； 若，函数图像必经过一、三象限，且函数在实数上恒为增函数； 故选:ABCD. 25.（2023·全国·高二专题练习）直线经过第二、三、四象限，则斜率和在轴上的截距满足的条件为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】在平面直角坐标系中作出图象，如图所示：    由图可知：，. 故选：B. 26.（2023春·甘肃兰州·高二兰州五十九中校考开学考试）若直线经过第一、二、三象限，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为直线经过第一、二、三象限， 所以直线的斜率，在y轴上的截距. 故选：A 27．（2024·高二课时练习）已知，，则下列直线的方程不可能是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线斜率与轴上的截距的关系判断选项即可得解. 【详解】， 直线的方程在轴上的截距不小于2，且当时，轴上的截距为2， 故D正确，当时，, 故B不正确，当时，或，由图象知AC正确. 故选：B 28.（2023·全国·高三专题练习）若直线的方程中，，，则此直线必不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】由，，， 知直线斜率，在轴上截距为， 所以此直线必不经过第三象限. 故选：C 29.（2023·全国·高二专题练习）方程表示的直线可能是 A． B． C．D． 【答案】C 【详解】由题意，排除. 当时，，此时直线与轴的交点在轴的负半轴上，排除. 当时，，此时直线与轴的交点在轴的正半轴上，排除，选. 故选：. 30．【多选】（2024·高二课时练习）已知直线，，则它们的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由两直线的解析式可得直线的斜率为a、纵截距为b，的斜率为，纵截距为a， 再逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】选项A，由的图象可知，，，由的图象可知，，，可能成立； 选项B，由的图象可知，，，由的图象可知，，，可能成立； 选项C，由的图象可知，，，由的图象可知，，，不成立； 选项D，由的图象可知，，，由的图象可知，，，不成立. 故选：AB. 31.（2023秋·广东惠州·高二统考期末）已知直线的方程是，的方程是（，），则下列各图形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，直线与直线的斜率均存在 直线的斜截式方程为；直线的斜截式方程为 对于A选项，根据直线的图象可知，且，因此直线的斜率应小于0，直线的纵截距应小于0，故A图象不符合； 对于B选项，根据直线的图象可知，且，因此直线的斜率应大于0，在轴上的截距应小于0，故B图象不符合； 对于C选项，根据直线的图象可知，且，因此直线的斜率应大于0，在轴上的截距应大于0，故C图象不符合； 对于D选项，根据直线的图象可知，且，因此直线的斜率应大于0，在轴上的截距应大于0，故D图象符合． 故选：D． 32．（2024·全国·高三专题练习）在同一平面直角坐标系下，直线总在直线的上方，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】结合直线的图像，利用直线的斜率与纵截距进行判断. 【详解】因为直线总在直线的上方，所以直线与直线平行，且直线在y轴上的截距必大于直线在y轴上的截距，所以，．故A，B，D错误. 故选：C. 题型四 平行与垂直问题 33.（2023秋·高二课时练习）(1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？ (2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？ 【解析】(1)由题意可知，直线l1的斜率k1＝－1，直线l2的斜率k2＝a2－2. ∵l1∥l2，∴解得a＝－1. 故当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行． (2)由题意可知，直线l1的斜率k1＝2a－1，直线l2的斜率k2＝4. ∵l1⊥l2，∴4(2a－1)＝－1，解得a＝. 故当a＝时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直． 34.（2023秋·高二课时练习）已知直线l过点A(2，－3)． ①若l与过点(－4,4)和(－3,2)的直线l′平行，求其方程； ②若l与过点(－4,4)和(－3,2)的直线l′垂直，求其方程． 【解析】①由斜率公式得直线l′的斜率 k′＝＝－2， ∵l与l′平行，∴直线l的斜率k＝－2. 由直线的点斜式方程知y＋3＝－2(x－2)， ∴直线l的方程为y＝－2x＋1. ②∵直线l′的斜率为k′＝－2，l与其垂直， ∴直线l的斜率k＝. 由直线的点斜式方程知l：y＋3＝(x－2)， ∴直线l的方程为y＝x－4. 35.（2023秋·高二课时练习）过点且与过点和的直线平行的直线方程为__________． 【答案】 【详解】， 由点斜式得，即. 故答案为：. 36.（2023春·广东东莞·高二校考开学考试）与向量平行，且经过点的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意可知，所求直线的斜率为， 所以所求直线方程为，即. 故选：A 37.（2023秋·高二课时练习）已知直线l1：y＝－x＋和直线l2：6my＝－x＋4，问：m为何值时，直线l1与l2平行？m为何值时，直线l1与l2垂直？ 【解析】当m＝0时，直线l1：y＝，直线l2：x＝4，直线l1与l2垂直； 当m≠0时，直线l2的方程可化为y＝－x＋.由得m＝－； 而－·(－)＝－1无解． 故当m＝－时，直线l1与l2平行； 当m＝0时，直线l1与l2垂直． $$