专题 勾股定理与赵爽弦图（30题提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

八年级上册数学 《第1章 勾股定理》 专题 勾股定理与赵爽弦图问题 一、选择题（共10题） 1．（2023春•长沙期中）勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、新娘座椅定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法，我国古代数学家赵爽和刘徽也分别利用《赵爽弦图》和《青朱出入图》证明了勾股定理，下列四个图形，哪一个是赵爽弦图（　　） A． B． C． D． 【分析】由图形即可判断． 【解答】解：选项A中的图形是赵爽弦图． 故选：A． 【点评】本题考查勾股定理的证明，关键是掌握赵爽弦图． 2．（2024春•罗定市期中）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现了数形结合的思想．下列选项中的图形，不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据图形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：选项A，正方形的面积＝4ab+（b﹣a）2＝+2ab+a2+b2﹣2ab＝a2+b2＝c2，不符合题意； 选项B，正方形的面积＝（a+b）2＝4ab+c2， 化简得，a2+b2＝c2，不符合题意； 选项D，梯形的面积（a+b）（a+b）＝2abc2， 化简得，a2+b2＝c2，不符合题意； 选项C不能用来证明勾股定理，故符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握正方形和三角形的面积公式即可得到结论． 3．（2023秋•高青县期末）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB＝10，AE＝8，则正方形EFGH的面积为（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 【分析】根据勾股定理求出另一条直角边，利用中间小正方形的面积＝大正方形的面积﹣4个全等的直角三角形的面积，求出即可． 【解答】解：直角三角形较短的直角边为6， 所以，正方形EFGH的面积＝10×10﹣8×6÷2×4＝100﹣96＝4． 故选：A． 【点评】本题考查勾股定理的应用，解答时需要通过图形获取信息解题． 4．（2024春•梁山县校级月考）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如果直角三角形较长直角边的长为a，较短直角边的长为b，若ab＝7，大正方形的面积为30，则小正方形的边长为（　　） A．16 B．8 C．4 D．2 【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长． 【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b， ∵每一个直角三角形的面积为：， ∴， ∴（a﹣b）2＝30﹣14＝16， ∴a﹣b＝4， 故选：C． 【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型． 5．（2024•眉山）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（　　） A．24 B．36 C．40 D．44 【分析】根据正方形和三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：如图，直角三角形的两直角边为a，b，斜边为c， ∵图1中大正方形的面积是24， ∴a2+b2＝c2＝24， ∵小正方形的面积是4， ∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝4， ∴ab＝10， ∴图2中最大的正方形的面积为＝c2+4ab＝24+2×10＝44； 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，正方形和三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 6．（2023秋•工业园区期中）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为9，短直角边为4，图2中的阴影部分的面积为S，那么S的值为（　　） A．56 B．60 C．65 D．75 【分析】如解答图，易得BD＝5，则图中阴影部分是由中间的小正方形和四个全等三角形组成的，利用三角形和正方形的面积公式计算即可． 【解答】解：如图， 由题意可知，AB＝CD＝4，BC＝9， ∴BD＝BC﹣CD＝9﹣4＝5， 则中间小正方形的面积为5×5＝25， 小正方形的外阴影部分的4S△ABD＝440， ∴阴影部分的面积为25+40＝65． 故选：C． 【点评】本题主要考查勾股定理中的赵爽弦图模型、三角形和正方形面积公式，将图中阴影部分的面积分割成一个正方形的面积加上四个全等三角形的面积是解题关键． 7．（2024春•重庆期中）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连接CE．若正方形ABCD的面积为6，，则CE的长为（　　） A．6 B．5 C． D． 【分析】根据SAS证明△EHC≌△DHC得出CE＝CD，再根据正方形的面积公式即可得出结果． 【解答】解：∵△AED≌△CBG， ∴DE＝BG， ∵， ∴EF， 又∵四边形EFGH是正方形， ∴EH＝EF， ∴EH＝DH， 又∵∠EHC＝∠DHC，HC＝HC， ∴△EHC≌△DHC（SAS）， ∴CE＝CD， 又∵正方形ABCD的面积为6， ∴CE＝CD， 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的判定与性质，证明△EHC≌△DHC是解题的关键． 8．（2024春•高密市期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”（如图①），图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝12，则S2的值是（　　） A． B．4 C．5 D． 【分析】根据图形的特征得出四边形MNKT的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，y表示出S1，S2，S3，得出答案即可． 【解答】解：将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y， ∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3＝12， ∴得出S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x， ∴S1+S2+S3＝3x+12y＝12，故3x+12y＝12， x+4y＝4， 所以S2＝x+4y＝4， 故选：B． 【点评】此题主要考查了勾股定理的证明，根据已知得出用x，y表示出S1，S2，S3，再利用S1+S2+S3＝12求出是解决问题的关键． 9．（2024春•铁东区校级月考）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成的．已知BE：AE＝3：1，正方形ABCD的面积为80．连接AC，交BE于点P，交DG于点Q，连接FQ．则图中阴影部分的面积之和为（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 【分析】设AE＝x，BE＝3x，根据正方形的面积公式和勾股定理可求得x2＝8，再根据题意和三角形的面积公式可推导出S△FGQ＝S△AEP+S△CGQ，进而推出阴影部分的面积之和为梯形GQPF的面积，利用梯形面积公式求解即可． 【解答】解：由题意，∠AEP＝∠CGQ＝∠CFP＝90°，AE＝CG＝BF，BE＝CF， ∴AE∥CF，BE∥DG，EF＝GF， ∴∠EAP＝∠GCQ， ∴△AEP≌△CGQ（ASA）， ∴EP＝GQ，S△AEP＝S△CGQ， ∵BE：AE＝3：1， ∴设AE＝x，则AE＝CG＝BF＝x，BE＝CF＝3x， ∴EF＝GF＝CF﹣CG＝2x， ∴S△FGQ＝2S△CGQ＝S△AEP+S△CGQ， ∴阴影部分的面积之和为 ＝2x2， ∵正方形ABCD的面积为80， ∴AE2+BE2＝AB2即x2+9x2＝80， ∴x2＝8， ∴阴影部分的面积之和为16． 故选：C． 【点评】本题考查勾股定理、全等三角形的判定与性质、梯形的面积、三角形的面积，解答的关键是理解题意，找寻图形中线段间的关系，然后利用勾股定理和梯形的面积公式以及转化的思想方法求解． 10．（2023春•南浔区期末）将四个全等的直角三角形作为叶片按图1摆放成一个风车形状，形成正方形ABCD和正方形EFGH．现将四个直角三角形的较长直角边分别向外延长，且A′E＝ME．B′F＝NF，C′G＝PG，D′H＝HQ，得到图2所示的“新型数学风车”的四个叶片，即△A′EF，△B′FG，△C′CH．△D′HE．若FM平分∠BFE，正方形ABCD和正方形EFGH的边长比为1：5．若”新型数学风车”的四个叶片面积和是m，则正方形EFCH的面积是（　　） A． B． C．3m D． 【分析】设正方形ABCD的边长为a，则正方形EFGH的边长为5a，设AE＝BF＝CG＝DH＝x，根据勾股定理得出x＝﹣4a（舍去）或x＝3a，得出BE＝4a，BF＝3a，EF＝5a，由FM平分∠BFE，得△EMF边EF上的高为BM，根据S△BMF+S△MBF＝S△BEF，得出BM，由A'E＝ME＝BE﹣BM＝4aa，若”新型数学风车”的四个叶片面积和是m，得出S△EMF＝S△EFA'm，求出EF＝5a，从而得出结果． 【解答】解：∵将四个全等的直角三角形作为叶片按图1摆放成一个风车形状，形成正方形ABCD和正方形EFCH．正方形ABCD和正方形EFGH的边长比为1：5． ∴设正方形ABCD的边长为a，则正方形EFGH的边长为5a，设AE＝BF＝CG＝DH＝x， 在△BEF中，BE2+BF2＝EF2， 即（x+a）2+x2＝（5a）2， x2+ax﹣12a2＝0， （x+4a）（x﹣3a）＝0， x＝﹣4a（舍去）或x＝3a， ∴BE＝4a，BF＝3a，EF＝5a， ∵FM平分∠BFE， ∴△EMF边EF上的高为BM， 则S△BMF+S△MBF＝S△BEF， 即， ∴， ∴BM， ∵A'E＝ME＝BE﹣BM＝4aa，若”新型数学风车”的四个叶片面积和是m， ∴S△EMF＝S△EFA'm， ∴， ∴am， ∴a ∴EF＝5a， ∴S正方形EFCH＝EF， 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，三角形的面积，全等三角形的性质，正方形的性质，正确识图是解题的关键． 2、 填空题（共10题） 11．（2023秋•温州期中）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示的弦图中，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个直角三角形，当EF＝7，DE＝12时，则正方形ABCD的边长是　 　． 【分析】在直角△ABF中，利用勾股定理进行解答即可． 【解答】解：依题意知，BG＝AF＝DE＝12，EF＝FG＝7， ∴BF＝BG﹣FG＝5， 直角△ABF中，利用勾股定理得： AB13， 则正方形ABCD的边长为13． 故答案为：13． 【点评】此题考查勾股定理的证明，解题的关键是得到直角△ABF的两直角边的长度． 12．（2024春•金乡县月考）如图，用4个相同的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，若图中直角三角形较短的直角边长是7，小正方形的边长是5，则大正方形的面积是　 　． 【分析】观察图形可得直角三角形的较短的直角边加上小正方形的边长刚好等于直角三角形的较长直角边的长，根据勾股定理即可求得直角三角形斜边的长的平方，从而求得大正方形的面积． 【解答】解：∵直角三角形较短的直角边长是5，小正方形的边长是7， ∴直角三角形的较长直角边＝5+7＝12， ∴直角三角形斜边长的平方＝72+122＝193， ∴大正方形的面积是193． 故答案为：193． 【点评】此题主要考查学生勾股定理的运用能力及观察图形的能力，勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． 13．（2023•湖北开学）如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成．如果大正方形的面积是16，直角三角形的直角边长分别为a，b，且a2+b2＝ab+10，那么图中小正方形的面积是　 　． 【分析】根据大正方形的面积为16结合a2+b2＝ab+10得出ab的值，再由小正方形的面积＝（b﹣a）2即可求解． 【解答】解：∵大正方形的面积是16， ∴a2+b2＝16， 又a2+b2＝ab+10， ∴ab＝6， ∴（b﹣a）2＝a2+b2﹣2ab ＝16﹣2×6 ＝4， 即小正方形的面积是4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，正确得出小正方形的面积表示方法是解题的关键． 14．（2023春•包河区期末）如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺成的大正方形，若勾为3，弦为5，则图中四边形ABCD的周长为 　 　． 【分析】根据勾股定理可得CD＝4，由全等的直角三角形可求CE的长，进而可得CE，BE的长，再利用勾股定理求解BC的长，证明四边形ABCD为平行四边形，进而可求解． 【解答】解：如图，DF＝3，CF＝5，∠CDF＝90°， ∴CD＝4， ∵四个直角三角形全等， ∴CE＝DF＝3， ∴BE＝DE＝CD﹣CE＝4﹣3＝1， ∴BC， ∵AB∥CD，AB＝CD， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∴四边形ABCD的周长为：2（BC+CD）＝2×（4）＝28． 【点评】本题主要考查勾股定理，平行四边形的判定与性质，利用勾股定理求解线段长是解题的关键． 15．（2023秋•金东区期末）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连结DF．若S正方形ABCD＝5，EFBG，则DF的长为 　 　． 【分析】由题知△ADE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，再根据EFBG，证明出△ADE≌△DEF，即可得出答案． 【解答】解：∵S正方形ABCD＝5，四边形ABCD为正方形， ∴AD＝AB＝BC＝CD． ∵四边形EFGH为正方形， ∴EH＝EF＝FG＝HG． 由题可知：△ADE≌△ABF≌△BCG≌△CDH． ∵EFBG， ∴EFAF， ∴E是中点， 即AE＝EF， ∴． ∴△ADE≌△DEF（SAS）． 即DF＝AD． 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，解题关键在于根据题意证明全等． 16．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，若图中正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为 　 　． 【分析】根据题意和图形，设BE＝x，则BF＝FL＝x+2，根据正方形ABCD的边长为14，列方程可解答． 【解答】解：设BE＝x，则BF＝FL＝x+2， ∵正方形ABCD的边长为14， ∴BC＝14， ∴x+2+x＝14， ∴x＝6， ∴BF＝8，BE＝6， ∵∠B＝90°， ∴EF10， 即正方形EFGH的边长为10． 故答案为：10． 【点评】本题考查勾股定理的证明、数学常识、正方形的性质，解答本题的关键是表示四个直角三角形的直角边． 17．（2023秋•乐清市校级期中）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．如图1，以直角三角形的三边为边向外作正方形，西方著名数学家毕达哥拉斯就曾用此图形验证了勾股定理，现把较小的两个正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内，两个较小正方形纸片的重叠部分记为四边形ABCD．若AB＝3，则图中阴影部分的面积为　 　． 【分析】设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，斜边长为c，由图形可得出阴影部分矩形的长和宽，进而得出阴影部分矩形的面积，再结合勾股定理即可推出结果． 【解答】解：设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，斜边长为c， 由题意可知，阴影部分矩形的宽为c﹣a， ∴AB＝b﹣（c﹣a）＝b﹣c+a＝3， ∵AD＝b﹣（c﹣a）＝b﹣c+a， ∴BC＝AD＝b﹣c+a＝3， ∴阴影部分矩形的长为a﹣（b﹣c+a）＝c﹣b， ∴阴影部分矩形的面积为（c﹣a）（c﹣b）＝c2﹣（a+b）+ab， ∵b﹣c+a＝3， ∴a+b＝c+3， ∴（a+b）2＝（c+3）2， ∴a2+b2+2ab＝c2+6c+9， ∵a2+b2＝c2， ∴2ab＝6c+9， ∴ab＝3c， ∴c2﹣（a+b）c+ab ＝c ， 即阴影部分矩形的面积为， 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，正确得出阴影部分面积的表示方法，再结合勾股定理矩形求解是解题的关键． 18．（2023春•思明区校级期末）被誉为“中国数学界的图腾”的“赵爽弦图”，是用四个全等的直角三角形拼成如图①示的大正方形，中间也是一个正方形，其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH．若该图形的周长为48，OH＝6，则该图形的面积 　 　． 【分析】根据题目中的数据和图形，可以得到，然后即可得到a、b、c的值，然后即可计算出图形ABCDEFGH的面积． 【解答】解：由图②可得， ， 解得， ∴图形ABCDEFGH的面积为：4＝2ab＝2×6×8＝96， 故答案为：96． 【点评】本题考查勾股定理的证明、勾股定理，直角三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 19．（2023春•姜堰区期末）大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1），某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：△ABC为等边三角形，AD、BE、CF围成的△DEF也是等边三角形．已知点D、E、F分别是BE、CF、AD的中点，若△ABC的面积为14，则△DEF的面积是 　 　． 【分析】连接BF，由题意知S△ABD＝S△AFC＝S△BEC，再由点D、E、F分别是BE、CF、AD的中点，可得S△BDF＝S△DEF，S△BDF＝S△ABF，即可得出S△ABC＝7S△DEF即可求解． 【解答】解：如图，连接BF， ∵点D、E、F分别是BE、CF、AD的中点， ∴S△BDF＝S△DEF，S△BDF＝S△ABF， 由题意可知，S△ABD＝S△AFC＝S△BEC， ∴S△ABD＝S△AFC＝S△BEC＝2S△DEF， ∴S△ABC＝S△ABD+S△BCE+S△AFC+S△EDF＝7S△DEF， ∵S△ABC＝14， ∴S△DEF＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，等边三角形的性质，正确作出辅助线，得出S△ABC＝7S△DEF是解题的关键． 20．（2023春•温岭市期中）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则空白部分的面积为 　 　． 【分析】延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，可得四边形AOLP是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解． 【解答】解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P， 所以，四边形AOLP是正方形， ∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4， ∴AO＝AB+AC＝3+4＝7， ∴KL＝3+7＝10，LM＝4+7＝11， 因此，矩形KLMJ的面积为10×11＝110， ∴空白部分的面积为110﹣32﹣42﹣52＝60， 故答案为：60． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，作出辅助线构造出正方形是解题的关键． 三、解答题（共10题） 21．（2024春•汝南县期中）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列两个问题： （1）如图是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理c2＝a2+b2． （2）若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求（a+b）2的值（a＜b）． 【分析】（1）根据大正方形的面积的两种表示方法求解即可； （2）根据小正方形的为1得出2ab＝12，再结合c2＝13即可求解． 【解答】解：（1）如图1，大正方形的面积＝c2＝4AB+（b﹣a）2， 整理得，c2＝a2+b2； （2）∵大正方形的面积是13，小正方形的面积是1， ∴c2＝13，（b﹣a）2＝1， ∴a2+b2﹣2ab＝1， ∴2ab＝12， ∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝13+12＝25， 即（a+b）2的值为25． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，正确表示出大正方形的面积的两种表示方法是解题的关键． 22．（2024春•海淀区校级期中）如图①，直角三角形的两条直角边长分别是a，b（a＜b），斜边长为c． （1）探究：用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形（如图②）． ①小正方形的边长为c，大正方形的边长为 　　 ； ②由大正方形面积的不同表示方式可以得出等式 　 　，整理得 　 　，从而验证勾股定理； （2）应用：将两个这样的直角三角形按图③所示摆放，使BC和CD在一条直线上，连接AE．请你类比（1）中的方法用图③验证勾股定理． 【分析】（1）用两种方法表示出大正方形的面积，即可； （2）利用等积法进行证明即可． 【解答】解：（1）①由图和题意可知：大正方形的边长为a+b； 故答案为：a+b； ②由大正方形面积的不同表示方式可以得出等式，整理得a2+b2＝c2； 故答案为：，a2+b2＝c2； （2）∵∠BAC+∠ACB＝90°，∠BAC＝∠ECD， ∴∠ECD+∠ACB＝90°， ∴∠ACE＝90° 用两种不同的方法表示出梯形ABDE的面积，可得：， ∴a2+2ab+b2＝2ab+c2， ∴a2+b2＝c2． 【点评】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握利用数形结合的思想，证明勾股定理． 23．（2023秋•焦作期末）我国汉代数学家赵爽创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．八年级小明同学在图1的基础上探究由四个全等的直角三角形所围成的图2．已知在Rt△ABG中，AG＝a，BG＝b，∠AGB＝90°． （1）正方形EFGH的面积是 　 ；△ABG的面积是 　 　．（用含a，b的代数式表示） （2）若图中大正方形ABCD的面积为60，小正方形EFGH的面积为20，求△ABG的面积． （3）在（2）的条件下，求（a+b）2的值． 【分析】（1）由FG＝AG﹣AF＝AG﹣BG即可得出正方形EFGH的面积，再由三角形的面积公式得出三角形ABG的面积； （2）由三角形ABG的面积等于（大正方形的面积﹣小正方形的面积）即可得出结果； （3）根据（2）的条件，将（a+b）2化成a2+b2+2ab即可得出结果． 【解答】解：（1）在Rt△ABG中，AG＝a，BG＝b，∠AGB＝90°． ∴FG2＝（AG﹣AF）2＝（a﹣b）2，△ABG的面积， 即正方形EFGH的面积是（a﹣b）2， 故答案为：（a﹣b）2；； （2）△ABG的面积10； （3）由（2）知，10，a2+b2＝60， ∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝60+40＝100． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，利用三角形ABG的面积等于（大正方形的面积﹣小正方形的面积）求解是解题的关键． 24．（2023秋•台江区校级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．将Rt△ABC绕点O依次旋转90°、180°和270°，构成的图形如图1所示．该图是我国古代数学家赵爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为了2002年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据． （1）请利用这个图形证明勾股定理； （2）图2所示的徽标，是我国古代弦图的变形，该图是由其中的一个Rt△ABC绕中心点O顺时针连续旋转3次，每次旋转90°得到的，如果中间小正方形的面积为1cm2，这个图形的总面积为113cm2，AD＝2cm，则徽标的外围周长为 　 　cm． 【分析】（1）从整体和部分分别表示正方形的面积即可证明； （2）设Rt△ABC的较长直角边为a，短直角边为b，斜边为c，则有a﹣b＝3，，利于整体思想可求出斜边c的长，从而解决问题． 【解答】（1）证明：∵正方形的边长为c， ∴正方形的面积等于c2， ∵正方形的面积还可以看成是由4个直角三角形与1个边长为（a﹣b）的小正方形组成的， ∴正方形的面积为：， ∴c2＝a2+b2； （2）解：设Rt△ABC的较长直角边为a，短直角边为b，斜边为c， 根据题意得，a﹣b＝3，， 又∵c2＝a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝32+112＝121， ∴c＝11cm， 故徽标的外围周长为：4×（11+2）＝52（cm）． 故答案为：52． 【点评】本题主要考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用，完全平方公式等知识，运用整体思想求出斜边c的长，是解题的关键． 25．（2023春•开江县校级期末）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式c2，化简便得结论a2+b2＝c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面两个问题 （1）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝3，BC＝4，求CD的长度． （2）如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值． 【分析】（1）先根据勾股定理先求出AB，再根据“双求法”求出CD的长度； （2）运用两个直角三角形根据勾股定理表示出AD，德关于x的方程求解． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中， 由面积的两种算法可得：， 解得：CD． （2）在Rt△ABD中AD2＝42﹣x2＝16﹣x2， 在Rt△ADC中AD2＝52﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2， 所以16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2， 解得． 【点评】此题考查的知识点是勾股定理的应用，关键是运用勾股定理求解． 26．（2023秋•尧都区校级期末）阅读材料： 勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，它反映了直角三角形的三边关系即直角三角形两直角边（即“勾”“股”）的平方和等于斜边（即“弦”）的平方．也就是说，设直角三角形两直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2+b2＝c2，迄今为止，全世界发现勾股定理的证明方法约有400种．如美国第二十任总统伽菲儿德“总统证法”（如图1），利用三个直角三角形拼成一个直角梯形，于是直角梯形的面积可以表示为或者是．因此得到，运用乘法公式展开整理得到a2+b2＝c2． 尝试探究： （1）其实我国古人早就运用各种方法证明勾股定理，如图2用四个全等的直角三角形拼成正方形，中间也是一个正方形，其中四个直角三角形直角边分别为a，b，斜边为c，请你根据古人的拼图完成证明． （2）如图3，是2002年在中国北京召开的国际数学大会会标，利用此图也能证明勾股定理，其中四个直角三角形直角边分别为a，b，斜边为c，请你根据此图完成证明． 应用定理： （3）已知a、b、c为Rt△ABC三边长（其中c＞b＞a），试比较代数式a2c2+a2b2与c4﹣b4的大小关系． 【分析】尝试探究： （1）根据图形面积的不同求法即可得到结论； （2）根据图形面积的不同求法即可得到结论； 应用定理：（3）分解因式，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：（1）图中大正方形的面积可表示为 （a+b）2，也可表示为 ，即： ， ∴a2+b2＝c2； （2）图中大正方形的面积可表示为 c2，也可表示为 ，即： ， ∴a2+b2＝c2； （3）∵a2c2+a2b2＝a2（c2+b2），c4﹣b4＝（c2+b2）（c2﹣b2）＝（c2+b2）a2， ∴a2c2+a2b2＝c4﹣b4． 即：代数式a2c2+a2b2与c4﹣b4的大小关系是相等． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 27．（2024春•万年县校级月考）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽利用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，在验明勾股定理，为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． （1）如图1，是小琪制作的一个“赵爽弦图”纸板． ①设AH＝a，BH＝b，AB＝c，请你利用图1验证：a2+b2＝c2； ②若大正方形ABCD的边长为13，小正方形EFGH的边长为7，求直角三角形两直角边之和为多少？ （2）如图2，小昊把四个全等的直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓（实线）的周长为48，OB＝6，求这个图案的面积． 【分析】（1）①用两种不同的方法去求正方形ABCD的面积即可． ②利用①中发现的结论即可解决问题． （2）设AO＝m，根据勾股定理建立关于m的方程即可解决问题． 【解答】（1）①证明：∵中间小正方形的边长为b﹣a， ∴小正方形的面积为（b﹣a）2． 又∵四个直角三角形的面积为：， ∴大正方形的面积为：（b﹣a）2+2ab＝a2+b2． 又∵大正方形的边长为c， ∴大正方形的面积还可以表示为c2， ∴a2+b2＝c2． ②解：由①可知， a2+b2＝c2＝169， ∵b﹣a＝7， ∴（b﹣a）2＝a2+b2﹣2ab＝49， ∴2ab＝120， ∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝169+120＝289， ∴a+b＝17（舍负）， 即直角三角形两直角边之和为17． （2）解：设AO＝CO＝GO＝EO＝m， ∵OB＝OH＝OD＝OF＝6， ∴AH＝CB＝DE＝FG＝m﹣6． ∵外围轮廓（实线）的周长为48， ∴4（AB+m﹣6）＝48， 则AB＝18﹣m． 在Rt△ABO中， 62+m2＝（18﹣m）2， 解得m＝8， 即AO＝8， ∴． 【点评】本题主要考查了勾股定理的证明，能用不同的方法表示出正方形ABCD的面积及巧用整体思想是解题的关键． 28．阅读材料，回答问题： 中国古代数学著作《周髀算经》（图①）有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五”．这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5”．上述记载表明了：在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，那么a，b，c三者之间的数量关系是：a2+b2＝c2． （1）对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图②，它是由八个全等直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整： 证明：∵S△ABCab，S正方形ABDE＝c2，S正方形MNPQ＝　 又∵S正方形MNPQ＝四个全等直角三角形三角形的面积+S正方形ABDE， ∴即：　 　 整理得a2+2ab+b2＝2ab+c2， ∴　 　 （2）如图③，把矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，如果AB＝4，BC＝8，求BE的长． 【分析】（1）由图可知正方形MNPQ的边长为（a+b），从而得到面积，再利用等面积法第二个空求解，然后化简得到第三个空答案； （2）利用折叠对称的性质的得到AE＝CE，在Rt△ABE中，结合勾股定理进行求解． 【解答】解：（1）由图可知正方形MNPQ的边长为AC+BM，即（a+b）， ∴S正方形MNPQ＝（a+b）2， ∵S正方形MNPQ＝四个全等直角三角形三角形的面积+S正方形ABDE， 即 （a+b）2＝4c2， 化简后可得a2+b2＝c2， 故答案为（a+b）2；（a+b）2＝4c2；a2+b2＝c2； （2）∵矩形ABCD折叠，使点C与点A重合， ∴AE＝CE， ∴设AE＝CE＝x，则BE＝8﹣x， ∵矩形ABCD， ∴∠ABE＝90°， 在Rt△ABE中， AB2+BE2＝AE2，即42+（8﹣x）2＝x2， 解得x＝5， ∴BE＝8﹣5＝3． 【点评】本题主要考查了有关勾股定理的二次函数的应用，第二问的解题关键是利用对称折叠的性质得到AE和CE相等，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理求解答案． 29．（2024春•南昌期中）数学家发现在一个直角三角形中，两个直角边边长的平方和等于斜边长的平方．如图①，设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b（a＜b），斜边长度是c，那么可以用数学语言表达：a2+b2＝c2． （1）如图②所示，将4块与图①完全相同的直角三角形拼成一个边长为c的正方形ABCD，则四边形EFGH是一个 　 　（填“长方形”或“正方形”），其面积为 　 　（用含a、b的代数式表示）； （2）观察图②，利用面积之间的恒等关系，试说明a2+b2＝c2的正确性； （3）如图③所示，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝12，BC＝20，利用上面的结论求EF的长． 【分析】（1）根据正方形的判定判断四边形EFGH是正方形；根据正方形面积公式可得到其面积； （2）根据“正方形ABCD面积＝4个直角三角形的面积+正方形EFGH的面积”即可列式说明； （3）先求出BF，CF，设EF＝x，可用x表示出EC，在Rt△EFC中，利用勾股定理列方程解出x即可． 【解答】解：（1）由题意知：∠HEF＝∠EFG＝∠FGH＝∠GHE＝90°， EF＝FG＝GH＝HE＝b﹣a， ∴四边形EFGH是一个正方形，且边长为（b﹣a）， 故答案为：正方形，（b﹣a）2； （2）∵S正方形ABCD＝4×SRt△ABE+S正方形EFGH， ∴c2＝4ab+（b﹣a）2， 整理，得a2+b2＝c2， 故a2+b2＝c2的正确； （3）∵ABCD是长方形，△AFE是由△ADE折叠得到的， ∴AF＝AD＝BC＝20，DC＝AB＝12，EF＝DE， 在Rt△ABF中， ∵AB＝12， ∴由勾股定理，得BF16， ∴CF＝BC﹣BF＝20﹣16＝4， 设EF＝x，则EC＝DC﹣DE＝12﹣x， 在Rt△EFC中， 由勾股定理，得EF2＝CF2+EC2， 即x2＝42+（12﹣x）2， 解得x， 即EF的长为． 【点评】本题考查勾股定理的证明，勾股定理的应用，解答中涉及折叠的性质，长方形的性质，掌握面积法，弄清图形中各线段间的关系是解题的关键． 30．（2023春•开封期末）如图①是我国汉代数学家赵爽在注解《周笔算经》时给出的赵爽弦图，是用四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD． 问题发现： 如图①，若直角三角形斜边AB的长为5，直角边AG的长为4，则DE的长为 　 　． 知识迁移： 已知正方形ABCD，点P是直线CD上一动点，连接BP，分别过点A，C，D向直线BP作垂线，垂足分别为E，F，G． （1）如图②，若点P在边CD上，则线段BE和线段FG的数量关系为 　 　． （2）如图③，若点P在CD的延长线上，（1）中结论是否成立？请说明理由． （3）当直线BP与正方形ABCD一边的夹角为60°时，若FG＝3，请直接写出正方形ABCD的面积． 【分析】问题发现：根据全等三角形的性质得CD＝AB＝5，CE＝AG＝4，利用勾股定理即可求解； （1）如图②，过点D作DH⊥AE于H，可得四边形DHEG是矩形，DH＝EG，证明△AHD≌△CFB（AAS），则DH＝BF，可得BF＝EG，即可得出BE＝FG； （2）如图③，同（2）的方法即可求解； （3）分两种情况：①当直线BP与BC边的夹角为60°时，②当直线BP与AB边的夹角为60°时，根据含30°角的直角三角形的性质求出正方形ABCD的边长，即可求解． 【解答】解：问题发现：由题意得：Rt△CDE≌Rt△ABG， ∴CD＝AB＝5，CE＝AG＝4， ∴DE3， 故答案为：3； （1）如图②，过点D作DH⊥AE于H， ∵AE⊥BP，DG⊥BP，CF⊥BP，DH⊥AE， ∴四边形DHEG是矩形，∠ADH+∠DAH＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°，∠AHD＝∠CFB＝90°， ∴DH＝EG， ∵四边形ABCD是正方形形， ∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AD＝CB， ∴∠BAE+∠DAH＝90°，∠CBF+∠ABE＝90°， ∴∠BAE＝∠ADH＝∠CBF， ∴△AHD≌△CFB（AAS）， ∴DH＝BF， ∵DH＝EG， ∴BF＝EG， ∴BF﹣EF＝EG﹣EF， ∴BE＝FG， 故答案为：BE＝FG； （2）若点P在CD的延长线上，（1）中结论成立，理由如下： 如图③，过点D作DH⊥AE于H， ∵AE⊥BP，DG⊥BP，CF⊥BP，DH⊥AE， ∴四边形DHFG是矩形，∠CDH+∠DCH＝90°，∠BCF+∠CBF＝90°，∠CHD＝∠AEB＝90°， ∴DH＝FG， ∵四边形ABCD是正方形形， ∴∠BCD＝∠ABC＝90°，AB＝CD， ∴∠BCF+∠DCH＝90°，∠CBF+∠ABE＝90°， ∴∠BCF＝∠CDH＝∠ABE， ∴△CHD≌△AEB（AAS）， ∴DH＝BE， ∵DH＝FG， ∴BE＝FG； （3）①当直线BP与BC边的夹角为60°时，如图， 分别过点A，C，D向直线BP作垂线，垂足分别为E，F，G．过点D作DH⊥AE于H， ∵∠CBP＝60°，CF⊥BP， ∴∠ABE＝30°． ∵BE＝FG，FG＝3， ∴BE＝3， ∴AE，AB＝2， ∴正方形ABCD的面积为2212； ②当直线BP与AB边的夹角为60°时，如图， 分别过点A，C，D向直线BP作垂线，垂足分别为E，F，G．过点D作DH⊥AE于H， ∵∠ABP＝60°，AE⊥BP， ∴∠BAE＝30°． ∵BE＝FG，FG＝3， ∴BE＝3， ∴AB＝2BE＝6， ∴正方形ABCD的面积为6×6＝36． 综上，正方形ABCD的面积为12或36． 【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！31 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级上册数学 《第1章 勾股定理》 专题 勾股定理与赵爽弦图问题 一、选择题（共10题） 1．（2023春•长沙期中）勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、新娘座椅定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法，我国古代数学家赵爽和刘徽也分别利用《赵爽弦图》和《青朱出入图》证明了勾股定理，下列四个图形，哪一个是赵爽弦图（　　） A． B． C． D． 2．（2024春•罗定市期中）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现了数形结合的思想．下列选项中的图形，不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 3．（2023秋•高青县期末）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB＝10，AE＝8，则正方形EFGH的面积为（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 4．（2024春•梁山县校级月考）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如果直角三角形较长直角边的长为a，较短直角边的长为b，若ab＝7，大正方形的面积为30，则小正方形的边长为（　　） A．16 B．8 C．4 D．2 5．（2024•眉山）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（　　） A．24 B．36 C．40 D．44 6．（2023秋•工业园区期中）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为9，短直角边为4，图2中的阴影部分的面积为S，那么S的值为（　　） A．56 B．60 C．65 D．75 7．（2024春•重庆期中）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连接CE．若正方形ABCD的面积为6，，则CE的长为（　　） A．6 B．5 C． D． 8．（2024春•高密市期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”（如图①），图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝12，则S2的值是（　　） A． B．4 C．5 D． 9．（2024春•铁东区校级月考）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成的．已知BE：AE＝3：1，正方形ABCD的面积为80．连接AC，交BE于点P，交DG于点Q，连接FQ．则图中阴影部分的面积之和为（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 10．（2023春•南浔区期末）将四个全等的直角三角形作为叶片按图1摆放成一个风车形状，形成正方形ABCD和正方形EFGH．现将四个直角三角形的较长直角边分别向外延长，且A′E＝ME．B′F＝NF，C′G＝PG，D′H＝HQ，得到图2所示的“新型数学风车”的四个叶片，即△A′EF，△B′FG，△C′CH．△D′HE．若FM平分∠BFE，正方形ABCD和正方形EFGH的边长比为1：5．若”新型数学风车”的四个叶片面积和是m，则正方形EFCH的面积是（　　） A． B． C．3m D． 2、 填空题（共10题） 11．（2023秋•温州期中）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示的弦图中，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个直角三角形，当EF＝7，DE＝12时，则正方形ABCD的边长是　 　． 12．（2024春•金乡县月考）如图，用4个相同的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，若图中直角三角形较短的直角边长是7，小正方形的边长是5，则大正方形的面积是　 　． 13．（2023•湖北开学）如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成．如果大正方形的面积是16，直角三角形的直角边长分别为a，b，且a2+b2＝ab+10，那么图中小正方形的面积是　 　． 14．（2023春•包河区期末）如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺成的大正方形，若勾为3，弦为5，则图中四边形ABCD的周长为 　 　． 15．（2023秋•金东区期末）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连结DF．若S正方形ABCD＝5，EFBG，则DF的长为 　 　． 16．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，若图中正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为 　 　． 17．（2023秋•乐清市校级期中）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．如图1，以直角三角形的三边为边向外作正方形，西方著名数学家毕达哥拉斯就曾用此图形验证了勾股定理，现把较小的两个正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内，两个较小正方形纸片的重叠部分记为四边形ABCD．若AB＝3，则图中阴影部分的面积为　 　． 18．（2023春•思明区校级期末）被誉为“中国数学界的图腾”的“赵爽弦图”，是用四个全等的直角三角形拼成如图①示的大正方形，中间也是一个正方形，其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH．若该图形的周长为48，OH＝6，则该图形的面积 　 　． 19．（2023春•姜堰区期末）大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1），某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：△ABC为等边三角形，AD、BE、CF围成的△DEF也是等边三角形．已知点D、E、F分别是BE、CF、AD的中点，若△ABC的面积为14，则△DEF的面积是 　 　． 20．（2023春•温岭市期中）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则空白部分的面积为 　 　． 三、解答题（共10题） 21．（2024春•汝南县期中）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列两个问题： （1）如图是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理c2＝a2+b2． （2）若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求（a+b）2的值（a＜b）． 22．（2024春•海淀区校级期中）如图①，直角三角形的两条直角边长分别是a，b（a＜b），斜边长为c． （1）探究：用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形（如图②）． ①小正方形的边长为c，大正方形的边长为 　　 ； ②由大正方形面积的不同表示方式可以得出等式 　 　，整理得 　 　，从而验证勾股定理； （2）应用：将两个这样的直角三角形按图③所示摆放，使BC和CD在一条直线上，连接AE．请你类比（1）中的方法用图③验证勾股定理． 23．（2023秋•焦作期末）我国汉代数学家赵爽创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．八年级小明同学在图1的基础上探究由四个全等的直角三角形所围成的图2．已知在Rt△ABG中，AG＝a，BG＝b，∠AGB＝90°． （1）正方形EFGH的面积是 　 ；△ABG的面积是 　 　．（用含a，b的代数式表示） （2）若图中大正方形ABCD的面积为60，小正方形EFGH的面积为20，求△ABG的面积． （3）在（2）的条件下，求（a+b）2的值． 24．（2023秋•台江区校级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．将Rt△ABC绕点O依次旋转90°、180°和270°，构成的图形如图1所示．该图是我国古代数学家赵爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为了2002年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据． （1）请利用这个图形证明勾股定理； （2）图2所示的徽标，是我国古代弦图的变形，该图是由其中的一个Rt△ABC绕中心点O顺时针连续旋转3次，每次旋转90°得到的，如果中间小正方形的面积为1cm2，这个图形的总面积为113cm2，AD＝2cm，则徽标的外围周长为 　 　cm． 25．（2023春•开江县校级期末）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式c2，化简便得结论a2+b2＝c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面两个问题 （1）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝3，BC＝4，求CD的长度． （2）如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值． 26．（2023秋•尧都区校级期末）阅读材料： 勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，它反映了直角三角形的三边关系即直角三角形两直角边（即“勾”“股”）的平方和等于斜边（即“弦”）的平方．也就是说，设直角三角形两直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2+b2＝c2，迄今为止，全世界发现勾股定理的证明方法约有400种．如美国第二十任总统伽菲儿德“总统证法”（如图1），利用三个直角三角形拼成一个直角梯形，于是直角梯形的面积可以表示为或者是．因此得到，运用乘法公式展开整理得到a2+b2＝c2． 尝试探究： （1）其实我国古人早就运用各种方法证明勾股定理，如图2用四个全等的直角三角形拼成正方形，中间也是一个正方形，其中四个直角三角形直角边分别为a，b，斜边为c，请你根据古人的拼图完成证明． （2）如图3，是2002年在中国北京召开的国际数学大会会标，利用此图也能证明勾股定理，其中四个直角三角形直角边分别为a，b，斜边为c，请你根据此图完成证明． 应用定理： （3）已知a、b、c为Rt△ABC三边长（其中c＞b＞a），试比较代数式a2c2+a2b2与c4﹣b4的大小关系． 27．（2024春•万年县校级月考）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽利用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，在验明勾股定理，为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． （1）如图1，是小琪制作的一个“赵爽弦图”纸板． ①设AH＝a，BH＝b，AB＝c，请你利用图1验证：a2+b2＝c2； ②若大正方形ABCD的边长为13，小正方形EFGH的边长为7，求直角三角形两直角边之和为多少？ （2）如图2，小昊把四个全等的直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓（实线）的周长为48，OB＝6，求这个图案的面积． 28．阅读材料，回答问题： 中国古代数学著作《周髀算经》（图①）有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五”．这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5”．上述记载表明了：在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，那么a，b，c三者之间的数量关系是：a2+b2＝c2． （1）对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图②，它是由八个全等直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整： 证明：∵S△ABCab，S正方形ABDE＝c2，S正方形MNPQ＝　 又∵S正方形MNPQ＝四个全等直角三角形三角形的面积+S正方形ABDE， ∴即：　 　 整理得a2+2ab+b2＝2ab+c2， ∴　 　 （2）如图③，把矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，如果AB＝4，BC＝8，求BE的长． 29．（2024春•南昌期中）数学家发现在一个直角三角形中，两个直角边边长的平方和等于斜边长的平方．如图①，设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b（a＜b），斜边长度是c，那么可以用数学语言表达：a2+b2＝c2． （1）如图②所示，将4块与图①完全相同的直角三角形拼成一个边长为c的正方形ABCD，则四边形EFGH是一个 　 　（填“长方形”或“正方形”），其面积为 　 　（用含a、b的代数式表示）； （2）观察图②，利用面积之间的恒等关系，试说明a2+b2＝c2的正确性； （3）如图③所示，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝12，BC＝20，利用上面的结论求EF的长． 30．（2023春•开封期末）如图①是我国汉代数学家赵爽在注解《周笔算经》时给出的赵爽弦图，是用四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD． 问题发现： 如图①，若直角三角形斜边AB的长为5，直角边AG的长为4，则DE的长为 　 　． 知识迁移： 已知正方形ABCD，点P是直线CD上一动点，连接BP，分别过点A，C，D向直线BP作垂线，垂足分别为E，F，G． （1）如图②，若点P在边CD上，则线段BE和线段FG的数量关系为 　 　． （2）如图③，若点P在CD的延长线上，（1）中结论是否成立？请说明理由． （3）当直线BP与正方形ABCD一边的夹角为60°时，若FG＝3，请直接写出正方形ABCD的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 $$