1.2 集合间的基本关系（8大题型）-2024-2025学年高一数学同步题型分类归纳讲与练（人教A版2019必修第一册）

1.2 集合间的基本关系 知识点 1 子集与真子集 1、韦恩图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． （1）表示集合的Venn图边界是封闭曲线，它可以是圆、椭圆、矩形，也可以是其他封闭曲线． （2）用Venn图表示集合的方法叫图示法，其有点是能直观地表示出集合间的关系，缺点是集合元素的共同特征不明显． 2、子集 定义 一般地，对于两个集合、，如果集合A中任意一个元素都是集合中的元素，就称集合为集合的子集． 记法与读法 记作⊆(或⊇)，读作“包含于”(或“包含”) 图示 性质 （1）任意一个集合都是它本身的子集，即集合的子集也包括它本身，记作； （2）传递性：对于集合，如果，，则． 【注意】 （1）“是的子集”的含义：集合中的任何一个元素都是集合的元素，即由任意，能推出． （2）如果集合中存在着不是集合的元素，那么不包含于，或不包含． 3、真子集 定义 如果集合A是集合的子集，但存在元素x∈B，且，就称集合A是集合的真子集． 记法与读法 记作AB或(BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 性质 （1）任意集合都不是它本身的真子集． （2）传递性：对于集合，如果，，则． 【注意】 （1）真子集也可以叙述为：若集合，存在元素且，则称集合是集合的真子集． （2）如果集合是集合的真子集，那么集合一定是集合的子集，反之不成立． 知识点 2 集合相等 1、集合相等的概念 定义 一般地，如果集合A的任何一个元素都是B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等． 记法与读法 记作，读作“等于” 图示 【注意】 （1）若两个集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关．如． （2）如果，，则；反之，则且．这就给出了我们证明两个集合相等的方法，欲证，只需证明与都成立即可． 2、集合相等的性质 （1）如果且，则； （2）如果，则且； （3）如果，，则． 知识点 3 空集 1、空集的定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集． 2、0，{0}，，的关系 与0 与{0} 与 相同点 都表示无 的意思 都是集合 都是集合 不同点 是集合； 0是实数 中不含任何元素； {0}含一个元素0 不含任何元素； 含一个元素，该元素是 关系 ∅{∅}或∅∈{∅} 【注意】空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． 知识点 4 集合间的关系 1、韦恩图表示集合间关系 2、集合间关系与实数大小关系类比 实数 集合 定义 包含两层含义：或 包含两层含义：或 相等 若且，则 若，，则 传递性 若，，则 若，，则． 若，，则 若，，则 3、有限集的子集个数确定 如果集合A中含有n个元素，则有 （1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个． （3）A的真子集的个数有2n－1个． （4）A的非空真子集的个数有2n－2个． 1、子集、真子集的个数问题 确定子集、真子集的三个关键： （1）确定所求的集合； （2）合理分类，若集合中的元素较少，则用列举法按照子集所含元素的个数依次写出，一般按元素从少到多的顺序逐个写出满足条件的集合；若集合中的元素较多，可根据结论计算出； （3）注意两个特殊的集合，即空集和集合本身． 2、判断两个集合是否相等的方法 重点是要把握住两个原则：（1）对于元素较少的有限集，可用列举法将元素一一列举出来，看两个集合中的元素是否完全相同；（2）若两个集合是无限集，则从“互为子集”入手进行判断． 3、利用集合相等求参数 从集合相等的概念入手，寻找两个集合中元素之间的关系．首先分析一个集合中的元素与另一个集合中的哪个元素相等，共有几种情况，然后通过列方程（组）求解．当集合中未知元素不止一个时，往往要分类讨论．求出参数值后要注意检验是否满足集合中元素的互异性． 4、根据集合间的基本关系求参数的值或取值范围 对于两个集合和，或中含有待定的参数（字母），常采用分类讨论或数形结合的方法： （1）分类讨论：若，在未指明非空时，应分为和两种情况来讨论． （2）数形结合：对这种情况，在确定参数时，需要借助数轴来完成，将两个集合在数轴上表示出来，分清端点处是实心点还是空心点，确定两个集合间的包含关系，列不等式（组）求解． 题型一 子集与真子集的确定 【例1】（23-24高一上·山西临汾·月考）写出集合的一个非空子集 ． 【变式1-1】（2023·陕西西安·模拟预测）在下列集合中，是其真子集的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高一上·山西太原·月考）（多选）已知集合M满足⫋，则这样的集合M可能为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高一上·甘肃白银·月考）设集合，求集合A的所有子集以及子集的的个数. 题型二 求子集与真子集的个数 【例2】（23-24高一上·贵州贵阳·月考）集合的非空真子集的个数是（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【变式2-1】（23-24高三上·广东珠海·模拟预测）已知集合，，则集合的真子集个数为（    ） A．8 B．16 C．31 D．63 【变式2-2】（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·月考）已知集合且，则集合A的非空真子集的个数为 . 【变式2-3】（23-24高一上·新疆伊犁·期中）已知集合满足，则满足条件的集合A的个数是 . 题型三 判断两个集合是否相等 【例3】（23-24高一上·河北张家口·期中）（多选）下列集合中，可以表示为的是（    ） A． B． C． D．不等式组的解集 【变式3-1】（23-24高一上·河北石家庄·月考）下面选项中的两个集合相等的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高一上·贵州遵义·月考）（多选）给出以下几组集合，其中是相等集合的有（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式3-3】（23-24高一上·湖北襄阳·月考）（多选）下列选项中的两个集合相等的是（    ） A．是6和10的公倍数}， B．， C．， D．， 题型四 根据集合相等求参数 【例4】（23-24高二上·云南大理·期末）设集合，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高一上·湖北孝感·期中）已知集合，其中，则实数（    ） A． B． C． D．2 【变式4-2】（23-24高一上·陕西西安·月考）已知集合若，则 . 【变式4-3】已知集合，若，则c的值为 . 题型五 空集的概念与性质应用 【例5】（23-24高一上·河北·月考）如果，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高一上·广东广州·期中）下列关于空集的说法中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高一上·福建三明·月考）（多选）以下四个选项表述正确的有（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高一上·广东广州·月考）（多选）下列几个关系中不正确的是（    ） A． B． C． D． 题型六 集合关系的Venn图表示 【例6】（多选）关于下图说法正确的是（    ） A．集合A中的元素既是集合B中的元素也是集合U中的元素 B．集合A、B、U中有相同的元素 C．集合U中有元素不在集合B中 D．集合A、B、U中的元素相同 【变式6-1】（23-24高一下·四川成都·开学考试）已知全集，能表示集合与关系的图是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高一上·陕西榆林·期中）已知全集，能表示集合关系的Venn图是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式6-3】（23-24高一上·陕西·月考）下列表示集合和关系的Venn图中正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   题型七 判断两个集合的包含关系 【例7】（23-24高一下·云南·月考）已知集合，那么（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24高一上·山东日照·月考）已知集合或，，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24高一上·安徽铜陵·月考）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D．N不包含M 【变式7-3】（23-24高一上·全国·课后作业）若集合，，，则的关系是（    ） A． B． C． D． 题型八根据集合的包含关系求参数 【例8】（23-24高一上·河南商丘·期末）已知集合，，若，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．1或2 【变式8-1】（23-24高一上·福建三明·期中）（多选）设，若，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．0 【变式8-2】（23-24高一上·湖南衡阳·月考）设，，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（23-24高一上·江苏苏州·月考）已知集合，．若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2 集合间的基本关系 知识点 1 子集与真子集 1、韦恩图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． （1）表示集合的Venn图边界是封闭曲线，它可以是圆、椭圆、矩形，也可以是其他封闭曲线． （2）用Venn图表示集合的方法叫图示法，其有点是能直观地表示出集合间的关系，缺点是集合元素的共同特征不明显． 2、子集 定义 一般地，对于两个集合、，如果集合A中任意一个元素都是集合中的元素，就称集合为集合的子集． 记法与读法 记作⊆(或⊇)，读作“包含于”(或“包含”) 图示 性质 （1）任意一个集合都是它本身的子集，即集合的子集也包括它本身，记作； （2）传递性：对于集合，如果，，则． 【注意】 （1）“是的子集”的含义：集合中的任何一个元素都是集合的元素，即由任意，能推出． （2）如果集合中存在着不是集合的元素，那么不包含于，或不包含． 3、真子集 定义 如果集合A是集合的子集，但存在元素x∈B，且，就称集合A是集合的真子集． 记法与读法 记作AB或(BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 性质 （1）任意集合都不是它本身的真子集． （2）传递性：对于集合，如果，，则． 【注意】 （1）真子集也可以叙述为：若集合，存在元素且，则称集合是集合的真子集． （2）如果集合是集合的真子集，那么集合一定是集合的子集，反之不成立． 知识点 2 集合相等 1、集合相等的概念 定义 一般地，如果集合A的任何一个元素都是B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等． 记法与读法 记作，读作“等于” 图示 【注意】 （1）若两个集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关．如． （2）如果，，则；反之，则且．这就给出了我们证明两个集合相等的方法，欲证，只需证明与都成立即可． 2、集合相等的性质 （1）如果且，则； （2）如果，则且； （3）如果，，则． 知识点 3 空集 1、空集的定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集． 2、0，{0}，，的关系 与0 与{0} 与 相同点 都表示无 的意思 都是集合 都是集合 不同点 是集合； 0是实数 中不含任何元素； {0}含一个元素0 不含任何元素； 含一个元素，该元素是 关系 ∅{∅}或∅∈{∅} 【注意】空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． 知识点 4 集合间的关系 1、韦恩图表示集合间关系 2、集合间关系与实数大小关系类比 实数 集合 定义 包含两层含义：或 包含两层含义：或 相等 若且，则 若，，则 传递性 若，，则 若，，则． 若，，则 若，，则 3、有限集的子集个数确定 如果集合A中含有n个元素，则有 （1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个． （3）A的真子集的个数有2n－1个． （4）A的非空真子集的个数有2n－2个． 1、子集、真子集的个数问题 确定子集、真子集的三个关键： （1）确定所求的集合； （2）合理分类，若集合中的元素较少，则用列举法按照子集所含元素的个数依次写出，一般按元素从少到多的顺序逐个写出满足条件的集合；若集合中的元素较多，可根据结论计算出； （3）注意两个特殊的集合，即空集和集合本身． 2、判断两个集合是否相等的方法 重点是要把握住两个原则：（1）对于元素较少的有限集，可用列举法将元素一一列举出来，看两个集合中的元素是否完全相同；（2）若两个集合是无限集，则从“互为子集”入手进行判断． 3、利用集合相等求参数 从集合相等的概念入手，寻找两个集合中元素之间的关系．首先分析一个集合中的元素与另一个集合中的哪个元素相等，共有几种情况，然后通过列方程（组）求解．当集合中未知元素不止一个时，往往要分类讨论．求出参数值后要注意检验是否满足集合中元素的互异性． 4、根据集合间的基本关系求参数的值或取值范围 对于两个集合和，或中含有待定的参数（字母），常采用分类讨论或数形结合的方法： （1）分类讨论：若，在未指明非空时，应分为和两种情况来讨论． （2）数形结合：对这种情况，在确定参数时，需要借助数轴来完成，将两个集合在数轴上表示出来，分清端点处是实心点还是空心点，确定两个集合间的包含关系，列不等式（组）求解． 题型一 子集与真子集的确定 【例1】（23-24高一上·山西临汾·月考）写出集合的一个非空子集 ． 【答案】(答案不唯一） 【解析】根据非空子集定义得集合的一个非空子集为. 故答案为：. 【变式1-1】（2023·陕西西安·模拟预测）在下列集合中，是其真子集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】是自身的子集，A错； 、与没有包含关系，B、D错； ，C对；故选：C 【变式1-2】（23-24高一上·山西太原·月考）（多选）已知集合M满足⫋，则这样的集合M可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】因为⫋，故或或， ABC正确，D错误.故选：ABC 【变式1-3】（23-24高一上·甘肃白银·月考）设集合，求集合A的所有子集以及子集的的个数. 【答案】集合A的所有子集见解析，集合A的所有子集共有16个 【解析】我们根据集合的子集中含有的元素的个数分为以下五种情形： 情形一：不含任何元素的子集有； 情形二：含有一个元素的子集有； 情形三：含有两个元素的子集有； 情形四：含有三个元素的子集有； 情形五：含有四个元素的子集有； 因此集合A的所有子集共有个. 题型二 求子集与真子集的个数 【例2】（23-24高一上·贵州贵阳·月考）集合的非空真子集的个数是（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【解析】由题意知集合中有个元素， 所以集合的非空真子集的个数为，故B项正确.故选：B. 【变式2-1】（23-24高三上·广东珠海·模拟预测）已知集合，，则集合的真子集个数为（    ） A．8 B．16 C．31 D．63 【答案】C 【解析】依题意，得；；； ；；； ；；，故， 其真子集的个数为：．故选：C. 【变式2-2】（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·月考）已知集合且，则集合A的非空真子集的个数为 . 【答案】14 【解析】，故集合A的非空真子集的个数为. 故答案为：14 【变式2-3】（23-24高一上·新疆伊犁·期中）已知集合满足，则满足条件的集合A的个数是 . 【答案】 【解析】集合满足，则满足条件的集合的个数， 即为集合的真子集的个数，即为. 故答案为：. 题型三 判断两个集合是否相等 【例3】（23-24高一上·河北张家口·期中）（多选）下列集合中，可以表示为的是（    ） A． B． C． D．不等式组的解集 【答案】AB 【解析】由，A符合； 由，B符合； 由表示点集合，不是数集，C不符合； 由，解集为，D不符合.故选：AB 【变式3-1】（23-24高一上·河北石家庄·月考）下面选项中的两个集合相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A.两个集合都是点集，两个集合的元素不相同，所以不是相等集合，故A错误； B.集合表示数集，有2个元素，分别是1和0，集合是点集，只有1个元素，为， 所以不是相等集合，故B错误； C.，得，即，故C正确； D.集合是空集，但集合是非空集，里面有1个元素， 所以不是相等集合，故D错误.故选：C 【变式3-2】（23-24高一上·贵州遵义·月考）（多选）给出以下几组集合，其中是相等集合的有（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】CD 【解析】对于A，是点集，是数集，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，，故C正确； 对于D，， ，故D正确.故选：CD. 【变式3-3】（23-24高一上·湖北襄阳·月考）（多选）下列选项中的两个集合相等的是（    ） A．是6和10的公倍数}， B．， C．， D．， 【答案】AC 【解析】对于A，由于6和10的最小正公倍数为30，因此，即，A是； 对于B，由于，则，B不是； 对于C，依题意，，，即，C是； 对于D，集合是函数值的集合，为实数集， 集合是函数图象上点的集合，，D不是.故选：AC 题型四 根据集合相等求参数 【例4】（23-24高二上·云南大理·期末）设集合，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知，， 因为，所以，所以B正确.故选：B. 【变式4-1】（23-24高一上·湖北孝感·期中）已知集合，其中，则实数（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】∵集合， 当且时，结合，解得， 经检验，不符合元素的互异性，舍去； 当且时，结合，解得，经检验，符合题意， 故.故选：C. 【变式4-2】（23-24高一上·陕西西安·月考）已知集合若，则 . 【答案】 【解析】，，， 且，得. . 故答案为：. 【变式4-3】已知集合，若，则c的值为 . 【答案】 【解析】①若，消去b得， 当时，集合B中的三个元素相同，不满足集合中元素的互异性， 故，，即，此时集合B中的三个元素也相同， ∴舍去，即此时无解． ②若，消去得，同理， ∴，经检验满足题意 故答案为： 题型五 空集的概念与性质应用 【例5】（23-24高一上·河北·月考）如果，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A：是集合的一个元素，应该表示为，A错误； 对于B：是的子集，应该表示为，B错误； 对于C：是的子集，应该表示为，C错误； 对于D：是的子集，所以，D正确，故选：D 【变式5-1】（23-24高一上·广东广州·期中）下列关于空集的说法中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，因为用于元素与集合之间，故A错误； 对于BD，因为空集是任何集合的子集，故BD正确； 对于C，因为是集合中的元素，故C正确.故选：A. 【变式5-2】（23-24高一上·福建三明·月考）（多选）以下四个选项表述正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】，所以该选项错误； 空集是任何集合的子集，所以该选项正确； 由子集的定义得，所以该选项正确； 是一个集合，它和之间不能用连接，所以该选项错误.故选：AC. 【变式5-3】（23-24高一上·广东广州·月考）（多选）下列几个关系中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】对AB，元素0是集合的一个元素，故，故A错误，B正确； 对CD，空集是所有集合的子集，故，，故C正确，D错误.故选：AD 题型六 集合关系的Venn图表示 【例6】（多选）关于下图说法正确的是（    ） A．集合A中的元素既是集合B中的元素也是集合U中的元素 B．集合A、B、U中有相同的元素 C．集合U中有元素不在集合B中 D．集合A、B、U中的元素相同 【答案】ABC 【解析】由韦恩图可得，ABU，且，结合真子集的定义可知， 集合A中的元素既是集合B中的元素也是集合U中的元素，A选项正确； 集合A、B、U中有相同的元素，B选项正确； 集合U中有元素不在集合B中，C选项正确； 集合A、B、U不相等，D选项错误.故选：ABC. 【变式6-1】（23-24高一下·四川成都·开学考试）已知全集，能表示集合与关系的图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】全集，集合，， 所以，所以能表示集合、关系的图是选项B．故选：B 【变式6-2】（23-24高一上·陕西榆林·期中）已知全集，能表示集合关系的Venn图是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解析】解可得，所以， 又，所以，根据选项的Venn图可知选项A符合.故选：A 【变式6-3】（23-24高一上·陕西·月考）下列表示集合和关系的Venn图中正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解析】由题意可知集合是由6的正因数构成的集合， 而6的正因数有1，2，3，6，所以， 若，则， 即或， 即或， 分别解得或，或， 所以， 从而可知集合是部分交叉的关系.故选：A. 题型七 判断两个集合的包含关系 【例7】（23-24高一下·云南·月考）已知集合，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，“”表示集合与集合间关系，而“0”是元素，故A错； 对于BC，“”表示元素与集合间关系， 而0是集合中的元素，为集合，故B正确，C错误； 对于D，集合中，所以D错.故选：B. 【变式7-1】（23-24高一上·山东日照·月考）已知集合或，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为或，， 所以，故选：C. 【变式7-2】（23-24高一上·安徽铜陵·月考）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D．N不包含M 【答案】A 【解析】因为， ， 所以，即N包含M，故选：A 【变式7-3】（23-24高一上·全国·课后作业）若集合，，，则的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知，，， 显然可表示整数，而只能表示偶数；所以．故选：A． 题型八根据集合的包含关系求参数 【例8】（23-24高一上·河南商丘·期末）已知集合，，若，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．1或2 【答案】C 【解析】由得或，即或， 当时，； 当时，，都符合题意，故C正确.故选：C. 【变式8-1】（23-24高一上·福建三明·期中）（多选）设，若，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】ABD 【解析】因为，且， 当时，，符合题意； 当时，，又，所以或，解得或， 综上，或或.故选：ABD 【变式8-2】（23-24高一上·湖南衡阳·月考）设，，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，，，得， 所以a的取值范围是.故选：D 【变式8-3】（23-24高一上·江苏苏州·月考）已知集合，．若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，满足，此时，解得：； 当时，由得：，解得：； 综上所述：实数的取值范围为.故选：C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 $$