10.数学·2023年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)-【名校强基卷】2020-2024年5年高考数学真题汇编

所以f(x)在(x1,x2)上存在唯一零点，不妨设为x6,则 反证，假设存在正整数K,使得Sr≤一m, X1<x52 则Bx一AK≤-m,B,一AK>0,可得brk+1=B 此时，当x1<x<x5时，f(x)<0,则f(x)单调递减：当 B,.=(B,1-AK)-(Bx-AK)>m, x5<x<r2时，(x)<0,则f(x)单调递增： 这与brk,∈1,2.m}相矛盾，故对任意1≤n≤m,n∈ 所以f(x)在(x1,x2)上有一个极小值点： N,均有Sw≥1一m. 当x>x2=3十√3>3时，3.x2-x3=x2(3-x)<0, ①若存在正整数V,使得SN=B,、-AN=0,即AN 所以f(x)=1-(3x2-x2)e+1>0,则f(x)单调递增， =Brx· 所以f（x)在(x2,十o∞)上无极值点： 可取r=p=0,q=N,s=rN,使得Ap十B,=Ag十B,: 综上：f(x)在（一∞，0）和(x1,x2)上各有一个极小值点， ②若不存在正整数N,使得SN=0, 在(0,1)上有一个极大值点，共有3个极值点. 因为Sn∈{一1，一2，…，1-m},且1≤n≤m, 答案：(1)a=-1,b=1 所以必存在1≤X<Y≤m,使得Sx=Sy, (2)答案见解析(3)3个 即B,-Ax=B,一Ar,可得Ax+B,=Ay十B, 21.解析：【小问1详解】 可取p=X,s=Y,g=Y,r=rx,使得Ap十B,=Ag十B,: 由题意可知：A0=0,A1=2,A2=3,A3=6,B0=0,B1= 综上所迷：存在0≤p<g≤m,0≤r<≤m使得Ap十B, 1,B2=4,B3=7, A2十B. 当k=0时，则B0=A0=0,B:>A0,i=1,2,3,故r%=0: 答案：(1)r0=0,r1=1,r2=1,r3=2 当k=1时，则B<A1,B1<A,B>A1,i=2,3,故n=1: (2)rm=n,n∈N 当k=2时，则B≤A,i=0,1.B>A2,B>A2,故=1： (3)证明见详解 当k=3时，则B,≤A3,i=0,1,2.B3>Aa,故r3=2: 2023年普通高等学校招生全国统一考试 综上所迷：r%=0,r1=1,r2=1,r3=2. (天津卷) 【小问2详解】 由题意可知：rm≤m,且rm∈N, 1.A由题可得CuB=(3,5,所以CBUA={1,3,5,故 因为am≥1，bm≥1，则Am≥a1=1,Bm≥b=1,当且仅当n 选A =1时，等号成立， 2.B由a2=b2得a=±b,由a2+b=2ab得(a-b)2=0,即 所以r%=0,r1=1, a=b,所以“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分条件， 又因为2r≤r:-1十r+1,则r+1一r:≥r:一ri-1,即rm 故选B. rm-1≥rm-1-rm-2≥…≥r1一r0=1, 3.D因为y=1.015在R上单调递增，所以1.016>1. 可得r+1一r≥1， 0105.因为y=x06在(0，十∞)上单调递增，所以1.010.6 反证：假设满足r+1一rm>】的最小正整数为1≤≤m一1， >0.6.5,所以b>a>c,故选D. 当>j时，则r+1一r≥2：当≤j-1时，则r+1一r:=1,4,D由题图知，函数图象关于y抽对称，所以函数f(x)为 则rm=(rm一rm-1)十(rm-1一Tm-2)十…十(r1一r)0十r可 ≥2(m-j)+j=2m-j, 祸画数，所以排除选项A,B:对于y=5(e十e x2+2 2,y>0恒 又因为1≤j≤m-1,则rm≥2m-j2m-(m-1)=m十 成立，与函数图象不符，所以排除选项C,故选D, 1>m, 假设不成立，故r+1一Tm=1, 5.B由函数f(x)的一个周期为4可知y=sim(开x)与y 即数列{rn}是以首项为1，公差为1的等差数列，所以rm =0+1×n=n,n∈N. ms(子不特合题意，故排捺选项C.D:对于y=m(受 【小问3详解】 x小，当x=2时y=0,则直线x=2不是y=sin(乏x)的对 (i)若Am≥Bm,构建Sm=Am一B,,1≤n≤m,由题意可 称轴，故排除选项A,故选B 得：Sm≥0，且S。为整数， 6.C因为aw+1=2Sm十2①，所以a2=2a1+2,当≥2时， 反证，假设存在正整数K,使得SK≥m, an=2Sm-1+2②，①-②得am+1-am=2Sm-2Sn-1,解 则AK-B≥m,AK-B,<0,可得br1=B,1-B, =(Ak-B)-(Ak-Bs)>m: 得a+1=3a,所以数列{aa的公比g=3,即2_2a1十2 这与b,x,∈1,2，…，m}相矛盾，故对任意1≤n≤m,n∈ 3,解得a1=2,所以a4=a1g3=54,故选C. N,均有Sn≤m一1. 7.C从散点图可知，散点的分布集中在一条直线附近，所以 ①若存在正整数V,使得SN=AN-B、=0,即AN 花瓣长度和花萼长度具有相关性.又相关系数r=0.8245, 所以呈正相关，排除A,B:从样本中抽取一部分，这部分的 =Br 相关系数不一定是0.8245，排除D,故选C 可取r=p=0,g=N,s=rN,使得AD十B,=A,十B,； 8.B设点M到平面PAB的距离为hM,点C到平面PAB ②若不存在正整数N,使得SN=0, 因为Sn∈1,2m…,m-1},且1≤≤m, 的距高为hc则由已加得能子又国为PN=号P,所 所以必存在1≤X<Y≤m,使得Sx=Sy, 即Ax-B.=Ay-B,,可得Ax+B=Ay+B,· 以APN=2, tN=Vw-PN=3 SAPAN·hM 可取p=X,s=y,g=Y,r=rx,使得A十B,=Ag十B,: 吉SAB·AC (i)若Am<Bm,构建Sn=Bnm一Am,1≤n≤n,由题意可 2 得：Sn≤0，且Sm为整数， 数学答案-38 9.D由PF2=2知b=2,则可设双曲线的一条渐近线方程 解得x=一1或(a一1)x=1,欲使※式有两解，只雾a-1 为y=2x,直线PF2的方程为y=-号（红-），联立 ≠0且a-1≠-1，解得a∈[-2,0)U(0,1)U(1,2]: d ②若△>0，即a>2或4<-2，令x2-ar十1=0的两根分 at. 别为x1,x2,i.当a>2时，当x∈(-oo,x1]U[x2, 解得点P坐标为p(a,2ar 4+a24+a ,则 +oo)时，同①，※式可以等价为(1一a)x2+(2-a)x十1 =0,解得x=-1或x=1 2ac 资判断-1。品是香属于 4+a2 (-0∞，x1]U[.x2,十∞)，只需判断x2-a.x+1是否为正 kPF=- a'c =巨，解得a=区，所以双曲线的方程为2 数.当x=-1时，x2-ax十1=a十2>0，所以-1∈ 4+a3+ 《一oU[十四，满足条件：当=时2 4 一1，故选D. a+1=名品<0，所以e(-,]U[, 10.4+i 5+14i_(5+14im(2-32=52+13i=4+i 2+3i(2+3i)(2-3i) 4+9 十∞)，舍去：当x∈(x1,x2)时，※式可以等价为(1十a)x2 11.60 (2r3-)展开式的通项为T+1=C5·2x)- -（2+a)x+1=0,解释=1或纸荆斯1。 (-)）厂-(-1y20Cr-令18-=2.解得 是否属于(x1,x2),只需判断x2-ax十1是否为负数.当x =1时，x2-a.x十1=一a十2<0，所以1∈(x1,x2),满足 4,所以.x2项的系数为(-1)26-4C=60. 12.6由已知得图C的圆心为（一2,0），半径为V3,设切线方 条件：查对2-a+1品>0降以 程为y=,则2=3，解得k=士3.又曲线y= 氏(x1,x2),会去，所以当a>2时，※有两根士1，即f(x) k2+1 有两个零点，分别为1和一1.日.当a<一2时，同理可得， 当x∈(-∞，x1]U[x2,十oo)时，由※式可解得x=一1 2px(p>0)的对称性，不妨设k=√3，则切线方程为y V3.x,联立 y8,得点P坐标为P(空，22) 或当=-1时，2-a+1=a+2<0,所以 y=2pr 3 3 -1e(-,U[x+o),含去：当x=a时，2 OP√后+号=专p=8,解得p=6 4 a+1=名品>0，所以。(-，]U[a 取到的三个球都是黑球的概率为40%×25%X 5 十∞)，满足条件：当x∈(x1,x2)时，由※式可解得x=1 50%=0将三个金子混合后任意取一个球，是白球的概 1 浅xa十有，当x=1时，2-a肛+1=一a十2>0，所以 率为5X60%+4×75%+6×50%_3 15 11,舍去当时r2-ar+1=0时品 (a+1)2 0,将以∈(，满是条件，所以当a<-2时。 A正-A+号BC-Ai+号记-A=号a+号：所以 ※有两振士即了)有两个本点，分剥为上，1 a-l'a+l A正.-(a+b)·(号a+号)-ga++ 综上所述，满足条件的a的取值范图为（一o∞，0）U(0,1) U(1,十∞). 员aIb,在△ABC中，由余孩定理的粮论得 16.解：(I):在△ABC中，∠A-120,sinA= 2 日，导al-+e-1产，所以g+d b 2 由正弦定理a sin A sin B-2. <2,所以正.A-石2+日+员ab<得a2+ 得sinB=sinA 23 213 )<费当且仅当=a时等号成立，所以正，的 √3913 (Ⅱ)根据余弦定理，得a2=2+c2-2 bccos A, 最大位为是 .39=4+c2+2,.c2+2-35=0, 解得c=5或c=一7（含负）， ..c=5. (I):sinB=图 13 ,B为锐角， .cos B-V1-sin"B-239 13 15.(-∞，0)U(0,1)U(1,+∞)令f(.x)=0,可将已知条 件转化为a.x2-2x=|x2-ax+1(※)有两个根.对于 六sin2B=2 sin Bcos B=43 13 x2-ax十1.①若△≤0，即a2-4≤0，a∈[-2,2]，x2-ax +1≥0恒成立，所以等价为(1一a)x2+(2-a)x十1=0， cos 2B=1-2sin2B= 11 13 数学答案一39 又sin(B-C)=sin[B-(180°-B-A)]=sin(2B-60), .'.sin(B-C)=sin(2B-60) 由的对性可知P(，-2)。 =sin2Bcos60°-cos2Bsin60° =-73 从而直线A:P的方程为y=写(。一2， 26 17.解：(I)证明：连接MN. 由题易知AG∥AC且A1C=2AC.MN∥AC且MN 雄上，直线A:P的方为y=-:+5或9一-瓜 =2AC. 19.解：(I)设{am}公差为d, 则a5-a3=2d=4,故d=2. ∴.AC4MN. 由a2十as=2a1十5l=16,解得a1=3, .四边形ANMC为平行四边形， 所以{am}的通项公式为am=a1+(n-1)d=2n+1. .AN∥CM. ,A1N过平面C1MA,C1MC平面C1MA, 包a,=ag+ag+1十+a2 1- ∴.A:N∥平面CMA. =(2×2"-1+1)+[2×(2”-1+1)+1]+…+[2×(2" 1)+1] B =2x2”1+2”-10X2- +2m-1×1 2 =3·4m-1 (Ⅱ)(1)证明：因为24-1≤n≤2-1. y 所以2*+1≤an≤2+1-1. 因为2-l≤n≤2-1是b<an<bu+1的充分条件， (Ⅱ)以A为坐标原点，AB,AC,AA1所在直线分别为x, h+1>2+1-1. y,z轴建立空间直角坐标系， be+i>(a)m',即 故 b<(an)min b4<2+1, 则A(0.0.0),M(1,1,0),C1(0,1,2) 所以当k>≥2时，2一1<b<2+1. 则AM=(1,1,0),AC1=(0,1,2). (i)由(1)得，2+1-1<bn+1<2m+1+1, 设平面C1M的法向量为m=(x,y,:), 则201-162+1+1 |AM·m=0, x十y=0, 2n+1ba2R-1 即《 AC·m=0,y+2x=0, 即2- 3 <<2+3 2+1bw 2”-1' 令x=2,则y=-2,x=1, .m=(2,-2,1), 当时22822 易知平面ACC1A1的一个法向量为n=(1,0,0), 设平面CMA与平面ACC1A1所成角为0， 所以纪-2易得=2 期m-沿行子 2 2 故{bm}的通项公式为bn=2"(n∈N), 平面CM与手面ACCA所成角的会孩值为号 所以6，的育n项和5，-2二2-21-2 20.解：(1)f(x)定义战为(-1,0)U(0,+∞)， (Ⅲ)结合（Ⅱ）知AC=(0,2,0), 设点C到平面C1MA的距离为d, f(x)=- nx+1D+(2+号) 则d 1AC·m4 3· af2)=号-n3 m 18.解：(I)依题意得a+c=3,a一c=1, :曲线y=)在x=2处切线的斜率为日一n3 所以a=2,c=1. (Ⅱ)证明：当x>0时，欲证明f(x)>1, 又2=a2-c2=4-1=3, 将以精福方和为号+号1：高心单：=宁 只需强明1a+1)千2>0， (Ⅱ)不妨设点P在第一象限 令=lacr+D->0. 因为S△APR=2S△A,P, 又S么AP=3S△AFP,所以S△A,A,P=25△A,Q: 则r)=0r+1)r+2>0, u(.x)在(0，十o∞)上单调递增， 所以1A:P=2PQ1,P(号.2). .u(x)>u(0)=0,即f(x)>1成立. 从而，直线A2P的方程为y=一 (x-2),即y=- 6 (Ⅲ)证明：设g(n)=lh(n)-（n+)n(n）+n, 十√6，若点P在第四象限. 由()知（分）>1. 数学答案一40 ∴gm)-gm+D=(+2)n(1+）-1>0. 4.C由题意，棱台的下底面面积为140.0km2=1,4× 10sm2,上底面面积为180.0km2=1.8×108m2,高为 即g(n)是一个单调递减的数列， .Hn∈N°，g(n)≤g(1)=1 157.5-1485=9(m,所以棱台的体积为号×(1.4X10 铁运明>音， +√1.4×103×1.8×108+1.8×108)×9=3×(3.2×108 +6√7×107)≈1.4×10°(m3),即增加的水量约为1.4× 家网到不等式（生+号）la(+1D-1<>0. 10°m3,故选C 5.D在2,3,4,5,6,7,8这7个整数中随机取2个不同的 数，共有C导=21（种）等可能的结果，其中这2个敦互质的 结果有(2,3)，(2,5)，(2,7)(3,4)，(3,5)，(3,7)，(3,8)， ,需证明ln(x十1) (2+12)x<0. (4.5),(4,7),(5,6),(5,7),(5,8),(6,7),(7,8)共14种结 6(x+2) 令h(x)=ln(x十1) (2+12)x(x>0), 果，所以这2个数互质的概率为贵-号，故选D 6(x+2) x3(x十4) 6.A 由题知，)的最小正周有T-(>0),所以经< 则h'(x)= 3(x+1D(x+2)<0, .h(x)在(0，十o∞)上单调递减，即h(x)<h(0)=0, 石<，所以2<<3.因为y=x)的因像关于点（受，2） 不等式成立 中心对特，所以受。十号=mC今=.解程 当≥2时.(a+)n(1+）-1<2<位 b=2, 5 马》 交所以f)=sim(受+）+2.则f(受）=sn b=2, g1)-g2)=2n2-1, (+开）+2=1，故选A g2)-83)-(2+2)n1+2）-1<1-). .C令fx)=,gx)=产hx)=-lh1-x),则 g(n-1)-g(a)=(n-2)in(1+n）-1<最× In f(r)-In g(F)-In(re)-nj-+nx-[lns- ln(1-x)]=x+ln(1-x.令n(x)=r+ln(1-x),x∈(0， (2 1.=1-亡 二工<0，所以函数n(x)=x十 以上各式相加可得， 1n(1一x)在(0,0.1]上单调递减，所以n(x)<0,所以 g)-g()<2n2-1+(1-+号- f(x)<g(x),即b>a:令m(x)=f(x)-h(x)=xe'+ 3 1 1n1-x),x∈(0,0.1]，则m'(x)=xe+e-1-x 2n2-1+ 1+x)1-x)e-1,令k(x)=(1+x)(1-x)e-1,所以 1-x 又：g1)=1∴g(m> 5 k'(.x)=(1-x2-2x)e>0,所以函数k(x)在(0,0.1]上单 调递增，所以k(x)>k(0)=0,所以m(x)>0,所以函数 综上所遂，吾<1n(nI)-(n+）ln(m)+n<1(a∈N) m(x)在(0,0.1]上单调递增，所以m(x)>m(0)=0,所以 f(.x)>h(x),即a>c.综上所述，b>a>c,故选C. 2022年普通高等学校招生全国统一考试 (全国新高考I卷) 品.C设该球的丰径为R,则V集=智R=36x,解得R=3,记 正四棱雏高与侧棱夹角为日，高为，底面中心到底面各顶 1.D由题知，集合M={x0≤x<16},集合N={x 点的距满方如周m0-安台[合]则 吉所以MnN=号长x<I6选D -6cos 0,m-l.sin 0-6sin Ocos 0.hm6sin 0cos tan sin 6 cos 0 2.D由题知，复数=1-}-1十i,所以=1-i,所以十行 =6cos0.S%=号×2m×2m=2m2,故V=专S度·h= =2,故选D. 3.BD=C市-C.DA=Ci-CD.BD=2Di,所以CD 号×2m2.h=144(sin0cos20)2,令y=sin6os0=sin0 CB=2(CA-CD),所以CB=CD-2CA+2CD=-2CA (1-sin0),令r=sin0,则y=x(1-x2)=-x3+x,x +3CD=-2m十3n,故选B. me[2]y=-3x+1,故x[2>0, e(停]y<0.即V=142.=14× [-()'+]-v=14×[-()'+] 平，t选C 数学答案一41绝密★启用前 2023年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 即 1.已知集合U={1,2,3,4,5},A=1,3},B={1,2,4},则CBUA= 郑 A.{1,3,5} B.{1,3 C.{1,2,4 D.{1,2,4,5} 2.“a=b2”是“a2+b2=2ab”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 非 3.若a=1.015,b=1.01°，c=0.6.5,则a,b,c的大小关系为 A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c 4.函数f(x)的图象如下图所示，则f(x)的解析式可能为 0 A.5(e'-e) x+2 B.5sin x2+1 C.5(e'te) D.5cos x2+2 x2+1 蜜 5.已知函数f(x)的一条对称轴为直线x=2,一个周期为4，则f(x)的解析式可能为 () A.sin(受) Reos(受r) C.sin(于x） D.cos() 6.已知{a.}为等比数列，S。为数列{an}的前n项和，aa+1=2S。十2，则a,的值为 A.3 B.18 C.54 D.152 2023·天津卷第1页（共4页） 7.调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数r=0.8245,下列说法正确 的是 化蒲长度 花尊长度 A.花瓣长度和花萼长度没有相关性 B.花瓣长度和花萼长度呈现负相关 C.花瓣长度和花萼长度呈现正相关 D.若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245 &.在三校锥P-ABC中，线段PC上的点M满足PM=专PC,线段PB上的点N满足PN=号 PB,则三棱锥P一AMN和三棱锥P一ABC的体积之比为 A司 B号 c 9.双曲线乙-(>0，b>0)的左右焦点分别为FF过F作其中一条渐近线的垂线，垂 为P.已知PF,=2,直线PF,的斜率为2 4 则双曲线的方程为 c号- 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部 答对的给5分. 10,已知是虚数单位，化简的结果为 11.在(2x3一)°的展开式中，x项的系数为 12.过原点的一条直线与圆C:(x+2)2十y2=3相切，交曲线y=2p.x(p>0)于点P,若|OP= 8,则p的值为 13.甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5：4：6.这三个盒子中黑球占 总数的比例分别为40%，25%，50%.现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的 概率为 :将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为 2023·天津卷第2页（共4页） 14.在△ABC中，∠A=60°，BC=1,点D为AB的中点，点E为CD的中点，若设AB=a,AC=b, 则AE可用a,b表示为 :若B=BC,则A正.AF的最大值为 15.若函数f(x)=a.x-2.x一|x2一a.x十1有且仅有两个零点，则a的取值范围为 三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.. 16.(14分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分別是a,b,c.已知a=√39，b=2,∠A=120°. (1)求sinB的值； (2)求c的值； (3)求sin(B-C). 17.(15分)三棱台ABC-A1B,C1中，若A1A⊥面ABC,AB⊥AC,AB=AC=AA1=2,AC1=1, M,N分别是BC,BA中点. (1)求证：AN∥平面C,MA; (2)求平面C,MA与平面ACC1A,所成夹角的余弦值： (3)求点C到平面C,MA的距离 2023·天津卷第3页（共4页） 8.(15分)设椭圆大” +方=1(a>b>0)的左右顶点分别为A,A,右焦点为F,已知1A,F=3, |AF=1. (1)求椭圆方程及其离心率： (2)已知点P是椭圆上一动点（不与端点重合），直线A,P交y轴于点Q,若三角形A,PQ的 面积是三角形A2FP面积的二倍，求直线A,P的方程. 19.(15分)已知{an}是等差数列，a2十a5=16,a一ag=4. (1)求a,的通项公式和空4. (2)已知{b.}为等比数列，对于任意k∈N,若2-1≤n≤2-1，则b<an<b+1, (1)当k≥2时，求证：2一1<b<2十1： (Ⅱ)求(b.}的通项公式及其前n项和. 20.(16分)已知函数fx)=(子+2n(x+1). (1)求曲线y=f(x)在x=2处切线的斜率； (2)当x>0时，证明：f(x)>1: (3)证明：君<ln(n)-(a+号)ln(m)+n≤1. 2023·天津卷第4页（共4页）