15.数学·2021年普通高等学校招生全国统一考试(新高考全国卷)-【名校强基卷】2020-2024年5年高考数学真题汇编

绝密★启用前 2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国新高考工卷）》 数 学 使用地区：山东、广东、福建、湖南、湖北、河北、江苏 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 尔 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.设集合A={x-2<x<4},B={2,3,4,5},则A∩B= ( A.{2} B.{2,3 C.{3,4} D.{2,3,4 2.已知2=2-i,则x(x+i)= A.6-21 B.4-2i C.6+2i D.4+2i 非 3.已知圆锥的底面半径为√2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为 A.2 B.22 C.4 D.42 4.下列区间中，函数f(x)=7sim(x-)单调递增的区间是 A.(0, B(受x) D.(2) 0 5,已知FE是椭圆C:十y1的两个焦点，点M在C上，则ME·ME的最大值为C A.13 B.12 C.9 D.6 6.若tan0=-2,则sin01十sin20)_ ( sin 0+cos 0 A-号 R-号 c号 n号 7.若过点(a,b)可以作曲线y=e的两条切线，则 A.e"<a B.e"<b C.O<a<e D.0<<e" 8.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.甲表 示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件 “两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则 () A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立 2021·全国新高考I卷第1页（共8页） 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.有一组样本数据，x1·x2,…,xn,由这组数据得到新样本数据yy2,,y,其中y,=十c(i= 1,2,…,n),c为非零常数，则 () A.两组样本数据的样本平均数相同 B.两组样本数据的样本中位数相同 C.两组样本数据的样本标准差相同 D.两组样本数据的样本极差相同 10.已知O为坐标原点，点P(cosa,sina),P2(cos3,-sin3),P(cos(a十3)，sin(a十3))，A(1, 0),则 () A.IOP=OP:I B.IAP=AP, C.OA.OP=OP·OP D.OA.OP=OP·OP 11.已知点P在圆(x一5)2+(y-5)2=16上，点A(4,0),B(0,2),则 () A.点P到直线AB的距离小于10 B.点P到直线AB的距离大于2 C.当∠PBA最小时，|PB=3√2 D.当∠PBA最大时，|PB|=3√2 12.在正三棱柱ABCA,B,C中，AB=AA,=1,点P满足BP=ABC+uBB,其中1∈[0,1]，∈ [0,1],则 A.当A=1时，△AB,P的周长为定值 B.当=1时，三棱锥P-A1BC的体积为定值 C.当入=2时，有且仅有一个点P,使得AP1BP D.当4=时，有且仅有一个点P,使得AB⊥平面ABP 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上， 13.已知函数f(x)=x3(a·2一2')是偶函数，则a= 14.已知O为坐标原点，抛物线C:y=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点，PF与x轴垂直， Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ=6,则C的准线方程为 15.函数f(x)=|2.x-1|-21nx的最小值为 16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为 20dm×12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm×12dm,20dm×6dm两种规格的图 形，它们的面积之和S,=240dm2,对折2次共可以得到5dm×12dm,10dm×6dm,20dm× 3dm三种规格的图形，它们的面积之和S,=180dm,以此类推，则对折4次共可以得到不同 规格图形的种数为 :如果对折n次，那么∑S, dm2. 2021·全国新高考I卷第2页（共8页） 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分) an十1，n为奇数， 已知数列{an}满足a=1,a+1= a.十2，n为偶数. (1)记bn=a,写出b1,b2,并求数列{bn}的通项公式： (2)求{a.}的前20项和. 2021·全国新高考I卷第3页（共8页） 18.(12分) 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A,B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选 择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答正确则从另一 类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个 问题回答正确得20分，否则得0分：B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.已 知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答 问题的概率与回答次序无关， (1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列： (2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由， 2021·全国新高考I卷第4页（共8页） 19.(12分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知B=uc,点D在边AC上，BDsin,∠ABC=asin C. (1)证明：BD=b: (2)若AD=2DC,求cos∠ABC. 2021·全国新高考I卷第5页（共8页） 20.(12分) 如图，在三棱锥ABCD中，平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O为BD的中点. (1)证明：OA⊥CD: (2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE=2EA,且二面角EBCD的大 小为45°，求三棱锥ABCD的体积. 2021·全国新高考I卷第6页（共8页） 21.(12分)》 在平面直角坐标系xOy中，已知点F(-√17,0)，F2(17,0),点M满足|MF,|一|MF2=2. 记M的轨迹为C. (1)求C的方程： (2)设点T在直线x=上，过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点，且|TA· TB=|TP·ITQ,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和. 2021·全国新高考I卷第7页（共8页） 22.(12分) 已知函数f(x)=x(1一lnx). (1)讨论f(x)的单调性： (2)设a,b为两个不相等的正数，且加a一ah6=a一6，证明：2<日+<c 2021·全国新高考I卷第8页（共8页）10将最+芳1 令0)=0，解得-号我=一受（会去 x”+3y2=362. 当x变化时，(x),u(,x)的变化情况如下表： 联立 [y=kx+m, x2+3y2=32. 整理得(3k2+1)x”+6km.x+3m2-32-0. 2 2,+o :直线1与椭圆相切， a'(x) 0 + .△=36k2m2-4(3k2+1)(3m2-3b2) =36k262-12m2+1262=0, u(r) 极小值 点M- ·》 就)的最小值为( =2(v2-1)em 由10M=10N可知962m2+m (362+1)F=n2, 下面只需运明22-10e>e,脚2-1De-1>2 易得m≠0，解得k2= 3 记函数u(x)=er一x一1， 当x>0时，有v'(.x)=e‘-1>0,则(x)在(0，十∞)上单 即=土尽 -3 调递增，进而(x)>v(0)=0.即c>x+1, 3km 所以（√2-1）匹-1>（√2-1）X(√2-1+1)=2-√2> =3. 2,故命题得证 1 解得m2=4. 由36k262-12m2+12b2=0得1262-48+12b=0,解得 证法二：下面证sin2x<x,x>0, b2=2. 令p(x)=x-sin2x,则9'(x)-1-sin2.x≥0， 橘圆的方程为后+号1 所以g(x)单调递增，则p(x)>g(0)=0,即sin2x<x. 下面证e≥ex,.x>0, 20.解：(1)：了(x)=e-aco8x, 令t(x)=e'-er,则t'(x)=e-e, ∴.f(0)=1-a. 当0<x<1时，1'(x)<0,t(x)单调造减： 又f(0)=1,.函数y=f(x)在(0，f(0)处的切线方程为 当x>1时，(x)>0,1(x)单调递增， y=(1-a)x+1. 所以t(x)≥t(1)=0,即e≥er,即e2r≥2er (Ⅱ)(I)当a=0时，f(x)=e 由题可得f(x)=g(x),即e=b(x≥0) simx+x>r+x2z≥2x 当x=0时，等式不成立，故x>0,即b=二(>0). ∴a2+b2>e 2021年普通高等学校招生全国统一考试 e(e-) (全国新高考I卷) 令h工)号，h'()3 x h()在(0，)上单洞递减，在（分，十∞）上单润 1.B由题意可得A∩B={2,3},故远B. 2.C因为复数x=2一i,所以=2十i,所以（十i)=(2-i) 递增， (2+2i)=6+2i,故选C. ∴h(x)≥h(2）=V②cbe[v②，+oo) 3.B设圆锥的母线长为l,则×π=2x×2,所以I=2V2, (iⅱ)证明：由题可得f(x)=g(x)有解， 故选B 即e-asin x=b:(x>0),整理得e=bW+asin. 4.A令2kx-受<x-百<2kx+受k∈乙，解得2m-号≤ 由柯西不等式得(a2+b2)(sin2x十x)≥(asin r十bF)2 =e2r. <2kx+k∈么.令=0，得-晋≤<行故选A .a2+b2≥ sin). 5.C由题意可知，MF1|+MF2=6,所以|MF1|· 证法一：记p(x)=x-sinx(x>0),有p'(x)=1-cosx 1MR,≤(MF,十MF)=9,当且仅当1MR,1= 2 ≥0，则p(x)是增函数，故当0<x<π时，p(x)>p(0)= |MF2=3时，等号成立，所以MF1|·|MF2的最大值为 0,即0<sinr<r,进而有0<sin2x<x2. 9,故选C. 又当x≥π时，有0≤sin2x≤1<x2,所以对x>0,世有0 sin 0(1+sin 20)sin 0(sin 0+cos 0)2 ≤sin2x<x2. 6.C =sin 0(sin 0+ sin 0+cos 0 sin 0+cos 0 因此a2+≥ e2r sin20 sin 0 sin2x+r r2+x cos )sin+sin ocos a cos cos o tan2g+tan o 记函数u(r)=e2 x2+x>0, sin20+cos20 sin20+1 tan20++1 c0s20 则w(x)=e(2r2-1) (x2+.x)2 子号故选C 数学答案-55 7.D设切点为(x0w),由题意得y'=e,所以曲线y=e12.BD对于选项A,如图1，当A=1时，BP=BC十：BBi, 在点(x0,o)处的切线方程为y一e,=eo(x一x0).又因 即CP=:BB1,此时点P在线段CC1上运动，△AB1P的 为点(a,b)在此切线上，所以b-e=eo(a一To),整理得 周长会国点P的运动而发生变化，故选项A错误：对于选 b=(a-x0+1)e.令f(x)=(a-x+1)e,则f(x)= 项B,如图2，当A=1时，BP=入BC十BB1,即B1P= (a-x)e,当x<a时，f(x)>0,函数f(x)在(-o∞，a)上 ABC,此时点P在线段B1C1上运动，三棱锥PA1BC的 单调递增：当x>a时，(x)<0,函数f(x)在(a,十oo)上 单调递减，所以函数f(x)在x=(处取得极大值，极大值 体积不会因点P的运动而发生变化，故选项B正确：对于 为f(a)=e,且当x→十oo时，f(x)→一oo,当r→一o© 选项C,如图3，当A=时，B丽=BC+xBB,分别取 时，f(x)→0.因为过点(a,b)的切线有两条，即方程b= BC,B1C的中点E,F,此时点P在线段EF上运动，当，点 (a一x0十1)eo有两个不等实根，所以0<be“,故选D. P在点F处时，A1PLBP:当点P不在点F处时，若A1P 8.B由题意可知，甲表示事件“第一次取出的球的效字是 ⊥BP,只需AP在平面BCC1B1上的射影PF与BP垂 1”,记为(1，i),i=1,2,…,6:乙表示事件“第二次取出的球 直即可，当且仅当点P在点E处，满足题意，故选项C错 的数字是2”，记为(j,2),j=1,2,…,6；丙表示事件“两次 取出的球的数字之和是8”，记为(m,n),m,n=1,2,…,6, 误：对于选项D,如圈4，当=时，B驴-入BC+BB, 且m十=8：丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”， 分别取BB1,CC中点M,N,此时点P在线段MN上运 动，因为AB⊥AB1,只需A1B在平面BCC1B1上的射影 记为(p9),p1=1,2,…,6,且p十g=7,则P甲=5= 366 BD与B1P垂直即可，当且仅当点P在点N处时，满足 Pe-6-名Pa-0P-品-g,PrA=0,Pr 题意，故选项D正确，故选BD, 1 1 36P之两=36P丙T=0,Pp·P两≠P甲两P甲·Pr P甲T:P无·P两≠P元丙：P两·P≠P丙T·故选B. 9.CD由样本平均数的概念可知，新样本数据平均数与原样 本数据平均数满足y=x十c,故选项A错误：因为y= x;十c,所以两组样本数据的中位数y中=x中十c,故选项B B B 错误：易知两组数据的样本标准差和样本极差均相同，故 图1 图2 选项C,D正确，故选CD. 10.AC对于选项A,1OP1|=√cosa+sin2a=1.OP2| √cosB+(-sin)2=1,所以|OP1|=OP2|,故选项A 正确：对于选项B,若。=0，月=受，AP=0≠2 C AP,故选项B错误；对于选项C,OA.OP-1Xcos(a D B 出 +)+0Xsin(a十B)=cos(a十B),OP1·OP2=cos acos3 图3 图4 -sin asin=cos(a+B,所以OA.OP=OP·OP,故 13.1由题意可知函数的定义城为R,且f(x)为偶函数，即 f(-x)=(-x)3·(a·2-1-2r)=-x3(a·2-r-2) 选项C正确：对于选项D,OA·OP1-1 X cos a十0Xina =x3(-a·21十2)=f(x)恒成立，所以a=1. =cos a,OP2.OP3=cos Bcos(a+8)-sin Bsin(a+B)= 14.x= cos(B十a十B)=cos(a十2B),故选项D错误，故选AC 2 不妨设p(台，p),Q(r,0).周为PQLOP,所 1山.ACD由直线方程的藏距式可知，直线AB的方程为 以p.o币-(-台-p小·（台p）-(-) +兰=1，即+2y-4=0.设圈心为M,则圆心M(5,5) p2=0,即号x-号p2=0,解得=号A.又FQ1=6,即 到直线AB的距离为5+2X5-4=马，所以圆上点 P一D=6,解得力=3，所以热物线C的准线方程为工 5 √12+2 5 P到直线AB的距离的取值范圈为「-4，+4.因为 5 十4<10，-4<2，故选项A正确，选项B错误：当 2x-1-21nx,x>号 2 15,1由题意f(x)= 5 1-2x-0c< 当2 ∠PBA最小时，直线BP与圆M相切，|BM|= √(5-0)2+(5-2)z-3L.在Rt△MPB中，|PB|= 时=2是=2是，则当xe[合时f) √34一16=3vZ,故选项C正确；当∠PBA最大时，直线 0,所以)在[2)上单润递减：当re1,十∞)时， BP与国M相切，BM1=√(5-0)2+(5-2)=√34.在 f(x)>0,所以f(x)在(1，十o○)上单调递增，所以当x≥ Rt△MPB中，|PB=√/34一16=3√2，故选项D正确， 故选ACD. 2时，函数f)m=)=1:当0<r<号时，f(x) 数学答案-56 -2-2=二22，则当x∈(0，)时fx)<0,所以 0 20 100 x f)在(0，）上单调通减，所以当0<x<时，画教 P 0.2 0.320.48 (Ⅱ)假设先答B类题，得分为Y, fx)>f(号）=21n2=ln4>1.所以函数fx)的最小值 则Y可能为0,80,100， 为1. P(Y=0)=1-0.6=0.4, P(Y=80)=0.6×(1-0.8)=0.12, 152w0(3") 记对折”次可以得到不同规格的图 P(Y=100)=0.6×0.8=0.48. 形的种数为a#依题意a1=2.a2=3,对折3次，可以得到 Y的分布列为 2.5dm×12dm,5dm×6dm,10dm×3dm.20dmX Y 0 80 100 L.5dm四种规格的图形，即aa=4,对折4次，可以得到 P 0.4 0.120.48 1.25dm×12dm,2.5dm×6dm,5dm×3dm,10dm× 1.5dm,20dm×0.75dm五种规格的图形，即a4=5,则 ∴.E(Y)=0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6, 数列{am}的通项au=n十1.记对折n次可以得到不同规 由(I)可知E(X)=0×0.2十20×0.32+100×0.48= 格的图形的面积之和为Sm,依题意有S1=2×120=240, 54.4, S2=3×60=180,S3=4×30=120,S4=5×15=75,所以 .E(Y)>E(X),应选答B类题. 教列5的通项S=120(m+1(合）.则含5 AC AB 19.解：(I)证明：在△ABC中，sn2 ABC-sin C·① BDsin.∠ABC=asin C, 120[2x1+(3x号）+(4×)+…+(m×2)十 ..BD sin C sin,∠ABC' ② m+1×]所以22s=120[(2x号)+(3x) 联立①得部-C,即a=b:BD. +(以)+…+(×2)+(n+1)×],两式作差 .b2=ac,..BD=b. 得22s=120[2×D+(1×2）+(1×是)+(1× 2b 2)+…+(1×)-(a+0×]=120[2+ (1-2) 1-7 (a+10×0]=120[3-动-a+ (Ⅱ)若AD=2DC, △ABC中，cosC=a2+B2-c2 ③ ×】=120(3-"实)片以2s=240(3-") 2·a·b' 17.解：(1)2n为偶数， △BCD中，cosC= ④ 则a2w+1=a2m十2a2n+2=a2m+1十1， 2a…号 .a2m+2=a2m+3,即bn+1=bn十3， ③=④ 且b=a2=a1+1=2, ∴{bn}是以2为首项，3为公差的等差数列， a2+-2)=3[a2+(台）-] ∴.b1=2,b2=5,bn=3n-1. (Ⅱ)当n为奇数时，aw=aut1一1， 垫理得。2+-2=3a2+答-36， ∴.{am}的前20项和为 2a2-号b2+c2=0. a1十a2+…十a20=(a1十ag+…十a1s)+(a2十a4十…+ .b2=ac, a20） .6a2-11ac+3c2=0, =[(a2-1)十(a4-1)+…十(a0-1)]+(a2十a4十…十 a20） 即a=成a= =2(a2十a4+…+a2o)-10. 由(1)可知， 若a=号时=ac=后 a2十a4十…+a20=b1十b2+…+b1o 则cos∠ABC=0+2-b =2×10+10X9×3=15. 2·a·c 2 12 ∴.{am}的前20项和为2×155-10=300. 片+c2-3g9 18.解：(I)X的取值可能为0,20,100， 22 P(X=0)=1-0.8=0.2, P(X=20)=0.8×(1-0.6)=0.32, P(X=100)=0.8×0.6=0.48, ∴X的分布列为 若a=3 2c b2=ac= 数学答案-57 则cos∠ABC=42+c2-b 2·d·c 六16-2+(f-21x-子好-2+1n-16=0, 是+- k子-2k1n 7 .x1十x2= k-16 3c2 3c2-12 20.解：(I)证明：：AB=AD,O为BD中点， 宁好+-a+16 ∴.AO⊥BD, k-16 ,AOC面ABD,面ABD⊥面BCD且面ABD∩面BCD -BD. 1TA=+(-): ,,AO⊥面BCD,.AO CD. TB=V+(-2）, (Ⅱ)以O为坐标原点，OD为y轴，OA为：轴，垂直OD 且过O的直线为x轴， TA1·1TB=1+(知-2)(-2） (n2+12)(1+k7) k好-16 设PQ:y-n=ka(x-: 月理TP·7Q=+2+ k经-16 :|TA·|TB=|TP·|TQ, 设C停70）.D01.0.B0,-1.0.A0.0m +。计6 17 o,号号小 -16=经-16，即好=k经， :k1≠k2, 丽=(o,-青-号，心-（停，号o .k1十k2=0. 22.解：(I)f(x)=x(1-lnx),x∈(0，+∞) 设n1=(x1,y1,1)为面EBC法向量， ∴.f(x)=1-lnx-1=-lnx 成m1=-y-号m1=0, 2 .x∈(0,1)，f(x)>0. x∈(1.+），f(x)<0, ∴f(.x)在(0,1)单调递增，f(x)在(1，十o∞)单调递减。 (l)证明：由lna一alnb=a一b, 12y1十m=0, 得-n+n古片日 1=1-1 a x1+√3y=0, 令1=11=- m1=一3， 卑(-n)=1-n) 则x1,x2为f(x)=k的两根，其中k∈(0,1) 面BCD法向量为OA=(0,0,m), 不妨令x1∈(0,1)，x2∈(1，e),则2-x1>1. 先证2<x1十x2,即证x2>2一x1 cos(m,0A)= ,解得m=1, 即证f(.x2)=f(x1)<f(2-x1) 令h(x)=f(x)-f(2-x) .OA=1. 则h'(x)=f(x)+f(2-x) Saan=号×BDX0A=7X2X1=1. =-In .r-In(2-x) =-ln[x(2-x)] VA-n=言·SaAm·.= 1 x∈(0,1)，.x(2-x)∈(0,1). 61 ,h'(x)>0恒成立，.h(x)h(1)=0. 21.解：(I)1MF1-MF2=2, .f（x1)<f(2-x1),.2<x1十x2得证. .轨迹C为双曲线右半支，c2=17,2a=2, 同理，要证x1十x2<e, .a2=1,2=16, 即证f(x2)=f(x1)>f(e-x1). 令e(x)=f(x)-f(e-x),x∈(0,1) 则p'(x)=-ln[x(e-z)], (I)设T(合小 令g'(xo)=0,r∈(0，x0),9'(x)>0, x∈(.x0,1),g'(x)<0, 设AB:y-n=(x-）: 又x>0,f(x)>0,且f(e)=0, 故x0,g(0)=0,p(1)=f1)-f(e-1)>0 (x)>0恒成立， 联立 x1十x<e得证. 2<+6<e 数学答案-58