17.数学·2021年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)-【名校强基卷】2020-2024年5年高考数学真题汇编

绝密★启用前 2021年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 第一部分（选择题共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 尔 题目要求的. 1.已知集合A={x一1<x<1},B={x|0≤x≤2}，则AUB= ( A.{x|-1<x<2} B.{x|-1<x≤2 C.{x|0≤x<1 D.{x|0≤x≤2} 2.若复数之满足(1一i)·之=2，则之= ( A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 3.设函数f(x)的定义域为[0,1]，则“f(x)在区间[0,1]上单调递增”是“f(x)在区间[0,1]上的 非 最大值为f(1)”的 ( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为 ()视图 想（左）视图 俯视图 A2+ B.3+√3 C2+g D.3+ 5.若双曲线 y =1的离心率为2，且过点(23)，则双曲线的方程为 ( A.2.x2-y2=1 B.2-=1 C.5.x2-3y2=1 D. =1 26 6.《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽 图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长a1,a2,ag,a,as(单位：cm)成等差数列，对 应的宽为b1,b2,b3,b,b(单位：cm),且长与宽之比都相等.已知a1=288,a:=96,b1=192,则 b3= () A.64 B.96 C.128 D.160 2021·北京卷第1页（共8页） 7.函数f(x)=cosx一cos2x是 A.奇函数，且最大值为2 B.偶函数，且最大值为2 C,奇函数，且最大值为号 D.偶函数，且最大值为号 8.某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称 为这个时段的降雨量（单位：mm).24h降雨量的等级划分如下： 等级 24h降雨量（精确到0.1） 04000 000004 小雨 0.19.9 中雨 10.024.9 大雨 25.049.9 暴雨 50.0~99.9 4 在综合实验活动中，某小组自制了一个底面直径为200mm,高为300mm的圆锥形雨量器.若 一次降雨过程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150mm(如图所示)，则这24h降雨量的 等级是 () +-200mm 300mm 150 mn A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨 9.已知直线y=x十m(m为常数)与圆x2十y2=4交于点M,N.当k变化时，若MN的最小值 为2，则m () A.±1 B.±2 C.±3 D.±2 10.已知{an}是各项均为整数的递增数列，且a1≥3.若a1十a2十…十am=100,则n的最大值为 A.9 B.10 C.11 D.12 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在题中的横线上。 1山.在(x-)的展开式中，常数项为.（用数字作答） 12.已知抛物线y2=4x的焦点为F,点M在抛物线上，MN垂直x轴于点N,若|MF|=6,则点 M的横坐标为 ;△MNF的面积为 2021·北京卷第2页（共8页） 13.已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则(a+b)·c一 ；a·b 14.若点A(cos0,sin)关于y轴的对称点为(cos(0+),sin(叶)，则0的一个取值为 15.已知函数f(x)=|lgx一k.x一2，给出下列四个结论： ①当k=0,f(x)恰有2个零点； ②存在负数k,使得f(x)恰有1个零点； ③存在负数k,使得f(x)恰有3个零点； ④存在正数k,使得f(x)恰有3个零点. 其中所有正确结论的序号是 三、解答题：本题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16,(本小题13分)在△ABC中，c=2 bcos B,∠C=2 3 (I)求∠B: (Ⅱ)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确 定，求BC边上中线的长. 条件①：c=√2b: 条件②：△ABC的周长为4+2√3： 条件@：△ABC的面积为35 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答， 按第一个解答计分. 2021·北京卷第3页（共8页） 17.(本小题14分)如图，在正方体ABCD一ABC,D中，E为A,D,的中点，B,C,与平面CDE 交于点F. (I)求证：F为B,C的中点： (I)若M是棱A,B,上一点，且三面角M-FC-E的余弦值为，求◆ 、d AM A,B的值 2021·北京卷第4页（共8页） 18.(本小题13分)在核酸检测中，“k合1”混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进 行1次检测，如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都 为阴性，检测结束：如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再 进行1次检测，得到每人的检测结果，检测结束 现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确。 (I)将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测. (「)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数： ()已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为·设X是检测的总次数，求X的分布列 与数学期望EX. (Ⅱ)将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检 测的总次数，试判断数学期望EY与(I)中EX的大小.（结论不要求证明） 2021·北京卷第5页（共8页） 19.(本小题15分)已知函数f(x)=3-2工 x2+a (I)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程： (Ⅱ)若f(x)在x=一1处取得极值，求f(x)的单调区间，并求其最大值与最小值. 2021·北京卷第6页（共8页） 20.（本小题15分)已知椭图E:号+芳=1>6>0)的一个顶点为A0.-2》,以椭圆E的四个 a 顶点为顶点的四边形面积为4√5. (I)求椭圆E的方程： (Ⅱ)过点P(0,一3)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别与 直线y=一3交于点M,N.当|PM十PN≤15，求k的取值范围. 2021·北京卷第7页（共8页） 21.(本小题15分)设p为实数.若无穷数列{an}满足如下三个性质，则称{an}为R。,数列： ①a1十p≥0，且a2十p=0: ②a4n-1<an(n=1,2,…）: ③am+n∈{am十am十p,am十an十p十1}(m=1,2,…:n=1,2,…). (I)如果数列{a}的前四项为2，一2，一2，一1，那么{an}是否可能为R2数列？说明理由： (Ⅱ)若数列{a.}是R。数列，求a5: (Ⅲ)设数列{a.}的前n项和为Sn,是否存在R。数列{am},使得S.≥S。恒成立？如果存在，求 出所有的p:如果不存在，说明理由. 2021·北京卷第8页（共8页）(II)证明:当M,N,F三点共线时, ②当<a<时,令r'(x)=0,得x=0.=ln 2a<o.$ 设直线MN的方程为x=my+2 即x-my-v2-0. 当x ln2a时,/(x)0,f(x)单调递增; 当ln2a<x<0时,f(x)<0,f(x)单调递减; -1. 当r0时,f(z)0.f(x)单调递增; m^{+1 ③当a=时,f(x)=x(e-1)→0,f(x)在R上单调 解得n{}-1,此时直线MN;r-士v+② 递增; 当 MN-/3时. ④当a>时,令/'(x)=0,得xì=0,xrz=ln 2a→o, 设直线MN的方程为x=iy+n,即x-ty-n-0. 当x 0时,/(x)0,f(x)单调递增; 21 当0 x<ln2a时,f(x)<0,f(x)单调递减; 化简得”2-?-1. 当xln2a时,/(x)0,f(x)单调递增. (r-ty十n, 联立{2十33, (II)证明:若选①,则由(I)知f(x)在(一oo,0)上单调递 消去x得(r*}+3)y②+2tny十n{}-3 增,在(0,ln2a)上单调递减,在(ln2a,+o)上单调递增. #(-)-(#-1)##0. -0. △-4r*-4(+3)(n-3)-12(-+3). 又n-2-1,则△-240, f(0)=b-1>2a-1>0. 则1MN1_1#4_. 十3 又f(ln 2a)-(ln 2-1)·2a-a·ln22a+b>2aln2a- 解得/2-1, 2a-aln?2a+2a=aln 2a(2-ln 2a). .-2. 则直线MN与曲线x^{}+{-b^{}(x>0)相切,且n-②,此 '.aln 2a(2-ln2a)>0. 时直线MN的方程为x-士y+2 ./(ln2a)>0. 综上所述,M.N,F三点共线的充要条件是|MN|-③. '.当x>0时,f(x)>/(ln2a)>0. 21.解;(I)由题意得E(X)-0×0.4+1×0.3+2×0.2+ '.f(x)在[0,十c)上无零点. 3×0.1-1. 综上所述,f(x)在B上仅有一个零点xo. (II)证明:由题意得po+ x十p2x^{②}十pr-r=0,0 且xoE(-#). _1. 设f(x)=po+pr+r*+x③-r. 若选②,由(I)可知,函数f(x)在(一oo,ln2a)上单调递 则f(x)-b+2x+3-1, 增;在(ln2a,0)上单调递减;在(0,十oo)上单调递增; 设(x)=b+2px+3x2-1, 又lim f(x)-lim[(x-1)e-ar?+b]→-oo; 则h'(x)-2+6px0. lim f(x)=lim[(r-1)e'-ar?+b]→+o. '.h(x)即/(x)单调递增. f(ln 2a)-(In 2a-1)eln 2a-a(ln 2a)?+b-2a(ln 2a-1) 4 当E(x)-p1+2p+3<1时. #(x)</f(1)=+2+3 -1<0 -a(ln 2a)?+b2a(ln 2a-1)-a(ln 2a)?+2a-2aln 2a -aln?2a. .f(x)在(0,1]上单调递减 令ln2a-t((C0),则2a-e. ./(1)-0..-1; 当E(x)-+2+3p1时, #(0)--1<0. 即f(ln2a)<0,且 f(0)-b-1<2a-1<0. $(1)-+2 +3 -1>0. 综上,当0<a,b<2a时,f(x)只有一个零点。 &存在唯一的xo(0,1)使f(x)-0, 且当0<xxo时,f(x)<0,f(x)单调递减 2021年普通高等学校招生全国统一考试 当xo<x<1时,f(x)>0.f(x)单调递增. (北京卷) .f(0)=>0./(1)-0. '.f(xo)<f(1)-0. 1.B 由并集的定义可得AUB-x |-1 x2,故选B. '.f(x)在(0,xo)上有一个零点x 过2.D 由题意得复数-2(1-(1)1)-1+i,故选 D. 2(1+i) '.-<1. (III)当1个微生物个体繁殖下一代的数学期望小于等于 3.A 因为函数f(x)的定义域为[0,1],若函数f(x)在[0. 1时,经过多代繁殖后临近灭绝; 1]上单调递增,则f(x)ms=/(1),故充分性成立;若f(x) -()2(0<<1),则(x)mx)/(1)/(0),且画数 当1个微生物个体繁殖下一代的数学期望大于1时,经过 多代繁殖后还有继续繁殖的可能. 22.解:(I)/'(x)=xe-2ax=x(e-2a). f(c)在(o,)上单调递减,在(,1)上单调递增,故必 ①当a<0时,令/(x)-0,得x-0. 要性不成立,所以“函数f(x)在[0,1]上单调递增”是“函数 当x0时,f'(x)<0,f(x)单调递减; f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)”的充分不必要条件,故 当x>0时,/(x)>0,f(x)单调递增; 选A. 数学答案-61 4.A 由三视图知该四面体有一侧校垂 直于底面,且有三条校两两垂直,故可 将该四面体置于校长为1的正方体 中,如图中三校锥A-BCD所示,所以 -0,解得1-3,所以(3-){的展开式中的常数项是 B +3(2)}3+,故选A. (-1)C--4. 12.5 4v5 抛物线C;y{②}-4x的焦点为F(1,0),准线为x= #2 5.B 因为双曲线的离心率e-C-2,所以c-2a ①.因为 一1.因为|FM|一6,所以点M到准线的距离为6,所以点 M的横坐标为5,将x-5代入抛物线C:y{}一4x,得y 20-25.又MNIx轴于N,所以S△rMN-×(5- a+b-c2③,由①②③解得a=1,b-③,所以该双曲线 1)×2v5-4V5. 13.0 3 建立平面直角坐标系如图所示,则a一(2,1),b (2.-1),c=(0,1),所以a十b-(4,0),所以(a十b)·c 6.C 设等差数列{a)的公差为d,则a5-aì十4d,即96- 0.a·b-4-1-3. $ 8 8+4d,解得d--48,所以a=a+2d-192.因为当$ bb a 故选C. 7.D 因为 f(-x)=cos(-x)-cos(-2x)=cosx-cos 2r 一f(x),所以函数f(x)为偶函数.f(x)=cosx一cos2x E[-1,1],所以当cosx= ,.故选D. sin(o+吾)关于y轴对称,所以0十0+吾-π+2kx,k 8.B 设圈锥容器的底面圆心与雨水所形成的小园锥的底面 圆心分别为O,O,作出该圆锥的轴截面如图所示,则由 题意有CO-300.CO-150,AO=100.易知△CA0 AO AO·CO △CBO所以BO CO. 15.①②④ 依题意,令f(x)=|lgxl-kx-2-0,得llgl CO br+2,念g(x)= lgxl,(x)-x+2,则f(x)的雾点 100×150-50,所以圆锥内的雨水体积为×x×50{× 个数,即g(x)-llgx|,h(x)一kx十2的图象的交点个 300 数,对于①,当k-0时,g(x)-|lgx|,h(x)-2,作出 150-125000,所以24小时内降水在平地上的积水厚度 g(x)-|lgx|,h(x)-2的图象如图所示,由图知,g(x) llg文l,h(x)一2的图象有两个交点,即f(x)有两个零点, X100{2 故①正确;对于②,当g(x)= lgx l,h(x)=kr十2的图 象相切,且h(x)一kx十2的图象如图中l.所示时,3 0.使得g(x)- |lgx |,h(x)一kx十2的图象相切,此时 g(x)=llgx |,h(x)-kx十2的图象有一个交点,即f(x) 有一个零点,故②正确;对于③,将直线1;以点(0,2)为旋 转中心按逆时针方向旋转一定角度(如直线l2),可使 g(x)-|lgxl,h(x)一kx十2的图象最多有两个交点,即 f(x)最多有两个零点,故③错误;对于④,当k0时,若 1。 9.C 因为直线/截得圆C弦长的最小值为2,所以圆心C ln 10令ln10-k,则 >1,则g(x)=lgx,所以g'(r)= 1 (0,0)到直线/的最大距离dnmx-)2-2-(×2)^{} 存在符合题意的正数k,使得g(x)-lgx,h(x)一kx+2 的图象相切,此时g(x)一lgx,h(x)一kx十2的图象有一 ②-1^{}-/3.由题意得直线/的方程为hx-y十n-0,圆 个交点(h(x)的图象如直线l),将直线1。按顺时针方向 心C(o,0)到直线/的距离d-,当-o时,d取得 旋转一定角度,可使得g(x)-|lgxl,h(x)一hx十2的图 十1 象有三个交点,即/(r)有三个零点,故④正确,综上,正确 最大值,所以dmx=m|-3,解得n=士③,故选C. 结论的序号是①②④. 10.C 由题知,数列{a满足a三3,a+a+..+a.-100 1-g(x)=lgxl 则取a一3.又数列(a。)为递增的整数数列,则各项具体 如表所示,由表知n的最大值为11,故选C. 第项 数学答案-62 16.解:(I)由正弦定理) 设乎面CDE的法向量为m=(x,y,1). 得sin C-2sin Bcos B. 则 n.CF-o.% 1x1+2x1-0. 令 xi=1,则xi1=-2,y=0. 又因为<乙B<所以B-吾## 于是m-(-2,0,1). 由题设,存在xE[0,1),使得A,M-入A;B1. (II)选条件②:△ABC的周长为4十23. 所以M(2,2,2). 所以FM-(1,2-2.0). 设平面MFC的法向量为n=(x2,y2,z) 所以△ABC是顶角为2-,底角为的等腰三角形. #._CF。#- 所以a=b.c-3a. 1x2+2x2-0. 令2=2,则--1,y-1- 由题设,(2+3)a-4+23. 1 所以a-2. 于是n-(2.-1). 设BC边上中线的长为d. 由题设,lcos(m,n)|-mn |m n 所以d^2-1+4-2x1x2×(-). 5 故d-7. (1-){} 所以A## AM1 选条件③:△ABC的面积为3{ #。 18.解:(I)(1)依题意,如果感染新冠病毒的2人在同一 组,则该组需要检测11次,其他9个组都只需要检测1 次,所以检测总次数为20. (l)由(|)知,当感染新冠病毒的2人分在同一组时,检 所以a-b. 测的总次数是20. 当感染新冠病毒的2人分在不同组时,可以求得检测的 总次数是30. 设BC边上中线的长为d. 所以随机变量X的可能取值为20,30. 由余弦定理得^}-(){②}+a②-2xxacos C. 因为感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为1. #所以#-}3-2×#{#(-)# 所以感染新冠病毒的2人分在不同组的概率为1- 11 0 所以随机变量X的分布列为: 17.解:(I)在正方体ABCDA;BC.D.中, 20 因为CD/C.D.且CD平面A.BC.D; 30 , 所以CD/乎面A.B.CD.. 1 P 二 因为平面CDEO平面A:B.C.D.-EF 所以CD/EE. 10320 所以CD/EF 11-11 因为E为AD,的中点,所以F为B;C 的中点 (II)EY一EX. (II)不妨设正方体的核长为2. 如图建立空间直角坐标系Dxy, ##2)- 2 D. 所以/(1)-1,f(1)=-4. 所以曲线y一f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-1 -4(x-1). 即y--4.x十5. (II)由/()-3-2得 )2十a '(x)--2(r2+a)-2c(3-2) (2十a)2 则D(0.0.0),C(0,2,0),F(1.2,2). 2-_ 所以DC-(0.2.0).CF-(1,0,2). 数学答案-63 由题意知/(-1)-0. 因为a--2, 所以(-1)^{②}-3x(-1)-a-0.故a =4 所以aa{aì+a2+p,aì+a②++1). 当a=4时,/(x)-3-2 所以数列(a:l不满足性质③. 2+ (II)根据R。数列的定义,可知a。满足: #(x)2(x+1)(r-4) a0.a-0; (r^{十4)②} an-1<a4n; #(x)与f(x)的情况如下: a+-a+a:或am+n-am+a+1. (一,-1) -1 (-1,4) 4(4.+) 由a+l=a:+a:或an+1-a+aì+1,以及a0 /() 0. 可知a+a.. 所以a1-0. /(r) _ 由a=aì+a-0或a3=aì+a+1-1; 因此,f(x)的单调递增区间是(一,一1)和(4,十o),单 a4=a?+a2-0或a4-a+a+1-1. 调递减区间是(一1,4). 以及aa,可知a-0,a-1. 所以f(x)在区间(-co,4上的最大值是f(-1)-1 由as=a2+a3-0或a5=a+a+1-1. 又因为当x(4,十oo)时,f(x)<0. 以及aa,可知a-1. 所以,f(一1)一1是 f(x)的最大值。 (III)假设数列a。是满足“SS。恒成立”的R。数列。 l是f(i)的最小值. 同理可知,f(4)-- 因为an+1=a+aì+p或an+1=a+aì++1 且a十po,所以a+1a. 20.解:(I)由题设,b-2.-x2a×2b-4v5.所以a-. 由一<aì<a=-),可知aì=-. 从而aan=at-1+aì+p=an-1或a4n=a-1+a1+ p+1-a-:+1. 又因为atn-1<a,所以a4-aan-1+1. (II)直线BC的方程为y=kx一3. 因为a-a3十1,且aa2=-p, 由/-3,” 得(5^+4)x2-30kx+25-0. 14r*+52-20 所以a二-十1. 由△-(-30)-4$(5^}+4)$25-400(^$}-1)0.得$ 又因为a<a+a+p+1=-p+1. b>1. 所以a--b十1,a=-p. 设B(x1.y).C(x.y). 因为aa+a+p+1. 25 30 且aa+a+p十1=-p+1, 则1+2-5304.1--54 所以a12<-+3. 因为au=a-1,所以au<-p+2, 直线AB的方程为yy+2 --2. 21 由SuSo可知au0,所以2. 由aa=a十1及aa--p+1. 令y=-3,得点M的横坐标为xM=一 可知a1-十2 由SS可知a<0,所以>2. --1 综上可知,若数列{a,是满足“S.一So恒成立”的R。数 x2 同理可得点N的横坐标为xv=-2 +2=-1 列,则-2. 当力-2时,考虑数列(a。): 由题设,y+2>0,y+2>0,x1x>0. -2+k,n(4+1,4+2,4+3). a.三 '(N). rr {-1+k,n-4十4 所以xx- (y+2)(y+2)>0. 下面验证数列a满足性质①②③ 所以x,rv同号。 由=-2,a?=-2可知a+p0,②+-0 所以|PM|+|PN|-|x+x| 因为atn-1=n-3,a=n-2,所以a4n-1<a 对于任意正整数m,n,存在h.N,r.r(0,1,2.3). 2kr1x-(x1十x) 使得n-4,+r,n-4h+r2. , ^x1-(x,+x2)十1 所以a--2+k1,a.=-2+k2. 所以a+a.+b--2+,+k, 2×25 30 52+4 5{+4 a+a+十1--1+&+k 又m十n-4(十h)十r十r。,所以 52十4 5^2十4 当0r.+r<4时,am+,=-2+ +k; -51. 当4 ri+r 6时,am+,=-1+b+k. 由题设,5<15 所以a+,am+a+p,a+a,+b+1). 所以1<<3. 由通项公式可知,当n9时,a<a1-0; 所以k的取值范围是[一3,-1)(1,3]. 当n11时,a.ao=0. 21.解;(I)数列{a.)不可能为R。数列,理由如下; 所以S.二So恒成立. 因为-2,-2,a=-2. 综上,存在R。数列(a。,使得S.S。恒成立,这时 所以a+a+p-2,a+a+b+1-3. -2. 数学答案-64