专题2.2 实数综合经典解答题（四大题型）-2024-2025学年八年级数学上册《重难点题型•高分突破》（北师大版）

专题2.2 实数综合经典解答题（四大题型） 重难点题型归纳 【题型01：根据平方根和立方根性质求X】 【题型02：平方根和立方根的综合】 【题型03：实数中的新定义问题】 【题型04：实数中的材料阅读题】 【题型01：根据平方根和立方根性质求X】 1．求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 2．求的值． (1)； (2)． 3．求下列各式中x的值． (1) ； (2) ； (3)； (4)． 4．解方程 (1)； (2) 5．求下列各式中的： (1)； (2) 6．求下列各式中的x的值： (1)； (2)． 【题型02：平方根和立方根的综合】 7．已知一个正数x的平方根分别为a+2和a+6，求这个正数x的值． 8．一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣3和5﹣a． （1）求a和x的值． （2）求x+12a的平方根． 9．已知3m+1的平方根是±5，5n﹣m的立方根是3． （1）求m﹣n的平方根； （2）若4a+m的算术平方根是4，求3a﹣2n的立方根． 10．已知6a+3的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4． （1）求a，b的值； （2）求b2﹣a2的平方根． 11．已知6a+34的立方根是4，5a+b﹣2的算术平方根是5，c是9的算术平方根． （1）求a，b，c的值； （2）求3a﹣b+c的平方根． 12．已知2a﹣1的平方根为±3，a﹣2b+1的立方根为2，求的值． 13．如果一个正数m的两个平方根分别是2a﹣3和a﹣9，n是﹣1的立方根． （1）求m和n的值． （2）求m﹣11n的算术平方根． 14．已知2m﹣1的算术平方根是3，3m+n+4的立方根是2． （1）求m，n的值； （2）求m﹣n的平方根． 15．已知3x﹣1的立方根是2，x+y﹣1的算术平方根是3． （1）求x，y的值； （2）求2xy+7的平方根． 16．已知一个正数x的两个平方根分别是a+1和2a﹣7． （1）求x的值； （2）若b为x+7的算术平方根，c为a+25的立方根，求代数式c﹣b的值． 17．已知正数x的两个平方根分别是3a﹣1和a+5，负数y的立方根与它本身相同． （1）求a，x，y的值； （2）求x﹣9y的算术平方根． 【题型03：实数中的新定义问题】 18．计算：定义新运算：对于任意实数a，b，都有a※b＝a+b2． 例如：7※4＝7+42＝23． （1）求5※3的值； （2）求13※（1※）的平方根． 19．对于任意实数a、b，用“※”定义新运算如下： （1）a※b＝b2+a．如7※4＝42+7＝23．已知2※m的结果是6，求m的值． （2）a※b＝b3+a．如7※4＝43+7＝71．已知4※（n﹣2）结果为﹣508，求n的值． 20．我们规定用（a，b）表示一对数对，给出如下定义：记m＝，n＝（a＞0，b＞0），将（m，n）与（n，m）称为数对（a，b）的一对“对称数对”．例如（4，1）的一对“对称数对”为（2，1）与（1，2）． （1）数对（25，4）的一对“对称数对”是 　　和 　　； （2）若数对（x，2）的一对“对称数对”的一个数对是（，3），求x的值． 21．阅读材料： 我们定义：如果两个实数的和等于这两个实数的积，那么这两个实数就叫做“和积等数对”．即：如果a+b＝a×b，那么a与b就叫做“和积等数对”，记为（a，b）． 例如：2+2＝2×2，，，则称数对（2，2），（，﹣1），（3，）是“和积等数对”． 根据上述材料，解决下列问题： （1）下列数对中，“和积等数对”是 　　（填序号）； ①（﹣，2） ②（，5） ③（﹣1，2） （2）如果（x，4）是“和积等数对”，请求出x的值； （3）如果（m，n）是“和积等数对”，那么m＝　　（用含n的代数式表示）． 22．定义新运算：对于任意实数a，b，都有a※b＝a+b2，例如7※4＝7+42＝23． （1）求5※4的值． （2）求7※（1※）的平方根． 23．在实数范围内定义一种运算“※”，a※b＝a2﹣b2． （1）求1※（﹣3）的值； （2）求方程（x+3）※5＝0的解． 【题型04：实数中的材料阅读题】 24．阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分．又例如：∵，即，∴的整数部分是2，小数部分为． （1）的整数部分是 　　，小数部分是 　　； （2）若m，n分别是的整数部分和小数部分，求3m﹣n2的值． 25．阅读理解 ∵＜＜，即2＜＜3． ∴的整数部分为2，小数部分为﹣2 ∴1＜﹣1＜2 ∴﹣1的整数部分为1． ∴﹣1的小数部分为﹣2 解决问题：已知：a是﹣3的整数部分，b是﹣3的小数部分， 求：（1）a，b的值； （2）（﹣a）3+（b+4）2的平方根． 26．阅读材料： 和为整数，4﹣1＝3＝2×1+1； 和为整数，9﹣4＝5＝2×2+1； 和为整数，16﹣9＝7＝2×3+1； … 小明发现结论：若和为相邻的两个整数，其中a＜b，则有b﹣a＝2+1．并给出了证明： 根据题意，得． 等式两边同时 　　，得 　　＝b． 整理得b﹣a＝2+1． 请根据以上材料，解决以下问题： （1）请补全小明的证明过程． （2）若和 为两个相邻整数，则a＝　　． （3）若和 为相差4的两个整数，求a的值． 27．阅读下面的文字，解答问题： 【阅读材料】现规定：分别用[x]和（x）表示实数x的整数部分和小数部分，如实数3.14的整数部分是[3.14]＝3，小数部分是（3.14）＝0.14；实数的整数部分是，小数部分是无限不循环小数，无法写完整，但是把它的整数部分减去，就等于它的小数部分，即就是的小数部分，所以． （1）＝　　，＝　　；＝　　，＝　　； （2）如果，，求的立方根． 28．阅读理解，并回答问题． 阅读材料1： ∵4＜5＜9，∴，即． ∴的整数部分为2，小数部分为． 阅读材料2： 对于任意实数a和b比较大小，有如下规律：若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＝0，则a＝b；若a﹣b＜0，则a＜b．我们把这种比较两个数大小的方法称为作差法． 例如：比较与的大小时，可以计算，得， ∵，∴．∴． （1）请表示出的整数部分和小数部分； （2）试判断与的大小，并说明理由． 29．阅读材料： 我们定义：如果一个数的平方等于﹣1，记作i2＝﹣1，那么这个i就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为a+bi（a，b均为实数）的形式，其中a叫做它的实部，b叫做它的虚部． 复数的加、减、乘的运算与我们学过的整式加、减、乘的运算类似． 例如计算：（5+i）+（3﹣4i）＝（5+3）+（i﹣4i）＝8﹣3i． 根据上述材料，解决下列问题： （1）填空：i3＝　　，i4＝　　； （2）计算：（2+i）2； （3）将化为a+bi（a，b均为实数）的形式（即化为分母中不含i的形式）． 30．阅读理解题： 形如a+bi的数（a，b均为实数，b≠0）叫做复数．其中的a叫做它的实部，b叫做它的虚部，i叫做虚数单位，并规定：①i的平方等于﹣1，即i2＝﹣1；②实数与它进行四则运算时，原有的加法，乘法运算律仍然成立．所以，复数的加，减，乘法运算类似于整式的加，减，乘法运算．例如：（3+5i）+（2﹣3i）＝（3+2）+（5﹣3）i＝5+2i，（1+i）×（2﹣i）＝1×2﹣1×i+i×2﹣i2＝2﹣i+2i﹣（﹣1）＝3+（﹣1+2）i＝3+i． 请类比完成以下任务： （1）填空：i3＝　　，i4＝　　； （2）计算：（3+2i）×（1﹣i）； （3）计算：i+i2+i3+i4+⋯+i2022． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 实数综合经典解答题（四大题型） 重难点题型归纳 【题型01：根据平方根和立方根性质求X】 【题型02：平方根和立方根的综合】 【题型03：实数中的新定义问题】 【题型04：实数中的材料阅读题】 【题型01：根据平方根和立方根性质求X】 1．求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)或 (3) (4)或 【分析】本题考查了平方根解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先系数化1，再开平方根，即可作答． （2）开平方根，然后再移项运算，即可作答． （3）先系数化1，再开平方根，即可作答． （4）先系数化1，再开平方根，移项运算，即可作答． 【详解】（1）解： 解得 （2）解： 解得或； （3）解： 解得 （4）解： 解得或． 2．求的值． (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题主要考查了求平方根的方法解方程： （1）根据求平方根的方法解方程即可； （2）根据求平方根的方法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或． 3．求下列各式中x的值． (1) ； (2) ； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)， 【分析】本题考查了利用平方根解方程： （1）根据平方根定义即可求解； （2）移项后，根据平方根定义即可求解； （3）化系数为1后，根据平方根定义即可求解； （4）移项后，根据平方根定义即可求解； 熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：， ． （2）移项，得：, ． （3）整理得：， ． （4）移项，得：， ， ，． 4．解方程 (1)； (2) 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了利用平方根的定义解方程，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键． （1）先移项，再利用平方根的定义求解； （2）直接利用平方根的定义求解即可． 【详解】（1）∵ ∴ ∴或； （2）∵ ∴ ∴或 5．求下列各式中的： (1)； (2) 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查利用平方根的概念解方程等知识点， （1）根据等式的性质，可得乘方的形式，根据开平方，可得方程的解； （2）根据等式的性质，可得乘方的形式，根据开平方，可得方程的解； 理解平方根的定义是解题关键． 【详解】（1） 移项，得， 开方，得， ∴； （2） 两边都除以4，得， 开方，得， ∴． 6．求下列各式中的x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或， (2) 【分析】此题考查了根据平方根和立方根的意义解方程，根据平方根和立方根的意义得到一元一次方程，解方程即可． （1）根据平方根的意义得到或，解一元一次方程即可； （2）根据立方根的意义得到，解一元一次方程即可． 【详解】（1） 根据算术平方根的意义得到，， ∴或， 解得或， （2） 根据立方根的意义得到， 解得 【题型02：平方根和立方根的综合】 7．已知一个正数x的平方根分别为a+2和a+6，求这个正数x的值． 【答案】4． 【解答】解：∵一个正数x的平方根分别为a+2和a+6， ∴a+2+a+6＝0， 解得：a＝﹣4． ∴a+2＝﹣4+2＝﹣2， ∴x＝（﹣2）2＝4． 8．一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣3和5﹣a． （1）求a和x的值． （2）求x+12a的平方根． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣3和5﹣a， ∴2a﹣3+5﹣a＝0， 解得a＝﹣2， ∴x＝（2a﹣3）2＝49． （2）将x＝49，a＝﹣2代入x+12a中，得 49﹣24＝25． ∵25的平方根为±5， ∴x+12a的平方根为±5． 9．已知3m+1的平方根是±5，5n﹣m的立方根是3． （1）求m﹣n的平方根； （2）若4a+m的算术平方根是4，求3a﹣2n的立方根． 【答案】（1）m﹣n的平方根为±1； （2）3a﹣2n的立方根﹣2． 【解答】解：（1）由题意得，3m+1＝52，5n﹣m＝33， 解得m＝8，n＝7， ∴m﹣n＝8﹣7＝1， ∵（±1）2＝1， ∴m﹣n的平方根为±1； （2）∵16的算术平方根4， ∴4a+m＝16， 即4a+8＝16， 解得a＝2； ∴3a﹣2n＝3×2﹣2×7＝﹣8， ∵﹣8的立方根为﹣2， ∴3a﹣2n的立方根﹣2． 10．已知6a+3的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4． （1）求a，b的值； （2）求b2﹣a2的平方根． 【答案】（1）a＝4，b＝5； （2）±3． 【解答】解：（1）∵27的立方根是3，即＝3， ∴6a+3＝27， 解得a＝4， 又∵16的算术平方根是4，即＝4， ∴3a+b﹣1＝16，而a＝4， ∴b＝5， 答：a＝4，b＝5； （2）当a＝4，b＝5时， b2﹣a2＝25﹣16＝9， ∴b2﹣a2的平方根为±＝±3． 11．已知6a+34的立方根是4，5a+b﹣2的算术平方根是5，c是9的算术平方根． （1）求a，b，c的值； （2）求3a﹣b+c的平方根． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵43＝64， ∴6a+34＝64， ∴a＝5； ∵52＝25， ∴5a+b﹣2＝25， 又∵a＝5， ∴b＝2； ∵32＝9， ∴c＝3； （2）把：a＝5，b＝2，c＝3代入3a﹣b+c得： 3×5﹣2+3＝16， ∵（±4）2＝16， ∴3a﹣b+c的平方根是：±4． 12．已知2a﹣1的平方根为±3，a﹣2b+1的立方根为2，求的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵2a﹣1的平方根为±3，a﹣2b+1的立方根为2， ∴2a﹣1＝9，a﹣2b+1＝8， 解得：a＝5，b＝﹣1， 则＝＝3． 13．如果一个正数m的两个平方根分别是2a﹣3和a﹣9，n是﹣1的立方根． （1）求m和n的值． （2）求m﹣11n的算术平方根． 【答案】（1）m＝25，n＝﹣1；（2）6． 【解答】解：（1）∵一个正数m的两个平方根分别是2a﹣3和a﹣9， ∴2a﹣3+a﹣9＝0， ∴a＝4， ∴a﹣9 ＝4﹣9 ＝﹣5， ∴m＝（﹣5）2＝25， ∵n3＝﹣1， ∴n＝﹣1； （2）m﹣11n ＝25﹣11×（﹣1） ＝36， ∴m﹣11n的算术平方根是＝6． 14．已知2m﹣1的算术平方根是3，3m+n+4的立方根是2． （1）求m，n的值； （2）求m﹣n的平方根． 【答案】（1）m＝5，n＝﹣11； （2）m﹣n的平方根是±4． 【解答】解：（1）∵2m﹣1的算术平方根是3， ∴2m﹣1＝9， 解得：m＝5； 又∵3m+n+4的立方根是2， ∴3m+n+4＝8， 即15+n+4＝8， 解得：n＝﹣11， ∴m＝5，n＝﹣11； （2）由（1）m＝5，n＝﹣11， ∴m﹣n＝5﹣（﹣11）＝16， ∴m﹣n的平方根是±4． 15．已知3x﹣1的立方根是2，x+y﹣1的算术平方根是3． （1）求x，y的值； （2）求2xy+7的平方根． 【答案】（1）x＝3，y＝7； （2）±7． 【解答】解：（1）∵3x﹣1的立方根是2，x+y﹣1的算术平方根是3， ∴3x﹣1＝8，x+y﹣1＝9， ∴x＝3，y＝7； （2）∵2xy+7＝2×3×7+7＝49， ∴2xy+7的平方根是±7． 16．已知一个正数x的两个平方根分别是a+1和2a﹣7． （1）求x的值； （2）若b为x+7的算术平方根，c为a+25的立方根，求代数式c﹣b的值． 【答案】（1）9； （2）﹣1． 【解答】解：（1）∵一个正数x的两个平方根分别是a+1和2a﹣7， ∴a+1+2a﹣7＝0， 解得：a＝2， 则a+1＝2+1＝3， 那么x＝32＝9； （2）∵b为x+7的算术平方根，c为a+25的立方根，x+7＝9+7＝16，a+25＝2+25＝27， ∴b＝4，c＝3， 则c﹣b＝3﹣4＝﹣1． 17．已知正数x的两个平方根分别是3a﹣1和a+5，负数y的立方根与它本身相同． （1）求a，x，y的值； （2）求x﹣9y的算术平方根． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）依题意，得3a﹣1+a+5＝0， 解得a＝﹣1， ∴3a﹣1＝﹣4，a+5＝4， ∴x＝42＝16． ∵负数y的立方根与它本身相同， ∴y＝﹣1； （2）当x＝16，y＝﹣1时，x﹣9y＝16﹣9×（﹣1）＝25， ∴x﹣9y的算术平方根为5． 【题型03：实数中的新定义问题】 18．计算：定义新运算：对于任意实数a，b，都有a※b＝a+b2． 例如：7※4＝7+42＝23． （1）求5※3的值； （2）求13※（1※）的平方根． 【答案】（1）14； （2）49． 【解答】解：（1）∵a※b＝a+b2， ∴5※3＝5+32 ＝5+9 ＝14； （2）∵a※b＝a+b2， ∴1※ ＝ ＝1+5 ＝6， ∴13※（1※） ＝13※6 ＝13+62 ＝13+36 ＝49． 19．对于任意实数a、b，用“※”定义新运算如下： （1）a※b＝b2+a．如7※4＝42+7＝23．已知2※m的结果是6，求m的值． （2）a※b＝b3+a．如7※4＝43+7＝71．已知4※（n﹣2）结果为﹣508，求n的值． 【答案】（1）m＝±2；（2）n＝﹣6． 【解答】解：（1）由题意，得2※m＝m2+2， ∵2※m＝6， ∴m2+2＝6，则m2＝4， ∴m＝±2； （2）由题意，得4※（n﹣2）＝（n﹣2）3+4， ∵4※（n﹣2）＝﹣508， ∴（n﹣2）3+4＝﹣508，则（n﹣2）3＝﹣512， ∴n﹣2＝﹣8， ∴n＝﹣6． 20．我们规定用（a，b）表示一对数对，给出如下定义：记m＝，n＝（a＞0，b＞0），将（m，n）与（n，m）称为数对（a，b）的一对“对称数对”．例如（4，1）的一对“对称数对”为（2，1）与（1，2）． （1）数对（25，4）的一对“对称数对”是 　（5，2）　和 　（2，5）　； （2）若数对（x，2）的一对“对称数对”的一个数对是（，3），求x的值． 【答案】（1）（5，2）；（2，5）； （2）9． 【解答】解：（1）∵＝5，＝2， ∴（25，4）的一对“对称数对”是（5，2）和（2，5）， 故答案为：（5，2）；（2，5）； （2）由题意可得x＝32＝9． 21．阅读材料： 我们定义：如果两个实数的和等于这两个实数的积，那么这两个实数就叫做“和积等数对”．即：如果a+b＝a×b，那么a与b就叫做“和积等数对”，记为（a，b）． 例如：2+2＝2×2，，，则称数对（2，2），（，﹣1），（3，）是“和积等数对”． 根据上述材料，解决下列问题： （1）下列数对中，“和积等数对”是 　②　（填序号）； ①（﹣，2） ②（，5） ③（﹣1，2） （2）如果（x，4）是“和积等数对”，请求出x的值； （3）如果（m，n）是“和积等数对”，那么m＝　﹣且n≠1．　（用含n的代数式表示）． 【答案】（1）②；（2）x═；（3）m＝﹣且n≠1． 【解答】解：（1）①∵2+（﹣）≠2×（﹣），故不是； ②∵+5＝×5，故是； ③﹣1+2≠（﹣1）×2，故不是． 故答案为：②． （2）根据定义可列方程为： 4+x＝4x， 解得：x＝． （3）根据定义可得： m+n＝mn， ∴m﹣mn＝﹣n， ∴（1﹣n）m＝﹣n， ∴m＝﹣， ∵分母不能为0， ∴n≠1． 故答案为：m＝﹣且n≠1． 22．定义新运算：对于任意实数a，b，都有a※b＝a+b2，例如7※4＝7+42＝23． （1）求5※4的值． （2）求7※（1※）的平方根． 【答案】（1）21； （2）±4． 【解答】解：（1）5※4＝5+42＝5+16＝21； （2）7※（1※） ＝7※[1+（）2] ＝7※3 ＝7+32 ＝7+9 ＝16， 故7※（1※）的平方根为：±＝±4． 23．在实数范围内定义一种运算“※”，a※b＝a2﹣b2． （1）求1※（﹣3）的值； （2）求方程（x+3）※5＝0的解． 【答案】（1）﹣8； （2）x1＝2，x2＝﹣8． 【解答】解：（1）1※（﹣3）＝12﹣（﹣3）2＝1﹣9＝﹣8； （2）∵（x+3）※5＝0， ∴（x+3）2﹣52＝0， ∴（x+3﹣5）（x+3+5）＝0， ∴x﹣2＝0，x+8＝0， ∴x1＝2，x2＝﹣8． 【题型04：实数中的材料阅读题】 24．阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分．又例如：∵，即，∴的整数部分是2，小数部分为． （1）的整数部分是 　4　，小数部分是 　　； （2）若m，n分别是的整数部分和小数部分，求3m﹣n2的值． 【答案】（1）4，； （2）． 【解答】解：（1）∵，即， ∴的整数部分是4，小数部分是， 故答案为：4，； （2）∵，即， ∴， ， ， ∴的整数部分是3，小数部分是， ∴m＝3，， ∴3m﹣n2 ＝ ＝ ＝ ＝． 25．阅读理解 ∵＜＜，即2＜＜3． ∴的整数部分为2，小数部分为﹣2 ∴1＜﹣1＜2 ∴﹣1的整数部分为1． ∴﹣1的小数部分为﹣2 解决问题：已知：a是﹣3的整数部分，b是﹣3的小数部分， 求：（1）a，b的值； （2）（﹣a）3+（b+4）2的平方根． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵＜＜， ∴4＜＜5， ∴1＜﹣3＜2， ∴a＝1，b＝﹣4， （2）（﹣a）3+（b+4）2 ＝（﹣1）3+（﹣4+4）2 ＝﹣1+17 ＝16， 故（﹣a）3+（b+4）2的平方根是：±4． 26．阅读材料： 和为整数，4﹣1＝3＝2×1+1； 和为整数，9﹣4＝5＝2×2+1； 和为整数，16﹣9＝7＝2×3+1； … 小明发现结论：若和为相邻的两个整数，其中a＜b，则有b﹣a＝2+1．并给出了证明： 根据题意，得． 等式两边同时 　平方　，得 　a+2+1　＝b． 整理得b﹣a＝2+1． 请根据以上材料，解决以下问题： （1）请补全小明的证明过程． （2）若和 为两个相邻整数，则a＝　25　． （3）若和 为相差4的两个整数，求a的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵和为相邻的两个整数， ∴， 等式两边同时平方得： a+2+1＝b． 移项得：b﹣a＝2+1． 故答案为：平方；a+2+1； （2）∵和 为两个相邻整数， ∴由（1）的结论可知：a+11﹣a＝2+1， ∴＝5， ∴a＝25． 故答案为：25； （3）∵和 为相差4的两个整数， ∴+4＝， 等式两边同时平方得： a+8+16＝a+216， ∴＝25， ∴a＝625． 27．阅读下面的文字，解答问题： 【阅读材料】现规定：分别用[x]和（x）表示实数x的整数部分和小数部分，如实数3.14的整数部分是[3.14]＝3，小数部分是（3.14）＝0.14；实数的整数部分是，小数部分是无限不循环小数，无法写完整，但是把它的整数部分减去，就等于它的小数部分，即就是的小数部分，所以． （1）＝　1　，＝　﹣1　；＝　3　，＝　﹣3　； （2）如果，，求的立方根． 【答案】（1）1，，3，； （2）2． 【解答】解：（1）∵1＜＜2，3＜＜4， ∴[]＝1，（）＝﹣1，[]＝3，（）＝﹣3， 故答案为：1，，3，； （2）∵2＜＜3，10＜＜11， ∴（）＝a＝﹣2，[]＝b＝10， ∴， ∴的立方根是2． 28．阅读理解，并回答问题． 阅读材料1： ∵4＜5＜9，∴，即． ∴的整数部分为2，小数部分为． 阅读材料2： 对于任意实数a和b比较大小，有如下规律：若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＝0，则a＝b；若a﹣b＜0，则a＜b．我们把这种比较两个数大小的方法称为作差法． 例如：比较与的大小时，可以计算，得， ∵，∴．∴． （1）请表示出的整数部分和小数部分； （2）试判断与的大小，并说明理由． 【答案】（1）的整数部分为4，小数部分为﹣4； （2）＜，理由见解答． 【解答】解：（1）∵16＜19＜25， ∴＜＜， ∴4＜＜5， ∴的整数部分为4，小数部分为﹣4； （2）＜， 理由：﹣＝＝， ∵﹣5＜0， ∴＜0， ∴＜． 29．阅读材料： 我们定义：如果一个数的平方等于﹣1，记作i2＝﹣1，那么这个i就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为a+bi（a，b均为实数）的形式，其中a叫做它的实部，b叫做它的虚部． 复数的加、减、乘的运算与我们学过的整式加、减、乘的运算类似． 例如计算：（5+i）+（3﹣4i）＝（5+3）+（i﹣4i）＝8﹣3i． 根据上述材料，解决下列问题： （1）填空：i3＝　﹣i　，i4＝　1　； （2）计算：（2+i）2； （3）将化为a+bi（a，b均为实数）的形式（即化为分母中不含i的形式）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵i2＝﹣1， ∴i3＝i2•i＝﹣1•i＝﹣i，i4＝i2•i2＝﹣1•（﹣1）＝1， 故答案为：﹣i，1； （2）（2+i）2＝i2+4i+4＝﹣1+4i+4＝3+4i； （3）＝＝＝＝i． 30．阅读理解题： 形如a+bi的数（a，b均为实数，b≠0）叫做复数．其中的a叫做它的实部，b叫做它的虚部，i叫做虚数单位，并规定：①i的平方等于﹣1，即i2＝﹣1；②实数与它进行四则运算时，原有的加法，乘法运算律仍然成立．所以，复数的加，减，乘法运算类似于整式的加，减，乘法运算．例如：（3+5i）+（2﹣3i）＝（3+2）+（5﹣3）i＝5+2i，（1+i）×（2﹣i）＝1×2﹣1×i+i×2﹣i2＝2﹣i+2i﹣（﹣1）＝3+（﹣1+2）i＝3+i． 请类比完成以下任务： （1）填空：i3＝　﹣i　，i4＝　1　； （2）计算：（3+2i）×（1﹣i）； （3）计算：i+i2+i3+i4+⋯+i2022． 【答案】（1）﹣i，1；（2）5﹣i；（3）i﹣1． 【解答】解：（1）∵i的平方等于﹣1，即i2＝﹣1， ∴i3＝i2⋅i＝﹣1×i＝﹣i，i4＝i2⋅i2＝1×1＝1． 故答案为：﹣i，1． （2）原式＝（3+2i）×（1﹣i） ＝3﹣3i+2i﹣2i2 ＝3﹣i﹣2i2， ∵i2＝﹣1， ∴原式＝3﹣i﹣2i2 ＝5﹣i． （3）∵i＝i，i2＝﹣1，i3＝﹣i，i4＝1，i5＝i…… ∴in的结果依次按i，﹣1，﹣i，1，i，…四次一循环的规律出现， ∵2022÷4＝505⋯⋯2， ∴i+i2+i3+i4+⋯⋯+i2022 ＝i+i2+（i﹣1﹣i+1）×505 ＝i﹣1+0 ＝i﹣1． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$