专题2.2 基本不等式【九大题型】-2024-2025学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第一册）

专题2.2 基本不等式【九大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 对基本不等式的理解】 1 【题型2 由基本不等式比较大小】 3 【题型3 利用基本不等式证明不等式】 5 【题型4 利用基本不等式求最值（无条件）】 8 【题型5 条件等式求最值】 9 【题型6 基本不等式“1”的妙用求最值】 11 【题型7 基本不等式的恒成立问题】 12 【题型8 基本不等式的有解问题】 14 【题型9 基本不等式的实际应用】 16 【知识点1 两个不等式】 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 ≤(a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，≠，即只能有a2＋b2>2ab，<. 【题型1 对基本不等式的理解】 【例1】（23-24高一上·上海普陀·期中）下列不等式中等号可以取到的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据基本不等式使用条件逐一检验取等条件即可得答案. 【解答过程】解：对于A，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故A不符合； 对于B，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故B不符合； 对于C，因为，所以，当且仅当，即时取等号，故C符合； 对于D，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故D不符合. 故选：C. 【变式1-1】（23-24高一上·山东日照·阶段练习）对于任意a，b∈R，下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2 【解题思路】当时，可判断A；当时，可判断B；当时，可判断C；利用均值不等式，可判断D. 【解答过程】选项A：当时，， ，不成立，故A错误； 选项B：当时，，，不成立，故B错误； 选项C：当时，，不成立，故C错误； 选项D：由有意义，故，因此 由均值不等式，，当且仅当，即时等号成立 故D正确 故选：D. 【变式1-2】（2024·辽宁·二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【解题思路】由为等腰直角三角形，得到，，然后在中，得到CD判断. 【解答过程】解：由图知：， 在中，， 所以，即， 故选：C. 【变式1-3】（23-24高一上·西藏林芝·期中）下列命题中正确的是（    ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，则 D．对任意，均成立. 【解题思路】根据基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案. 【解答过程】A选项，，当且仅当时等号成立，A选项正确. B选项，当时，，所以B选项错误. C选项，当时，，所以C选项错误. D选项，当时，，不成立，所以D选项错误. 故选：A. 【题型2 由基本不等式比较大小】 【例2】（23-24高一上·辽宁朝阳·期中）小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b（a<b），其全程的平均时速为v，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出平均速度可判断AB；利用基本不等式可判断CD. 【解答过程】设甲乙两地相距s，则平均速度故A错误，B错误； 又∵，∴， 根据基本不等式及其取等号的条件可得：， ∴，即， 故C正确，D错误． 故选：C． 【变式2-1】（23-24高一上·上海普陀·期中）已知a，，且，则下列不等关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用不等式性质判断ACD，利用基本不等式判断B. 【解答过程】对于A，因为，所以，错误； 对于B，因为，所以，所以， 当且仅当即时，等号成立，又，所以，正确； 对于C，因为，所以，，所以，错误； 对于D，因为，所以，所以， 又，所以即，错误； 故选：B. 【变式2-2】（23-24高二下·重庆·期末）阿基米德有句名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球!”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里预购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的和黄金交给顾客，则顾客购得的黄金重量（    ） A．大于 B．等于 C．小于 D．无法确定 【解题思路】根据题意设出天平的两臂长，利用杠杆原理，即可解出． 【解答过程】设天平左臂长为，右臂长为，且， ， ， ，， 故选：A． 【变式2-3】（23-24高一上·上海宝山·阶段练习）某城市为控制用水，计划提高水价，现有以下四种方案，其中提价最多的方案是（其中）（    ） A．先提价，再提价 B．先提价，再提价 C．分两次，都提价 D．分两次，都提价 【解题思路】求出每个选项中提价后的水价，结合基本不等式比较大小可得合适的选项. 【解答过程】设原来的水价为，AB选项中，两次提价后的水价为， C选项中，两次提价后的水价为， D选项中，两次提价后的水价为， 因为，则，则， 所以，，则， 即， 由基本不等式可得， 所以，. 故选：C. 【题型3 利用基本不等式证明不等式】 【例3】（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知，，且，证明： (1)； (2)． 【解题思路】（1）利用基本不等式，求得，进而证得. （2）化简，然后利用不等式的性质以及（1）的结论证得. 【解答过程】（1）， 因为，，，则，当且仅当时等号成立， 所以； （2） ， 由（1）有，有，，有，， 有，当且仅当时等号成立， 所以． 【变式3-1】（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）设为正数，且. 证明： (1)； (2). 【解题思路】（1）直接使用条件化为复合二次函数证明； （2）思路一：利用已知条件，并连续使用两次基本不等式即可.思路二：利用条件等式、分析法以及基本不等式即可得证. 【解答过程】（1）由已知有，从而， 故， 当且仅当时等号成立. （2）方法一：由已知条件，结合基本不等式即可得到 . 方法二：等价于， 根据题设有 ， 当且仅当时等号成立. 【变式3-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，，求证：； （2）已知，，，且，求证：． 【解题思路】（1）变形后，利用基本不等式进行求解； （2）利用基本不等式“1”的妙用证明不等式. 【解答过程】（1）因为，，所以， 当且仅当时取等号． （2）∵，，，且， ∴ ，当且仅当时取等号． 【变式3-3】（2024·青海·一模）已知正数满足．求证： (1)； (2)． 【解题思路】 （1）根据，结合基本不等式，即可得证； （2）由，结合基本不等式，即可得证. 【解答过程】（1）证明：因为正数满足， 由，当且仅当时，等号成立， 可得， 即，所以，当且仅当时，等号成立. （2）证明：由 ， 当且仅当，即，等号成立. 所以. 【知识点2 基本不等式与最值】 1．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件． 2．利用基本不等式求最值的几种方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 【题型4 利用基本不等式求最值（无条件）】 【例4】（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）已知，则的最大值为（    ） A． B．0 C．4 D．8 【解题思路】利用基本不等式先求的最小值，然后可得. 【解答过程】因为，所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，所以， 即的最大值为0. 故选：B. 【变式4-1】（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）已知，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 【解题思路】借助基本不等式计算即可得. 【解答过程】因为，故，即， 当且仅当时，等号成立，所以. 故选：A. 【变式4-2】（2024·山西临汾·三模）若，则的最小值是（    ） A．1 B．4 C． D． 【解题思路】根据基本不等式及“1”的妙用计算即可． 【解答过程】因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立，取得最小值， 故选：D． 【变式4-3】（23-24高一下·浙江·期中）若实数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】首先变形，再利用基本不等式求最小值. 【解答过程】 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D. 【题型5 条件等式求最值】 【例5】（23-24高二下·山东滨州·期末）若正实数，满足，则的最小值为（    ） A．9 B．6 C．3 D．2 【解题思路】利用换元法，令，结合基本不等式得出答案. 【解答过程】令，则，， 当且仅当，即时，取等号. 故选：C. 【变式5-1】（2024·山西·三模）已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意分析可知，利用基本不等式运算求解. 【解答过程】因为正实数x，y满足，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 【变式5-2】（23-24高一下·江西·阶段练习）若正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【解题思路】根据给定条件，利用基本不等式求解即得. 【解答过程】正数a，b满足，则， 当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值8. 故选：C. 【变式5-3】（23-24高三下·浙江·阶段练习）已知实数x，y满足，且，则的最小值为（     ） A． B．8 C． D． 【解题思路】由题意得，进一步表示出，结合基本不等式即可求解. 【解答过程】因为，且，所以， 从而，等号成立当且仅当， 所以的最小值为. 故选：A. 【题型6 基本不等式“1”的妙用求最值】 【例6】（23-24高二下·江苏常州·期末）已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【解题思路】借助“1”的活用，结合基本不等式计算即可得. 【解答过程】 ， 当且仅当，即，时，等号成立. 故选：D. 【变式6-1】（23-24高二下·重庆·期末）已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【解题思路】利用基本不等式求解即可. 【解答过程】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等. 故的最小值为. 故选：B. 【变式6-2】（2024·江西新余·二模）已知x，y为正实数，且，则的最小值为（    ） A．12 B． C． D． 【解题思路】借助“1”的活用将分式其次化后结合基本不等式计算即可得. 【解答过程】由，则 ， 当且仅当，即，时，等号成立. 故选：C. 【变式6-3】（23-24高二下·云南昆明·期中）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将已知条件化为，则，通过基本不等式即可求解. 【解答过程】由，得， 所以， 当且仅当时取等号，最小值为. 故选：B. 【题型7 基本不等式的恒成立问题】 【例7】（23-24高一上·山东济宁·期中）已知两个正实数满足，并且恒成立，则实数m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，结合式子的特点联系基本不等式来求出最小值，得到关于m的不等式，即可得到m的范围. 【解答过程】因为恒成立，则， ， 当且仅当即时等号成立，所以的最小值为8， 所以，即，解得：. 故选：B. 【变式7-1】（23-24高一上·重庆·期末）当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】把恒成立问题转化成求最值问题，利用基本不等式求出的最小值，然后解二次不等式即可. 【解答过程】因为即且， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因为不等式恒成立，所以， 即，解得，故的取值范围为. 故选：A. 【变式7-2】（23-24高一上·天津西青·期末）已知正数、满足，不等式恒成立．则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由不等式恒成立，故只需，由基本不等式的乘“1”法，结合已知求出的最小值即可. 【解答过程】因为， 所以，即， 所以由基本不等式可得， 等号成立当且仅当即， 综上所述，的最小值为； 因为不等式恒成立， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 【变式7-3】（23-24高三上·浙江宁波·期末）设实数x，y满足，，不等式恒成立，则实数k的最大值为（    ） A．12 B．24 C． D． 【解题思路】令，不等式变形为，求出的最小值，从而得到实数的最大值. 【解答过程】，，变形为， 令， 则转化为 ，即， 其中      当且仅当，即时取等号，可知. 故选：B. 【题型8 基本不等式的有解问题】 【例8】（23-24高一上·江西南昌·期中）若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【解题思路】首先将原问题转化为，再利用基本不等式的知识求出的最小值即可. 【解答过程】不等式有解， ， ， ， 当且仅当，等号成立， ，，， 实数的取值范围是． 故选：D． 【变式8-1】（23-24高一上·湖北·期中）已知，且，若有解，则实数m的取值范围为（    ） A．（∞，1）∪（9，+∞） B．（9，1） C．[9，1] D．（1，9） 【解题思路】由有解，可知只要大于的最小值即可，所以结合基本不等式求出的最小值，再解关于的不等式即可 【解答过程】因为，且， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时的最小值为9， 因为有解，所以，即， 解得或， 故选：A. 【变式8-2】（23-24高三上·天津河西·阶段练习）已知正数x，y满足且有解，则实数m的取值范围是 . 【解题思路】不等式有解，即，巧用均值不等式求最值即可. 【解答过程】由已知得：， ， 当且仅当时取等号； 由题意：， 即， 解得：或， 故答案为：. 【变式8-3】（23-24高一上·天津宝坻·阶段练习）若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数m的取值范围是 . 【解题思路】根据题意，将，变形可得，利用“”的代换，应用基本不等式可求得的最小值为4，根据不等式有解可得，解得的取值范围即可． 【解答过程】因为两个正实数x，y满足， 两边同除以得， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 则的最小值为4. 若不等式有解，则， 解得或， 所以实数的取值范围是． 故答案为：. 【题型9 基本不等式的实际应用】 【例9】（23-24高二下·江西·期末）某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为750的矩形花园.图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹､郁金香､月季（其中区域的形状､大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为. (1)用含有的代数式表示，并写出的取值范围； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 【解题思路】（1）根据题意，设矩形花园的长为，由条件可得，即可得到结果； （2）由（1）中的结论可得鲜花种植的总面积为与矩形花园的一条边长的函数关系式，再由基本不等式代入计算，即可得到结果. 【解答过程】（1）设矩形花园的长为， 矩形花园的总面积为， ，可得， 又阴影部分是宽度为的小路， 可得，可得， 即关于的关系式为. （2）由（1）知，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 【变式9-1】（23-24高一上·四川乐山·期中）用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值． 【解题思路】以实际应用问题为情境，建立函数关系，利用函数最值的求法解出结果； 【解答过程】 设，上底， 分别过点作下底的垂线，垂足分别为， 则，， 则下底， 该等腰梯形的面积， 所以，则， 所用篱笆长为 ， 当且仅当，即，时取等号． 所以，当等腰梯形的腰长为时，所用篱笆长度最小，其最小值为． 【变式9-2】（23-24高一上·四川达州·阶段练习）实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源. 某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于 2019 年年初用 98 万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用. 该设备使用后，每年的总收入为 50 万元. 若该设备使用年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元年为第一年)，设该设备产生的盈利总额(纯利润)为万元. (1)写出与之间的函数关系式；求该机床从第几年开始全年盈利(盈利总额为正值)； (2)使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以 30万元价格处理该设备；（年平均盈利额盈利总额使用年数） ②当盈利总额达到最大值时，以 12 万元价格处理该设备. 试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由. 【解题思路】（1）确定，解不等式得到答案. （2）利用均值不等式和二次函数性质分别计算最大值，比较得到答案. 【解答过程】（1）， 解不等式，得，，故， 故从第 3 年该设备开始全年盈利； （2）①， 当且仅当时，即时等号成立. 到2025年，年平均盈利额达到最大值，该设备可获利万元. ②，当时，. 故到 2028 年，盈利额达到最大值，该设备可获利 万元. 因为两种方案企业获利总额相同，而方案①所用时间较短，故方案①比较合理. 【变式9-3】（23-24高一上·四川成都·期末）如图所示，一条笔直的河流（忽略河的宽度）两侧各有一个社区（忽略社区的大小），社区距离上最近的点的距离是社区距离上最近的点的距离是，且.点是线段上一点，设. 现规划了如下三项工程： 工程1：在点处修建一座造价0.1亿元的人行观光天桥； 工程2：将直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园，且每平方千米造价为亿元； 工程3：将直角三角形地块全部修建为面积至少的湿地公园，且每平方千米造价为1亿元. 记这三项工程的总造价为亿元. (1)求实数的取值范围； (2)问点在何处时，最小，并求出该最小值. 【解题思路】（1）由直角三角形地块全部修建为面积至少和直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园湿地公园，列不等式求解即可得出答案. （2）由题意可得，由基本不等式求解即可. 【解答过程】（1）因为直角三角形地块全部修建为面积至少的湿地公园， 所以，解得： 直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园， 所以，解得：, 故实数的取值范围为. （2）依题意可得： ， 当且仅当，即时取等. 所以当点满足时，最小，最小值为亿元. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 基本不等式【九大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 对基本不等式的理解】 1 【题型2 由基本不等式比较大小】 2 【题型3 利用基本不等式证明不等式】 3 【题型4 利用基本不等式求最值（无条件）】 4 【题型5 条件等式求最值】 5 【题型6 基本不等式“1”的妙用求最值】 5 【题型7 基本不等式的恒成立问题】 5 【题型8 基本不等式的有解问题】 6 【题型9 基本不等式的实际应用】 6 【知识点1 两个不等式】 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 ≤(a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，≠，即只能有a2＋b2>2ab，<. 【题型1 对基本不等式的理解】 【例1】（23-24高一上·上海普陀·期中）下列不等式中等号可以取到的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高一上·山东日照·阶段练习）对于任意a，b∈R，下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2 【变式1-2】（2024·辽宁·二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高一上·西藏林芝·期中）下列命题中正确的是（    ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，则 D．对任意，均成立. 【题型2 由基本不等式比较大小】 【例2】（23-24高一上·辽宁朝阳·期中）小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b（a<b），其全程的平均时速为v，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高一上·上海普陀·期中）已知a，，且，则下列不等关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二下·重庆·期末）阿基米德有句名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球!”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里预购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的和黄金交给顾客，则顾客购得的黄金重量（    ） A．大于 B．等于 C．小于 D．无法确定 【变式2-3】（23-24高一上·上海宝山·阶段练习）某城市为控制用水，计划提高水价，现有以下四种方案，其中提价最多的方案是（其中）（    ） A．先提价，再提价 B．先提价，再提价 C．分两次，都提价 D．分两次，都提价 【题型3 利用基本不等式证明不等式】 【例3】（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知，，且，证明： (1)； (2)． 【变式3-1】（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）设为正数，且. 证明： (1)； (2). 【变式3-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，，求证：； （2）已知，，，且，求证：． 【变式3-3】（2024·青海·一模）已知正数满足．求证： (1)； (2)． 【知识点2 基本不等式与最值】 1．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件． 2．利用基本不等式求最值的几种方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 【题型4 利用基本不等式求最值（无条件）】 【例4】（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）已知，则的最大值为（    ） A． B．0 C．4 D．8 【变式4-1】（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）已知，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024·山西临汾·三模）若，则的最小值是（    ） A．1 B．4 C． D． 【变式4-3】（23-24高一下·浙江·期中）若实数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型5 条件等式求最值】 【例5】（23-24高二下·山东滨州·期末）若正实数，满足，则的最小值为（    ） A．9 B．6 C．3 D．2 【变式5-1】（2024·山西·三模）已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高一下·江西·阶段练习）若正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【变式5-3】（23-24高三下·浙江·阶段练习）已知实数x，y满足，且，则的最小值为（     ） A． B．8 C． D． 【题型6 基本不等式“1”的妙用求最值】 【例6】（23-24高二下·江苏常州·期末）已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【变式6-1】（23-24高二下·重庆·期末）已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【变式6-2】（2024·江西新余·二模）已知x，y为正实数，且，则的最小值为（    ） A．12 B． C． D． 【变式6-3】（23-24高二下·云南昆明·期中）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型7 基本不等式的恒成立问题】 【例7】（23-24高一上·山东济宁·期中）已知两个正实数满足，并且恒成立，则实数m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24高一上·重庆·期末）当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24高一上·天津西青·期末）已知正数、满足，不等式恒成立．则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（23-24高三上·浙江宁波·期末）设实数x，y满足，，不等式恒成立，则实数k的最大值为（    ） A．12 B．24 C． D． 【题型8 基本不等式的有解问题】 【例8】（23-24高一上·江西南昌·期中）若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【变式8-1】（23-24高一上·湖北·期中）已知，且，若有解，则实数m的取值范围为（    ） A．（∞，1）∪（9，+∞） B．（9，1） C．[9，1] D．（1，9） 【变式8-2】（23-24高三上·天津河西·阶段练习）已知正数x，y满足且有解，则实数m的取值范围是 . 【变式8-3】（23-24高一上·天津宝坻·阶段练习）若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数m的取值范围是 . 【题型9 基本不等式的实际应用】 【例9】（23-24高二下·江西·期末）某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为750的矩形花园.图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹､郁金香､月季（其中区域的形状､大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为. (1)用含有的代数式表示，并写出的取值范围； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 【变式9-1】（23-24高一上·四川乐山·期中）用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值． 【变式9-2】（23-24高一上·四川达州·阶段练习）实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源. 某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于 2019 年年初用 98 万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用. 该设备使用后，每年的总收入为 50 万元. 若该设备使用年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元年为第一年)，设该设备产生的盈利总额(纯利润)为万元. (1)写出与之间的函数关系式；求该机床从第几年开始全年盈利(盈利总额为正值)； (2)使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以 30万元价格处理该设备；（年平均盈利额盈利总额使用年数） ②当盈利总额达到最大值时，以 12 万元价格处理该设备. 试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由. 【变式9-3】（23-24高一上·四川成都·期末）如图所示，一条笔直的河流（忽略河的宽度）两侧各有一个社区（忽略社区的大小），社区距离上最近的点的距离是社区距离上最近的点的距离是，且.点是线段上一点，设. 现规划了如下三项工程： 工程1：在点处修建一座造价0.1亿元的人行观光天桥； 工程2：将直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园，且每平方千米造价为亿元； 工程3：将直角三角形地块全部修建为面积至少的湿地公园，且每平方千米造价为1亿元. 记这三项工程的总造价为亿元. (1)求实数的取值范围； (2)问点在何处时，最小，并求出该最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$