1.4.1 第2课时空间中直线、平面的平行-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练测（人教A版2019）

?高中数学·选择性必修 第一册 第 2 课时 空间中直线、平面的平行 [学习任务] 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.(重点) 2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系.(重点、难点) 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点 空间平行、垂直关系的向量表示 设u?,u2分别是直线l?,l2的方向向量， n?,n?分别是平面α,β的法向量. (1)线线平行：l?//l?? ?3λ∈R, 使得 (2)线面平行：l? ? 一 (3)面面平行：α/ ?3λ∈R,使β? 得 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 直线与直线平行 [例 1] 在长方体 ABCD- A?B?C?D?中， AB=3,AD=4,AA?=2,点M在棱 BB? 上，且 BM= 2MB?,点 S 在 DD?上，且 SD?=2SD,点 N,R分别为 A?D?,BC的中 点，求证：MN//RS. 跟踪训练 1.长方体 ABCD-A?B?C?D?中，E,F分别是 面对角线 B?D?,A?B上的点，且 D?E= 2EB?,BF=2FA?.求证：EF//AC?. |Ⅱ规律方法|Ⅱ 证明直线平行的两种思路 选择一 用基向量 组基底 表示v?,v? 确定直线的方 向向量v,,v? 建立适当 用坐标表 坐标系 示 v?,v? 判断v? λv,成立 18 第一章 空间向量与立体几何 探究二 直线与平面平行 [例2] 在正方体 ABCD-A?B?C?D?中，M, N分别是CC?,B?C?的中点.求证：MN//平 面 A?BD. 探究三 平面与平面平行 [例 3] 在长方体 ABCD - A?B?C?D?中， DA=2,DC=3,DD?=4, D? E C?M N M, N,E,F 分 别 为 棱 A?D?,A?B?,D?C?,B?C? 的中点. A? B? cD 求证：平面 AMN//平面 EFBD. A B |规律方法|l 利用空间向量证明线面平行的三种方法 方法一：证明直线的方向向量与平面内任意两个 不共线的向量共面，即可用平面内的一个基底表示； 方法二：证明直线的方向向量与平面内某一向量 共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证； 方法三：先求直线的方向向量，然后求平面的法向 量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. 跟踪训练 2.如图，在正 方体 ABCD- A?B?C?D?中，E,F,G,H, D C? M A? B? F N M,N分别是正方体六个面 的中心.求证：平面 EFG// 平面 HMN. G H C E A B Ⅱ规律方法|Ⅱ 证明面面平行问题的方法 (1)转化为相应的线线平行或线面平行； (2)分别求出这两个平面的法向量，然后证明这两 个法向量平行. 跟踪训练 3.在直四棱柱 ABCD-A?B?C?D? DA 中，底面 ABCD为等腰梯形， D AB//CD,AB=4,BC=CD=2, A C B? B AA?=2,F是棱 AB的中点.试用向量的方 法证明：平面 AA?D?D//平面 FCC?. 19 ?高中数学·选择性必修 第一册 探究四 平行关系中的探索性问题 [例4] 如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中， PA⊥平面 ABCD,PB与底面 成的角为45°,底面 ABCD为 直角梯形，∠ABC=∠BAD =90°,PA=BC=1AD=1. P DA CB 问：在棱 PD上是否存在一点E,使得CE// 平面 PAB?若存在，求出E点的位置；若不 存在，请说明理由. 跟踪训练 4.如图所示，在正方体 ABCD- A?B?C?D?中，O 为 底 面 ABCD 的中心，P 是 DD? 的中点，设 Q是CC?上的 点，问：当点Q在什么位置 时，平面 D?BQ//平面 PAO. D? A? P D B? 0 B C? c 规律方法|l 解决该类问题时可以先建系，然后把结论当作已 知条件进行推理证明，最后确定结论是否正确。 提示请完成《素能提升训练》训练七 第3课时 空间中直线、平面的垂直 [学习任务] 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.(重点) 2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系.(重点、难点) 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点 空间中直线、平面垂直的向量表示 1.线线垂直的向量表示 设直线l,l2的方向向量分别为u?,U2, 则l?⊥l?? ? 2.线面垂直的向量表示 设直线l的方向向量为u,平面α的法 向量为 n,则l⊥α→ ?3λ∈R,使 得 3.面面垂直的向量表示 设平面α,β的法向量分别为 n?,n2,则 α_ 3? ? 20 ∴直线 DD?的一个方向向量为(0,0,1). ∵BC?//AD,AD?=(0,1,1), ∴直线 BC?的一个方向向量为(0,1,1). [答案](1)A(2)(0,0,1)(0,1,1)(答案不唯一) [跟踪训练] 1.解析 (1)由AB=(2,4,8),1的方向向量与AB平行，只 有选项 A满足题意，故选 A. (2)∵A(0,a,3)和B(-1,2,b)在直线l上，AB=(-1, 2—a,b—3),且直线l的一个方向向量为m=(2,-1, 3),∴设AB=λm,则(-1,2-a,b-3)=A(2,-1,3),解 得λ=-号·a=b=2,∴a+b=3.故选D. 答案 (1)A (2)D 探究二 [例2][解] 因为 PA⊥平面 AB- tp CD,底面ABCD为矩形，所以AB, F AD,AP两两垂直. A 如图，以A为坐标原点，建立空间直B Cx角坐标系， D 则 DC0,/层，0),E(0.登，号),BC1,0,0),C(1v3,0), 于是AE-(0.唇，号),AC=(1,√3,0). 设n=(x,y,z)是平面ACE的法向量， 1"·不市-。受 (r+/3y=0. {所以则 令y=-1,则x=x=√3. 所以平面ACE的一个法向量为n=(√3,-1,√3). [变式训练] 解 以A为坐标原点，建立如图所示 tp 的空间直角坐标系， E 则 P(0,0,1),C(1,√3,0), A 子 所以PC=(1,√3,-1),即为直线 BL Cx PC的一个方向向量. 设平面 PCD的法向量为n=(x,y,z). 因为 D(0,√3,0),所以PD=(0,√3,-1). (二 {二得 所以由 令y=1,则x=√3. 所以平面 PCD的一个法向量为n=(0,1,√3). [跟踪训练] 2.解析 (1)依题意，得AB=(-1,1,0),AC=(-1,0, 1).设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),⋯则 令x=1,得平面 ABC的一个 m法向量n=(1,1,1),于是得与n同向的单位向量为- -(厚得将)· -,与n反向的单位向量为一 (一每，一唇，一图),,D满足，显然选项 A,B,C中的向 量与简不共线，即A.B.C不满足，故选D. (2)由题意可知，PA-PB+PC-PD=BA+DC=0, PA+PC=2PO,PB+PD=2PO,PA+PB+PC+PD =4P?,所以不能作为底面ABCD的法向量的是①. 答案 (1)D (2)① 探究三 [例3] [解] 由已知，得PB=2A户 即OB-OP=2(OP-O?, op-?oA+÷ob. 设点P坐标为(x,y,z),则上式换用坐标表示，得 (x,y,<)=号(2,4,0)+÷(1,3,3), 即x=3+号=号y=§+1=号，*=0+1=1. 因此，点P的坐标是I(·号，1). 因为 AQ:QB=2:1, 所以AQ=-2QB,OQ-OA=-2(OB-OQ), Oà=-OA+2OB. 设点Q的坐标为(x1,y',z),则上式换用坐标表示，得 (x1,y',x1)=-(2,4,0)+2(1,3,3)=(0,2,6), 即x1=0,y'=2,z′=6.因此，点Q的坐标是(0,2,6). [跟踪训练] ÷3.解析 设C(x,y,z),∵C为线段AB上一点且 ∴AC=÷AB,(x-4,y-1,g-3)=÷(-2,-6,-2), x-4=-3,|x=3, (3,-1,子).因此点C的坐标为 (学.-1.子)答案 第2课时空间中直线、平面的平行 【自主学习探新知】 知识点(1)u?//u?u?=au?(2)u,⊥n? u?·n?=0 (3)n?//n?n?=λn? 【互动探究解疑难】 探究一 「例1[证明]法一 设AB=a,AD=b,AA,=c. 则MN=MB+BA?+A,N=÷c-a+÷b, 7 RS=RC+CD+DS=÷b-a+÷c, ∴MN=RS,:MN//R5.又∵REMN, ∴MN //RS. 法二 如图所示，建立空间直角坐标 +2 NA? ,D? (3.0,季)·系 Axyx,则根据题意得 M B?r M A.. S Dy N(0,2,2),R(3,2.0),S(0,4,号) BL R C ∴MN=(-3,2,?) RS=(-3,2,号), ∴MN=RS, ∴MN//RS.∵M∈RS,∴MN//RS. [跟踪训练] 1.证明 如图所示，分别以 DA,DC, DD?所在的直线为x轴、y轴、2轴 建立空间直角坐标系，设 DA=a,A? DC=b,DD?=c,则得下列各点的 DJ C? E B, F C 坐标：A(a,0,0),C(0,b,c), E(号a,号bxc),F(a.含，号(). ∴FE=(一量备章),AC;=(-a.b,c), ∴FE=÷AC. B“x 又 FE与AC?不共线，∴EF//AC. 探究二 [例2] [证明] 法一 如图，以 42 D为原点，DA,DC,DD,所在 D? N A?直线分别为x轴、y轴、z轴建 B? 立空间直角坐标系，设正方体的 C? M 棱长为1,则 D(0,0,0),A?(1,0, D Cy 1),B(1,1.0),M(0.1,去)· B N(号，1,1)· 于是DA?=(1,0,1),DB=(1,1,0), Mx=(去.0.号). 设平面 A?BD的法向量为n=(x,y,z),则< 取 x=1,则 y=-1,x=-1, ∴平面 A?BD的一个法向量为n=(1,-1,-1). 又MX·n=(号，0,云)·(1,-1,-1)=0, :MN⊥n.∴MN//平面A;BD. 法二 MN=C?N-C?M=LC?B-IC?C =÷D,A-D.D)=-DA⋯MN/DA, ∴MN//平面 A,BD. 法三 MN=C?N-C,M=2C?B-C?C -÷DA-÷A,A-≥(DB+BA)-÷(A,B+A) -÷DB-÷A,. 即MN可用A?B与DB线性表示，故MN与A?B,DB是共 面向量，故 MN//平面A?BD. [跟踪训练] 2.证明如图，以点 D为坐标原 12D? Ci 点，分别以DA,DC,DD,的方向 M、 A? 为x,y,z轴的正方向，建立空间 [B? F N~ 直角坐标系 Dxyz.不妨设正方 G H C 体的棱长为 2,则 E(1,1,0), E F(1,0,1),G(2,1,1),H(1,2, Bx 1),M(1,1,2),N(0,1,1), 所以EF=(0,-1,1),FC=(1,1,0),HM=(0,-1,1), NB=(1,1,0) 方法一 由向量坐标知EF//HM,FG//N白，所以 EF //HM,FG//NH.因为HM,NHC平面 HMN,EF, FG±平面 HMN,所以 EF//平面 HMN,FG//平面 HMN.又EF,FGC平面 EFG,EF∩FG=F,所以平面 EFG//平面 HMN. 方法二 设平面 EFG的法向量为m=(x?,y?,z?), (二中即{则( 取 x?=-1, 则m=(-1,1,1)为平面 EFG的一个法向量. 设平面HMN的法向量为n=(x?,y?,z?), n·Ht=0. (#.则( 即 取 x?=-1,ln·NH=0, 则n=(-1,1,1)为平面 HMN的一个法向量，所以m //n,所以平面 EFG//平面 HMN. 探究三 [例3] [证明]建立如图所示的空间直角坐标系，则 N(2.号，4),A(2,0,0),B(2,3,0),M(1,0,4),N E(0.号，4),F(1,3,4). D E C?M? N FA?r B 你 cj 心 B ∴MN=(1,意，0),EF=(1,2,0),AM=(-1,0,4), BF=(-1.0,4) ∴MN=EF,AM=BF,∴MN//EF,AM//BF. 8 ∵EF∩BF=F, ∴MN//平面 EFBD,AM//平面 EFBD. 又 MN∩AM=M,∴平面AMN//平面 EFBD. [跟踪训练] 3.证明因为AB=4,BC=CD=2,F是棱AB的中点，所 以 BF=BC=CF,所以△BCF为正三角形. 因为ABCD为等腰梯形， zD.I C AB=4,BC=CD=2, A? B 所以∠BAD=∠ABC=60°. D M取 AF的中点M,连接 DM, y F BA 则 DM⊥AB,所以 DM⊥CD. x 以 D为原点，DM所在直线为x轴，DC所在直线为y 轴，DD,所在直线为≈轴建立空间直角坐标系Dxye, 则 D(0,0,0),D,(0,0,2),A(√3,-1,0),F(√3,1,0), C(0,2,0),C(0,2,2), 所以DD?=(0,0,2),DA=(√3,-1,0), CF=(√3,-1,0),CC?=(0,0,2), 所以DD,//CC,DA//CF, 所以 DD?//CC,DA//CF. 又 DD?∩DA=D,CC∩CF=C,DD?,DAC平面 AA?D?D,CC,CFC平面FCC, 所以平面 AA?D?D//平面 FCC. 探究四 [例 4] [解]以 A 为坐标原 2 P 点，分别以AB,AD,AP的方向 E 为x轴、y轴、z轴的正方向建 Ai 立空间直角坐标系，所以 D P(0,0,1),C(1,1,0),D(0,2,0). B/ Cx 设 E(0,y,z), 则PE=(0,y,x-1) PD=(0.2,-1). 因为PE//PD,所以y(-1)-2(z-1)=0①. 因为Ab=(0,2,0)是平面PAB的法向量， 又CE=(-1,y-1,),由CE//平面 PAB, 所以CE⊥AD,所以(-1,y-1,z)·(0,2,0)=0, 所以y=1,代入①得x=去，,所以E是PD的中点， 所以存在点E为PD中点时，CE//平面 PAB. [跟踪训练] 4.解如图所示，分别以 DA,DC, DD?所在直线为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系，在 CC?上任 取一点 Q,连接 BQ,D,Q. 2 D? C A ” B? Q n j设正方体的棱长为1,则 C0 B o(号，÷0),P(0.0,号),A(,0,0), B(1,1,0),D?(0,0,1), 设Q(0,1,z), 则op=(-2,-,去), BD,=(-1,-1,1) ∵BD?=2OF,:OP//BD,∴OP//BD,. 又AP=(-1,0,号),B0-(-1,0,), 当x=号时，AP-Rà, 即AP//BQ.又AP∩OP=P,BQ∩BD?=B,AP,OPC 平面 PAO,BQ,BD?C平面 D,BQ, 则有平面 PAO//平面 D,BQ, ∴当Q为CC的中点时，平面 D,BQ//平面 PAO. 第3 课时空间中直线、平面的垂直 【自主学习探新知】 知识点 1.u?⊥u?u?·u?=0 2.u//n u=àn 3.n,⊥n?n?·n?=0 【互动探究解疑难】 探究一 [例1][证明]如图，以平面 ABC内垂直于AC的直线为x 轴，AC,AA,的方向分别为y B 轴、之轴的正方向建立空间直角 坐标系，则 21 A? C? A A(0.0,0),B,(竖，云1)· xB N C M y M(厚.二.0)·N(0,1,÷), 所以AB=(鲁，号，1) Mx=(一厚六.÷), 所以AB·MN=-8+2++=0. 所以AB,⊥MN,即AB,⊥MN. [跟踪训练] 1.证明以D为原点，DA,DC,DD?所在直线分别为x 轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设 正方体的棱长为1,则B(1,1,0),D,(0,0,1),A(1,0,0), C(0,1,0),E(去，去0),B,(1,1,1). (1)BD?=(-1,-1,1),AC=(-1,1,0), ∴BD·AC=(-1)×(-1)+(-1)×1+1×0=0, ∴BD?⊥AC.∴BD⊥AC. 12 D?(2)BD?=(-1,-1,1), C? EB=(5,÷,1) A? B? ∴BD,·EB,=(-1)× D ≥+(-D×≥+1×1=0. cA E B y ∴BD.IEB.∴BD,LEB 9