专题1.1 勾股定理中的重难点题型（十大题型）-2024-2025学年八年级数学上册《重难点题型•高分突破》（北师大版）

专题1.1 勾股定理中的重难点题型（十大题型） 重难点题型归纳 1.最短路径问题与翻折问题 【题型01 与长方形有关的最短路径问题】 【题型02 与圆柱有关的最短路径问题】 【题型03 与台阶有关的最短路径问题】 【题型04将军饮马与最短路径问题】 【题型05几何图形中翻折、旋转问题】 2. 实际应用 【题型06梯子滑落问题】 【题型07 树枝旗子折断问题】 【题型08 航海是否有影响问题】 【题型09 风吹荷花问题】 【题型10垂美四边形问题】 【方法技巧】长方体最短路径基本模型如下： 几何体中最短路径基本模型如下： 基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解 垂美四边形 （1）构造直角三角形解决问题； （2）垂美四边形 【定义】对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形. 【结论】如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD， 则①AB²＋CD²＝AD²＋BC². ②S四ABCD＝ AC·BD 【题型01 与长方形有关的最短路径问题】 【典例1】如图，一长方体状包装盒的长为，宽为，高为，点离点为，一只蚂蚁如果要沿着包装盒的表面从点爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，长方体的长为12，宽为8，高为30，是的中点，一只蚂蚁如果要沿长方体的表面从点爬到点，则爬行的最短距离是（   ） A． B． C．25 D．27 【变式1-2】如图，用3个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点A到点B的所有路径中，最短路径的长是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，正方体盒子的棱长为2，的中点为M，一只蚂蚁从M点沿正方体的表面爬到点，蚂蚁爬行的最短距离是（    ） A． B．3 C．5 D．2＋ 【变式1-4】如图，在桌面上放置一个正方体，正方体的棱长为，点为一条棱的中点，蚂蚁在正方体表面爬行，从点爬到点的最短路程是（    ） A． B． C． D． 【变式1-5】深受人们喜爱的蜘蛛侠代表了善良、正义且具备超能力的艺术形象．如图是某部动作电影中的一座长方体建筑，其底面为正方形，现已知，，蜘蛛侠欲从点开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈，最后到达点处，则蜘蛛侠行走的最短距离为 ． 【题型02 与圆柱有关的最短路径问题】 【典例2】如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口2cm的点M处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管内表面距离右侧管口5cm的点N处觅食，已知钢管横截面的周长为18cm，长为15cm，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是（    ）    A．5cm B．4cm C．cm D．15cm 【变式2-1】如图，动点从点出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点，若，点P移动的最短距离为，则圆柱的底面周长为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，实心圆柱的底面周长为，高，的中点B处有一块面包．一只蚂蚁沿圆柱侧面从A处到B处觅食，要爬行的最短路程为 ． 【变式2-3】如图所示，圆柱的高为5米，底面圆的周长为4米．将一条彩带从底面A点开始绕圆柱1圈后，挂在点A的正上方点B处，彩带最短需要 米．    【题型03 与台阶有关的最短路径问题】 【典例3】（2023春•连山区期末）如图是楼梯的一部分，若AD＝2，BE＝1，AE＝3，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（　　） A． B．3 C． D．2 【变式3-1】（2022春•郾城区期末）如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽30cm，长50cm，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是（　　）cm． A．10 B．50 C．120 D．130 【变式3-2】（2023春•西塞山区期中）如图，在一个长为20m，宽为16m的矩形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽AD平行，横截面是边长为2m的正方形，一只蚂蚁从点A处爬过木块到达点C处需要走的最短路程是　　m． 【题型04将军饮马与最短路径问题】 【典例4】（2022秋•辉县市校级期末）如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm．在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（　　）cm． A．15 B． C．12 D．18 【变式4-1】（2022春•吴江区期末）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则该蚂蚁要吃到饭粒需爬行的最短路径长是（　　） A．13cm B．3cm C．cm D．2cm 【变式4-2】（2023春•临潼区期末）如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的内壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是 　　厘米． 【变式4-3】（2022秋•牡丹区月考）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5m的半圆，其边缘AB＝CD＝20m．小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（　　）（π取3）m． A．30 B．28 C．25 D．22 【变式4-5】（2022秋•郫都区期末）如图，圆柱形玻璃杯高为22cm，底面周长为30cm，在杯内壁离杯上沿3cm的点B处粘有一粒面包渣，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯底5cm与面包渣相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为 　25　cm（杯壁厚度不计）． 【题型05几何图形中翻折、旋转问题】 【典例5】（2022秋•大东区校级期末）如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式5-1】（2022春•安乡县期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝10，点D为BC的中点，点E为AC边上一动点，连接DE．将△CDE沿DE折叠，点C的对应点为点C'．若△AEC'为直角三角形，则AE的长为 　 　． 【变式5-2】（2023春•长沙期末）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为 　　． 【变式5-3】（2022秋•绥德县期中）如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC＝10厘米，AB＝8厘米． （1）求BF与FC的长． （2）求EC的长． 【变式5-4】（2022秋•和平区期中）一长方体容器（如图1），长、宽均为2，高为8，里面盛有水，水面高为5，若沿底面一棱进行旋转倾斜，倾斜后的长方体容器的主视图如图2所示，若倾斜容器使水恰好倒出容器，则CD＝　　． 【题型06梯子滑落问题】 【典例6】（2023秋•青羊区校级期末）如图，一架25m长的梯子（AC）斜靠在与地面（OA）垂直的墙（OC）上，梯子底端离墙7m． （1）这架梯子的顶端距离地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底端在水平方向滑动了多少米？ 【变式6-1】（2023秋•青白江区期末）已知一架5m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚3m，若梯子的顶端下滑1m，则梯足将滑动多远？ 【变式6-2】（2023秋•辽中区期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，求小巷的宽度为多少米？ 【题型07树枝旗子折断问题】 【典例7】（2023秋•都昌县期末）2022年第3号台风“暹芭”于7月2日15时前后在广东电白登陆，给当地造成了巨大损失．如图，一棵垂直于地面且高度为16米的“风景树”被台风折断，树顶A落在离树底部C的8米处，求这棵树在离地面多高处被折断． 【变式7-1】（2023秋•英德市期中）如图，强大的台风使得一根旗杆在离地面3m处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部4m处，旗杆折断之前有多高？ 【变式6-2】（2023春•永州期末）如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为4m． （1）求旗杆距地面多高处折断（AC）； （2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1m的点D处，有一条明显裂痕，将旗杆修复后，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的风险？ 【题型08航海是否有影响问题】 【典例8-1】（2023春•黄冈期中）如图所示，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 【典例8-2】（2023春•邢台期中）如图，经过A村和B村（将A，B村看成直线l上的点）的笔直公路1旁有一块山地正在开发，现需要在C处进行爆破．已知C处与A村的距离为900米，C处与B村的距离为1200米，且AC⊥BC． （1）求A，B两村之间的距离； （2）为了安全起见，爆破点C周围半径750米范围内不得进入，在进行爆破时，公路AB段是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由． 【变式8-1】（2023秋•二七区期末）如图，有一台环卫车沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，环卫车周围130m以内为受噪声影响区域． （1）学校C会受噪声影响吗？为什么？ （2）若环卫车的行驶速度为每分钟50米，环卫车噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？ 【变式8-2】（2023秋•渝北区期末）如图，A，B，C是我国南部的三个岛屿，已知岛屿C在岛屿A的东北方向，岛屿B在岛屿A的正东方向，A，C两岛的距离为km，A，B两岛的距离为68km． （1）求出B，C两岛的距离； （2）在岛屿B产生了台风，风力影响半径为25km（即以台风中心B为圆心，25km为半径的圆形区域都会受到台风影响），台风中心以20km/h的速度由B向A移动，请判断岛屿C是否会受到台风的影响，若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出台风影响岛屿C持续时间有多长？ 【题型09 风吹荷花问题】 【典例9】（2023秋•桥西区期末）如图，有一个池塘，其底边长为10尺，一根芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'．请你计算这个池塘水的深度和这根芦苇的长度各是多少？ 【变式9-1】（2023秋•广平县期中）如图，湖面上有一朵盛开的红莲，它高出水面30cm．大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，已知红莲移动的水平距离为60cm，则水深是多少？ 【变式9-2】（2022春•东昌府区校级期中）古诗赞美荷花：“竹色溪下绿，荷花镜里香”．平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面10cm，忽见它随风斜倚，花朵恰好浸入水面，仔细观察，发现荷花偏离原地40cm（如图）．请问荷花入水部分BC长多少厘米？ 【题型10垂美四边形问题】 【典例10】（2022春•颍上县校级期末）我们定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于O．求证：AB2+CD2＝AD2+BC2； （2）如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接BE，CG，GE． ①求证：四边形BCGE是垂美四边形； ②若AC＝4，AB＝5，求GE的长． 【变式10-1】（2023•泸县校级三模）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝5，BC＝12，则AB2+CD2＝　 ． 【变式10-2】（2022秋•达川区校级月考）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝，BC＝3，则AB2+CD2＝　 　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 勾股定理中的重难点题型（十大题型） 重难点题型归纳 1.最短路径问题与翻折问题 【题型01 与长方形有关的最短路径问题】 【题型02 与圆柱有关的最短路径问题】 【题型03 与台阶有关的最短路径问题】 【题型04将军饮马与最短路径问题】 【题型05几何图形中翻折、旋转问题】 2. 实际应用 【题型06梯子滑落问题】 【题型07 树枝旗子折断问题】 【题型08 航海是否有影响问题】 【题型09 风吹荷花问题】 【题型10垂美四边形问题】 【方法技巧】长方体最短路径基本模型如下： 几何体中最短路径基本模型如下： 基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解 垂美四边形 （1）构造直角三角形解决问题； （2）垂美四边形 【定义】对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形. 【结论】如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD， 则①AB²＋CD²＝AD²＋BC². ②S四ABCD＝ AC·BD 【题型01 与长方形有关的最短路径问题】 【典例1】如图，一长方体状包装盒的长为，宽为，高为，点离点为，一只蚂蚁如果要沿着包装盒的表面从点爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理最短路径问题，根据题意画出长方体的侧面展开图，根据勾股定理求解是解答此题的关键． 【详解】解：①把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1： 长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ，， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； ②把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2： 长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ，， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； ③把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3： 长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； 蚂蚁爬行的最短距离是． 故选A． 【变式1-1】如图，长方体的长为12，宽为8，高为30，是的中点，一只蚂蚁如果要沿长方体的表面从点爬到点，则爬行的最短距离是（   ） A． B． C．25 D．27 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、最短路径：两点之间线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．分别作图,再结合图形运用勾股定理解三角形，比较即可作答． 【详解】解：依题意，高为30，是的中点 ∴ 如图所示： 此时； 或者如图所示： 此时． 或者如图所示： 此时． ∵ ∴则爬行的最短距离是25 故选：C 【变式1-2】如图，用3个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点A到点B的所有路径中，最短路径的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方体的展开图，勾股定理，先将正方体展开，再根据勾股定理求出答案． 【详解】如图，， 所以最短路径是． 故选：A． 【变式1-3】如图，正方体盒子的棱长为2，的中点为M，一只蚂蚁从M点沿正方体的表面爬到点，蚂蚁爬行的最短距离是（    ） A． B．3 C．5 D．2＋ 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用， 结合题意可知，将正方体展开，分析可知蚂蚁从M爬到有四种情况（如下图），根据两点之间线段最短以及正方体的棱长可知，的最短长度即为所求． 【详解】解：蚂蚁从M爬到有四种情况：前面→上面，前面→右面，下面→后面，下面→右面，如图所示： 第种情况：， 第种情况：， 综上可知，蚂蚁爬行的最短距离是， 故选A． 【变式1-4】如图，在桌面上放置一个正方体，正方体的棱长为，点为一条棱的中点，蚂蚁在正方体表面爬行，从点爬到点的最短路程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平面展开最短路径问题，勾股定理，关键是知道两点之间线段最短，找到起点终点是解题的关键． 正方体侧面展开为长方形，确定蚂蚁爬行的起点和终点，根据两点之间线段最短，根据勾股定理可求出最短路径长． 【详解】解：如图， 它运动的最短路程． 故选：C． 【变式1-5】深受人们喜爱的蜘蛛侠代表了善良、正义且具备超能力的艺术形象．如图是某部动作电影中的一座长方体建筑，其底面为正方形，现已知，，蜘蛛侠欲从点开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈，最后到达点处，则蜘蛛侠行走的最短距离为 ． 【答案】130 【分析】本题考查的是平面展开-最短路线问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．从点如果从点A开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈到达点，行走的最短距离相当于直三角形的斜边的边长，根据展开图，求出，再根据勾股定理求出斜边长即可． 【详解】解：如图，将长方体展开： 是正方形，，， ， ， 从点A开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈到达点，行走的最短距离相当于直三角形的斜边的边长， ， 行走的最短距离为． 故答案为：130． 【题型02 与圆柱有关的最短路径问题】 【典例2】如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口2cm的点M处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管内表面距离右侧管口5cm的点N处觅食，已知钢管横截面的周长为18cm，长为15cm，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是（    ）    A．5cm B．4cm C．cm D．15cm 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，理解几何体侧面展开图等．根据题意先画出几何体的侧面展开图，利用勾股定理即可得到本题答案． 【详解】解：如下图，画出钢管的侧面展开图，作点关于右侧关口的对称点，连接，    ∵钢管横截面的周长为18cm， ∴， ∵由题意得：， ∴， ∴小蜘蛛需要爬行的最短距离为cm． 故选：C． 【变式2-1】如图，动点从点出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点，若，点P移动的最短距离为，则圆柱的底面周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，先根据题意画出圆柱的侧面展开图，然后连接，再利用勾股定理即可得出的长即可得到结论．利用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 在圆柱的侧面展开图中，，，设， ∵点移动的最短距离为， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴圆柱的底面周长为：． 故选：C． 【变式2-2】如图，实心圆柱的底面周长为，高，的中点B处有一块面包．一只蚂蚁沿圆柱侧面从A处到B处觅食，要爬行的最短路程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了，平面展开最短路径，勾股定理，解题的关键是：通过展开图找到最短路径．展开成平面，连接，则长时蚂蚁在圆柱表面从点爬到点的最短路程，求出的长，根据勾股定理，即可求解， 【详解】解：展开成平面，连接， 则长为蚂蚁在圆柱表面从点爬到点的最短路程， ∴，， 在中，， 故答案为：． 【变式2-3】如图所示，圆柱的高为5米，底面圆的周长为4米．将一条彩带从底面A点开始绕圆柱1圈后，挂在点A的正上方点B处，彩带最短需要 米．    【答案】 【分析】本题考查圆柱展开图，勾股定理等．根据题意可知圆柱展开图为长方形，彩带最短为长方形对角线长度，再利用勾股定理即可求出本题答案． 【详解】解：由题意得：彩带最短为长方形对角线长度， ∵圆柱的高为5米，底面圆的周长为4米， ∴米， 故答案为：． 【题型03 与台阶有关的最短路径问题】 【典例3】（2023春•连山区期末）如图是楼梯的一部分，若AD＝2，BE＝1，AE＝3，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（　　） A． B．3 C． D．2 【答案】D 【解答】解：如图，AC＝＝2， 故选：D． 【变式3-1】（2022春•郾城区期末）如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽30cm，长50cm，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是（　　）cm． A．10 B．50 C．120 D．130 【答案】B 【解答】解：如图所示， ∵它的每一级的高为20cm，宽30cm，长50cm， ∴AB＝＝50（cm）． 答：蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程是50cm， 故选：B． 【变式3-2】（2023春•西塞山区期中）如图，在一个长为20m，宽为16m的矩形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽AD平行，横截面是边长为2m的正方形，一只蚂蚁从点A处爬过木块到达点C处需要走的最短路程是　8　m． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由题意可知，将木块展开， 相当于是AB+2个正方形的宽， ∴长为20+2×2＝24米；宽为16米． 于是最短路径为：＝8米． 故答案为：8． 【题型04将军饮马与最短路径问题】 【典例4】（2022秋•辉县市校级期末）如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm．在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（　　）cm． A．15 B． C．12 D．18 【答案】A 【解答】解：如图所示，将圆柱沿过A的母线剪开， 由题意可知，需在杯口所在的直线上找一点F，使AF+CF最小， 故先作出A关于杯口所在直线的对称点A'，连接A'C与杯口的交点即为F，此时AF+CF＝A'F+CF＝A'C， 根据两点之间线段最短，即可得到此时AF+CF最小，并且最小值为A'C的长度， 如图所示，延长过C的母线，过A'作A'D垂直于此母线于D， 由题意可知，A'D＝18÷2＝9（cm）， CD＝12﹣4+4＝12（cm）， 由勾股定理得：A'C＝＝15（cm）， 故蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm， 故选：A． 【变式4-1】（2022春•吴江区期末）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则该蚂蚁要吃到饭粒需爬行的最短路径长是（　　） A．13cm B．3cm C．cm D．2cm 【答案】A 【解答】解：如图：∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处， ∴A′D＝5cm，BD＝12﹣3+AE＝12cm， ∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′， 连接A′B，则A′B即为最短距离， A′B＝＝＝13（cm）． 故选：A． 【变式4-2】（2023春•临潼区期末）如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的内壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是 　10　厘米． 【答案】此题考查了平面展开﹣最短路径问题，将图形展开，利用勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 【解答】解：如图所示：将杯子侧面展开，作A关于杯口的对称点A′，连接PA′， 最短距离为PA'的长度， PA'＝＝＝10（厘米）， 最短路程为PA'＝10厘米． 故答案为：10． 【变式4-3】（2022秋•牡丹区月考）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5m的半圆，其边缘AB＝CD＝20m．小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（　　）（π取3）m． A．30 B．28 C．25 D．22 【答案】C 【解答】解：其侧面展开图如图：作点C关于AB的对称点F，连接DF， ∵中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5m的半圆， ∴BC＝πR＝2.5π≈7.5m，AB＝CD＝20m， ∴CF＝15m， 在Rt△CDF中，DF＝＝＝25（m）， 故他滑行的最短距离约为25m． 故选：C． 【变式4-5】（2022秋•郫都区期末）如图，圆柱形玻璃杯高为22cm，底面周长为30cm，在杯内壁离杯上沿3cm的点B处粘有一粒面包渣，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯底5cm与面包渣相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为 　25　cm（杯壁厚度不计）． 【答案】25． 【解答】解：如图： 将杯子侧面展开，作B关于EF的对称点B′， ∴B'D＝15cm，AD＝22﹣5+3＝20（cm）， 连接B′A，则B′A即为最短距离，B′A＝＝＝25（cm）． 故答案为：25． 【题型05几何图形中翻折、旋转问题】 【典例5】（2022秋•大东区校级期末）如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解答】解：∵Rt△DC′B由Rt△DBC翻折而成， ∴CD＝C′D＝AB＝8，∠C＝∠C′＝90°， 设DE＝x，则AE＝8﹣x， ∵∠A＝∠C′＝90°，∠AEB＝∠DEC′， ∴∠ABE＝∠C′DE， 在Rt△ABE与Rt△C′DE中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△C′DE（ASA）， ∴BE＝DE＝x， 在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2， ∴42+（8﹣x）2＝x2， 解得：x＝5， ∴DE的长为5． 故选：C． 【变式5-1】（2022春•安乡县期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝10，点D为BC的中点，点E为AC边上一动点，连接DE．将△CDE沿DE折叠，点C的对应点为点C'．若△AEC'为直角三角形，则AE的长为 　或7　． 【答案】或7． 【解答】解：如图，当∠AEC'＝90°时，则∠CEC'＝90°， ∴∠CED＝∠C'ED＝45°， ∴∠CDE＝45°， ∴CE＝CD＝5， ∴AE＝AC﹣CE＝12﹣5＝7； 如图，当∠AC'E＝90°时， ∵∠AC'E+∠DC'E＝90°+90°＝180°， ∴点A，C'，D共线， ∴AD＝＝13， ∵C'E＝CE＝12﹣AE，AC'＝AD﹣C'D＝8， ∴AE2＝（12﹣AE）2+82， ∴AE＝； 当∠C'AE＝90°时，不存在， 综上所述，若△AEC为直角三角形，则AE的长为或7， 故答案为：或7． 【变式5-2】（2023春•长沙期末）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为 　10　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：易证△AFD′≌△CFB， ∴D′F＝BF， 设D′F＝x，则AF＝8﹣x， 在Rt△AFD′中，（8﹣x）2＝x2+42， 解之得：x＝3， ∴AF＝AB﹣FB＝8﹣3＝5， ∴S△AFC＝•AF•BC＝10． 故答案为：10． 【变式5-3】（2022秋•绥德县期中）如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC＝10厘米，AB＝8厘米． （1）求BF与FC的长． （2）求EC的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵△ADE折叠后的图形是△AFE， ∴AD＝AF，∠D＝∠AFE，DE＝EF． ∵AD＝BC＝10cm， ∴AF＝AD＝10cm． 又∵AB＝8cm，在Rt△ABF中，根据勾股定理，得AB2+BF2＝AF2 ∴82+BF2＝102， ∴BF＝6cm， ∴FC＝BC﹣BF＝10﹣6＝4cm． （2）设EC的长为xcm，则DE＝（8﹣x）cm． 在Rt△EFC中，根据勾股定理，得：FC2+EC2＝EF2， ∴42+x2＝（8﹣x）2， 即16+x2＝64﹣16x+x2， 化简，得16x＝48， ∴x＝3， 故EC的长为3cm． 【变式5-4】（2022秋•和平区期中）一长方体容器（如图1），长、宽均为2，高为8，里面盛有水，水面高为5，若沿底面一棱进行旋转倾斜，倾斜后的长方体容器的主视图如图2所示，若倾斜容器使水恰好倒出容器，则CD＝　2　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图所示： 设DE＝x，则AD＝8﹣x， 根据题意得：（8﹣x+8）×2×2＝2×2×5， 解得：x＝6， ∴DE＝6， ∵∠E＝90°， 由勾股定理得：CD＝＝＝2， 故答案为：2． 【题型06梯子滑落问题】 【典例6】（2023秋•青羊区校级期末）如图，一架25m长的梯子（AC）斜靠在与地面（OA）垂直的墙（OC）上，梯子底端离墙7m． （1）这架梯子的顶端距离地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底端在水平方向滑动了多少米？ 【答案】（1）这架梯子的顶端距离地面有24m高； （2）梯子的底端在水平方向滑动了8m． 【解答】解：（1）在Rt△AOC中，AC＝25m，AO＝7m， 所以． 答：这架梯子的顶端距离地面有24m高． （2）因为OD＝CO﹣4＝20（m）， 在Rt△EOD中，ED＝AC＝25m， 所以OE＝＝15（m）． 所以AE＝EO﹣AO＝8（m）． 答：梯子的底端在水平方向滑动了8m． 【变式6-1】（2023秋•青白江区期末）已知一架5m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚3m，若梯子的顶端下滑1m，则梯足将滑动多远？ 【答案】1米． 【解答】解：在直角三角形△ABO中，根据勾股定理可得，， 如果梯子的顶度端下滑1米， 则OA′＝4﹣1＝3m． 在直角三角形A′B′O中，根据勾股定理得到：OB′＝4m， 则梯子滑动的距离就是OB′﹣OB＝4﹣3＝1m． 【变式6-2】（2023秋•辽中区期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，求小巷的宽度为多少米？ 【答案】小巷的宽度CD为2.2米． 【解答】解：在Rt△ACB中， ∵∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.4米， ∴AB2＝0.72+2.42＝6.25． 在Rt△A′BD中， ∵∠A′DB＝90°，A′D＝2米，BD2+A′D2＝A′B′2， ∴BD2+22＝6.25， ∴BD2＝2.25． ∵BD＞0， ∴BD＝1.5米． ∴CD＝BC+BD＝0.7+1.5＝2.2（米）． 答：小巷的宽度CD为2.2米． 【题型07树枝旗子折断问题】 【典例7】（2023秋•都昌县期末）2022年第3号台风“暹芭”于7月2日15时前后在广东电白登陆，给当地造成了巨大损失．如图，一棵垂直于地面且高度为16米的“风景树”被台风折断，树顶A落在离树底部C的8米处，求这棵树在离地面多高处被折断． 【答案】6米． 【解答】解：如图，由题意得，BC+BA＝16米，AC＝8米，BC⊥AC， 由勾股定理得， BC2+AC2＝AB2， 即BC2+82＝（16﹣BC）2， 解得BC＝6， 即这棵树在离地面6米处被折断． 【变式7-1】（2023秋•英德市期中）如图，强大的台风使得一根旗杆在离地面3m处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部4m处，旗杆折断之前有多高？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为4m，旗杆离地面3m折断，且旗杆与地面是垂直的， 所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形． 根据勾股定理，折断的旗杆为＝5（m）， 所以旗杆折断之前高度为3m+5m＝8m． 【变式6-2】（2023春•永州期末）如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为4m． （1）求旗杆距地面多高处折断（AC）； （2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1m的点D处，有一条明显裂痕，将旗杆修复后，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的风险？ 【答案】（1）旗杆距地面3m处折断； （2）距离旗杆底部周围m的范围内有被砸伤的风险． 【解答】（1）解：由题意，知AC+BC＝8m． 因为∠A＝90°， 设AC长为x m，则BC长（8﹣x）m， 则42+x2＝（8﹣x）2， 解得x＝3． 故旗杆距地面3m处折断； （2）如图． 因为点D距地面AD＝3﹣1＝2（m）， 所以B'D＝8﹣2＝6（m）， 所以， 所以距离旗杆底部周围m的范围内有被砸伤的风险． 【题型08航海是否有影响问题】 【典例8-1】（2023春•黄冈期中）如图所示，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：根据题意，得 PQ＝16×1.5＝24（海里）， PR＝12×1.5＝18（海里）， QR＝30（海里）， ∵242+182＝302， 即PQ2+PR2＝QR2， ∴∠QPR＝90°． 由“远航号”沿东北方向航行可知，∠QPS＝45°，则∠SPR＝45°， 即“海天”号沿西北方向航行． 【典例8-2】（2023春•邢台期中）如图，经过A村和B村（将A，B村看成直线l上的点）的笔直公路1旁有一块山地正在开发，现需要在C处进行爆破．已知C处与A村的距离为900米，C处与B村的距离为1200米，且AC⊥BC． （1）求A，B两村之间的距离； （2）为了安全起见，爆破点C周围半径750米范围内不得进入，在进行爆破时，公路AB段是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由． 【答案】（1）A，B两村之间的距离为1500米； （2）AB段公路需要封锁，需要封锁的路段长度为420米． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC＝900米，BC＝1200米， ∴AB＝＝＝1500（米）． 答：A，B两村之间的距离为1500米； （2）公路AB有危险而需要封锁． 理由如下：如图，过C作CD⊥AB于D．以点C为圆心，750米为半径画弧，交AB于点E，F，连接CE，CF， ∵S△ABC＝AB•CD＝BC•AC， ∴CD＝＝ ＝720（米）． 由于720米＜750米，故有危险， 因此AB段公路需要封锁． ∴EC＝FC＝750米， ∴ED＝ ＝210（米）， 故EF＝420米， 则需要封锁的路段长度为420米． 【变式8-1】（2023秋•二七区期末）如图，有一台环卫车沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，环卫车周围130m以内为受噪声影响区域． （1）学校C会受噪声影响吗？为什么？ （2）若环卫车的行驶速度为每分钟50米，环卫车噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）学校C会受噪声影响． 理由：如图，过点C作CD⊥AB于D， ∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m， ∴AC2+BC2＝AB2． ∴△ABC是直角三角形． ∴AC×BC＝CD×AB， ∴150×200＝250×CD， ∴CD＝＝120（m）， ∵环卫车周围130m以内为受噪声影响区域， ∴学校C会受噪声影响． （2）当EC＝130m，FC＝130m时，正好影响C学校， ∵ED＝（m）， ∴EF＝100（m）， ∵环卫车的行驶速度为每分钟50米， ∴100÷50＝2（分钟）， 即环卫车噪声影响该学校持续的时间有2分钟． 【变式8-2】（2023秋•渝北区期末）如图，A，B，C是我国南部的三个岛屿，已知岛屿C在岛屿A的东北方向，岛屿B在岛屿A的正东方向，A，C两岛的距离为km，A，B两岛的距离为68km． （1）求出B，C两岛的距离； （2）在岛屿B产生了台风，风力影响半径为25km（即以台风中心B为圆心，25km为半径的圆形区域都会受到台风影响），台风中心以20km/h的速度由B向A移动，请判断岛屿C是否会受到台风的影响，若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出台风影响岛屿C持续时间有多长？ 【答案】（1）B，C两岛的距离为52km； （2）会受影响， 影响岛屿C持续时间为1.5h． 【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB于点D， 由题意知：∠ACD＝45°， ∴∠A＝∠ACD＝45°， ∴CD＝AD， 在Rt△ACD中， AC＝km， 由勾股定理，得AD2+CD2＝AC2， ∴2AD2＝（）2， 解得AD＝20km（负值已舍）， ∴CD＝20km， 在Rt△BCD中， BD＝AB﹣AD＝68﹣20＝48（km）， 由勾股定理，得BC＝＝＝52（km）， 答：B，C两岛的距离为52km； （2）会受影响， 以点C为圆心，25km长为半径画弧与AB交于点E，F， 则EF＝2DE， 在Rt△CDE中， 由勾股定理，得DE＝＝＝15（km）， ∴EF＝30km， 30÷20＝1.5（h）， 答：台风影响岛屿C持续时间为1.5h． 【题型09 风吹荷花问题】 【典例9】（2023秋•桥西区期末）如图，有一个池塘，其底边长为10尺，一根芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'．请你计算这个池塘水的深度和这根芦苇的长度各是多少？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设池塘水的深度是x尺，则这根芦苇的长度是（x+1）尺， 由题意得：∠ACB'＝90°，B'C＝＝5（尺）， 在Rt△CAB′中，由勾股定理得：AC2+B′C2＝AB′2， 即x2+52＝（x+1）2， 解得：x＝12， ∴x+1＝12+1＝13， 答：池塘水的深度是12尺，这根芦苇的长度是13尺． 【变式9-1】（2023秋•广平县期中）如图，湖面上有一朵盛开的红莲，它高出水面30cm．大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，已知红莲移动的水平距离为60cm，则水深是多少？ 【答案】45cm． 【解答】解：红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即AC为红莲的长． 设水深h厘米，由题意得：Rt△ABC中，AB＝h，AC＝h+30， BC＝60， 由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2， 即（h+30）2＝h2+602， 解得h＝45． 答：水深是45cm 【变式9-2】（2022春•东昌府区校级期中）古诗赞美荷花：“竹色溪下绿，荷花镜里香”．平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面10cm，忽见它随风斜倚，花朵恰好浸入水面，仔细观察，发现荷花偏离原地40cm（如图）．请问荷花入水部分BC长多少厘米？ 【答案】荷花入水部分BC长75cm． 【解答】解：设荷花入水部分BC长h cm，则荷花的高（h+10）cm，且水平距离为40cm， 则（h+10）2＝402+h2， 解得h＝75． 答：荷花入水部分BC长75cm． 【题型10垂美四边形问题】 【典例10】（2022春•颍上县校级期末）我们定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于O．求证：AB2+CD2＝AD2+BC2； （2）如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接BE，CG，GE． ①求证：四边形BCGE是垂美四边形； ②若AC＝4，AB＝5，求GE的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于O， ∴AC⊥BD， ∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°， 由勾股定理得：AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2， AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2， ∴AD2+BC2＝AB2+CD2； （2）①证明：连接BG、CE相交于点N，CE交AB于点M，如图2所示： ∵正方形ACFG和正方形ABDE， ∴AG＝AC，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°， ∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE， 在△GAB和△CAE中，， ∴△GAB≌△CAE（SAS）， ∴∠ABG＝∠AEC， ∵∠AEC+∠AME＝90°， ∴∠ABG+∠AME＝90°， ∴∠ABG+∠BMN＝90°，即CE⊥BG， ∴四边形BCGE是垂美四边形； ②解：∵四边形BCGE是垂美四边形， ∴由（1）得：CG2+BE2＝CB2+GE2， ∵AC＝4，AB＝5， ∴BC＝＝＝3， ∵正方形ACFG和正方形ABDE， ∴CG＝AC＝4，BE＝AB＝5， ∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝（4）2+（5）2﹣32＝73， ∴GE＝． 【变式10-1】（2023•泸县校级三模）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝5，BC＝12，则AB2+CD2＝　169　． 【答案】169． 【解答】解：∵BD⊥AC， ∴∠COB＝∠AOB＝∠AOD＝∠COD＝90°， 在Rt△COB和Rt△AOB中，根据勾股定理得， BO2+CO2＝CB2，OD2+OA2＝AD2， ∴BO2+CO2+OD2+OA2＝25+144， ∵AB2＝BO2+AO2，CD2＝OC2+OD2， ∴AB2+CD2＝169； 故答案为：169． 【变式10-2】（2022秋•达川区校级月考）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝，BC＝3，则AB2+CD2＝　23　． 【答案】23． 【解答】解：∵AC⊥BD， ∴∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝∠AOB＝90°， ∴OB2+OC2＝BC2，OA2+OD2＝AD2，OB2+OA2＝AB2，OC2+OD2＝CD2， ∴AB2+CD2＝OB2+OA2+OC2+OD2＝BC2+AD2， ∵AD＝，BC＝3， ∴BC2+AD2＝（3）2+（）2＝18+5＝23， ∴AB2+CD2＝23， 故答案为：23． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$