专题1.3 三角形的内角和定理【八大题型】-2024-2025学年八年级数学上册举一反三系列（浙教版）

专题1.3 三角形的内角和定理【八大题型】 【浙教版】 【题型1 证明三角形内角和】 1 【题型2 由三角形内角和直接求角度】 3 【题型3 由三角形内角和判断三角形形状】 4 【题型4 三角形内角和与平行线的综合运用】 4 【题型5 三角形内角和与翻折的综合运用】 5 【题型6 三角形内角和与角平分线的综合运用】 7 【题型7 三角形内角和与三角板的综合运用】 8 【题型8 由三角形内角和定理探究角度之间的关系】 9 知识点1：三角形的内角和定理 （1）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于． （2）因为三角形三个内角的和等于，所以任何一个三角形中至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角． 【提示】（1）三角形内角和定理适用于任意三角形． （2）任何一个三角形中，至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角． 【题型1 证明三角形内角和】 【例1】（23-24八年级·河北邢台·阶段练习）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中能证明“三角形的内角和是”的有（    ） ①如图1，过点C作； ②如图2，过上一点D分别作，； ③如图3，延长到点F，过点C作； ④如图4，过点C作于点D． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【变式1-1】（23-24八年级·全国·课堂例题）如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称： ．    【变式1-2】（23-24八年级·河北石家庄·阶段练习）下面是一道习题，需要填写符号处的内容，下列填写正确的是（    ） 已知：．求证：． 证明：如图，过点C作． ∵（已知）， ∴★，■（①）． ∵（②）， ∴（等量代换）．    A．★处填2 B．■处填1 C．①内错角相等，两直线平行 D．②平角定义 【变式1-3】（23-24·重庆忠县·八年级统考期末）三角形的内角和定理是初中数学学习中的一个重要定理，下面给出了该定理的一种证明方法． 已知：如图， ． 求证：． 证明：作的延长线，在外部，以为一边，作． 所以，（内错角相等，两直线平行）． 所以，（ ）． 因为，，，组成一个平角， 所以，（平角的定义）， 所以，（ ）． (1)请将上面的“已知”和推理“依据”补充完整； (2)该定理有多种证明方法，请再写出一种证明方法． 【题型2 由三角形内角和直接求角度】 【例2】（23-24八年级·江苏宿迁·期末）如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．若为倍角三角形，，则 ． 【变式2-1】（23-24八年级·新疆巴音郭楞·期末）如图1是某款婴儿手推车，如图2是其侧面的示意图，若，，，则的度数为 ． 【变式2-2】（23-24八年级·福建宁德·期末）将沿方向平移得到．若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24八年级·江苏宿迁·期末）已知：如图，在四边形中，点在上，与互余，且，试猜想与的位置关系，并说明理由． 【题型3 由三角形内角和判断三角形形状】 【例3】（23-24八年级·河北廊坊·期中）如图，当时，该三角形的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【变式3-1】（23-24八年级·广西梧州·期中）中，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角二角形 D．无法确定 【变式3-2】（23-24八年级·安徽淮北·阶段练习）如果一个三角形的两个内角都小于30°，那么这个三角形的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【变式3-3】（23-24八年级·重庆秀山·期中）中，，请判断三角形的形状并证明． 【题型4 三角形内角和与平行线的综合运用】 【例4】（23-24八年级·河南平顶山·期末）如图，△CEF中，∠E=70°，∠F=50°，且AB∥CF ，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是（    ）    A．40° B．45° C．50° D．60° 【变式4-1】（23-24八年级·四川成都·期末）如图，ABCD，AC与BD相交于点O，若∠A＝25°，∠D＝45°，则∠AOB的大小为（　　） A．90° B．110° C．120° D．135° 【变式4-2】（23-24八年级·陕西渭南·期中）如图，在三角形中，点D，H，E分别是边，，上的点，连接，，F为上一点，连接，若，，．则的度数为 ． 【变式4-3】（23-24八年级·湖北孝感·期中）如图，直线，点A，B分别是，上的动点，点G在上，，和的角平分线交于点D，若，则m的值为 ．    【题型5 三角形内角和与翻折的综合运用】 【例5】（23-24八年级·江苏扬州·期末）如图，、是边、上的点，沿翻折后得到，沿翻折后得到，且点在边上，沿翻折后得到，且点在边上，若，则（    ）    A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24八年级·江苏连云港·期中）如图，将直角三角形纸片沿（D是斜边上一点）折叠，使点B落在点处，若，则的度数是 °．（用含的代数式表示）    【变式5-2】（23-24八年级·广西南宁·期中）如图，在折纸活动中，小李制作了一张的纸片，点，分别在边，上，将沿着折叠压平，与重合，若，则 .    【变式5-3】（23-24八年级·福建漳州·期中）如图，在中，，，D是线段上一个动点，连接，把沿折叠，点C落在同一平面内的点E处，当平行于的边时，的度数为 ． 【题型6 三角形内角和与角平分线的综合运用】 【例6】（23-24八年级·江苏淮安·期末）如图，中，，，平分，于D，，则的度数 ． 【变式6-1】（23-24八年级·江苏徐州·期中）如图，、是的角平分线，与交于点，， （用含的代数式表示）. 【变式6-2】（23-24八年级·辽宁营口·期中）如图，中，是边上的高，分别是、的平分线， ，，则（    ）． A． B． C． D． 【变式6-3】（23-24八年级·江苏苏州·期中）新定义：在中，若存在一个内角是另外一个内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称为n倍角三角形．例如，，可知，所以为2倍角三角形． (1)在中，，则为 倍角三角形． (2)如图1，直线与直线相交于O，；已知、的角平分线交于点C，在中，在中，如果有一个角是另一个角的2倍，请求出的度数． (3)如图2，直线⊥直线于点O，点A、点B分别在射线上，已知、的角平分线分别与的角平分线所在的直线交于点、．若为3倍角三角形，试求的度数． 【题型7 三角形内角和与三角板的综合运用】 【例7】（23-24八年级·江西南昌·期末）将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，，，小明得到下列结论： ①如果，则； ②； ③如果，则； ④如果，则． 其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式7-1】（23-24八年级·安徽六安·期末）生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，将一副学生用三角板按如图所示的方式放置．若，则的度数是 ． 【变式7-2】（23-24八年级·河北唐山·期末）如图，将一副三角板的直角顶点重合，且使，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（23-24八年级·湖北随州·期末）将一副学生用的三角板（一个锐角为30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角形）如图叠放，则下列4个结论中正确的个数有（    ） ①∠AOC＋∠BOD＝90°；②∠AOC＝∠BOD；③∠AOC－∠CEA＝15°；④如果OB平分∠DOC，则OC平分∠AOB A．0 B．1 C．2 D．3 【题型8 由三角形内角和定理探究角度之间的关系】 【例8】（23-24八年级·全国·单元测试）如图1，已知线段相交于点，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．    (1)求证：； (2)如图2，若和的平分线、相交于点，且与分别相交于点． ①以线段为边的“8字型”有__________个，以点为交点的“8字型”有__________个； ②若，求的度数； ③若角平分线中角的关系改为，试探究与之间存在的数量关系，并证明理由． 【变式8-1】（23-24八年级·江苏南京·期末）如图，中，，点、分别在边、上，，则下面关于与的关系中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（23-24八年级·江西南昌·期中）已知如图，在中，，分别是的高和角平分线，若，    (1)求的度数． (2)求与，的关系，并说明理由． 【变式8-3】（23-24八年级·江苏连云港·期末）如图1，过直线外一点作，连接，，的平分线与交于点，点是线段上一动点（不与重合），连接． (1)若，则_____________°，________________°； (2)若，求证：； (3)如图2，的平分线与交于点，连接，若，，试求之间的等量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 三角形的内角和定理【八大题型】 【浙教版】 【题型1 证明三角形内角和】 1 【题型2 由三角形内角和直接求角度】 6 【题型3 由三角形内角和判断三角形形状】 8 【题型4 三角形内角和与平行线的综合运用】 10 【题型5 三角形内角和与翻折的综合运用】 13 【题型6 三角形内角和与角平分线的综合运用】 18 【题型7 三角形内角和与三角板的综合运用】 22 【题型8 由三角形内角和定理探究角度之间的关系】 26 知识点1：三角形的内角和定理 （1）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于． （2）因为三角形三个内角的和等于，所以任何一个三角形中至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角． 【提示】（1）三角形内角和定理适用于任意三角形． （2）任何一个三角形中，至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角． 【题型1 证明三角形内角和】 【例1】（23-24八年级·河北邢台·阶段练习）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中能证明“三角形的内角和是”的有（    ） ①如图1，过点C作； ②如图2，过上一点D分别作，； ③如图3，延长到点F，过点C作； ④如图4，过点C作于点D． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，平行线的性质，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得答案． 【详解】①∵， ∴， ∵， ∴，故①符合题意， ②∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，故②符合题意， ③∵， ∴， ∵， ∴，故③符合题意， ④ ， ， 不能证明“三角形的内角和等于”故④不符合题意， 故选：A． 【变式1-1】（23-24八年级·全国·课堂例题）如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称： ．    【答案】三角形内角和定理 【分析】根据折叠前后的两个角相等，把三角形的三个角转化为一个平角，可以得到三角形内角和定理． 【详解】解：根据折叠的性质，，      ∵， ∴， ∴定理为：三角形内角和定理． 故答案为：三角形内角和定理． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理的证明，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键． 【变式1-2】（23-24八年级·河北石家庄·阶段练习）下面是一道习题，需要填写符号处的内容，下列填写正确的是（    ） 已知：．求证：． 证明：如图，过点C作． ∵（已知）， ∴★，■（①）． ∵（②）， ∴（等量代换）．    A．★处填2 B．■处填1 C．①内错角相等，两直线平行 D．②平角定义 【答案】D 【分析】根据题意结合平行线的性质进行证明判断即可． 【详解】证明：如图，过点C作． ∵（已知）， ∴1，2（两直线平行，内错角相等）． ∵（平角定义）， ∴（等量代换）．    故选D 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，正确理解题意是解题的关键． 【变式1-3】（23-24·重庆忠县·八年级统考期末）三角形的内角和定理是初中数学学习中的一个重要定理，下面给出了该定理的一种证明方法． 已知：如图， ． 求证：． 证明：作的延长线，在外部，以为一边，作． 所以，（内错角相等，两直线平行）． 所以，（ ）． 因为，，，组成一个平角， 所以，（平角的定义）， 所以，（ ）． (1)请将上面的“已知”和推理“依据”补充完整； (2)该定理有多种证明方法，请再写出一种证明方法． 【答案】(1)、、是的三个内角；两直线平行，同位角相等；等量代换 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的判定与性质： （1）在外部，以为一边，作．根据平行线的判定与性质及平角定义求解即可； （2）过点A作，根据平行线的性质°，由此证明即可． 【详解】（1）解：已知：如图，、、是的三个内角． 求证：． 证明：如图，作的延长线，在外部，以为一边，作． 所以，（内错角相等，两直线平行）． 所以，（两直线平行，同位角相等）． 因为，组成一个平角， 所以，（平角的定义）， 所以，（等量代换）． （2）证明：如图，过点A作， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）． （两直线平行，同旁内角互补）． 即． ∴． 【题型2 由三角形内角和直接求角度】 【例2】（23-24八年级·江苏宿迁·期末）如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．若为倍角三角形，，则 ． 【答案】或或或 【分析】该题主要考查了三角形内角和定理，解题的关键是分类讨论． 根据“倍角三角形”定义分为当时，当时，当时，当时，结合三角形内角和定理求解即可； 【详解】解：当时，； 当时，，； 当时，，解得：； 当时，，解得：； 故答案为：或或或． 【变式2-1】（23-24八年级·新疆巴音郭楞·期末）如图1是某款婴儿手推车，如图2是其侧面的示意图，若，，，则的度数为 ． 【答案】/85度 【分析】本题考查平行线的性质和三角形内角和定理，根据平行线的性质可得，利用三角形内角和定理得出的度数，即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 【变式2-2】（23-24八年级·福建宁德·期末）将沿方向平移得到．若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键．根据图形平移，图形的大小不变，对应角、对应边相等即可求解． 【详解】解：根据题意，由平移的性质得：， ∴， 故选：B ． 【变式2-3】（23-24八年级·江苏宿迁·期末）已知：如图，在四边形中，点在上，与互余，且，试猜想与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了垂线的定义，余角的定义，三角形内角和定理，根据，推出，进而得到，由，得到，从而得到，推出． 【详解】解：，理由见如下： ， ， ， ， ， ， ． 【题型3 由三角形内角和判断三角形形状】 【例3】（23-24八年级·河北廊坊·期中）如图，当时，该三角形的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的分类．利用三角形内角和定理得到，结合已知计算即可求解． 【详解】解：如图，且， ∴， ∴， ∴， ∴该三角形的形状是直角三角形， 故选：B． 【变式3-1】（23-24八年级·广西梧州·期中）中，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角二角形 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，根据在中，，可求出的度数，即可得出结论，熟知三角形内角和是是解答本题的关键． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 故选：B． 【变式3-2】（23-24八年级·安徽淮北·阶段练习）如果一个三角形的两个内角都小于30°，那么这个三角形的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：∵三角形的两个内角都小于30°， ∴这两个内角的和小于60°， ∵三个内角的和为180°， ∴另一个角大于120°， ∴这个三角形是钝角三角形， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 【变式3-3】（23-24八年级·重庆秀山·期中）中，，请判断三角形的形状并证明． 【答案】是直角三角形，证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，设，根据三角形内角和为180度建立方程，解方程求出x的值，进而求出，由此可得结论． 【详解】解；是直角三角形，证明如下； ∵， ∴可设， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴是直角三角形． 【题型4 三角形内角和与平行线的综合运用】 【例4】（23-24八年级·河南平顶山·期末）如图，△CEF中，∠E=70°，∠F=50°，且AB∥CF ，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是（    ）    A．40° B．45° C．50° D．60° 【答案】D 【分析】连接AC并延长交EF于点M．由平行线的性质得，，再由等量代换得，先求出即可求出． 【详解】连接AC并延长交EF于点M．    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的内角和定理，属于基础题型． 【变式4-1】（23-24八年级·四川成都·期末）如图，ABCD，AC与BD相交于点O，若∠A＝25°，∠D＝45°，则∠AOB的大小为（　　） A．90° B．110° C．120° D．135° 【答案】B 【分析】首先根据两直线平行，内错角相等得出∠B＝∠D＝45°，然后由△AOB的内角和为180°，求出∠AOB的大小． 【详解】解：∵ABCD， ∴∠B＝∠D＝45°． ∵∠A+∠AOB+∠B＝180°， ∴∠AOB＝180°﹣25°﹣45°＝110°． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质及三角形的内角和定理，根据平行线的性质得出∠B＝∠D＝45°是解题的关键，属于基础题型，比较简单． 【变式4-2】（23-24八年级·陕西渭南·期中）如图，在三角形中，点D，H，E分别是边，，上的点，连接，，F为上一点，连接，若，，．则的度数为 ． 【答案】 【分析】由，，得到，根据平行线的判定，得到，根据平行线的性质，得到，根据三角形内角和定理，求出的度数，即可求解， 本题考查了，平行线的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式4-3】（23-24八年级·湖北孝感·期中）如图，直线，点A，B分别是，上的动点，点G在上，，和的角平分线交于点D，若，则m的值为 ．    【答案】76 【分析】先由平行线的性质得到，再根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出m的值． 【详解】解：过点C作，   ， ，， ， ， ， ， 由题意可得为的角平分线，为的角平分线， ，， ，， ， ， ， ． 故答案为：76． 【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质和三角形内角和定理是解题的关键． 【题型5 三角形内角和与翻折的综合运用】 【例5】（23-24八年级·江苏扬州·期末）如图，、是边、上的点，沿翻折后得到，沿翻折后得到，且点在边上，沿翻折后得到，且点在边上，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理．根据折叠的性质以及三角形内角和定理得出，，将已知数据代入，即可求解． 【详解】解：如图所示，    依题意，， ∴ ， 即， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式5-1】（23-24八年级·江苏连云港·期中）如图，将直角三角形纸片沿（D是斜边上一点）折叠，使点B落在点处，若，则的度数是 °．（用含的代数式表示）    【答案】 【分析】本题考查了三角形折叠中的角度问题，根据角度间关系可得，再根据折叠性质得到，最后推出，即可得出答案，理清角度间的数量关系是解题关键． 【详解】解：， ， 将直角三角形纸片沿（D是斜边上一点）折叠，使点B落在点处， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式5-2】（23-24八年级·广西南宁·期中）如图，在折纸活动中，小李制作了一张的纸片，点，分别在边，上，将沿着折叠压平，与重合，若，则 .    【答案】/65度 【分析】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理．由折叠可得，，进而可得，结合，可得，即可求解． 【详解】解：将沿着折叠压平，与重合， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式5-3】（23-24八年级·福建漳州·期中）如图，在中，，，D是线段上一个动点，连接，把沿折叠，点C落在同一平面内的点E处，当平行于的边时，的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠问题，三角形的内角和等知识点，分两种情况，和，分别画出图形，再利用平行线的性质求解即可，正确分类并画出图形是解题的关键． 【详解】由折叠的性质得：， 设， ∵， ∴， 由题意，分以下两种情况： 如图，当时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 即； 如图，当时， ∴， ∵， ∴， 解得， 即， 综上，的大小为或． 故答案为：或． 【题型6 三角形内角和与角平分线的综合运用】 【例6】（23-24八年级·江苏淮安·期末）如图，中，，，平分，于D，，则的度数 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和以及角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和以及角平分线的定义是解题的关键．首先根据三角形的内角和定理求得的度数，根据角平分线的定义求得的度数，则可以求解，然后在中，利用内角和定理即可求得的度数． 【详解】，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式6-1】（23-24八年级·江苏徐州·期中）如图，、是的角平分线，与交于点，， （用含的代数式表示）. 【答案】 【分析】此题考查了与角平分线有关的三角形内角和定理，先求出，再利用角平分线求出，再利用三角形内角和定理即可求出答案. 【详解】解：∵， ∴， ∵、是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 【变式6-2】（23-24八年级·辽宁营口·期中）如图，中，是边上的高，分别是、的平分线， ，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了三角形内角和定理及角平分线的性质，依据是边上的高，，即可得到，依据 ，平分，即可得到，再依据是的平分线，得到，可得，熟练掌握三角形内角和定理以及角平分线定义的运用是解题的关键． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴ 故选：． 【变式6-3】（23-24八年级·江苏苏州·期中）新定义：在中，若存在一个内角是另外一个内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称为n倍角三角形．例如，，可知，所以为2倍角三角形． (1)在中，，则为 倍角三角形． (2)如图1，直线与直线相交于O，；已知、的角平分线交于点C，在中，在中，如果有一个角是另一个角的2倍，请求出的度数． (3)如图2，直线⊥直线于点O，点A、点B分别在射线上，已知、的角平分线分别与的角平分线所在的直线交于点、．若为3倍角三角形，试求的度数． 【答案】(1)3 (2)或或或 (3)或 【分析】本题考查三角形的内角和定理，余角的意义等知识，读懂新定义倍角三角形的意义和分类讨论是解决问题的基础和关键． （1）由，可知，再根据倍角三角形的定义可得结论． （2）先求出，，然后分四种情形分别求解即可． （3）先证明，，然后分四种情形分别求解即可． 【详解】（1），， ， ， 为3倍角三角形， 故答案为：3； （2）解：∵， ∴． 又∵平分，平分， ∴， ∴． ①当时， ∵， ∴； ②当时， ∵， ∴； ③当时， ∵， ∴； ④当时， ∵， ∴， ∴． 综上，在中当一个角是另一个角的2倍时，等于或或或； （3）平分，平分， ，， ， ； 又平分， ①， ②； 得：． 若为3倍角三角形： 若， ， ， ； 若， ， （不符合题意，舍去）； 若， ， ； 若， ，， （不符合题意，舍去）； 综上所述，等于或时，为3倍角三角形． 【题型7 三角形内角和与三角板的综合运用】 【例7】（23-24八年级·江西南昌·期末）将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，，，小明得到下列结论： ①如果，则； ②； ③如果，则； ④如果，则． 其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平行线的性质和判定和三角形内角和定理逐个判断即可． 【详解】解：∵∠2＝30°，∠CAB＝90°， ∴∠1＝60°， ∵∠E＝60°， ∴∠1＝∠E， ∴，故①正确； ∵∠CAB＝∠DAE＝90°， ∴∠BAE+∠CAD＝90°﹣∠1+90°+∠1＝180°，故②正确； ∵，∠B＝45°， ∴∠3＝∠B＝45°， ∵∠2+∠3＝∠DAE＝90°， ∴∠2＝45°，故③错误； ∵∠CAD＝150°，∠BAE+∠CAD＝180°， ∴∠BAE＝30°， ∵∠E＝60°， ∴∠BOE＝∠BAE+∠E＝90°， ∴∠4+∠B＝90°， ∵∠B＝45°， ∴∠4＝45°， ∵∠C＝45°， ∴∠4＝∠C，故④正确； 所以其中正确的结论有①②④共3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． 【变式7-1】（23-24八年级·安徽六安·期末）生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，将一副学生用三角板按如图所示的方式放置．若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】首先根据三角形内角和为180°，求得∠C的度数，又由AE∥BC，即可求得∠CAE的值，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得∠AFD的度数． 【详解】解：， ， ， 故答案为 【点睛】本题考查三角形内角和定理，熟练掌握计算法则是解题关键. 【变式7-2】（23-24八年级·河北唐山·期末）如图，将一副三角板的直角顶点重合，且使，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质，有同位角相等，即 ，进而求出 ，根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】如图： 故答案选A 【点睛】本题考查平行线的性质、两角互补与三角形内角和定理，找到为关键． 【变式7-3】（23-24八年级·湖北随州·期末）将一副学生用的三角板（一个锐角为30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角形）如图叠放，则下列4个结论中正确的个数有（    ） ①∠AOC＋∠BOD＝90°；②∠AOC＝∠BOD；③∠AOC－∠CEA＝15°；④如果OB平分∠DOC，则OC平分∠AOB A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据同角的余角相等可得∠AOC=∠BOD；根据三角形的内角和即可得出∠AOC-∠CEA=15°；根据角平分线的定义可判定OC平分∠AOB． 【详解】解：∵∠DOC=∠AOB=90°， ∴∠DOC-∠BOC=∠AOB-∠COB， 即∠BOD=∠AOC，故②正确； 如图，AB与OC交于点P， ∵∠CPE=∠APO，∠C=45°，∠A=30°，∠CEA+∠CPE+∠C=∠AOC+∠APO+∠A=180°， ∴∠AOC-∠CEA=15°．故③正确； 如果OB平分∠DOC，则∠DOB=∠BOC=45°， 则∠AOC=∠BOC=45°， 故OC平分∠AOB，故④正确； 由②知：∠AOC＝∠BOD，故当∠AOC=∠BOD=45°时，∠AOC＋∠BOD＝90°成立，否则不成立， 故①不正确； 综上，②③④正确，共3个， 故选：D． 【点睛】本题考查了余角以及三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知余角的性质以及三角形内角和是180°是解答此题的关键． 【题型8 由三角形内角和定理探究角度之间的关系】 【例8】（23-24八年级·全国·单元测试）如图1，已知线段相交于点，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．    (1)求证：； (2)如图2，若和的平分线、相交于点，且与分别相交于点． ①以线段为边的“8字型”有__________个，以点为交点的“8字型”有__________个； ②若，求的度数； ③若角平分线中角的关系改为，试探究与之间存在的数量关系，并证明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①3；4；②③ 【分析】（1）根据三角形内角和定理得出，，又因为和是对顶角，进而得出结论； （2）①根据题目给的8字型定义，在图2中查图形的数量即可得出答案； ②根据角平分线的定义得到，再根据三角形内角和定理得出和，两式相加，最后得出，然后把代入计算即可得到答案； ③根据，得到，，再根据三角形内角和定理得出和，两式分别相减得到和，即可得到答案 【详解】（1）证明：∵，，， ∴； （2）解：①以线段为边的“8字型”有：以和共点M组成的图形；以和共点O组成的图形；以和共点O组成的图形；共有3个；    以点为交点的“8字型”有：以和共点O组成的图形；以和共点O组成的图形；以和共点O组成的图形；以和共点O组成的图形；共有4个； 故答案为：3；4； ②以点为交点的“8字型”中，有， 以点为交点的“8字型”中，有， ， ∵、分别平分和， ， ， ， ； ③ ，， ，， 以点为交点的“8字型”中，有， 以点为交点的“8字型”中，有， ， ， ； 【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180度，也考查了角平分线的定义，灵活运用所学知识是关键． 【变式8-1】（23-24八年级·江苏南京·期末）如图，中，，点、分别在边、上，，则下面关于与的关系中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，再根据三角形内角和定理可得，，从而可得，即可求解． 【详解】解：， ， ，， ，， ， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是正确利用和的内角关系． 【变式8-2】（23-24八年级·江西南昌·期中）已知如图，在中，，分别是的高和角平分线，若，    (1)求的度数． (2)求与，的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用三角形的内角和求得，再利用角平分线的定义和直角三角形的两锐角互余求得，，进而求解即可； （2）利用三角形的内角和定理、角平分线的定义和直角三角形的两锐角互余求得，，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵，分别是的高和角平分线， ∴，， ∴； （2）解：∵，分别是的高和角平分线， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理、三角形的角平分线和高的定义，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解答的关键． 【变式8-3】（23-24八年级·江苏连云港·期末）如图1，过直线外一点作，连接，，的平分线与交于点，点是线段上一动点（不与重合），连接． (1)若，则_____________°，________________°； (2)若，求证：； (3)如图2，的平分线与交于点，连接，若，，试求之间的等量关系． 【答案】(1)25，40； (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义即可求出，根据三角形的内角和定理即可求出； （2）由平分得到，从而，再根据等角的余角相等即可得证； （3）分两种情况讨论求解：①点在线段的左侧，②点在线段的右侧． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； 故答案为：25，40 （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴； （3）解：①当点在线段的左侧时，如图，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当点在线段的右侧时，如图，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴； 综上，之间的等量关系为：或 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，角的和差，三角形的内角和定理，综合运用相关知识，掌握分类讨论思想是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$