专题2.1 直线的倾斜角与斜率【九大题型】-2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题2.1 直线的倾斜角与斜率【九大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 求直线的倾斜角】 2 【题型2 求直线的斜率】 2 【题型3 已知直线的倾斜角或斜率求参数】 3 【题型4 直线与线段的相交关系求斜率范围】 3 【题型5 两条直线平行的判定】 4 【题型6 已知两直线平行求参数】 5 【题型7 两条直线垂直的判定】 5 【题型8 已知两直线垂直求参数】 6 【题型9 直线平行、垂直的判定在几何中的应用】 7 【知识点1 直线的倾斜角与斜率】 1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 ①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率 (1)直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. (2)斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 (3)过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 【注】(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． (2)涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解． 【题型1 求直线的倾斜角】 【例1】（23-24高二下·浙江·期中）若直线，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）若直线l过两点和，则直线l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·江苏南通·模拟预测）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高二上·山东青岛·期末）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【题型2 求直线的斜率】 【例2】（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知点，则直线的斜率为（    ） A．－3 B． C． D．3 【变式2-1】（23-24高二下·河北保定·开学考试）已知直线的倾斜角比直线的倾斜角大，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024高二·全国·专题练习）已知直线的倾斜角为，并且，直线的斜率的范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2-3】（23-24高二上·山东淄博·阶段练习）直线经过两点，，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 【题型3 已知直线的倾斜角或斜率求参数】 【例3】（23-24高一下·重庆·期末）若直线的倾斜角为，则实数值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高二上·河南·阶段练习）若经过两点的直线斜率为1，则实数（    ） A． B．3 C．2 D．1 【变式3-2】（23-24高二下·江苏盐城·期末）过两点、的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A．或 B． C． D． 【变式3-3】（23-24高一·江苏无锡·期末）已知经过两点和的直线的斜率大于1，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型4 直线与线段的相交关系求斜率范围】 【例4】（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【变式4-1】（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）已知，过点的直线与线段不相交，则直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式4-2】（2024高二·江苏·专题练习）已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高二上·云南曲靖·期末）经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【知识点2 两条直线平行的判定】 1．两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 【题型5 两条直线平行的判定】 【例5】（23-24高二上·浙江绍兴·期末）下列直线中，与直线平行的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高二上·全国·课后作业）过点和点的直线与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．重合 D．以上都不对 【变式5-2】（24-25高一上·全国·假期作业）下列各对直线互相平行的是（    ） A．直线经过点，直线经过点 B．直线经过点，直线经过点 C．直线经过点，直线经过点 D．直线经过点，直线经过点 【变式5-3】（23-24高二·江西·课后作业）满足下列条件的直线与，其中的是（    ） ①的斜率为2，过点，； ②经过点，，平行于轴，但不经过点； ③经过点，，经过点，． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【题型6 已知两直线平行求参数】 【例6】（23-24高二上·广东深圳·期中）若直线：与直线：平行，则的值为（ ） A．2 B． C．2或 D．或 【变式6-1】（23-24高二上·陕西西安·期末）已知直线与直线平行，则实数的所有取值之和为（    ） A．-2 B． C．1 D．2 【变式6-2】（23-24高二下·河南·阶段练习）已知直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6-3】（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知两条不重合的直线和．若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．或1 【知识点3 两条直线垂直的判定】 1．两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 【注】判断两条直线是否垂直时： 在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与 x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直． 【题型7 两条直线垂直的判定】 【例7】（23-24高二上·湖南邵阳·阶段练习）若直线的倾斜角为45°，直线经过点P（-2，-1），Q（3，-6），则直线与的位置关系是（  ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．平行或重合 【变式7-1】（23-24高二下·山东济南·期末）直线与直线的位置关系是（    ） A．垂直 B．相交且不垂直 C．平行 D．平行或重合 【变式7-2】（23-24高二上·山东潍坊·期末）已知两直线的斜率分别为，且是方程的两根，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．相交且垂直 C．重合 D．相交且不垂直 【变式7-3】（23-24高二下·上海杨浦·期中）下列各组直线中，互相垂直的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【题型8 已知两直线垂直求参数】 【例8】（2024·陕西西安·二模）已知点，，且直线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）“”是“直线与直线垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式8-2】（23-24高二上·全国·课前预习）已知直线经过，，直线经过点，．如果，求的值． 【变式8-3】（23-24高二上·贵州·开学考试）已知直线经过，直线经过点. (1)若 ，求的值； (2)若，求的值. 【题型9 直线平行、垂直的判定在几何中的应用】 【例9】（23-24高二上·全国·课前预习）如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.    【变式9-1】（2024高一·全国·课后作业）设，，，问是否存在正实数m，使为直角三角形? 【变式9-2】（23-24高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，四边形的顶点按逆时针顺序依次是，，，，其中，试判断四边形的形状，并给出证明． 【变式9-3】（23-24高二·全国·课后作业）已知，，. （1）若，，，可以构成平行四边形，求点的坐标； （2）在（1）的条件下，判断，，，构成的平行四边形是否为菱形. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 直线的倾斜角与斜率【九大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 求直线的倾斜角】 2 【题型2 求直线的斜率】 3 【题型3 已知直线的倾斜角或斜率求参数】 4 【题型4 直线与线段的相交关系求斜率范围】 5 【题型5 两条直线平行的判定】 7 【题型6 已知两直线平行求参数】 9 【题型7 两条直线垂直的判定】 10 【题型8 已知两直线垂直求参数】 12 【题型9 直线平行、垂直的判定在几何中的应用】 13 【知识点1 直线的倾斜角与斜率】 1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 ①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率 (1)直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. (2)斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 (3)过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 【注】(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． (2)涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解． 【题型1 求直线的倾斜角】 【例1】（23-24高二下·浙江·期中）若直线，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据直线方程得到直线的斜率，从而得到倾斜角. 【解答过程】直线的斜率为，所以直线的倾斜角为. 故选：A. 【变式1-1】（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）若直线l过两点和，则直线l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】不与轴垂直的直线斜率与倾斜角的关系,根据正切值求即可. 【解答过程】该直线不与轴垂直，设倾斜角为， 斜率,. 故选：B. 【变式1-2】（2024·江苏南通·模拟预测）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先将直线变形成斜截式，再根据倾斜角的取值范围结合直线斜率公式求得即可. 【解答过程】由题意可将原直线方程变形为， 由倾斜角的取值范围，所以倾斜角为.即A、 B 、C错误. 故选：D. 【变式1-3】（23-24高二上·山东青岛·期末）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设直线的倾斜角为，由题意得，可得倾斜角． 【解答过程】设直线的倾斜角为，， 由直线的一个方向向量为，得， 则. 故选：C． 【题型2 求直线的斜率】 【例2】（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知点，则直线的斜率为（    ） A．－3 B． C． D．3 【解题思路】由斜率公式计算即可得. 【解答过程】由，则直线的斜率为. 故选：C. 【变式2-1】（23-24高二下·河北保定·开学考试）已知直线的倾斜角比直线的倾斜角大，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据直线方程求出直线斜率为，由此确定直线倾斜角，结合已知条件求得直线倾斜角为，由此即可求得直线的斜率. 【解答过程】由得的倾斜角为， 所以的倾斜角为，即的斜率为. 故选：A. 【变式2-2】（2024高二·全国·专题练习）已知直线的倾斜角为，并且，直线的斜率的范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】根据倾斜角与斜率的关系可求得斜率的取值范围. 【解答过程】因为斜率，且，其中时直线无斜率， 当时，得； 当时，得； 故选：C. 【变式2-3】（23-24高二上·山东淄博·阶段练习）直线经过两点，，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用斜率与倾斜角的关系求解. 【解答过程】由题可得，,所以直线的倾斜角为， 所以的倾斜角为，所以的斜率为， 故选：B. 【题型3 已知直线的倾斜角或斜率求参数】 【例3】（23-24高一下·重庆·期末）若直线的倾斜角为，则实数值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据斜率定义，结合诱导公式可得. 【解答过程】由题知，， 解得. 故选：C. 【变式3-1】（23-24高二上·河南·阶段练习）若经过两点的直线斜率为1，则实数（    ） A． B．3 C．2 D．1 【解题思路】利用斜率公式即可求解. 【解答过程】过两点的直线斜率为，所以，解得，. 故选：A. 【变式3-2】（23-24高二下·江苏盐城·期末）过两点、的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A．或 B． C． D． 【解题思路】根据斜率公式计算可得. 【解答过程】因为过两点、的直线的倾斜角为， 所以，即，解得. 故选：D. 【变式3-3】（23-24高一·江苏无锡·期末）已知经过两点和的直线的斜率大于1，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据两点斜率公式解分式不等式． 【解答过程】由题意得，即，解得. 故选D. 【题型4 直线与线段的相交关系求斜率范围】 【例4】（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【解题思路】根据两点间斜率公式计算即可. 【解答过程】直线的斜率为，直线的斜率为， 结合图象可得直线的斜率的取值范围是. 故选：D. 【变式4-1】（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）已知，过点的直线与线段不相交，则直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】求出直线的斜率，再结合图形即可得解. 【解答过程】因为，， 所以直线的斜率分别为， 由图形知，当或，即或时，直线l与线段AB相交， 所以直线与线段不相交时，直线l斜率k的取值范围为. 故选：A. 【变式4-2】（2024高二·江苏·专题练习）已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出直线所过定点的坐标，数形结合可求出直线的斜率的取值范围，即可得出直线的倾斜角的取值范围. 【解答过程】直线的方程可化为， 联立方程组，可得，所以直线过定点， 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则， 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 所以，即， 因为，所以或， 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：D． 【变式4-3】（23-24高二上·云南曲靖·期末）经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】计算，，画出图像，根据图像得到答案. 【解答过程】，，画出图像，如图所示：    根据图像知：. 故选：D. 【知识点2 两条直线平行的判定】 1．两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 【题型5 两条直线平行的判定】 【例5】（23-24高二上·浙江绍兴·期末）下列直线中，与直线平行的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据两直线的位置关系的判定方法，逐项判定，即可求解. 【解答过程】对于A中，可得，根据两直线的位置关系，可得两直线相交，不符合题意； 对于B中，可得，根据两直线的位置关系，可得两直线平行，符合题意； 对于C中，可得，根据两直线的位置关系，可得两直线相交，不符合题意； 对于D中，可得，根据两直线的位置关系，可得两直线相交，不符合题意； 故选：B. 【变式5-1】（23-24高二上·全国·课后作业）过点和点的直线与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．重合 D．以上都不对 【解题思路】先求出直线方程，再结合斜率直接判断两直线位置关系即可. 【解答过程】过点和点的直线方程为，斜率为0， 又因为直线斜率为0，所以两直线平行. 故选：B. 【变式5-2】（24-25高一上·全国·假期作业）下列各对直线互相平行的是（    ） A．直线经过点，直线经过点 B．直线经过点，直线经过点 C．直线经过点，直线经过点 D．直线经过点，直线经过点 【解题思路】根据斜率公式求出各直线的斜率，判断直线的斜率是否相等或不存在，进而可得出结论. 【解答过程】对于A，因为，所以，故A对； 对于B，因为，所以直线不平行，故B错； 对于C，由直线经过点，，直线经过点，， 得直线的斜率都不存在，且两直线重合，故C错； 对于D，因为直线经过点，，所以直线直线的斜率不存在， 而，所以直线不平行，故D错. 故选：A. 【变式5-3】（23-24高二·江西·课后作业）满足下列条件的直线与，其中的是（    ） ①的斜率为2，过点，； ②经过点，，平行于轴，但不经过点； ③经过点，，经过点，． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【解题思路】从斜率是否相等以及直线是否重合两个角度逐项分析即可. 【解答过程】根据两点间的斜率公式知①中的斜率为2，但是不能保证，有可能两条直线重合； ②③中的两条直线斜率相等但不重合，可以保证． 故选：B. 【题型6 已知两直线平行求参数】 【例6】（23-24高二上·广东深圳·期中）若直线：与直线：平行，则的值为（ ） A．2 B． C．2或 D．或 【解题思路】依题意可得，求出的值，再检验即可. 【解答过程】直线：与直线：平行， 则，解得或， 当时，此时直线：与直线：平行， 当时，此时直线：与直线：平行， 故或 故选：C. 【变式6-1】（23-24高二上·陕西西安·期末）已知直线与直线平行，则实数的所有取值之和为（    ） A．-2 B． C．1 D．2 【解题思路】根据直线平行求出即可得解. 【解答过程】因为直线与直线平行， 所以，解得或1，经检验均满足题意， 所以实数的所有取值之和为. 故选：B. 【变式6-2】（23-24高二下·河南·阶段练习）已知直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】由可求出的值，再由充分条件和必要条件的定义求解即可. 【解答过程】若则且所以或 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 【变式6-3】（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知两条不重合的直线和．若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．或1 【解题思路】 根据平行可解得实数，验证可得正确的选项. 【解答过程】因为，故，故或， 当时，的方程均为，它们重合，故舍去； 当时，，，它们平行， 故选：B. 【知识点3 两条直线垂直的判定】 1．两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 【注】判断两条直线是否垂直时： 在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与 x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直． 【题型7 两条直线垂直的判定】 【例7】（23-24高二上·湖南邵阳·阶段练习）若直线的倾斜角为45°，直线经过点P（-2，-1），Q（3，-6），则直线与的位置关系是（  ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．平行或重合 【解题思路】由倾斜角可得直线的斜率，由斜率公式可得直线的斜率，可判断垂直关系. 【解答过程】由题可知直线的斜率为，直线的斜率为，所以直线与垂直 故选：A. 【变式7-1】（23-24高二下·山东济南·期末）直线与直线的位置关系是（    ） A．垂直 B．相交且不垂直 C．平行 D．平行或重合 【解题思路】分和讨论，其中时，写出两直线斜率，计算其乘积即可判断. 【解答过程】当时，直线，直线，此时两直线垂直， 当时，直线的斜率，直线的斜率， 因为，则两直线垂直， 综上两直线位置关系是垂直， 故选：A. 【变式7-2】（23-24高二上·山东潍坊·期末）已知两直线的斜率分别为，且是方程的两根，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．相交且垂直 C．重合 D．相交且不垂直 【解题思路】由斜率乘积判断两直线的位置关系可得． 【解答过程】由题意，因此两直线垂直．平面上的两直线垂直时当然相交． 故选：B． 【变式7-3】（23-24高二下·上海杨浦·期中）下列各组直线中，互相垂直的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【解题思路】分别求出两直线的斜率，根据斜率之积为两直线垂直，即可判断. 【解答过程】对于A：直线的斜率为，直线的斜率为， 故两直线平行，故A错误； 对于B：直线的斜率为，直线的斜率为， 斜率之积不为，即两直线不垂直，故B错误； 对于C：直线的斜率为，直线的斜率为， 斜率之积不为，即两直线不垂直，故C错误； 对于D：直线的斜率为，直线的斜率为， 斜率之积为，即两直线垂直，故D正确； 故选：D. 【题型8 已知两直线垂直求参数】 【例8】（2024·陕西西安·二模）已知点，，且直线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】借助垂直直线斜率的关系计算即可得. 【解答过程】由题意可得，解得. 故选：A. 【变式8-1】（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）“”是“直线与直线垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】根据直线垂直求a，进而结合充分、必要条件分析判断. 【解答过程】若直线与直线垂直， 则，解得或， 因为是的真子集， 所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式8-2】（23-24高二上·全国·课前预习）已知直线经过，，直线经过点，．如果，求的值． 【解题思路】分析两直线的斜率是否存在，再根据直线垂直判断斜率之间的关系求出a. 【解答过程】因为直线经过点，，且， 所以的斜率存在，设斜率为， 当时，直线斜率不存在，，则，此时与垂直． 当时，，此时直线斜率存在． 由，得．解得． 综上，的值为或． 【变式8-3】（23-24高二上·贵州·开学考试）已知直线经过，直线经过点. (1)若 ，求的值； (2)若，求的值. 【解题思路】（1）易得直线的斜率存在，则根据，可得两直线斜率相等，再结合斜率公式即可得解； （2）分直线的斜率等于零和直线的斜率存在且不为0，两种情况讨论，再结合斜率公式即可得解. 【解答过程】（1）由题可知直线的斜率存在且， 若则直线的斜率也存在， 由， 得，即解得或， 经检验，当或时，； （2）若，当时，此时斜率存在，不符合题意， 当时，直线的斜率存在且不为0，则直线的斜率也存在，且， 即，即， 解得或， 所以当或时，. 【题型9 直线平行、垂直的判定在几何中的应用】 【例9】（23-24高二上·全国·课前预习）如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.    【解题思路】通过计算得到，，从而判断出四边形的形状. 【解答过程】由已知可得边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率. 因为，，所以，. 因此四边形是平行四边形. 【变式9-1】（2024高一·全国·课后作业）设，，，问是否存在正实数m，使为直角三角形? 【解题思路】由分别为直角求解（相应直线斜率乘积为）可得． 【解答过程】要使为直角三角形，则角A，B，C中需有一个为直角.由题意知，直线AB，BC，AC的斜率都存在． 当A为直角时，则AC⊥AB，所以，即，解得，舍去； 当B为直角时，，； 当C为直角时，，或（舍去）. 综上所述，存在正实数或，使为直角三角形. 【变式9-2】（23-24高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，四边形的顶点按逆时针顺序依次是，，，，其中，试判断四边形的形状，并给出证明． 【解题思路】根据题意，结合直线斜率的坐标计算公式，分别判断直线是否平行与垂直即可. 【解答过程】四边形是矩形．证明如下： 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 所以，，所以，， 所以四边形是平行四边形． 又， 所以，所以四边形是矩形． 又，， 令，即，无解， 所以与不垂直，故四边形是矩形． 【变式9-3】（23-24高二·全国·课后作业）已知，，. （1）若，，，可以构成平行四边形，求点的坐标； （2）在（1）的条件下，判断，，，构成的平行四边形是否为菱形. 【解题思路】（1）分四边形、、是平行四边形三种情况讨论，分别利用对边的斜率相等求解，即可； （2）分别验证对角线是否垂直，即对角线斜率乘积是否为，即可. 【解答过程】（1）由题意得， ，，设. 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形， 则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形， 则，， 即，解得，即. 综上，点的坐标为（-1，6）或（7，2）或（3，-2）. （2）若的坐标为（-1，6）， 因为，， 所以，所以， 所以平行四边形为菱形. 若的坐标为（7，2）， 因为，， 所以，所以平行四边形不是菱形. 若的坐标为（3，-2），因为，直线的斜率不存在，所以平行四边形不是菱形. 因此，平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$