1.4.1 第3课时空间中直线、平面的垂直-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练测（人教A版2019）

?高中数学·选择性必修 第一册 探究四 平行关系中的探索性问题 [例4] 如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中， PA⊥平面 ABCD,PB与底面 成的角为45°,底面 ABCD为 直角梯形，∠ABC=∠BAD =90°,PA=BC=1AD=1. P DA CB 问：在棱 PD上是否存在一点E,使得CE// 平面 PAB?若存在，求出E点的位置；若不 存在，请说明理由. 跟踪训练 4.如图所示，在正方体 ABCD- A?B?C?D?中，O 为 底 面 ABCD 的中心，P 是 DD? 的中点，设 Q是CC?上的 点，问：当点Q在什么位置 时，平面 D?BQ//平面 PAO. D? A? P D B? 0 B C? c 规律方法|l 解决该类问题时可以先建系，然后把结论当作已 知条件进行推理证明，最后确定结论是否正确。 提示请完成《素能提升训练》训练七 第3课时 空间中直线、平面的垂直 [学习任务] 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.(重点) 2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系.(重点、难点) 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点 空间中直线、平面垂直的向量表示 1.线线垂直的向量表示 设直线l,l2的方向向量分别为u?,U2, 则l?⊥l?? ? 2.线面垂直的向量表示 设直线l的方向向量为u,平面α的法 向量为 n,则l⊥α→ ?3λ∈R,使 得 3.面面垂直的向量表示 设平面α,β的法向量分别为 n?,n2,则 α_ 3? ? 20 第一章 空间向量与立体几何 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 直线和直线垂直 [例1] 已知正三棱柱 ABC-A?B?C?的各棱 长都为1,M是底面上 BC边的中点，N是侧 棱CC?上的点，且CN=4cc.求证： AB?⊥MN. 探究二 直线和平面垂直 [例2] 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD是正方形，侧棱 PD上 P E 底面 ABCD,PD= DC,E为 CPC的中点，EF⊥BP于点F. D 求证：PB⊥平面 EFD. A B 规律方法|Ⅱ -------- 利用空间向量证明两直线垂直的常用方法及步骤 (1)基向量法：①选取三个不共面的已知向量(通 常是它们的模及其两两夹角为已知)为空间的一个基 底；②把两直线的方向向量用基底表示；③利用向量的 数量积运算，计算出两直线的方向向量的数量积为0; ④由方向向量垂直得到两直线垂直； (2)坐标法：①根据已知条件和图形特征，建立适 当的空间直角坐标系，正确地写出各点的坐标；②根据 所求出点的坐标求出两直线方向向量的坐标；③计算 两直线方向向量的数量积为0;④由方向向量垂直得 到两直线垂直. 跟踪训练 1.如图，正方体 ABCD- A?B?C?D?中，E 为 AC A 的中点.求证： D? D! (1)BD?⊥AC; (2)BD?⊥EB?. E C? B? C B Ⅱ规律方法|Ⅱ--- 用向量法证明线面垂直的方法及步骤 (1)利用线线垂直：①将直线的方向向量用坐标表 示；②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的 方向向量；③判断直线的方向向量与平面内两条直线 的方向向量垂直； (2)利用平面的法向量：①将直线的方向向量用坐 标表示；②求出平面的法向量；③判断直线的方向向量 与平面的法向量平行. 跟踪训练 D? 2.如图所示，在正方体 ABCD- A?B?C?D?中，E,F 分别是 BB?,D?B?的中点.求证： EF⊥平面 B?AC. Ar D A F C B? C B 21 ?高中数学·选择性必修 第一册 探究三 平面和平面垂直 [例3] 在四棱锥 S-ABCD 中，底面 ABCD是 正方形，AS⊥底面 ABCD,且 AS=AB,E是 SC的中点.求证：平面 BDE⊥平面 ABCD. I规律方法|Ⅱ --------------------. 证明面面垂直的两种方法 (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面 垂直、线线垂直去证明； (2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直. 跟踪训练 3.如图，四边形 ABCD为正方 形，PD⊥平面 ABCD,PD// C B D QA,QA=AB=1PD. 证明：平面PQC⊥平面 DCQ. Q P 探究四 垂直关系中的探索性问题 [例 4] 如图，在四棱锥 P- ABCD中，PD⊥底面 ABCD, 底面 ABCD为正方形，PD= P D C DC,E,F分别是 AB,PB的 中点. A E B (1)求证：EF⊥CD; (2)已知点G在平面 PAD 内，且GF⊥平面 PCB,试确定点G的位置. 规律方法|Ⅱ 解决立体几何中探索性问题的基本方法 (1)通常假设题中的数学对象存在(或结论成立), 然后在这个前提下进行逻辑推理； (2)探索性问题的关键是设点： ①空间中的点可设为(x,y,z); ②坐标平面内的点其中一个坐标为0,如 Oxy 面 上的点为(x,y,0); ③坐标轴上的点两个坐标为0,如之轴上的点为 (0,0,≈); ④直线(线段)AB上的点P,可设为AP=λAB, 表示出点P的坐标，或直接利用向量运算. 跟踪训练 4.(滕州高一月考)如图①,在边长为2 的菱形 ABCD中，∠BAD=60°,DE⊥AB于点E, 将△ADE沿DE 折起到△A?DE的位置，使 A,DLBE,如图② D C A? C A E B E B 图① 图② (1)求证：A?E⊥平面 BCDE; (2)在线段 BD上是否存在点P,使平面 pA?EP⊥平面 A?BD?若存在，求 的值；若 不存在，请说明理由. 提示请完成《素能提升训练》训练八 22 ∵EF∩BF=F, ∴MN//平面 EFBD,AM//平面 EFBD. 又 MN∩AM=M,∴平面AMN//平面 EFBD. [跟踪训练] 3.证明因为AB=4,BC=CD=2,F是棱AB的中点，所 以 BF=BC=CF,所以△BCF为正三角形. 因为ABCD为等腰梯形， zD.I C AB=4,BC=CD=2, A? B 所以∠BAD=∠ABC=60°. D M取 AF的中点M,连接 DM, y F BA 则 DM⊥AB,所以 DM⊥CD. x 以 D为原点，DM所在直线为x轴，DC所在直线为y 轴，DD,所在直线为≈轴建立空间直角坐标系Dxye, 则 D(0,0,0),D,(0,0,2),A(√3,-1,0),F(√3,1,0), C(0,2,0),C(0,2,2), 所以DD?=(0,0,2),DA=(√3,-1,0), CF=(√3,-1,0),CC?=(0,0,2), 所以DD,//CC,DA//CF, 所以 DD?//CC,DA//CF. 又 DD?∩DA=D,CC∩CF=C,DD?,DAC平面 AA?D?D,CC,CFC平面FCC, 所以平面 AA?D?D//平面 FCC. 探究四 [例 4] [解]以 A 为坐标原 2 P 点，分别以AB,AD,AP的方向 E 为x轴、y轴、z轴的正方向建 Ai 立空间直角坐标系，所以 D P(0,0,1),C(1,1,0),D(0,2,0). B/ Cx 设 E(0,y,z), 则PE=(0,y,x-1) PD=(0.2,-1). 因为PE//PD,所以y(-1)-2(z-1)=0①. 因为Ab=(0,2,0)是平面PAB的法向量， 又CE=(-1,y-1,),由CE//平面 PAB, 所以CE⊥AD,所以(-1,y-1,z)·(0,2,0)=0, 所以y=1,代入①得x=去，,所以E是PD的中点， 所以存在点E为PD中点时，CE//平面 PAB. [跟踪训练] 4.解如图所示，分别以 DA,DC, DD?所在直线为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系，在 CC?上任 取一点 Q,连接 BQ,D,Q. 2 D? C A ” B? Q n j设正方体的棱长为1,则 C0 B o(号，÷0),P(0.0,号),A(,0,0), B(1,1,0),D?(0,0,1), 设Q(0,1,z), 则op=(-2,-,去), BD,=(-1,-1,1) ∵BD?=2OF,:OP//BD,∴OP//BD,. 又AP=(-1,0,号),B0-(-1,0,), 当x=号时，AP-Rà, 即AP//BQ.又AP∩OP=P,BQ∩BD?=B,AP,OPC 平面 PAO,BQ,BD?C平面 D,BQ, 则有平面 PAO//平面 D,BQ, ∴当Q为CC的中点时，平面 D,BQ//平面 PAO. 第3 课时空间中直线、平面的垂直 【自主学习探新知】 知识点 1.u?⊥u?u?·u?=0 2.u//n u=àn 3.n,⊥n?n?·n?=0 【互动探究解疑难】 探究一 [例1][证明]如图，以平面 ABC内垂直于AC的直线为x 轴，AC,AA,的方向分别为y B 轴、之轴的正方向建立空间直角 坐标系，则 21 A? C? A A(0.0,0),B,(竖，云1)· xB N C M y M(厚.二.0)·N(0,1,÷), 所以AB=(鲁，号，1) Mx=(一厚六.÷), 所以AB·MN=-8+2++=0. 所以AB,⊥MN,即AB,⊥MN. [跟踪训练] 1.证明以D为原点，DA,DC,DD?所在直线分别为x 轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设 正方体的棱长为1,则B(1,1,0),D,(0,0,1),A(1,0,0), C(0,1,0),E(去，去0),B,(1,1,1). (1)BD?=(-1,-1,1),AC=(-1,1,0), ∴BD·AC=(-1)×(-1)+(-1)×1+1×0=0, ∴BD?⊥AC.∴BD⊥AC. 12 D?(2)BD?=(-1,-1,1), C? EB=(5,÷,1) A? B? ∴BD,·EB,=(-1)× D ≥+(-D×≥+1×1=0. cA E B y ∴BD.IEB.∴BD,LEB 9 探究二 [例2] [证明]由题意得，DA,DC,DP两两垂直， 所以以D为坐标原点，DA,DC,DP所在直线分别为x 轴、y轴、轴建立空间直角坐标系Dxyz,如图， 设 DC=PD=1,则P(0,0,1),A(1,0,0),D(0,0,0), B(1,1,0),E(0,去，号). 2 P E 所以PB=(1,1,-1), cy DE=(0,÷,÷) D A B Eb=(1.号，-号). x 法一 因为PB·DE=(1,1,-1)·(0,去，去) =0+÷-2=0. 所以PB⊥DE,所以 PB⊥DE. 因为PB⊥EF,又EF∩DE=E,EF,DEC平面 EFD. 所以 PB⊥平面 EFD. 法二 设F(x,y,z),则PF=(x,y,z-1), EF=(x.y-2,x-去). 因为EF⊥PB,所以x+(y-号)-(z-号)=o, 即 x+y-x=0. ① 又因为PF//PB,可设PF=λPB(O≤λ≤1), 所以 x=λ,y=λ,z-1=-λ. ② 由①②可知，x=号，v=子，=号， 所以E=(号，一音，云). 设n=(x?,y?,z?)为平面EFD的法向量，⋯即则有-所以 取≈=1,则n=(-1,-1,1). 所以PB//n,所以 PB⊥平面 EFD. [跟踪训练] 2.证明方法一设AB=a,AD=c,AA,=b,连接 BD 则EF=EB+B,F=÷(BB+B,D)=÷(AA+BD) =÷AA+AD-AB)=÷(b+c-a). 因为AB=AB+AA,=a+b,所以EF·AB=÷(b+c -a)·(a+b)=÷(b-a)=0, 所以EF⊥AB,即 EF⊥AB?.同理，EF⊥B?C. 又AB?∩B?C=B,所以EF⊥平面BAC. 方法二 设正方体的棱长为2a, tzD? C? 建立如图所示的空间直角坐标 F 系，则 A(2a,0,0),C(0,2a,0),A B? B?(2a,2a,2a),E(2a,2a,a), EDF(a,a,2a),所以EF=(-a,-a, ℃y a),AB=(0,2a,2a),AC= A) Bx (一2a,2a,0),因为E广·AB= (-a,-a,a)·(0,2a,2a)=0,EF·AC=(-a,-a,a) ·(-2a,2a,0)=0, 所以 EF⊥AB?,EF⊥AC. 又AB?∩AC=A,所以 EF⊥平面 B,AC. 探究三 [例3] [证明] 设AS=AB 2 S=1,建立如图所示的空间 直角坐标系. 则 B(1,0,0),D(0,1,0), E A(0,0,0),S(0,0,1), A E(去去去). D y方 法一 连接 AC,交 BD于 B 点O, x C (去去0).连接OE,则点O的坐标为 易知AS=(0.0,1) oE=(0,0,号)∴OE=÷AS∴OE//As. 又 AS⊥底面 ABCD,∴OE⊥平面 ABCD. 又 OEC平面 BDE,∴平面 BDE⊥平面 ABCD. 法二 设平面BDE的法向量为n?=(x,y,z). 易知BB=(-1,1,0),E=(一告，去，去), (n?·BD=-x+y=0, n |BJ n·m-÷号+÷-即BE, 令x=1,可得平面 BDE的一个法向量为n?=(1,1,0). ∵AS⊥底面 ABCD, ∴平面ABCD的一个法向量为n?=AS=(0,0,1). ∵n?·n?=0,∴平面 BDE⊥平面ABCD. [跟踪训练] 3.证明 如图，以D为坐标原点，线段 Cl DA的长为单位长，DA,DP,DC所 B 在直线分别为x轴、y轴、≈轴建立空 D A 间直角坐标系Dxyz. 0 P 方 则 D(0,0,0),Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0), 则Dà-(1,1,0),DC=(0,0,1),PQ=(1,-1,0), ∴PQ·DQ=0,PQ·DC=0, 即 PQ⊥DQ,PQ⊥DC, 又 DQ∩DC=D,DQ,DCC平面 DCQ, ∴PQ⊥平面 DCQ.又 PQC平面 PQC, ∴平面 PQC⊥平面 DCQ. 10 探究四 [例4] [解](1)证明以D为坐 标原点，DA,DC,DP所在直线分 别为x轴、y轴、z轴，建立空间直 角坐标系(如图), 设AD=a,则 D(0,0,0),B(a,a,0), 2 P D. EC(0,a,0),E(a,2,0),P(0,0,a), / /A C y B F(2,2,2), :=(一号，0,告),DC=(0.a,0), ∴·DC=(一章.0,号)·(0,a,0)=0, ∴EF⊥CD. (2)∵G∈平面 PAD,设G(x,0,z), ∴FG=(x-号，一号，x-号) 由(1),知CB=(a,0,0),CP=(0,-a,a). ∵GF⊥平面 PCB, ∴FG·CB=(x一2,一量·8-兰)·(a,0,0) =a(x-2)=0, C.cp-(x-号，一世，一告)·(0,-a.a) =2+a(s-号)=0. ∴x=2·*=0. (2.0.0)·∴点G的坐标为 ,即点G为AD的中点. [跟踪训练] 4.解 (1)证明因为DE⊥AB于点 E,所以 A,E⊥DE. 因为 A?D⊥BE,ED⊥BE,且ED∩A,D=D, 所以 BE⊥平面 A,DE. 所以 BE⊥A,E.又因为 BE∩DE=E, 所以 A,E⊥平面 BCDE. (2)假设在线段 BD上存在点 P, y24 使平面 A?EP⊥平面 A?BD. A? 根据(1)建立如图所示的空间直角 D C 坐标系，则 E(0,0,0),B(1,0,0), 左E BD(0,√3,0),A?(0,0,1), 所以A,B=(1,0,-1),EA?=(0,0,1), A,b=(0,√3,-1). 设 P(x·y,O),BP=λBD(o≤x≤1), 则(x-1,y,0)=x(-1,√3,0),所以 P(1-λ,√3λ,0), 所以EP=(1-λ,√3λ,0). 设平面A,EP的一个法向量为m=(x?,yi,z),-则< 令x?=√3λ,则y?=λ-1,所以m=(√3λ,x-1,0). 即 设平面A?BD的一个法向量为n=(x?,y?,z), 则< 令y?=1,则≈?=x?=√3,所以n=(√3,1,√3). 因为平面 A,EP⊥平面 A,BD, 所以m·n=0,即3x+a-1=0,解得A=÷, 所以在线段 BD上存在点 P,使平面 A,EP⊥平面 A,BD, 且器-六. 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时用空间向量研究距离问题 【自主学习探新知】 知识点一 |API2-|AQI2 √a2-(a·u)2 AAo·m| IAp;知识点二 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解] 以D为坐标原点， 12 D 分别以 DA,DC,DD,所在直线 Fk 为x轴、y轴、z轴建立空间直角 A? 坐标系 Dxye,如图. G B? E 设 DA=2,则 A(2,0,0), D c E(0,2,1),F(1,0,2), Bx√ 所以EF=(1,-2,1), FA=(1.0,-2). 所以|EF|=√1+(-2)°+1=√6, FA·EF=1X1+0×(-2)+(-2)×1=-1. 产方所以FA在EF上的投影为! 所以点 A到直线 EF的距离 a=√IFAP-()=√-m [跟踪训练] 1.B因为 PA⊥平面 ABCD,所以 z+P ∠PDA为 PD与平面 ABCD所成 的角，所以∠PDA=45°,所以PA= AD=4.以 A为原点，AB,AD,AP yAj 所在直线分别为x轴、y轴、z轴建 D 立空间直角坐标系，如图所示，则 A C (0,0,0),B(2,0,0),P(0,0,4),D(0,4,0),则DP=(0. -4,4),BP=(-2,0,4),所以点B到直线 PD的距离为 =√)m1-()-√2-3-25. 11 y