专题2.1 等式性质与不等式性质【八大题型】-2024-2025学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第一册）

专题2.1 等式性质与不等式性质【八大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 用不等式表示不等关系】 1 【题型2 】 2 【题型3 利用作差法比较大小】 3 【题型4 利用作商法比较大小】 3 【题型5 作差法比较代数式的大小的应用】 4 【题型6 利用不等式的性质判断正误】 5 【题型7 利用不等式的性质证明不等式】 6 【题型8 利用不等式的性质求取值范围】 7 【知识点1 不等关系】 1．不等关系的建立 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 【题型1 用不等式表示不等关系】 【例1】（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高一上·云南曲靖·期中）下列说法正确的是（    ） A．某人的月收入元不高于元可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．变量不小于可表示为“” D．变量不超过可表示为“” 【变式1-2】（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点150米以外（含150米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度（单位：厘米）应满足的不等式为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【知识点2 比较大小】 1．两个实数大小的比较 如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a－b>0，a＝b⇔a－b＝0，a<b⇔a－b<0. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 2．比较大小的基本方法 关系 方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 或 或 【题型2 由不等式的性质比较数（式）大小】 【例2】（23-24高一上·上海黄浦·阶段练习）已知且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024高一上·安徽芜湖·专题练习）若正实数满足不等式组，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高一上·四川广安·期末）已知，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高二下·安徽芜湖·阶段练习）下列命题中真命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题型3 利用作差法比较大小】 【例3】（23-24高一上·云南昆明·期中）设，，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【变式3-1】（23-24高一上·浙江杭州·阶段练习）已知且，，则、的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【变式3-2】（23-24高二下·天津南开·期末）下列不等式中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式3-3】（2024·浙江金华·模拟预测）设的平均数为,与的平均数为,与的平均数为.若,则（    ） A． B． C． D． 【题型4 利用作商法比较大小】 【例4】（2024高二下·全国·专题练习）已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 【变式4-1】（2024·山西晋城·一模）若实数，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高一上·北京·阶段练习）设，，则a b（填入“＞”或“＜”）． 【变式4-3】（2024高一·上海·专题练习），则的大小关系为 ． 【题型5 作差法比较代数式的大小的应用】 【例5】（23-24高一·全国·随堂练习）某粮食收购站分两个等级收购小麦．一级小麦元/kg，二级小麦元/kg（）．现有一级小麦m kg，二级小麦n kg，若以两种价格的平均数收购，是否合理，为什么？ 【变式5-1】（23-24高三上·安徽亳州·期中）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了. (1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立； (2)在锐角中，根据（1）中的结论，证明：. 【变式5-2】（23-24高一·全国·课后作业）某学校组织老师去某地参观学习，需包车前往.甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠.”乙车队说：“你们属团体票按原价的8折优惠.”这两车队的原价、车型都是一样的.试根据去的老师人数，比较两车队的收费哪家更优惠. 【变式5-3】（23-24高一·全国·随堂练习）甲、乙两人同时从A地出发沿同一路线走到B地，所用时间分别为，．甲有一半的时间以m m/s的速度行走，另一半的时间以n m/s的速度行走；乙有一半的路程以m m/s的速度行走，另一半的路程以n m/s的速度行走，且． (1)请用含m，n的代数式表示甲、乙两人所用的时间和； (2)比较与的大小，并判断甲、乙两人谁先到达B地． 【知识点3 等式性质与不等式性质】 1．等式的基本性质 性质1　如果a＝b，那么b＝a； 性质2　如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　如果a＝b，c≠0，那么＝. 2．不等式的性质 (1)如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 【方法技巧与总结】 1．应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率. 【题型6 利用不等式的性质判断正误】 【例6】（23-24高二下·安徽合肥·期末）对于实数，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式6-1】（23-24高二下·广西玉林·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．若，，则一定有 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【变式6-2】（23-24高一上·广东深圳·期末）已知，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（23-24高一上·河南驻马店·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若均为实数，则 【题型7 利用不等式的性质证明不等式】 【例7】（23-24高一上·河北保定·阶段练习）设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 【变式7-1】（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：． 【变式7-2】（23-24高一上·陕西榆林·期中）证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：. 【变式7-3】（23-24高一下·安徽·阶段练习）（1）设，，证明：； （2）设，，，证明：. 【题型8 利用不等式的性质求取值范围】 【例8】（23-24高一上·新疆伊犁·期中）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高一上·全国·假期作业）已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（23-24高一上·江西景德镇·期中）若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2024高三·全国·专题练习）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 等式性质与不等式性质【八大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 用不等式表示不等关系】 1 【题型2 】 3 【题型3 利用作差法比较大小】 4 【题型4 利用作商法比较大小】 6 【题型5 作差法比较代数式的大小的应用】 7 【题型6 利用不等式的性质判断正误】 10 【题型7 利用不等式的性质证明不等式】 12 【题型8 利用不等式的性质求取值范围】 14 【知识点1 不等关系】 1．不等关系的建立 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 【题型1 用不等式表示不等关系】 【例1】（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【解答过程】根据已知列出不等式，化简即可得出答案. 【解答过程】由已知可得，， 所以有. 故选：B. 【变式1-1】（23-24高一上·云南曲靖·期中）下列说法正确的是（    ） A．某人的月收入元不高于元可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．变量不小于可表示为“” D．变量不超过可表示为“” 【解答过程】利用不等式表示不等关系逐个选项判断即可. 【解答过程】对于A，某人的月收入元不高于元可表示为“”，A错； 对于B，小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“”，B错； 对于C，变量不小于可表示为“”，C正确； 对于D，变量不超过可表示为“”，D错. 故选：C. 【变式1-2】（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点150米以外（含150米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度（单位：厘米）应满足的不等式为（    ） A． B． C． D． 【解答过程】安全区距离爆破点要大于等于150米，结合题意可构建不等式. 【解答过程】由题意知导火索的长度（单位：厘米），故导火索燃烧的时间为秒， 人在此时间内跑的路程为米，由题意可得. 故选：B. 【变式1-3】（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【解答过程】根据总时长小于1列不等式，即汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时即得． 【解答过程】由题意汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时，即， 故选：D． 【知识点2 比较大小】 1．两个实数大小的比较 如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a－b>0，a＝b⇔a－b＝0，a<b⇔a－b<0. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 2．比较大小的基本方法 关系 方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 或 或 【题型2 由不等式的性质比较数（式）大小】 【例2】（23-24高一上·上海黄浦·阶段练习）已知且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【解答过程】根据不等式的基本性质判断AD；举例说明即可判断BC. 【解答过程】A：当时，，故A错误； B：当时，满足，但不成立，故B错误； C：当时，，故C错误； D：由，得，故D正确. 故选：D. 【变式2-1】（2024高一上·安徽芜湖·专题练习）若正实数满足不等式组，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解答过程】根据题意，化简不等式为，得到，即可求解. 【解答过程】由不等式组，因为均为正实数，于是， 所以，所以. 故选：B. 【变式2-2】（23-24高一上·四川广安·期末）已知，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【解答过程】由不等式的性质可判断A，由特值法可判断BCD. 【解答过程】由，则，A正确； 当时，，故B错误； 当时，， ，则，故C错误； ，则，故D错误. 故选：A. 【变式2-3】（23-24高二下·安徽芜湖·阶段练习）下列命题中真命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【解答过程】利用不等式的性质一一判定选项即可. 【解答过程】对于A，若，显然不能得出，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若，则，故C错误； 对于D，若，则，故D正确. 故选：D. 【题型3 利用作差法比较大小】 【例3】（23-24高一上·云南昆明·期中）设，，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【解答过程】利用作差法分析判断. 【解答过程】因为， 所以. 故选：A. 【变式3-1】（23-24高一上·浙江杭州·阶段练习）已知且，，则、的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【解答过程】由作差法比较大小. 【解答过程】已知.则， 所以， ，因此，. 故选:C. 【变式3-2】（23-24高二下·天津南开·期末）下列不等式中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【解答过程】作差结合已知条件比较大小可判断ABCD. 【解答过程】对于A，若，则，， 所以 ，所以，故A错误； 对于B，若，则，， 所以，所以，故B错误； 对于C，若，则， 所以，所以，故C错误； 对于D，若，则， 所以， 所以，故D正确. 故选：D. 【变式3-3】（2024·浙江金华·模拟预测）设的平均数为,与的平均数为,与的平均数为.若,则（    ） A． B． C． D． 【解答过程】根据作差法比较大小,首先将要比较的,用表示,后作差变形,运用这个条件,判断正负即可比较出大小. 【解答过程】根据题意得,,,, 对于A选项, 对于B选项, 对于C选项, 对于D选项, 故选：B. 【题型4 利用作商法比较大小】 【例4】（2024高二下·全国·专题练习）已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 【解答过程】应用作商法比较的大小关系即可. 【解答过程】由题设，易知x，y＞0，又， ∴x＜y. 故选：C. 【变式4-1】（2024·山西晋城·一模）若实数，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【解答过程】根据作商法比较大小，即可得出结果. 【解答过程】因为实数，，满足，，， 所以， ∴； 又， ∴； ∴． 故选：A． 【变式4-2】（23-24高一上·北京·阶段练习）设，，则a b（填入“＞”或“＜”）． 【解答过程】由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案. 【解答过程】∵，即. 又， . 故答案为：>. 【变式4-3】（2024高一·上海·专题练习），则的大小关系为 ≥ ． 【解答过程】用作商法比较的大小关系，化简即可得结果. 【解答过程】因为， 则 由 所以 故答案为：. 【题型5 作差法比较代数式的大小的应用】 【例5】（23-24高一·全国·随堂练习）某粮食收购站分两个等级收购小麦．一级小麦元/kg，二级小麦元/kg（）．现有一级小麦m kg，二级小麦n kg，若以两种价格的平均数收购，是否合理，为什么？ 【解答过程】列式表示分等级收购和以两种价格的平均数收购的收购总额，再作差比较即可得解. 【解答过程】依题意，，分等级收购的收购总额， 以两种价格的平均数收购的收购总额， 由，显然， 当时，，当时，，当时，， 所以当时，，收购不合理；当时，，收购合理. 【变式5-1】（23-24高三上·安徽亳州·期中）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了. (1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立； (2)在锐角中，根据（1）中的结论，证明：. 【解答过程】（1）用作差比较法即可； （2）结合（1）的结论即可证明. 【解答过程】（1）若，则. 证明：. 因为，所以，又，故， 因此. （2）在锐角三角形中，由（1）得， 同理， . 以上式子相加得. 【变式5-2】（23-24高一·全国·课后作业）某学校组织老师去某地参观学习，需包车前往.甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠.”乙车队说：“你们属团体票按原价的8折优惠.”这两车队的原价、车型都是一样的.试根据去的老师人数，比较两车队的收费哪家更优惠. 【解答过程】设该学校组织去学习的老师有人（），全票价为元，坐甲车队的车需花元，坐乙车队的车需花元，根据两个车队的政策,分别求出坐甲车所需费用元和坐乙车所需费用元,再对和作差，并且判断作差的结果的符号,可得出结论. 【解答过程】设该学校组织去学习的老师有人（），全票价为元，坐甲车队的车需花元，坐乙车队的车需花元， 则，， 所以. 当时，； 当时，； 当时，. 所以当去的老师人数为5时，两车队收费相同；当去的老师人数多于5时，选甲车队更优惠；当去的老师人数少于5时，选乙车队更优惠. 故得解. 【变式5-3】（23-24高一·全国·随堂练习）甲、乙两人同时从A地出发沿同一路线走到B地，所用时间分别为，．甲有一半的时间以m m/s的速度行走，另一半的时间以n m/s的速度行走；乙有一半的路程以m m/s的速度行走，另一半的路程以n m/s的速度行走，且． (1)请用含m，n的代数式表示甲、乙两人所用的时间和； (2)比较与的大小，并判断甲、乙两人谁先到达B地． 【解答过程】（1）分别根据两人的运动情况表述出所需时间； （2）利用作差法比较大小即可得到结论. 【解答过程】（1）设A地到B地的路程为 ， 因为甲有一半的时间以m m/s的速度行走，另一半的时间以n m/s的速度行走， 所以，所以， 因为乙有一半的路程以m m/s的速度行走，另一半的路程以n m/s的速度行走， 所以, （2） 因为，所以，因为 所以 所以，所以甲先到达B地． 【知识点3 等式性质与不等式性质】 1．等式的基本性质 性质1　如果a＝b，那么b＝a； 性质2　如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　如果a＝b，c≠0，那么＝. 2．不等式的性质 (1)如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 【方法技巧与总结】 1．应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率. 【题型6 利用不等式的性质判断正误】 【例6】（23-24高二下·安徽合肥·期末）对于实数，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【解答过程】对于A，B，C选项只需要用特殊值法，找出反例即可判断正误。D选项需要利用对钩函数，利用函数单调性即可判断正误。 【解答过程】对于选项A，若时，，则错误. 对于选项B，若，当，则，则B错误. 对于选项C，若取，则，故错误. 对于选项D，因为函数在上单调递增，故D正确. 故选：D. 【变式6-1】（23-24高二下·广西玉林·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．若，，则一定有 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【解答过程】若，，，，可判断A；由已知可得，判断B；作差法比较大小判断C；由不等式性可得，判断D. 【解答过程】对于A，若，，，，则，故A错误. 对于B，若，则，故B错误. 对于C，， 若，，则，即，所以C错误. 对于D，由，可知，即，所以，故D正确. 故选：D. 【变式6-2】（23-24高一上·广东深圳·期末）已知，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【解答过程】根据不等式的性质逐项判断即可结论. 【解答过程】对于A，当，则，故A不正确； 对于B，当时，由可得，故B不正确； 对于C，当时，，故C不正确； 对于D，因为恒成立，所以由可得，故D正确. 故选：D. 【变式6-3】（23-24高一上·河南驻马店·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若均为实数，则 【解答过程】利用特殊值判断A、C，利用作差法判断B、D. 【解答过程】对于A：当时，故A错误； 对于B：因为，所以， 所以，故B错误； 对于C：当，，，时满足，，但是，故C错误 对于D：因为， 所以，当时取等号，故D正确． 故选：D． 【题型7 利用不等式的性质证明不等式】 【例7】（23-24高一上·河北保定·阶段练习）设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 【解答过程】（1）先根据表示出，结合的符号可证结论； （2）利用作差比较法得，进而可证结论. 【解答过程】（1）证明:∵， ∴. a，b，c不同时为，则，∴； （2）. ∵，取等号的条件为， 而，∴等号无法取得，即， 又，∴，∴. 【变式7-1】（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：． 【解答过程】（1）利用不等式性质4，5得出，再取倒数，再利用性质6即可证明； （2）对不等式进行等价变形，利用分析法的思路来转化证明不等式． 【解答过程】证明：（1）因为，所以． 又．所以，所以． 又因为， 所以． （2）因为，要证，只需证明， 展开得， 即， 因为成立， 所以成立． 【变式7-2】（23-24高一上·陕西榆林·期中）证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：. 【解答过程】（1）依题意可得，再根据不等式的性质证明； （2）利用作差法证明即可. 【解答过程】（1），即， ，则. （2）， ， ， 则， 【变式7-3】（23-24高一下·安徽·阶段练习）（1）设，，证明：； （2）设，，，证明：. 【解答过程】（1）根据作差法证明即可； （2）由于，故，再结合（1）的结论易证. 【解答过程】证明：（1）因为，，所以，。 所以， 故得证； （2）由不等式的性质知，， 所以， 又因为根据（1）的结论可知，， 所以. 所以. 【题型8 利用不等式的性质求取值范围】 【例8】（23-24高一上·新疆伊犁·期中）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解答过程】根据，求的范围即可. 【解答过程】因为，所以. 因为，所以， 则. 故选：D. 【变式8-1】（24-25高一上·全国·假期作业）已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解答过程】根据不等式倒数性质求的范围，然后同向不等式相乘可解． 【解答过程】因为，所以，， 又，所以. 故选：D. 【变式8-2】（23-24高一上·江西景德镇·期中）若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解答过程】应用不等式性质求目标式范围. 【解答过程】由题设，则，又，所以. 故选：C. 【变式8-3】（2024高三·全国·专题练习）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【解答过程】根据不等式的性质逐项分析即得. 【解答过程】A：由，得，又，所以，A错误； B：由，，所以，B错误； C：由，则，又，所以，C正确； D：因为，又，所以，∴D错误. 故选：C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$