专题2.2 直线的方程（一）：直线方程的几种形式【九大题型】-2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题2.2 直线的方程（一）：直线方程的几种形式【九大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 直线的点斜式方程及辨析】 2 【题型2 直线的斜截式方程及辨析】 2 【题型3 直线的两点式方程及辨析】 3 【题型4 直线的截距式方程及辨析】 4 【题型5 直线的一般式方程及辨析】 5 【题型6 直线一般式方程与其他形式之间的互化】 6 【题型7 直线与坐标轴围成图形的面积问题】 6 【题型8 直线的方向向量的求解】 8 【题型9 根据直线的方向向量求直线方程】 8 【知识点1 直线的点斜式、斜截式方程】 1．直线的点斜式方程 (1)直线的点斜式方程的定义： 设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程. (2)点斜式方程的使用方法： ①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为. 2．直线的斜截式方程 (1)直线的斜截式方程的定义： 设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程. (2)斜截式方程的使用方法： 已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程. 【题型1 直线的点斜式方程及辨析】 【例1】（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）过点，倾斜角为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024高三·全国·专题练习）过点A(0，2)且倾斜角的正切值是的直线方程为（    ） A．3x－5y＋10＝0 B．3x－4y＋8＝0 C．3x＋5y－10＝0 D．3x＋4y－8＝0 【变式1-2】（23-24高二上·广东佛山·期末）斜率为，且经过点的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高二下·贵州·阶段练习）已知直线l倾斜角的余弦值为，且经过点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【题型2 直线的斜截式方程及辨析】 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）与直线垂直，且在x轴上的截距为2的直线的斜截式方程为（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高二上·安徽·期末）已知直线l的倾斜角为，且在y轴上的截距为，则l的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二上·北京西城·期末）直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2-3】（23-24高一·甘肃武威·课后作业）直线的图象可能是（    ） A．   B．   C．     D．   【知识点2 直线的两点式、截距式方程】 1．直线的两点式方程 (1)直线的两点式方程的定义： 设直线l经过两点 ()，则方程叫作直线l的两点式方程. (2)两点式方程的使用方法： ①已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当时，直线方程为 (或). ③当时，直线方程为 (或). 2．直线的截距式方程 (1)直线的截距式方程的定义： 设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程. (2)直线的截距式方程的适用范围： 选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示 过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线. (3)截距式方程的使用方法： ①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程. ②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的 坐标求解k，得到直线方程. 【题型3 直线的两点式方程及辨析】 【例3】（23-24高二上·河北邢台·阶段练习）下列直线方程是两点式方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高二·全国·课后作业）经过两点的直线方程都可以表示为（    ） A．＝ B．＝ C． D．＝ 【变式3-2】（23-24高二·全国·课后作业）有关直线方程的两点式，有如下说法： ①直线方程的两点式适用于求与两坐标轴均不垂直的直线方程； ②直线方程也可写成； ③过点，的直线可以表示成. 其中正确说法的个数为(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3-3】（23-24高二上·全国·课后作业）经过点的直线的两点式方程为（    ） A． B． C． D． 【题型4 直线的截距式方程及辨析】 【例4】（23-24高二上·江苏南通·期中）直线在轴上的截距为（    ） A． B． C．2 D．4 【变式4-1】（23-24高二上·天津南开·阶段练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式4-2】（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线有（    ）条. A．0 B．1 C．2 D．3 【变式4-3】（23-24高二上·天津和平·期中）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【知识点3 直线的一般式方程】 1．直线的一般式方程 (1)直线的一般式方程的定义： 在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程. 对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)： 当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线. 当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线. (2)一般式方程的使用方法： 直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线. 2．辨析直线方程的五种形式 方程形式 直线方程 局限性 选择条件 点斜式 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知斜率；②已知 一点 斜截式 y=kx+b 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知在y轴上的截距；②已知斜率 两点式 不能表示与x轴、 y轴垂直的直线 ①已知两个定点；②已知两个截距 截距式 不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线 ①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积 一般式 Ax+By+C=0 (A,B不全为0) 表示所有的直线 求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程 【题型5 直线的一般式方程及辨析】 【例5】（2024高二上·全国·专题练习）过点和，的直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高二上·江苏连云港·期中）如果且，那么直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式5-2】（23-24高二上·北京通州·期中）已知直线经过点，且斜率为2，则直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高三上·山东青岛·期末）对于直线，下列选项正确的为（    ） A．直线倾斜角为 B．直线在轴上的截距为 C．直线的一个方向向量为 D．直线经过第二象限 【题型6 直线一般式方程与其他形式之间的互化】 【例6】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线的倾斜角为，且在轴上的截距为，则直线的一般式方程是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24高二上·湖北·期末）过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高二上·四川凉山·阶段练习）已知直线经过第一、二、四三个象限，则（    ） A．若，则， B．若，则， C．若，则， D．若，则， 【变式6-3】（23-24高二下·湖南常德·开学考试）已知直线l过点，且与直线及x轴围成等腰三角形，则l的方程为（    ） A． B． C． D．或 【题型7 直线与坐标轴围成图形的面积问题】 【例7】（23-24高二上·辽宁辽阳·期末）直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24高二上·四川凉山·开学考试）经过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式7-2】（23-24高二上·江苏常州·期中）过点的直线l与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点．当的面积最小时，l的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2024高二·江苏·专题练习）直线l的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线l与坐标轴所围成的三角形的面积为10，则直线l的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【知识点4 方向向量与直线的参数方程】 1．方向向量与直线的参数方程 除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的. 如图1，设直线l经过点，=(m,n)是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，则向量与共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使=t，即()=t(m,n)，所以 ①. 在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数. 由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确 定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程. 【题型8 直线的方向向量的求解】 【例8】（23-24高二上·四川成都·期末）直线 的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（23-24高二上·河南许昌·期末）经过两点的直线的方向向量，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式8-2】（23-24高二上·辽宁大连·期末）直线的一个法向量是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知直线 ， 下列说法正确的是（    ） A．倾斜角为 B．倾斜角为 C．方向向量可以是 D．方向向量可以是 【题型9 根据直线的方向向量求直线方程】 【例9】（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）直线l的方向向量，且过点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（23-24高二上·河北邢台·期末）已知经过点的直线的一个方向向量为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（23-24高二上·江西·阶段练习）若直线的一个方向向量，且在轴上的截距为2，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（23-24高二上·山西运城·阶段练习）已知直线：经过定点P，直线经过点P，且的方向向量，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 直线的方程（一）：直线方程的几种形式【九大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 直线的点斜式方程及辨析】 2 【题型2 直线的斜截式方程及辨析】 3 【题型3 直线的两点式方程及辨析】 5 【题型4 直线的截距式方程及辨析】 7 【题型5 直线的一般式方程及辨析】 9 【题型6 直线一般式方程与其他形式之间的互化】 10 【题型7 直线与坐标轴围成图形的面积问题】 12 【题型8 直线的方向向量的求解】 14 【题型9 根据直线的方向向量求直线方程】 16 【知识点1 直线的点斜式、斜截式方程】 1．直线的点斜式方程 (1)直线的点斜式方程的定义： 设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程. (2)点斜式方程的使用方法： ①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为. 2．直线的斜截式方程 (1)直线的斜截式方程的定义： 设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程. (2)斜截式方程的使用方法： 已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程. 【题型1 直线的点斜式方程及辨析】 【例1】（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）过点，倾斜角为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】首先求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程. 【解答过程】由倾斜角为知，直线的斜率为，又直线过点， 所以直线方程为，化简得. 故选：C. 【变式1-1】（2024高三·全国·专题练习）过点A(0，2)且倾斜角的正切值是的直线方程为（    ） A．3x－5y＋10＝0 B．3x－4y＋8＝0 C．3x＋5y－10＝0 D．3x＋4y－8＝0 【解题思路】结合条件求直线的斜率，再利用点斜式可求结论. 【解答过程】因为所求直线的倾斜角的正切值是， 所以所求直线的斜率为， 由点斜式可知直线方程为， 即3x－5y＋10＝0. 故选：A. 【变式1-2】（23-24高二上·广东佛山·期末）斜率为，且经过点的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由直线的点斜式方程求解即可得出答案. 【解答过程】由点斜式方程可得， 化简可得：. 故选：B. 【变式1-3】（23-24高二下·贵州·阶段练习）已知直线l倾斜角的余弦值为，且经过点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意利用同角三角关系可得直线l的斜率，结合直线的点斜式方程运算求解. 【解答过程】设直线l的倾斜角为，则，可得， 则直线l的斜率， 且直线l经过点， 所以直线l的方程为，即. 故选：A. 【题型2 直线的斜截式方程及辨析】 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）与直线垂直，且在x轴上的截距为2的直线的斜截式方程为（　　） A． B． C． D． 【解题思路】首先根据垂直关系确定所求直线的斜率，设出直线方程后再根据横截距确定与x轴的交点坐标，进而求得待定系数，确定答案. 【解答过程】因为所求的直线与直线垂直，所以，得. 设所求直线为,又因为所求直线在x轴上的截距为2即过点， 求得,所以所求直线的斜截式方程为， 故选：B. 【变式2-1】（23-24高二上·安徽·期末）已知直线l的倾斜角为，且在y轴上的截距为，则l的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出斜截式方程，再化为一般式． 【解答过程】直线l的倾斜角为，则l的斜率， 所以l的方程为，即． 故选：A. 【变式2-2】（23-24高二上·北京西城·期末）直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】将直线方程化为斜截式，根据直线的斜率和截距分析判断. 【解答过程】由直线，即， 可知斜率，纵截距为， 所以直线不经过第四象限. 故选：D. 【变式2-3】（23-24高一·甘肃武威·课后作业）直线的图象可能是（    ） A．   B．   C．     D．   【解题思路】根据直线的斜截式方程的特征得到直线的斜率，直线在y轴上的截距为（），再逐一判断各个选项即可求解. 【解答过程】由直线，得：，直线的斜率，直线在y轴上的截距为， 当时，，则直线经过第一象限和第三象限，且与轴相交于轴下方； 当时，，则直线经过第二象限和第四象限，且与轴相交于轴上方； 只有B选项的图象符合题意， 故选：B. 【知识点2 直线的两点式、截距式方程】 1．直线的两点式方程 (1)直线的两点式方程的定义： 设直线l经过两点 ()，则方程叫作直线l的两点式方程. (2)两点式方程的使用方法： ①已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当时，直线方程为 (或). ③当时，直线方程为 (或). 2．直线的截距式方程 (1)直线的截距式方程的定义： 设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程. (2)直线的截距式方程的适用范围： 选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示 过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线. (3)截距式方程的使用方法： ①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程. ②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的 坐标求解k，得到直线方程. 【题型3 直线的两点式方程及辨析】 【例3】（23-24高二上·河北邢台·阶段练习）下列直线方程是两点式方程的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用直线方程的相应形式对各个选项逐个判断即可. 【解答过程】对于选项A：是斜截式方程，故A错误； 对于选项B：是点斜式方程，故B错误； 对于选项C：是截距式方程，故C错误； 对于选项D：是两点式方程，故D正确； 故选：D. 【变式3-1】（23-24高二·全国·课后作业）经过两点的直线方程都可以表示为（    ） A．＝ B．＝ C． D．＝ 【解题思路】利用直线方程的两点式即可得出. 【解答过程】当时，由两点式可得直线方程为：＝， 化为：， 对于或时上述方程也成立， 因此直线方程为：. 故选：C. 【变式3-2】（23-24高二·全国·课后作业）有关直线方程的两点式，有如下说法： ①直线方程的两点式适用于求与两坐标轴均不垂直的直线方程； ②直线方程也可写成； ③过点，的直线可以表示成. 其中正确说法的个数为(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】根据直线方程的两点式使用条件可判断①②；③式是由直线两点式化简而得，通过验证斜率为0或不存在即可验证命题真伪. 【解答过程】①正确，从两点式方程的形式看，只要，，就可以用两点式来求解直线的方程；②正确，方程与的形式有异，但实质相同，均表示过点和的直线；③显然正确. 故选：D. 【变式3-3】（23-24高二上·全国·课后作业）经过点的直线的两点式方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据两点式方程的定义结合已知条件求解 【解答过程】因为直线经过点， 所以由方程的两点式可得直线方程为，即． 故选：A. 【题型4 直线的截距式方程及辨析】 【例4】（23-24高二上·江苏南通·期中）直线在轴上的截距为（    ） A． B． C．2 D．4 【解题思路】根据直线的截距式方程即可求解. 【解答过程】由可得，所以在轴上的截距为， 故选：B. 【变式4-1】（23-24高二上·天津南开·阶段练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解. 【解答过程】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意， 又因为直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 所以直线方程为， 故所求直线方程为或.故C项正确. 故选：C. 【变式4-2】（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线有（    ）条. A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】讨论直线在两坐标轴上的截距是否为0，结合直线的截距式方程求解，即可得答案. 【解答过程】若直线经过原点，则，在坐标轴上的截距均为0，符合题意， 若截距均不为0，则设直线方程为，将代入得， 此时直线方程为，符合题意； 即经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线有2条 故选：C. 【变式4-3】（23-24高二上·天津和平·期中）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式方程即可得解. 【解答过程】当直线过原点时，方程为，符合题意， 当直线不过原点时，设直线方程为， 则，解得， 所以直线方程为， 综上，所求直线的方程为或. 故选：D. 【知识点3 直线的一般式方程】 1．直线的一般式方程 (1)直线的一般式方程的定义： 在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程. 对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)： 当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线. 当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线. (2)一般式方程的使用方法： 直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线. 2．辨析直线方程的五种形式 方程形式 直线方程 局限性 选择条件 点斜式 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知斜率；②已知 一点 斜截式 y=kx+b 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知在y轴上的截距；②已知斜率 两点式 不能表示与x轴、 y轴垂直的直线 ①已知两个定点；②已知两个截距 截距式 不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线 ①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积 一般式 Ax+By+C=0 (A,B不全为0) 表示所有的直线 求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程 【题型5 直线的一般式方程及辨析】 【例5】（2024高二上·全国·专题练习）过点和，的直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，利用直线的截距式方程求得直线的方程，再化为一般式方程，即可求解. 【解答过程】由直线过点和，可得直线的截距式得直线方程为， 整理得，即直线的一般式方程为. 故选：C. 【变式5-1】（23-24高二上·江苏连云港·期中）如果且，那么直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】 根据横截距和纵截距的范围求得正确答案. 【解答过程】由且，可得同号，异号，所以也是异号； 令，得；令，得； 所以直线不经过第三象限. 故选：C. 【变式5-2】（23-24高二上·北京通州·期中）已知直线经过点，且斜率为2，则直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用直线的点斜式方程写出方程，再化成一般式即可. 【解答过程】因直线经过点，且斜率为2，则直线方程为：，化简得：， 所以直线的一般式方程为. 故选：C. 【变式5-3】（23-24高三上·山东青岛·期末）对于直线，下列选项正确的为（    ） A．直线倾斜角为 B．直线在轴上的截距为 C．直线的一个方向向量为 D．直线经过第二象限 【解题思路】 由直线斜率与倾斜角的关系可判断A，令可判断B，得出直线上两点，可作一个确定的向量，判断该向量与是否共线即可，画出图形即可判断D. 【解答过程】因为直线的斜率为，所以直线倾斜角为，故A错误； 在中，令，解得，即直线在轴上的截距为，故B错误； 在中，令，解得，即直线过两点， ，所以直线的一个方向向量为，故C正确； 画出直线的图象如图所示， 所以直线不经过第二象限，故D错误. 故选：C. 【题型6 直线一般式方程与其他形式之间的互化】 【例6】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线的倾斜角为，且在轴上的截距为，则直线的一般式方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由斜截式方程求解即可. 【解答过程】由直线的倾斜角可得直线的斜率， 所以直线的方程为，即直线的一般方程为：. 故选：D. 【变式6-1】（23-24高二上·湖北·期末）过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据两直线互相垂直可得所求直线的斜率，利用直线的点斜式方程即得. 【解答过程】由直线可得其斜率为：，则与其垂直的直线斜率为， 故过点且与直线垂直的直线方程为，即：. 故选：C. 【变式6-2】（23-24高二上·四川凉山·阶段练习）已知直线经过第一、二、四三个象限，则（    ） A．若，则， B．若，则， C．若，则， D．若，则， 【解题思路】根据直线所过象限得到，从而进行判断. 【解答过程】经过第一、二、四三个象限，则， 故变形为， 故，则同号，异号， 若，则，若，则， D选项正确，其他三个选项均错误. 故选：D. 【变式6-3】（23-24高二下·湖南常德·开学考试）已知直线l过点，且与直线及x轴围成等腰三角形，则l的方程为（    ） A． B． C． D．或 【解题思路】根据直线所过点、倾斜角以及等腰三角形等知识求得正确答案. 【解答过程】设，直线过和， 当时，直线、直线与轴围成的三角形是不是等腰三角形.所以直线的斜率存在. 设关于轴的对称点为， 当直线过两点时，，三角形是等腰三角形， 同时由于直线的斜率为，倾斜角为，所以三角形是等边三角形， 所以，此时直线的方程为，即， 设直线与轴相交于点，如图所示，若， 则，所以直线，也即直线的斜率为， 对应方程为，即， 综上直线方程为或， 故选：D. 【题型7 直线与坐标轴围成图形的面积问题】 【例7】（23-24高二上·辽宁辽阳·期末）直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据直线方程得出与坐标轴交点坐标，即可求出结果. 【解答过程】由题知， 直线与轴交于点，与轴交于点， 所以围成的三角形的面积为． 故选：C. 【变式7-1】（23-24高二上·四川凉山·开学考试）经过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【解题思路】由题意设直线为，根据直线与坐标轴所围成三角形的面积，应用三角形面积公式求参数k，即可确定直线方程. 【解答过程】由题意，直线斜率一定存在，设所求方程为，即. 由，得或. 故所求直线方程为或. 故选：D. 【变式7-2】（23-24高二上·江苏常州·期中）过点的直线l与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点．当的面积最小时，l的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】令直线为，根据已知及基本不等式可得，确定等号成立条件得，即可写出直线方程. 【解答过程】由题设，令直线为， 则，即， 当且仅当时等号成立，此时的面积最小为， 所以直线方程为. 故选：A. 【变式7-3】（2024高二·江苏·专题练习）直线l的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线l与坐标轴所围成的三角形的面积为10，则直线l的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据正切的二倍角公式，结合三角形面积公式进行求解即可. 【解答过程】， 所以直线的斜率为负值，因此直线的倾斜角为钝角， 设直线l的倾斜角为，则 因为，所以或舍去 设直线l的方程为，则直线l与坐标轴的交点分别为，， 由，得， 故直线l的方程可能是，显然ABD不符合， ，或， 故选：C. 【知识点4 方向向量与直线的参数方程】 1．方向向量与直线的参数方程 除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的. 如图1，设直线l经过点，=(m,n)是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，则向量与共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使=t，即()=t(m,n)，所以 ①. 在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数. 由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确 定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程. 【题型8 直线的方向向量的求解】 【例8】（23-24高二上·四川成都·期末）直线 的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用直线方向向量的定义和直线斜率与方向向量的关系直接求解即可. 【解答过程】由得，， 所以直线的一个方向向量为， 而，所以也是直线的一个方向向量. 故选：B. 【变式8-1】（23-24高二上·河南许昌·期末）经过两点的直线的方向向量，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【解题思路】由题意与向量共线，所以由对应分量成比例即可求解. 【解答过程】由题意与直线的方向向量共线，所以，解得. 故选：C. 【变式8-2】（23-24高二上·辽宁大连·期末）直线的一个法向量是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出直线的方向向量，因为法向量与方向向量垂直，逐项验证可得答案. 【解答过程】因为直线的斜率为， 所以直线的一个方向向量为， 所以直线的一个法向量为， 向量与向量为平行，A，B，C选项向量与向量均不平行， 所以向量为直线的一个法向量. 故选：D. 【变式8-3】（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知直线 ， 下列说法正确的是（    ） A．倾斜角为 B．倾斜角为 C．方向向量可以是 D．方向向量可以是 【解题思路】根据直线的一般式可得斜率，进而根据选项即可逐一求解. 【解答过程】因为直线 的方程为， 所以直线的斜率， 又， 所以直线的倾斜角为， 故A正确，B错误; 对于 C， 若直线 l的方向向量为， 则斜率为， 与题意矛盾， 故C错误; 对于D，若直线 l的方向向量为， 则斜率为， 与题意矛盾， 故D错误; 故选：A. 【题型9 根据直线的方向向量求直线方程】 【例9】（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）直线l的方向向量，且过点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据方向向量可求出直线的斜率，利用点斜式方程即可求得直线的方程. 【解答过程】由直线l的方向向量可得直线l的斜率为， 所以直线l的方程为，即． 故选：D. 【变式9-1】（23-24高二上·河北邢台·期末）已知经过点的直线的一个方向向量为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意得与共线，为直线上的点，且不与重合，由此即可得解. 【解答过程】设直线上任意与点不重合的一点为，由题意有与共线， 所以，整理得的方程为， 又点在直线上，且点满足方程， 综上所述，的方程为. 故选：B. 【变式9-2】（23-24高二上·江西·阶段练习）若直线的一个方向向量，且在轴上的截距为2，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由方向向量求出直线的斜率，进而得到直线方程. 【解答过程】由直线的一份方向向量，得的斜率， 又在轴上的截距为2，所以的方程为，即. 故选：A. 【变式9-3】（23-24高二上·山西运城·阶段练习）已知直线：经过定点P，直线经过点P，且的方向向量，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】直线方程变为，可得定点 .根据的方向向量，可得斜率为，代入点斜式方程，化简为一般式即可. 【解答过程】可变形为， 解得，即点坐标为. 因为，所以直线的斜率为，又过点 ， 代入点斜式方程可得，整理可得. 故选：A. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$