专题2.3 二次根式的综合（十大题型）-2024-2025学年八年级数学上册《重难点题型•高分突破》（北师大版）

专题2.3 二次根式的综合（十大题型） 重难点题型归纳 【题型01：二次根式的概念】 【题型02：二次根式有意义的条件】 【题型03：判断二次根式的性质化简】 【题型04：同类二次根式的概念】 【题型05：二次根式的混合运算】 【题型06：二次根式的化简求值】 【题型07：二次根式的应用】 【题型08：二次根式中新定义问题】 【题型09：利用分母有理化化简求值】 【题型10：以二次根式为背景的材料阅读体二次根式中新定义问题】 【题型01：二次根式的概念】 1．下列式子是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列式子中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．下列各式中一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【题型02：二次根式有意义的条件】 4．二次根式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．在二次根式中，a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．若二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 7．当时，二次根式的值为（    ） A． B．3 C． D． 8．如果二次根式有意义，那么x的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【题型03：判断二次根式的性质化简】 8．（2023秋•海口期末）化简（﹣）2的结果是（　　） A．﹣8 B．8 C．±8 D．16 9．（2023秋•覃塘区期末）若7＜m＜9，则化简的结果是（　　） A．15﹣2m B．2m﹣15 C．5 D．﹣5 10．（2023秋•射洪市期末）已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为（　　） A．2 B．﹣2 C．2a﹣6 D．﹣2a+6 11．（2023秋•怀化期末）若实数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，则的结果是（　　） A．a﹣c B．﹣a﹣2b+c C．﹣a﹣c D．﹣a+c 12．（2023秋•曲阳县期末）若，则x的取值范围是（　　） A．x＞3 B．x≥3 C．x＜3 D．x≤3 13．（2023秋•岳麓区校级期末）若＝3﹣x成立，则x满足得条件（　　） A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x＜3 14．（2023秋•鄞州区校级期末）若某三角形的三边长分别为2，5，n，则化简+|8﹣n|的结果为（　　） A．5 B．2n﹣10 C．2n﹣6 D．10 【题型04：同类二次根式的概念】 15．（2023秋•宁德期末）下列根式化简后不能与合并的是（　　） A． B． C． D． 16．（2023秋•唐山期末）下列二次根式中，可与进行合并的二次根式是（　　） A． B． C． D． 17．（2023秋•岳阳楼区期末）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 18．（2023秋•鼓楼区校级期末）最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则a的值是（　　） A．a＝1 B．a＝﹣1 C．a＝2 D．a＝﹣2 【题型05：二次根式的混合运算】 19．（2024•沙坪坝区校级开学）计算： （1）﹣×（+2）+（）0； （2）． 20．（2023秋•泉州期末）计算：． 25．（2023秋•福田区校级期末）计算： （1）； （2）． 21．（2023秋•渠县期末）计算： （1）﹣×； （2）（3）（3﹣）﹣（）2． 22．（2023秋•永定区期末）计算： （1）． （2）． 23．（2023秋•昌黎县期末）计算： （1）； （2）． 【题型06：二次根式的化简求值】 24．（2023秋•澧县期末）已知，，求下列各式的值． （1）a+b和ab； （2）a2+ab+b2． 25．（2023秋•岳阳楼区期末）若a＝+2，b＝﹣2． （1）求a2﹣b2． （2）求a3b+ab3． 26．（2023秋•子洲县期末）先化简，再求值：，其中． 27．（2022秋•晋江市期末）先化简，再求值：，其中a＝﹣． 28．（2023春•铁岭期末）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝2+． 29．（2023春•铁西区期末）先化简，再求值：，其中． 35．（2023春•临高县期中）先化简，再求值：，其中． 【题型07：二次根式的应用】 30．（2023秋•开福区校级期末）已知一个长方形相邻的两边长分别是a，b，且，． （1）求此长方形的周长； （2）若一个正方形的周长与上述长方形的周长相等，求此正方形的面积． 31．（2023秋•南昌期末）有一块矩形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出面积分别为18dm2和32dm2的两块正方形木板． （1）截出的两块正方形木板的边长分别为 　　dm，　　dm； （2）求剩余木板的面积； （3）如果木工师傅想从剩余的木板中截出长为1.5dm、宽为1dm的矩形木条，最多能截出 　2　个这样的木条． 32．（2023•晋城模拟）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t＝（不考虑风速的影响，g≈10m/s2）． （1）求从60m高空抛物到落地的时间．（结果保留根号） （2）已知高空坠物动能（单位：J）＝10×物体质量（单位：kg）×高度（单位：m），某质量为0.2kg的玩具被抛出后经过3s后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由．（注：伤害无防护人体只需要65J的动能） 33．（2023春•海东市期末）如图，长和宽分别是a，b的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形． （1）用含a，b，x的代数式表示纸片剩余部分的面积； （2）当a＝20+2，b＝20﹣2，x＝，求剩余部分的面积． 【题型08：二次根式中新定义问题】 34．（2023秋•沈丘县期末）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n﹣mn﹣3n，如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．则（﹣2）※结果为（　　） A． B． C． D． 35．（2023秋•沈丘县期中）对于任意的正数m，n，定义运算※：m※n＝，计算（3※2）×（8※12）的结果为（　　） A．2﹣4 B．2 C．2 D．20 36．（2023秋•龙泉市期中）定义“★”是一种新运算，对于任意实数a，b（a≠b）．当a＞b时，a★b＝a2﹣b，当a＜b时，a★b＝a﹣b2．例如：2★1＝22﹣1＝3，1★2＝1﹣22＝﹣3，那么：2★[（﹣2）★（﹣）]＝　　． 37．（2022秋•吉州区期末）定义：若两个二次根式a，b满足a•b＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． （1）若a与是关于4的共轭二次根式，则a＝　　； （2）若与是关于12的共轭二次根式，求m的值． 38．（2023秋•雁塔区校级期中）定义：若两个二次根式a，b满足a•b＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的因子二次根式． （1）若a与是关于4的因子二次根式，则a＝　　； （2）若与是关于2的因子二次根式，求m的值． 【题型09：利用分母有理化化简求值】 39．（2023秋•虹口区校级期末）计算：＝　　． 40．（2023秋•化州市期末）阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ＝＝＝﹣1 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 参照上面的方法化简：＝　 　． 41．（2022秋•河间市校级期末）阅读下列解题过程：，，请回答下列问题： （1）观察上面的解答过程，请写出＝　　； （2）利用上面的解法，请化简：． 42．（2023秋•南山区校级期中）阅读下面问题： ＝＝﹣1； ＝＝﹣； ＝＝﹣2． （1）求的值； （2）计算：+++…++． 43．（2023春•百色期末）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题： 例1：﹣1， 例2：＝，，，… （1）＝　 　，＝　 　； （2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律； （3）利用上面的结论，求下列式子的值． ． 【题型10：以二次根式为背景的材料阅读体二次根式中新定义问题】 44．（2023春•浏阳市期中）像•＝2：（+1）（﹣1）＝2：（+）（﹣）＝3…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式，爱动脑筋的小明同学在进行二次根式计算时，利用有理化因式化去分母中的根号． （1）＝＝； （2）＝＝＝3+2． 勤奋好学的小明发现：可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数． （3）化简：﹣． 解：设x＝﹣，易知＞，∴x＞0． 由：x2＝3++3﹣﹣2＝6﹣2＝2．解得x＝． 即﹣＝． 请你解决下列问题： （1）2﹣3的有理化因式是 　2+3　； （2）化简：++； （3）化简：﹣． 45．（2022秋•济南期末）阅读材料：我们已经知道，形如的无理数的化简要借助平方差公式： 例如：．下面我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用． 问题提出：该如何化简？ 建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这样＝m，， 那么便有：（a＞b）， 问题解决：化简：， 解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即＝7， ∴． 模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式： （1）； （2）； 模型应用2： （3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4﹣，AC＝，那么BC边的长为多少？（结果化成最简）． 46．（2022春•诸城市校级期中）先阅读下面两段材料，然后解答问题： 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，，一样的式子，分母中含有根号，其实我们还可以将其进一步化简：；；．以上这种化简的过程叫分母有理化． 解答问题： （1）化简：＝　　；＝　　；＝　﹣　； （2）利用上面所提供的解法，请化简：． 材料二：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，使得，，那么便有： 例如：化简 解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即：， 所以． 解答问题： （3）填空：＝　　 ，＝　 　； （4）化简：（请写出化简过程）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 二次根式的综合（十大题型） 重难点题型归纳 【题型01：二次根式的概念】 【题型02：二次根式有意义的条件】 【题型03：判断二次根式的性质化简】 【题型04：同类二次根式的概念】 【题型05：二次根式的混合运算】 【题型06：二次根式的化简求值】 【题型07：二次根式的应用】 【题型08：二次根式中新定义问题】 【题型09：利用分母有理化化简求值】 【题型10：以二次根式为背景的材料阅读体二次根式中新定义问题】 【题型01：二次根式的概念】 1．下列式子是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义及相关基础是解题的关键，根据二次根式的定义：一般形如的代数式叫做二次根式；双重非负性：是一个非负数．其中，也是一个非负数，逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、不符合二次根式的形式，故此选项不符合题意； B、符合二次根式的形式，同样也符合二次根式的性质，故此选项符合题意； C、不符合二次根式被开方数为非负数的性质，故此选项不符合题意； D、当时不符合二次根式被开方数为非负数的性质，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．下列式子中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，熟记“形如的式子叫做二次根式”是解题关键． 【详解】解：A、不是二次根式，不符合题意； B、不是二次根式，不符合题意； C、不是二次根式，不符合题意； D、是二次根式，符合题意； 故选：D 3．下列各式中一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据二次根式的定义逐一判断即可求解，熟练掌握式子叫做二次根式是解题的关键． 【详解】解：A、，则不是二次根式，故不符合题意； B、是三次根式，故不符合题意； C、，则不是二次根式，故不符合题意； D、是二次根式，故不符合题意； 故选D． 【题型02：二次根式有意义的条件】 4．二次根式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 解得，， 故选：B． 5．在二次根式中，a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式被开方数为非负数得出，求解即可得解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：D． 6．若二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和在数轴上表示不等式的解集，根据被开方数不小于零的条件进行解题即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得． 故选：C． 7．当时，二次根式的值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的化简，掌握利用二次根式的性质进行化简的方法是解题关键．二次根式的性质：．把代入二次根式，再利用二次根式的性质进行化简即可求解． 【详解】解：将代入得， ， 故选：B． 8．如果二次根式有意义，那么x的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0进行求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， 故选：A． 【题型03：判断二次根式的性质化简】 8．（2023秋•海口期末）化简（﹣）2的结果是（　　） A．﹣8 B．8 C．±8 D．16 【答案】B 【解答】解：原式＝8． 故选：B． 9．（2023秋•覃塘区期末）若7＜m＜9，则化简的结果是（　　） A．15﹣2m B．2m﹣15 C．5 D．﹣5 【答案】C 【解答】解：∵7＜m＜9， ∴5﹣m＜0，m﹣10＜0， ∴ ＝m﹣5+10﹣m ＝5， 故选：C． 10．（2023秋•射洪市期末）已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为（　　） A．2 B．﹣2 C．2a﹣6 D．﹣2a+6 【答案】A 【解答】解：根据实数a在数轴上的位置得知：2＜a＜4， 即：a﹣2＞0，a﹣4＜0， 故原式＝a﹣2+4﹣a＝2． 故选：A． 11．（2023秋•怀化期末）若实数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，则的结果是（　　） A．a﹣c B．﹣a﹣2b+c C．﹣a﹣c D．﹣a+c 【答案】C 【解答】解：由题意得： a＜b＜0＜c， ∴b﹣c＜0， ∴ ＝|a|+|b|﹣（c﹣b） ＝﹣a+（﹣b）﹣c+b ＝﹣a﹣b﹣c+b ＝﹣a﹣c， 故选：C． 12．（2023秋•曲阳县期末）若，则x的取值范围是（　　） A．x＞3 B．x≥3 C．x＜3 D．x≤3 【答案】B 【解答】解：∵， 即x﹣3≥0， 解得x≥3， 故选：B． 13．（2023秋•岳麓区校级期末）若＝3﹣x成立，则x满足得条件（　　） A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x＜3 【答案】B 【解答】解：∵＝|3﹣x|＝3﹣x， ∴3﹣x≥0，解得x≤3． 故选：B． 14．（2023秋•鄞州区校级期末）若某三角形的三边长分别为2，5，n，则化简+|8﹣n|的结果为（　　） A．5 B．2n﹣10 C．2n﹣6 D．10 【答案】A 【解答】解：∵三角形的三边长分别为2，5，n， ∴5﹣2＜n＜5+2， ∴3＜n＜7， ∴+|8﹣n| ＝|3﹣n|+|8﹣n| ＝n﹣3+8﹣n ＝5， 故选：A． 【题型04：同类二次根式的概念】 15．（2023秋•宁德期末）下列根式化简后不能与合并的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A，能合并，本选项不合题意； B、＝2，能合并本选项不合题意； C、＝3，本选项符合题意； D、＝3，本选项不合题意， 故选：C． 16．（2023秋•唐山期末）下列二次根式中，可与进行合并的二次根式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：＝2， A、与是同类二次根式，符合题意； B、与不是同类二次根式，不符合题意； C、＝3，与不是同类二次根式，不符合题意； D，＝2，与不是同类二次根式，不符合题意， 故选：A． 17．（2023秋•岳阳楼区期末）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【解答】解：A． 与都化成了最简，被开方数不同，不能合并，不是同类二次根式，不符合题意； B． ，与被开方数不同，不能合并，不是同类二次根式，不符合题意； C． 与都化成了最简，被开方数不同，不能合并，不是同类二次根式，不符合题意； D． ，与被开方数相同，能合并，是同类二次根式，符合题意； 故选：D． 18．（2023秋•鼓楼区校级期末）最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则a的值是（　　） A．a＝1 B．a＝﹣1 C．a＝2 D．a＝﹣2 【答案】A 【解答】解：由题意可知：a+1＝2a， 解得：a＝1， 故选：A． 【题型05：二次根式的混合运算】 19．（2024•沙坪坝区校级开学）计算： （1）﹣×（+2）+（）0； （2）． 【答案】（1）﹣1； （2）24﹣6． 【解答】解：（1）﹣×（+2）+（）0 ＝3﹣2﹣2+1 ＝﹣1； （2） ＝（）2﹣2××3+32+（）2﹣（）2 ＝11﹣6+9+6﹣2 ＝24﹣6． 20．（2023秋•泉州期末）计算：． 【答案】见试题解答内容 【解答】解： ＝+﹣（2﹣2） ＝+﹣2+2 ＝2． 25．（2023秋•福田区校级期末）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）12； （2）． 【解答】解：（1） ＝ ＝ ＝12； （2） ＝ ＝ ＝． 21．（2023秋•渠县期末）计算： （1）﹣×； （2）（3）（3﹣）﹣（）2． 【答案】（1）4+； （2）2． 【解答】解：（1）原式＝﹣+2 ＝4﹣+2 ＝4+； （2）原式＝9﹣5﹣（3﹣2+1） ＝4﹣4+2 ＝2． 22．（2023秋•永定区期末）计算： （1）． （2）． 【答案】（1）1； （2）2﹣8． 【解答】解：（1）原式＝+2﹣+1﹣2 ＝+2﹣+1﹣2 ＝1； （2）原式＝5﹣9﹣（3﹣2+1） ＝﹣4﹣4+2 ＝2﹣8． 23．（2023秋•昌黎县期末）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）1； （2）6﹣2． 【解答】解：（1） ＝﹣﹣（﹣1）+3 ＝﹣2﹣+1+3 ＝1； （2） ＝4﹣3+3﹣2+2 ＝6﹣2． 【题型06：二次根式的化简求值】 24．（2023秋•澧县期末）已知，，求下列各式的值． （1）a+b和ab； （2）a2+ab+b2． 【答案】（1）；2；（2）18． 【解答】解：（1）a+b＝++﹣＝2； ab＝（+）（﹣） ＝（）2﹣（）2 ＝5﹣3 ＝2； （2）a2+ab+b2 ＝（a+b）2﹣ab ＝（2）2﹣2 ＝20﹣2 ＝18． 25．（2023秋•岳阳楼区期末）若a＝+2，b＝﹣2． （1）求a2﹣b2． （2）求a3b+ab3． 【答案】（1）8； （2）18． 【解答】解：（1）原式＝（a+b）（a﹣b） ＝（+2+﹣2）（+2﹣+2） ＝2×4 ＝8； （2）∵，， ∴，， 则a3b+ab3 ＝ab（a2+b2） ＝ab[（a+b）2﹣2ab] ＝ ＝18； 26．（2023秋•子洲县期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】x﹣5；1﹣2． 【解答】解：原式＝＝， 当时， 原式＝． 27．（2022秋•晋江市期末）先化简，再求值：，其中a＝﹣． 【答案】a2﹣3，3． 【解答】解：原式＝a2﹣2+a2﹣1 ＝2a2﹣3， 把a＝﹣代入得： 原式＝2×（﹣）2﹣3 ＝2×3﹣3 ＝6﹣3 ＝3． 28．（2023春•铁岭期末）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝2+． 【答案】见试题解答内容 【解答】解： （1﹣）÷ ＝× ＝× ＝ ∴当x＝2+时， 原式＝＝． 29．（2023春•铁西区期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：， ＝x2﹣2+x2﹣x， ＝2x2﹣x﹣2， 当—2时， 原式＝ ＝） ＝． 35．（2023春•临高县期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】2a﹣6；2﹣8． 【解答】解：原式＝a2﹣6﹣a2+2a ＝2a﹣6， 当a＝﹣1时，原式＝2（﹣1）﹣6＝2﹣2﹣6＝2﹣8． 【题型07：二次根式的应用】 30．（2023秋•开福区校级期末）已知一个长方形相邻的两边长分别是a，b，且，． （1）求此长方形的周长； （2）若一个正方形的周长与上述长方形的周长相等，求此正方形的面积． 【答案】（1）6； （2）4.5． 【解答】解：（1）∵a＝＝，b＝＝2， ∴矩形的周长为：2（a+b）＝2×（）＝6； （2）设这个正方形的边长为m， 由题意得，4m＝6， 解得，m＝， ∴S正方形＝（）2＝4.5． 31．（2023秋•南昌期末）有一块矩形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出面积分别为18dm2和32dm2的两块正方形木板． （1）截出的两块正方形木板的边长分别为 　3　dm，　4　dm； （2）求剩余木板的面积； （3）如果木工师傅想从剩余的木板中截出长为1.5dm、宽为1dm的矩形木条，最多能截出 　2　个这样的木条． 【答案】（1）3，4； （2）6dm2； （3）2． 【解答】解：（1）根据题意得：截出的两块正方形木料的边长分别为＝3dm，＝4dm， 故答案为：3，4； （2）根据题意得：矩形的长为3（dm），宽为4dm， ∴剩余木板的面积＝（7）﹣18﹣32＝6（dm2）； （3）根据题意得：从剩余的木料的长为3dm，宽为4＝（dm）， ∵3，， ∴能截出2×1＝2块这样的木条． 故答案为：2． 32．（2023•晋城模拟）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t＝（不考虑风速的影响，g≈10m/s2）． （1）求从60m高空抛物到落地的时间．（结果保留根号） （2）已知高空坠物动能（单位：J）＝10×物体质量（单位：kg）×高度（单位：m），某质量为0.2kg的玩具被抛出后经过3s后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由．（注：伤害无防护人体只需要65J的动能） 【答案】（1）2s； （2）这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人． 【解答】解：（1）由题意知h＝60m， ∴t＝＝＝2（s）， 故从60m高空抛物到落地的时间为2s； （2）这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人， 理由：当t＝3s时，3＝， ∴h＝45， 经检验，h＝45是原方程的根， ∴这个玩具产生的动能＝10×0.2×45＝90（J）＞65J， ∴这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人． 33．（2023春•海东市期末）如图，长和宽分别是a，b的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形． （1）用含a，b，x的代数式表示纸片剩余部分的面积； （2）当a＝20+2，b＝20﹣2，x＝，求剩余部分的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）剩余部分的面积为：ab﹣4x2； （2）把a＝20+2，b＝20﹣2，x＝代入ab﹣4x2得： （20+2）（20﹣2）﹣4×（）2 ＝400﹣8﹣4×2 ＝400﹣8﹣8 ＝384． 【题型08：二次根式中新定义问题】 34．（2023秋•沈丘县期末）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n﹣mn﹣3n，如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．则（﹣2）※结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：原式＝（﹣2）2×﹣（﹣2）×﹣3 ＝4+2﹣3 ＝3， 故选：A． 35．（2023秋•沈丘县期中）对于任意的正数m，n，定义运算※：m※n＝，计算（3※2）×（8※12）的结果为（　　） A．2﹣4 B．2 C．2 D．20 【答案】B 【解答】解：∵m※n＝， ∴3※2＝﹣，8※12＝+＝2+2， ∴（3※2）×（8※12）＝（﹣）×（2+2）＝2， 故选：B． 36．（2023秋•龙泉市期中）定义“★”是一种新运算，对于任意实数a，b（a≠b）．当a＞b时，a★b＝a2﹣b，当a＜b时，a★b＝a﹣b2．例如：2★1＝22﹣1＝3，1★2＝1﹣22＝﹣3，那么：2★[（﹣2）★（﹣）]＝　9　． 【答案】9． 【解答】解：由题意得：2★[（﹣2）★（﹣）] ＝2★[（﹣2）﹣（﹣）2] ＝2★[（﹣2）﹣3] ＝2★（﹣5） ＝22﹣（﹣5） ＝4+5 ＝9， 故答案为：9 37．（2022秋•吉州区期末）定义：若两个二次根式a，b满足a•b＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． （1）若a与是关于4的共轭二次根式，则a＝　2　； （2）若与是关于12的共轭二次根式，求m的值． 【答案】（1）2； （2）m＝﹣2． 【解答】解：（1）∵a与是关于4的共轭二次根式， ∴＝4． ∴a＝＝2； 故答案为：2； （2）∵与是关于12的共轭二次根式， ∴． ∴18+6+3m+3m＝12． ∴m（3+3）＝﹣6﹣6． ∴m＝﹣2． 38．（2023秋•雁塔区校级期中）定义：若两个二次根式a，b满足a•b＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的因子二次根式． （1）若a与是关于4的因子二次根式，则a＝　　； （2）若与是关于2的因子二次根式，求m的值． 【答案】（1）；（2）． 【解答】解：（1）根据题意得a×＝4， 解得a＝， 故答案为：； （2）根据题意得（﹣1）×＝2， 所以 解得 即m的值为 ． 【题型09：利用分母有理化化简求值】 39．（2023秋•虹口区校级期末）计算：＝　﹣1　． 【答案】﹣1． 【解答】解：原式＝+ ＝﹣1﹣+ ＝﹣1． 故答案为：﹣1． 40．（2023秋•化州市期末）阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ＝＝＝﹣1 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 参照上面的方法化简：＝　﹣　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：＝＝＝﹣． 故答案为：﹣． 41．（2022秋•河间市校级期末）阅读下列解题过程：，，请回答下列问题： （1）观察上面的解答过程，请写出＝　　； （2）利用上面的解法，请化简：． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）＝， 故答案为：； （2）， ＝， ＝﹣1， ＝9． 42．（2023秋•南山区校级期中）阅读下面问题： ＝＝﹣1； ＝＝﹣； ＝＝﹣2． （1）求的值； （2）计算：+++…++． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）原式＝＝﹣； （2）原式＝﹣1+﹣+…+﹣+﹣＝10﹣1＝9． 43．（2023春•百色期末）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题： 例1：﹣1， 例2：＝，，，… （1）＝　　，＝　　； （2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律； （3）利用上面的结论，求下列式子的值． ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）＝；＝ （2） （3） ＝， ＝ ＝10﹣1 ＝9． 【题型10：以二次根式为背景的材料阅读体二次根式中新定义问题】 44．（2023春•浏阳市期中）像•＝2：（+1）（﹣1）＝2：（+）（﹣）＝3…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式，爱动脑筋的小明同学在进行二次根式计算时，利用有理化因式化去分母中的根号． （1）＝＝； （2）＝＝＝3+2． 勤奋好学的小明发现：可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数． （3）化简：﹣． 解：设x＝﹣，易知＞，∴x＞0． 由：x2＝3++3﹣﹣2＝6﹣2＝2．解得x＝． 即﹣＝． 请你解决下列问题： （1）2﹣3的有理化因式是 　2+3　； （2）化简：++； （3）化简：﹣． 【答案】（1）2+3； （2）+； （3）2． 【解答】解：（1）2﹣3的有理化因式是2+3， 故答案为：2+3； （2）原式＝++ ＝++2+ ＝+； （3）原式＝﹣ ＝﹣ ＝+1﹣+1 ＝2． 45．（2022秋•济南期末）阅读材料：我们已经知道，形如的无理数的化简要借助平方差公式： 例如：．下面我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用． 问题提出：该如何化简？ 建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这样＝m，， 那么便有：（a＞b）， 问题解决：化简：， 解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即＝7， ∴． 模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式： （1）； （2）； 模型应用2： （3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4﹣，AC＝，那么BC边的长为多少？（结果化成最简）． 【答案】（1）1+； （2）2﹣； （3）2﹣2． 【解答】解：（1）这里m＝6，n＝5，由于1+5＝6，1×5＝5， 即12+（）2＝6，1×＝， 所以： ＝ ＝ ＝1+； （2）首先把化为，这里m＝13，n＝40，由于5+8＝13，5×8＝40， 即（）2+（）2＝13，×＝， 所以 ＝ ＝ ＝ ＝﹣ ＝2﹣； （3）在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2， 所以， 所以，． 46．（2022春•诸城市校级期中）先阅读下面两段材料，然后解答问题： 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，，一样的式子，分母中含有根号，其实我们还可以将其进一步化简：；；．以上这种化简的过程叫分母有理化． 解答问题： （1）化简：＝　　；＝　　；＝　﹣　； （2）利用上面所提供的解法，请化简：． 材料二：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，使得，，那么便有： 例如：化简 解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即：， 所以． 解答问题： （3）填空：＝　　，＝　　； （4）化简：（请写出化简过程）． 【答案】（1）；；﹣；（2）9；（3）；；（4）． 【解答】解：（1）＝； ＝； ＝； 故答案为：；；﹣； （2）原式＝ ＝﹣1+10 ＝9； （3）＝， ＝， 故答案为：；； （4）． 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