精品解析：辽宁省2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题

2023-2024学年度下学期期末考试高二试题 数学 命题人：盘锦高中 黄简 审题人：本溪高中 陈静 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合要求） 1 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为实数，则“”成立充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 4. 定义行列式，若行列式，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则大小关系（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 若对任意的，且，都有，则的最小值是（ ） A. B. e C. 0 D. 1 8. 已知等差数列的公差为，且集合中有且只有5个元素，则中的所有元素之积为（ ） A. 0 B. C. D. 1 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 函数的值域为 C. 若，则 D. 若幂函数，且在上是增函数，则实数 10. 已知函数是定义在R上偶函数，且，当时，，则下列选项正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的最小正周期为4 C. 偶函数 D. 11. 已知实数满足，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知是定义在R上的奇函数，且，则___________． 13. 已知数列的首项为2，D是边所在直线上一点，且，则数列的前n项和为___________． 14. 若关于x的不等式在上恒成立，则实数的取值范围___________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数 （1）判断函数的单调性并证明； （2）若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围． 16. 在生活中，喷漆房和烤漆房是重要的工业设备，它们在我们的生活中起着至关重要的作用．喷漆房的过滤系统主要作用是净化空气．能把喷漆过程中的有害物质过滤掉，过滤过程中有害物质含量（单位：）与时间（单位：h）间的关系为，其中为正常数，已知过滤2h消除了的有害物质． （1）过滤4h后还剩百分之几的有害物质？ （2）要使有害物质减少，大约需要过滤多少时间（精确到1h）？参考数据： 17. 已知数列满足． （1）证明是等比数列，并求的通项公式； （2）证明： 18. 已知函数 （1）求证：当时，有两个零点； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围． 19. 柯西不等式是数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，其形式为：，等号成立条件为或至少有一方全为0．柯西不等式用处很广，高中阶段常用来计算或证明表达式的最值问题．已知数列满足． （1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度下学期期末考试高二试题 数学 命题人：盘锦高中 黄简 审题人：本溪高中 陈静 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合要求） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出每一个集合，再求两集合的交集即可. 【详解】由，得或， 所以， 由，得，解得， 所以， 所以. 故选：C 2. 已知为实数，则“”成立的充分不必要条件是（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用充分条件与必要条件的判断方法，选项A和B，通过取特殊值，即可求解；选项C，利用单调性，即可求解；选项D，利用不等式性质得，即可求解. 【详解】对于选项A，当，满足，得不出，所以选项A错误， 对于选项B，当，满足，得不出，所以选项B错误， 对于选项C，因为在定义域上单调递增，由，得到， 即，所以选项C错误， 对于选项D，由，得到，即， 所以可以推出，但得不到， 所以选项D正确， 故选：D. 3. 已知函数，则的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用零点存在性定理，只需得到，即可得到结论． 【详解】函数的定义域为， 又函数，，在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又，， 所以， 所以零点所在的大致区间为. 故选：B. 4. 定义行列式，若行列式，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设定义得到，即可求解. 【详解】因为，由，得到， 整理得到，解得或， 故选：D 5. 已知，则的大小关系（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，由对数函数的性质知，再利用指对数函数的单调性，得即可求出结果. 【详解】由对数函数的性质知， 又在定义域上单调递增，所以， 又在定义域上单调递增，所以， 所以， 故选：B. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，求出函数的定义域，并判断出的奇偶性，利用的性质，得到时，，结合图象，可得选项C正确，选项A，B和D错误，从而求出结果. 【详解】易知函数定义域为，关于原点对称， 又， 所以为奇函数，又当时，，所以， 得到，又，所以， 得到，又，所以， 由奇函数的性质知，当时，，结合各个选项的图象， 所以选项C正确，选项A，B和D错误， 故选：C. 7. 若对任意的，且，都有，则的最小值是（ ） A. B. e C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意将原不等式转化为，令，则，则可得在上递减，则，再次转化为在上恒成立，构造函数，求出，从而可求出的范围，进而可求得答案. 【详解】因为，，所以， 所以由，得， 所以，所以， 所以， 令，则， 所以在上单调递减，所以， 所以在上恒成立， 令，则， 所以在上递减，所以， 所以，所以的最小值是0. 故选：C 8. 已知等差数列的公差为，且集合中有且只有5个元素，则中的所有元素之积为（ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件得到，利用的图象与性质知的周期为，再利用项的值是互为相反数的两个成对出现，结合条件，即可求解. 【详解】由题知，所以， 易知周期为，考虑前项的值：，，，，，，，， 因为集合中有且只有5个元素， 所以项的值必有互为相反数的二项同为，即集合中有元素，则中的所有元素之积为， 故选：A. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于，利用三角函数的周期性，集合中的元素只需考虑前项，注意到项的值是互为相反数的两个成对出现，结合条件，即可求解. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 函数的值域为 C. 若，则 D. 若幂函数，且在上是增函数，则实数 【答案】BC 【解析】 【分析】选项A，根据条件，利用抽象函数定义域的求法，即可求解；选项B，分离常量得到，令，利用的单调性，即可求解；选项C，利用指对数的互换，即可求解；选项D，利用幂函数的定义及性质，即可求解. 【详解】对于选项A，因为函数的定义域为，由，得到， 得到函数的定义域为，所以选项A错误， 对于选项B，因为，令，所以， 得到，所以函数的值域为，故选项B正确， 对于选项C，因为，得到，所以，得到，即，所以选项C正确， 对于选项D，因为为幂函数，且在上是增函数， 所以，解得，故选项D错误， 故选：BC. 10. 已知函数是定义在R上偶函数，且，当时，，则下列选项正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的最小正周期为4 C. 为偶函数 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题中条件和等式变形转化，利用对称中心、周期性和奇偶性进行各个选项的判断； 【详解】对于A，函数是偶函数， ，函数的图象关于对称，A正确 对于B，令，即， 且，两式结合得 可化简为，所以周期不是4.B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，即函数周期为8， 且函数图像关于对称，当时，， 当时，；当时，；当时，； ；； ；； ；；… 所以 ，D正确； 故选：ACD. 11. 已知实数满足，且，则下列结论正确是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，根据条件，利用基本不等式，即可求解；选项B，根据条件得到，再利用二次函数性质，即可求解；选项C，根据条件及的性质，将问题转化成，构造函数，利用函数单调性，即可求解；选项D，根据条件，同构，将问题转化成成立，构造函数，从而将问题转化成成立，再构造函数，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，且，所以， 当且仅当取等号，所以选项A正确， 对于选项B，因为， 由，得到，所以当时，取到最小值为，所以选项B错误， 对于选项C，因为，所以，即， 又易知，则，又在区间上单调递增，所以， 令，则在区间上恒成立， 即在区间上单调递增， 所以, 所以，故选项C正确， 对于选项D，因为，所以，即， 即， 令，易知在上单调递增， 所以成立，即成立， 令，所以在区间恒成立，所以，得到，所以选项D正确， 故选：ACD. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于选项C和D，选项C，根据条件及的性质，将问题转化成，构造函数，即可求解；选项D，同构，将问题转化成成立，构造函数，从而将问题转化成成立，再构造函数，即可求解. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知是定义在R上的奇函数，且，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意可得，可得，再由得到关于的方程，从而可解出，则可求出函数解析式，进而可求出. 【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以，得， 因为，所以， 所以，得，则， 所以， 经检验，满足题意， 所以. 故答案为： 13. 已知数列的首项为2，D是边所在直线上一点，且，则数列的前n项和为___________． 【答案】 【解析】 【分析】首先利用平面向量基本定理推论求得数列的递推关系式，再构造求通项公式，再代入等比数列求和公式求和. 【详解】， 所以，因为点三点共线， 所以，所以， ，即， 所以数列是首项为，公比为5的等比数列， 所以，即， 数列的前项和， ， . 故答案为： 14. 若关于x的不等式在上恒成立，则实数的取值范围___________． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，利用的单调性得到，通过变形，将问题转化成在上恒成立，构造函数，对求导，得到，再对进行分类讨论，利用导数与函数的单调性间的关系，求出函数的最小值，即可求解. 【详解】令且，则在区间上恒成立， 所以在区间上单调递增，得到， 因为 又在上恒成立，所以在上恒成立， 令，， 当时，，满足题意， 当时，在上恒成立，即在区间上单调递增， 又当时，，所以时，不满足题意， 当时，当时，，时，， 即在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，即，得到， 综上，实数的取值范围为， 故答案为：. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于利用同构，通过换元，将问题转化成在上恒成立，构造函数，将问题转化成求函数的最值，即可求解. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数 （1）判断函数的单调性并证明； （2）若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围． 【答案】（1）单调递减，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）对求导，得到，利用导数与函数单调性间的关系，即可得出结果； （2）根据条件，将问题转化成在区间上有解，令，构造函数，求出的取值范围，即可求出结果. 【小问1详解】 单调递减，证明如下， 易知定义域为，由， 得到， 因为，所以，又， 故在区间上恒成立，所以函数在区间上单调递减. 【小问2详解】 由，得到，， 又是增函数，得到在区间上有解， 即在区间上有解， 令，， 则在区间恒成立，即在区间上单调递减， 所以，故实数的取值范围. 16. 在生活中，喷漆房和烤漆房是重要的工业设备，它们在我们的生活中起着至关重要的作用．喷漆房的过滤系统主要作用是净化空气．能把喷漆过程中的有害物质过滤掉，过滤过程中有害物质含量（单位：）与时间（单位：h）间的关系为，其中为正常数，已知过滤2h消除了的有害物质． （1）过滤4h后还剩百分之几的有害物质？ （2）要使有害物质减少，大约需要过滤多少时间（精确到1h）？参考数据： 【答案】（1）还剩的有害物质 （2）大约需要过滤小时. 【解析】 【分析】（1）首先确定为初始含量，再代入条件，利用指数运算，即可求解； （2）根据（1）的结果，代入条件，转化为求解指数方程. 【小问1详解】 当时，，所以是初始有害物质的含量， 由题意可知，，得， 后有害物质含量， 所以过滤4小时后还剩的有害物质； 【小问2详解】 设过滤小时后，有害物质减少80%，即还剩20%， 则， 则， 则， 则， 所以要使有害物质减少，大约需要过滤小时. 17. 已知数列满足． （1）证明是等比数列，并求的通项公式； （2）证明： 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由递推公式，构造等比数列，再求通项公式； （2）首先由（1）的结果，放缩，再利用等比数列求和公式求和. 【小问1详解】 因为，所以，且，则， 即，所以数列是首项为，公比为7的等比数列， 所以，则； 【小问2详解】 由（1）可知，， ，即，只有当时，等号成立， 所以，只有当时，等号成立， 当时，，成立， 当时，， 综上可知，. 18. 已知函数 （1）求证：当时，有两个零点； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）当时，，则无零点，当时，通过二次求导可判断出存在唯一，使得，则在上递减，在上递增，再结合零点存在性定理可证得结论； （2）将问题转化为恒成立，构造函数，转化为证在上恒成立，连续三次求导可得在上递增，然后分和两种情况讨论即可. 【小问1详解】 证明：当时，，所以， 所以无零点， 当时，由，得， 令，则， 所以在上递增，即在上递增， 因为， 所以存在唯一，使得， 所以当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 因为，在上递增，所以， 因为， 所以存在唯一，使得， 所以有两个零点和0； 【小问2详解】 若在上恒成立，则恒成立， 设，即证在上恒成立， ，令， 则，令， 则， 因为，所以，所以在上递增， 即在上递增，所以， 所以在上递增，即在上递增， ①当时，，则， 所以在上递增， 因为，所以在上恒成立，所以， ②当时，， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 所以，所以， 因为， 所以， 所以存在，使得， 所以在上递减， 因为，所以时，不合题意， 综上，实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：考查利用导数解决函数零点问题，考查利用导数解决不等式恒成立问题，第（2）问解题的关键是将问题转化为恒成立，构造函数后再次转化为在上恒成立，然后利用导数求即可，考查数学转化思想和计算能力，属于难题. 19. 柯西不等式是数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，其形式为：，等号成立条件为或至少有一方全为0．柯西不等式用处很广，高中阶段常用来计算或证明表达式的最值问题．已知数列满足． （1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）证明：． 【答案】（1）证明见解析， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用等差数列的定义，即可证明，再根据等差数列的通项公式得到，即可求出结果； （2）利用柯西不等式得到，再利用分析法，将问题转化成证明，再利用（1）中结果，转化成证明，再利用数学归纳法，即可证明结果. 【小问1详解】 因为， 所以为常数， 又，得到， 所以数列为首项为，公差为的等差数列， 由，得到. 【小问2详解】 要证， 即证， 即证， 由柯西不等式知， 当且仅当时取等号， 即， 所以只需证明， 由（1）知， 所以只需证明， 即证明， 下面用数学归纳法证明， （1）当时，不等式左边，不等式右边，所以时，不等式成立， （2）假设时，不等式成立，即成立， 则时，， 令，则在区间上恒成立， 即在区间上单调递增，所以， 得到，取，得到， 整理得到，即， 所以， 即，不等式仍成立， 由（1）（2）知，对一切，， 所以. 【点睛】方法点睛：数列不等式的证明方法主要有：（1）作差比较法：不等式两边作差与0比较大小；（2）放缩比较法：对表达式适当放缩，证出不等式；（3）数学归纳法. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$