1.2.3直线与圆的位置关系（14大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第一册)

1.2.3直线与圆的位置关系 题型一 判断直线与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相交且l过圆C的圆心 D．相交且l不过圆C的圆心 【答案】C 【分析】求出圆心到直线的距离，进而得到结论. 【详解】圆心到直线的距离为， 故圆心在直线上，故直线和圆相交且l过圆C的圆心. 故选：C 2．已知两点，，是圆上的点，满足，则这样的点有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】求出线段AB的垂直平分线的方程为，利用点到直线距离小于半径，得到与圆C相交，从而得到答案. 【详解】线段AB的斜率，故线段AB的垂直平分线的斜率为， 又线段AB的中点坐标为， 故线段AB的垂直平分线的方程为，整理得， 圆心到直线的距离， 故与圆C相交，所以满足条件的点P有2个. 故选：C. 3．直线l：与曲线C：的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据圆与直线的位置关系求法结合同角的三角函数关系得出曲线C与直线l位置关系，即可得出答案. 【详解】曲线C：是圆心在上，半径的圆， 则圆心与直线l的距离， ， 曲线C与直线l相切，即只有一个交点， 故选：B 4．已知直线与圆，过直线上的任意一点作圆的切线PA，PB，切点分别为A，B，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，可知当OP最小时，最小，结合点到直线的距离公式运算求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径为1， 则圆心到直线的距离为，可知直线与圆相离， 因为，且， 当最小时，则最大，可得最小，即最小， 又因为的最小值即为圆心到直线的距离为， 此时，所以取得最小值． 故选：C． 题型二 直线与圆的位置关系求参数值 1．若圆与轴没有交点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出圆心坐标利用几何法得到不等式，解出即可. 【详解】即， ，解得或， 且其圆心坐标为，若该圆与轴没有交点， 则，解得 故选：C. 2．（多选）已知直线与圆交于A，B两点，则的值可以为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】AB 【分析】直线与圆相交得到圆心到直线的距离小于半径求解即可得到答案． 【详解】解：因为直线与圆相交于不同的两点、， 所以圆心到直线的距离，解得， 选项中只有3,4满足， 故选：AB． 3．过点的直线l与曲线有且仅有两个不同的交点，则l斜率的取值范围为 ． 【答案】． 【分析】根据题意，将曲线，变形为，，分析可得其为圆的上部分， 结合直线与圆的位置关系即可． 【详解】由题意可设直线，又曲线可化为，， 作出直线l与曲线的图象如图所示： 设图中直线，，，的斜率分别为，，，， 则，，， 又直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 解得（舍去）或， 要使两图象有两个不同的交点，则． 故答案为： 4．已知圆：关于直线的对称圆的圆心为，若直线过点. (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)若直线与圆交于两点，，求直线的方程. 【答案】(1)或. (2)或 【分析】(1)分类讨论直线的斜率存在与不存在，利用圆心到直线的距离等于圆的半径计算即可； (2)由题意知直线的斜率一定存在，设直线方程，利用点到直线的距离公式和圆的半径计算即可. 【详解】（1）由题意可知圆：的圆心坐标，半径， 当直线的斜率不存在时，直线过点.即的方程为时，此时直线与圆相切，符合题意； 当直线的斜率存在时，设斜率为，直线过点.设直线的方程为， 即化为一般式：，直线与圆相切，则， 即，解得，所以的方程为：，即. 综上，当直线与圆相切，直线的方程为或. （2）圆：的圆心坐标，半径， 设，因为圆关于直线的对称圆的圆心为， 所以，解得，圆的圆心为，半径为1. 当直线斜率不存在时，直线的方程为，此时直线过圆的圆心，，不符合题意； 当直线斜率存在时，设斜率为，直线过点.设直线的方程为，即化为一般式：，圆心到直线的距离. 若直线与圆交于两点，，根据勾股定理可得，解得， 所以直线的方程为或 题型三 直线与圆相交的常见性质 1．已知点，动点满足，则取得最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由，得点轨迹方程，，故当且仅当三点共线，且点在之间时，取得最小值，点轨迹方程与直线联立方程组，求出点的坐标即可. 【详解】设，由，得，化简得， 由，得，所以， 故当且仅当三点共线，且点在之间时，取得最小值， 此时线段的方程为，由并结合， 解得故此时点的坐标为. 故选：C. 2．已知直线与圆交于，两点，为坐标原点，则 ， . 【答案】 【分析】求出圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，利用垂径定理、勾股定理求出弦长，设，，联立直线与圆的方程，列出韦达定理，利用数量积的坐标表示计算可得. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 所以， 设，， 由，消去整理得，则，， 又，， 所以 . 故答案为：； 3．过原点的直线与圆交于两点，若，则直线的斜率为 . 【答案】或 【分析】首先判断直线的斜率存在，设，，，联立直线与圆的方程，消元，列出韦达定理，由，可得，代入即可求出. 【详解】当斜率不存在时，解得或， 因为且，即不满足，故舍去； 当直线的斜率存在时，设斜率为，则， 代入圆，得， 显然，设，， 则，， 因为，则，则，， 联立可得，解得或． 故答案为：或． 4．已知圆，过点的直线与圆交于两点，线段的中点为. (1)若点的坐标为，求； (2)若线段的垂直平分线经过点，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求的直线方程，再求圆心到直线的距离，在根据勾股定理计算弦长； （2）先考虑直线的斜率不存在的情况，当直线的斜率存在时，计算出点坐标，再计算出的中垂线方程，把点代入中垂线方程即可求解. 【详解】（1）因为，，所以直线的方程为， 圆的方程可化为：，则圆心坐标为，半径， 圆心到直线的距离为，根据勾股定理可知：； （2）设的中点为， 当直线的斜率不存在时，由（1）可知，的坐标为， 则的中点的坐标为，，所以与不垂直，不合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，， 联立，得， 故，， 则 ， 所以的坐标为， 的中点的坐标为， 所以的中垂线方程为， 由于的中垂线经过点， 把代入的中垂线方程，得， 整理得：， 把代入联立后的一元二次方程得：， 此时，所以复合题意， 所以直线的方程为，即. 题型四 求圆的切线方程 1．已知圆，直线经过点，且与圆相切，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】点斜式设出方程，利用相切可求答案. 【详解】显然斜率不存在时，不合题意；斜率存在时，设方程为， 圆心到直线的距离为，因为与圆相切，所以， 即，解得，即的方程为. 故选：A 2．已知直线：与圆：，过直线上的任意一点作圆的切线，，切点分别为A，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，可知当OP最小时，最大，结合点到直线的距离公式运算求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径为1， 则圆心到直线的距离为，可知直线与圆相离， 因为，且， 当最小时，则最大，可得最大，即最大， 又因为的最小值即为圆心到直线的距离为， 此时，所以取得最大值． 故选：C． 3．圆在点处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】根据题意可知点在圆上，根据垂直关系可得切线方程的斜率，即可得切线方程. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为，可知点在圆上， 又因为，可知切线方程的斜率， 所以切线方程为，即. 故答案为：. 4．已知半径为2的圆的圆心在射线上，点在圆上． (1)求圆的标准方程； (2)求过点且与圆相切的直线方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设圆心坐标为，根据点在圆上列方程可得，可得方程； （2）分斜率存在和不存在求解，当斜率存在时，设切线的方程为，根据圆心到直线的距离等于半径列方程求解可得. 【详解】（1）由圆C的圆心在直线上，可设圆心C的坐标为， 又圆的半径为2，点在圆上，有， 解得（舍去）或， 故圆的标准方程为； （2）①当切线的斜率不存在时，直线与圆相切； ②当切线的斜率存在时，设切线的方程为，整理为， 由题知，解得， 可得切线方程为，整理为， 由①②知，过点且与圆相切的直线方程为或.    题型五 圆的切线长的应用 1．过点向圆作两条切线，切点分别为，若，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用切线长定理。结合两点间距离公式列式求解即得. 【详解】圆的圆心，半径，连接， 依题意，，则， 于是，整理得， 所以或. 故选：D 2．由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件，求得，由此可知时，取得最小值，由此即可求解. 【详解】 由已知有：圆的圆心，半径为，直线的一般方程为， 设点到圆心的距离为，则有，所以， 所以取最小值时，取得最小值， 因为直线上点到圆心的距离最小值为圆心到直线的距离， 所以，故的最小值为. 故选：B 3．过点作圆的切线，为切点，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，三角换元令，，，利用三角恒变换求出最大值. 【详解】根据题意，设圆的圆心为，则， ，令，，， 则，其中， 所以的最大值为. 故选：D. 4．已知圆与y轴相切，O为坐标原点，动点P在圆外，过P作圆C的切线，切点为M． (1)求圆C的圆心坐标及半径； (2)求满足的点P的轨迹方程． 【答案】(1)圆心坐标为，圆C的半径为1． (2) 【分析】（1）将圆的一般方程配成标准方程，即可求解圆心，利用相切即可求解半径， （2）根据两点间的距离公式即可列等式，化简即可求解. 【详解】（1）圆C的标准方程为，所以圆C的圆心坐标为．又圆C与y轴相切，所以，即，故圆C的半径为1． （2）设，则，． 由于，则， 整理得点P的轨迹方程为：． 经检验，上的点都符合条件． 题型六 切点弦及其方程 1．过点作圆的切线，若切点为A、，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出以为圆心，为半径为圆的方程，再求两个圆的公共弦方程即可. 【详解】根据题意，设，圆的圆心为，半径， 有， 则， 则以为圆心，为半径为圆为，即， 公共弦所在的直线即直线， 则，变形可得； 即直线的方程是； 故选：B. 【点睛】求两个圆的公共弦方程的方法就是两个圆的方程相减，消去x、y平方项，变成关于x、y的一次方程. 2．过坐标原点作圆的两条切线，切点分别为，，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】 根据题意可得为等边三角形，可得结果. 【详解】圆化为标准方程为， 其圆心为，半径为1，    由题意知，,,,, 所以,所以. 所以,且, 所以为等边三角形， 所以. 故选:C． 3．已知点M在直线上，点P在圆上，过点M引圆C的两条切线，切点分别为A，B，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出切点弦所过的定点，再利用数量积的运算律，借助圆上的点到定点距离的最值特征求出最大值即可. 【详解】设点，圆圆心，半径， 显然切点在以线段为直径的圆上， 此圆方程为， 整理得，与圆的方程相减得直线的方程， 直线的方程为，即， 由，解得，即直线恒过定点， 连接交于，由切线长定理得，且是线段的中点， ， 显然，当且仅当与重合，且是延长线与圆的交点， 即点共线，且圆心在线段上时取等号，此时， 所以. 故答案为： 4．如图，过圆外一点向圆引切线.    (1)求过点P的圆的切线方程； (2)若切点为，，求过切点，的直线方程. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）设出直线方程，利用直线和圆相切的性质可求切线方程； （2）求出切点坐标可得方程或者利用两圆的公共弦求出答案. 【详解】（1）设过点P的圆的切线方程为，的圆心为，半径为； 则，解得或， 故切线方程为或. （2）解法1：将切线方程与圆的方程联立成方程组，由可得， 由可得， 即和， 故过切点，的直线方程为，整理得. 解法2：因为O，，P，四点共圆， 所以，在以OP为直径的圆上，圆心为，半径为， 即方程为 与已知圆相减，得过切点，的直线方程为.    题型七 已知切线求参数 1．（多选）在平面直角坐标系中，圆C的方程为，若直线上存在一点M，使过点M所作的圆的两条切线相互垂直，则点M的纵坐标为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】AC 【分析】首先可根据圆的方程得出圆心与半径，然后根据题意得出点、圆心以及两个切点构成正方形，最后根据以及两点间距离公式即可得出结果. 【详解】化为标准方程为：，圆心，半径为， 因为过点M所作的圆的两条切线相互垂直， 所以点M、圆心以及两个切点构成正方形，， 因为M在直线上，所以可设， 则，解得：或，所以或， 故点M的纵坐标为1或. 故选：AC. 2．已知点在圆上运动，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】确定圆心和圆的半径，再根据的几何意义数形结合即可得到的最小值的情况进而求解即可. 【详解】由得， 故圆的圆心为，半径为1，当时，， 当时，， 如图可知，故此时的最小值是直线斜率的最大值的倒数， 令，即，则圆心到该直线的距离满足， 两边平方整理得，解得，故此时的最小值是， 又，故的最小值为. 故答案为：. 3．如图，，点A，B为射线OP上两动点，且，若射线OQ上恰有一个点C，使得，则此时OA的长度为 ． 【答案】 【分析】由题意可得：与以为直径的圆相切，结合切线的性质与题目条件计算即可得. 【详解】由题意可得：与以为直径的圆相切， 取中点，连接，则且， 又，则，则. 故答案为：. 4．已知圆C与两坐标轴及直线都相切，且圆心在第二象限，则圆C的方程为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，设出圆C的圆心坐标，再利用点到直线的距离公式计算即得. 【详解】由圆C与两坐标轴都相切，且圆心在第二象限，设，圆C的半径为， 又圆C与直线相切，则，解得，即， 所以圆C的方程为. 故答案为： 题型八 圆的弦长与中点弦 1．如图，过圆内一点作两条弦，且过圆心，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，连接，根圆的弦长求出，根据两点的距离公式求出，再求出即可. 【详解】取的中点，连接，则， 圆的半径， 则， ， 所以. 故选：B. 2．(多选)已知直线，圆，则下列结论正确的有（    ） A．直线过定点 B．直线与圆恒相交 C．直线被圆截得的弦长最短为4 D．若直线被圆截得的弦长为，则 【答案】ABD 【分析】利用直线的点斜式方程可判断A；利用定点与圆的位置关系可判断B；根据定点为弦的中点时，直线被圆截得的弦长最短可判断C；利用弦长公式可判断D. 【详解】对于A，直线，即，则直线恒过定点，故A正确； 对于B，因为，所以定点在圆内部，所以直线与圆恒相交，故B正确； 对于C，直线与轴垂直时，直线被圆截得的弦长最短，此时， 直线被圆截得的弦长为，故C错误； 对于D，直线，圆心到直线的距离， 得，故D正确. 故选：ABD 3．(多选)若直线与圆相交于两点，则的长度可能等于（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】BCD 【分析】根据直线过定点，可得，即可根据圆的弦长公式求解. 【详解】设圆心到直线的距离为， 由于直线恒过原点，且，故， 又，即， 故选：BCD． 4．已知圆满足：截轴所得弦长为2；被轴分成两段弧，其弧长的比为， (1)若圆心在直线上，求圆的标准方程； (2)在满足条件的所有圆中，求圆心到直线的距离最小的圆的方程． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据已知条件，利用待定系数法来求圆的标准方程； （2）用待定系数法，得到系数关系，再用基本不等式思想来求距离最小值问题，最后判断等号成立的条件，即可求出圆的方程. 【详解】（1） 设圆心为，半径为，则到到轴，轴距离分别为和． 由题设知，圆截轴弦长为,所以， 圆截轴所得劣弧所对的圆心角， 故圆截轴所得弦长为．所以， 故， 又因为圆心在直线上，则， 解得：或 所以圆的标准方程为或； （2）由（1）知：， 又因为圆心到直线的距离为：， 所以， 当且仅当时取等号，此时． 此时或且， 则圆的标准方程为或． 题型九 过圆内一点弦长的最值 1．直线被圆截得的弦长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由恒过定点可得，过点的直径与直线垂直时，所截得的弦长最小，借助垂径定理计算即可得. 【详解】直线恒过定点， ，即， 设其圆心为，半径为，则，， 又，所以点在圆内， 则当直线与直线垂直时所截得的弦长最小， 最小值为． 故选：D． 2．已知P为圆O：上一个动点，O为坐标原点，过点P作圆O的切线与圆：相交于A，B两点，则最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求圆心到直线的最大距离，此时弦长最短. 【详解】由图象可知，当时，且最大时，可取得最小值， 圆化成标准方程为，所以圆心，半径， 而圆O：，圆心，半径， 又，， 此时在中，∵，， ∴，∴. 故选：C． 3．已知圆的方程为，则该圆中过点的最短弦的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用几何法求弦长. 【详解】如图：，所以圆心，半径    由图可知，当弦时，弦长最短. 此时，中，，， 所以：. 所以弦长. 故选：D 4．已知圆及内部一点，过点作倾斜角为的直线，与圆交于两点. (1)当时，求弦长； (2)当弦的长度最小时，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，求得，结合圆的弦长公式，即可求解； （2）根据题意，结合圆的弦长公式，得到时，弦的长度最小，求得，进而求得直线的方程. 【详解】（1）解：因为，则， 所以直线的方程为，即， 圆的标准方程为，即， 可得圆的圆心，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 可得弦长为. （2）解：由圆的弦长公式，可得， 当圆心到直线的距离最大时，此时弦的长度最小， 即时，弦的长度最小， 因为，所以， 所以的方程为，即. 题型十 已知圆的弦长求方程或参数 1．已知直线与圆相交于A，B两点，若，则（　　） A． B．1 C． D．﹣2 【答案】C 【分析】首先求出圆心到直线的距离，进一步利用垂径定理建立等量关系式，最后求出a的值． 【详解】圆与直线与相交于A，B两点，且． 则圆心到直线的距离， 利用垂径定理得，所以，解得． 故选：C． 2．已知直线被圆心为的圆截得的弦长为，则该圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出圆心到直线的距离，结合给定的弦长利用勾股定理建立方程求解半径即可. 【详解】设圆心到直线的距离为，圆的半径为，易得直线方程为， 而，由勾股定理得，解得， 故圆的方程为，故C正确. 故选：C 3．已知圆是过原点且互相垂直的两条直线，若被截得的弦长与被截得的弦长的比为，则直线的斜率 ． 【答案】 【分析】根据题意可设直线，直线，结合垂径定理求弦长，列式求解即可. 【详解】因为圆，即为，可知圆心为，半径， 由题意知：直线的斜率存在，且不为0， 设直线，则直线， 则圆心到直线的距离分别为， 由题意可得：，解得. 故答案为：. 4．已知圆，直线l过点． (1)若直线l被圆M所截得的弦长为，求直线l的方程； (2)若直线l与圆M交于另一点B，与x轴交于点C，且A为BC的中点，求直线l的方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由题意分析可知：圆心到直线的距离为，分类讨论直线斜率是否存在，结合点到直线的距离公式分析求解； （2）设，则，根据点在圆上列式求解即可得，进而可得直线方程. 【详解】（1）由题意可知：圆的圆心为，半径， 若直线l被圆M所截得的弦长为，则圆心到直线的距离为. 当直线斜率不存在时，与圆相切，不符合题意，舍去； 当直线斜率存在时，设直线，即， 可得，所以， 则直线l方程为或. （2）设，因为A为BC中点，则， 由B在圆M上得，解得，则， 所以直线，即直线． 题型十一 圆内接三角形面积 1．过坐标原点O作两条互相垂直的直线OA，OB，点A，B（异于点O）均在圆上，则面积的最大值为（    ） A．26 B． C．13 D． 【答案】C 【分析】由已知可得，圆C的半径为，AB是圆C的一条直径，当时，面积取得最大值，代入数据求面积即可. 【详解】圆化成标准方程为，    圆C的半径为，O在圆C上，因为，所以AB是圆C的一条直径． 当时，面积取得最大值， 则最大值为． 故选：C. 2．已知圆E：，点P是直线l：上的一点，过点P作圆E的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据面积最小，即可根据点到直线的距离公式求解. 【详解】的圆心为，半径为2， ，，，， ． 当时，取得最小值， ， 即四边形面积的最小值为． 又,,故的最小值为， 故答案为： 3．已知直线与 交于A，B两点，写出满足的面积为的实数m的一个值 . 【答案】（任意一个也对） 【分析】求出圆心和半径，求出圆心到直线距离，根据垂径定理得到弦长，根据面积得到方程，求出或，进而求出实数m的值. 【详解】的圆心为，半径为， 则圆心到的距离为， 则， 故，解得或， 当时，，解得， 当时，，解得， 故或 故答案为：（任意一个也对） 4．已知圆C与圆D：关于直线l：对称． (1)求圆C的方程； (2)若圆C与圆D相交于A，B两点，求四边形CADB的面积． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）设圆C的圆心，根据圆心C与圆心D关于直线l对称求出可得答案； （2）设点D到直线l的距离为d，利用点到直线的距离公式求出，再由圆心距、弦长的一半、半径构成的直角三角形计算出弦长可得答案. 【详解】（1）易知圆D的圆心为，设圆C的圆心， 因为圆心C与圆心D关于直线l：对称， 所以，解得， 所以圆C的方程为； （2）设点D到直线l的距离为d，则， 所以， 所以四边形CADB的面积． 题型十二 直线与圆中定点、定值问题 1．半径为3的圆内有一点，点在圆上，当最大时，的长等于（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】画出图形，当时，最大，然后在中，用勾股定理求出即可． 【详解】如左图，作与E, ． 欲使最大，即最大，由于为定值，则只要最大即可． 当，重合时，即时，最大，如右图 中，，，， 则故当最大时，的长等于． 故选：C． 2．已知直线与圆交于A,B两点，则当弦最短时，直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直线恒过定点，可得点在圆内，可得当时弦最短,利用直线的点斜式方程可得答案. 【详解】，所以直线恒过定点，， 因为，所以点在圆内， 所以当时，弦最短, 设直线的斜率为，则, 所以直线的方程为，即. 故选：D. 3．(多选）已知圆，直线．则以下几个结论正确的有（    ） A．直线l与圆C相交 B．圆C被y轴截得的弦长为 C．点C到直线l的距离的最大值是 D．直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为 【答案】ACD 【分析】对于A，，联立求定点,根据定点在圆内即可求解；对于B，令求轴交点纵坐标即可得弦长；对于C，根据定点到圆心距离即可求解最值，对于D，根据直线被圆截得弦长最短，只需与圆心连线垂直于直线，求直线斜率，进而求出参数，即可得方程． 【详解】由， 则，得，即恒过定点， 由到圆心的距离，故定点在圆内，故直线与圆恒相交，故A正确； 令，则，可得，故圆被轴截得的弦长为，故B错误； 点C到直线l的距离的最大值为圆心到定点的距离，故最大值为，C正确， 要使直线被圆截得弦长最短，只需与圆心连线垂直于直线，则， 所以，可得，故直线为，故D正确． 故选：ACD． 4．已知圆：，为圆心，动直线过点，且与圆交于，两点，记弦的中点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过作两条斜率分别为，的直线，交曲线于，两点，且，求证：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意可得：，，即点的轨迹为以为直径的圆，从而得到曲线的方程； （2）讨论当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，联立，结合韦达定理可得：，，化简，可得，从而得到，得到直线过定点，当直线斜率不存在时，设直线：，可得，可得，从而得到直线过定点，得证. 【详解】（1）因为是弦的中点， 所以，即， 所以点的轨迹为以为直径的圆，所以曲线的方程为. （2）当直线的斜率存在时， 设直线的方程为， 代入，得. 设，，则，是方程的两解， 则，，， 根据根与系数的关系，得， 即. 若，则直线过点，舍去； 所以，即， 直线的方程为，故直线过定点. 当直线斜率不存在时，设直线：， 与曲线的方程联立，可得，，则，解得， 故直线的方程为，恒过点. 综上，直线过定点. 题型十三 直线与圆的位置关系距离的最值问题 1．已知P是圆上一动点，则点P到直线的距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到过定点，得到点在圆上，且，结合直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】因为直线，可化为， 由，解得，所以l过定点， 又因为点在圆上，且， 又由圆，可得圆心为，半径， 当时，点P到的距离最大，最大距离为，此时， 所以直线的斜率为1，此时无解，故直线l不存在，所以距离； 当直线与圆O相交时，点P到l的距离最小，最小距离为0， 故点P到的距离的取值范围为. 故选：D. 2．（多选）已知点为圆上两动点，且，点为直线 :上动点，则（      ） A．以为直径的圆与直线相离 B．的最大值为 C．的最小值为8 D．的最小值为112 【答案】ACD 【分析】对于A，设的中点为，连接，求出点到直线的距离的最小值进行判断，对于B，举例判断，对于CD，利用向量的数量积运算结合图形分析判断即可. 【详解】对于A，设的中点为，连接，则， 所以， 所以点在以为圆心，为半径的圆上， 所以点到直线的距离的最小值为， 因为，所以以为直径的圆与直线相离，所以A正确， 对于B，如图，当直线与直线平行，且共线时，则为等腰三角形， 此时， 则， 所以，所以，所以B错误， 对于C，因为, 所以 , 因为， 所以 ，当，共线，且在之间时取等号， 所以的最小值为8，所以C正确， 对于D，因为， 所以， 所以 ，当，共线，且在之间时取等号， 所以的最小值为112，所以D正确， 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与圆的位置关系，考查向量的数量积的运算，解题的关键是画出图形，结合图形分析判断，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题. 3．过直线上一点向圆作切线，切点为，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】首先判断直线与圆的位置关系，由切线性质有，结合点线距离求的最小值即可; 【详解】 由题知，圆心，半径， 圆心到直线的距离. 因为为直角三角形，且， 所以， 当且仅当与直线垂直时，等号成立， 所以的最小值为4. 故答案为：4. 4．已知，，过轴上一点分别作两圆的切线，切点分别是，，求的最小值为 . 【答案】 【分析】根据圆的切线的几何性质可推出，可看作点到的距离的和，结合几何意义即可求得答案. 【详解】由题意知的圆心为，半径， 的圆心为，半径， 设，则， ， 则， 设，则， 当且仅当三点共线时取等号， 此时的最小值为， 故答案为： 题型十四 直线与圆的位置关系实际应用 1．如图，圆弧形拱桥的跨度米，拱高|米，则拱桥的直径为（　　） A．15米 B．13米 C．9米 D．6.5米 【答案】B 【分析】利用勾股定理求得圆的半径，进而求得圆的直径. 【详解】设圆心为，半径为，连接，如下图所示， ，则由勾股定理得， 即，解得，所以拱桥的直径为13米. 故选：B. 2．（多选）某市为了改善城市中心环境，计划将市区某工厂向城市外围迁移，需要拆除工厂内一个高塔，施工单位在某平台的北偏东方向处设立观测点，在平台的正西方向处设立观测点，已知经过三点的圆为圆，规定圆及其内部区域为安全预警区.以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.经观测发现，在平台的正南方向的处，有一辆小汽车沿北偏西方向行驶，则（    ）    A．观测点之间的距离是 B．圆的方程为 C．小汽车行驶路线所在直线的方程为 D．小汽车会进入安全预警区 【答案】BD 【分析】根据两点距离公式计算判断A，设圆C的方程，将三点的坐标代入求解判断B，代入点斜式直线方程计算判断C，利用直线与圆的位置关系判断D. 【详解】由题意，得，所以， 即观测点之间的距离是，故A错误； 设圆的方程为，因为圆经过三点， 所以，解得， 所以圆的方程为，故B正确； 小汽车行驶路线所在直线的斜率为，又点的坐标是， 所以小汽车行驶路线所在直线的方程为，故C错误； 圆化成标准方程为，圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交，即小汽车会进入安全预警区，故D正确. 故选：BD. 3．为了保证海上平台的生产安全，海事部门在某平台的正东方向设立了观测站，在平台的正北方向设立了观测站，它们到平台的距离分别为12海里和海里，记海平面上到观测站和平台的距离之比为2的点的轨迹为曲线，规定曲线及其内部区域为安全预警区．    (1)如图，以为坐标原点，，为，轴的正方向，建立平面直角坐标系，求曲线的方程； (2)海平面上有渔船从出发，沿方向直线行驶，为使渔船不进入预警区，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1），有，化简并整理即可求解. （2）直线截距式方程为，结合点到直线的距离公式列出不等式求解即可. 【详解】（1）根据已知条件设且，， 由，有， ， ， ， 整理有，它是以为圆心，8为半径的圆． 所以曲线的方程为：． （2）   ，过的直线不过坐标原点且不与坐标轴垂直， 所以直线截距式方程为， 化为一般式方程为， 根据题意，且，解得， 所以综上可知的取值范围为． 4．某公园有一圆柱形建筑物，底面半径为1米，在其南面有一条东西走向的观景直道（图中用实线表示），建筑物的东西两侧有与直道平行的两段辅道（图中用虚线表示），观景直道与辅道距离米.在建筑物底面中心的北偏东方向米的点处，有一台全景摄像头，其安装高度低于建筑物高度.请建立恰当的平面直角坐标系，并解决问题： (1)在西辅道上与建筑物底面中心距离2米处的游客，是否在摄像头监控范围内？ (2)求观景直道不在摄像头的监控范围内的长度. 【答案】(1)游客在该摄像头的监控范围内 (2)4.375米 【分析】（1）建立坐标系，利用直线和圆的位置关系可以判断； （2）根据直线和圆相切求出切线，利用切线和观景直道所在直线的交点可得范围. 【详解】（1）设为原点，正东方向为轴，建立平面直角坐标系，， 因为，则， 依题意得，游客所在位置为，即， 则直线的方程为，即， 所以圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离，所以游客在该摄像头的监控范围内. （2）由图知，过的直线与圆相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物挡住， 所以设直线过点且和圆相切， ①若直线垂直于轴，则直线不会和圆相切； ②若直线不垂直于轴，设，整理得， 所以圆心到直线的距离为，解得或， 所以或， 即或， 观景直道所在直线方程为， 设两条直线与的交点为， 由，解得， 由，解得， 所以， 即观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为4.375米. 1．已知直线交圆C：于M，N两点，则“为正三角形”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求出圆的圆心及半径后，结合正三角形的性质可计算出当为正三角形时的值，结合充分条件与必要条件定义即可判断. 【详解】由C：可得其圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 若为正三角形，则有，即， 即，解得或， 故“为正三角形”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 2．若过点可作圆的两条切线，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点在圆外即可求解. 【详解】圆，即圆，则，解得． 过点有两条切线，则点P在圆外，，即，解得． 故． 故选：C 3．已知圆，直线，则下列结论中正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆相切 C．直线与圆相交 D．直线与圆相离 【答案】C 【分析】求出圆的圆心和半径，直线所过的定点，再由该定点与圆的位置关系判断直线与圆的位置即可. 【详解】圆的圆心，半径， 直线恒过定点， 显然， 因此点在圆内，直线与圆相交，ABD错误，C正确. 故选：C 4．直线与圆相交于，两点，且（为坐标原点），则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由垂径定理结合点到直线距离列等式求解即可. 【详解】由题意知圆心到直线的距离为， 所以，解得. 故选：D 5．已知直线被圆截得的弦长为整数，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】首先求得，又，而直径是4，所以分进行讨论即可求解. 【详解】圆的圆心、半径分别为， 圆心到直线的距离为， 设直线被圆截得的弦长为， 由于直线被圆所截得的弦长不超过直径长度，故分以下情形讨论： 当时，，解得， 当时，，化简得，解得， 当时，，化简得，该方程无解， 当时，，化简得，该方程无解， 而直线是斜率为且过定点的直线，直线由唯一决定， 综上所述，满足条件的直线共有3条. 故选：C. 6．已知直线：与圆：交于，两点，则线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得直线恒过的定点，找出弦长取得最值的状态，即可求出的取值范围. 【详解】圆C：可化为， 则圆心，半径为， 由可得， 联立，解得， 直线l：恒过定点， 点在圆C内， 的最大值为， 当直线时，取得最小值，此时， ， 故线段AB长度的取值范围是. 故选：A. 7．（多选）在同一平面直角坐标系中，直线与圆的位置可能为（    ） A． B．   C． D．     【答案】ABD 【分析】求出直线所过的定点并判断与圆的位置关系即可得解. 【详解】直线过定点，显然点在圆内， 因此直线与圆必相交，C错误； 而直线表示平面内过点的除直线外的任意直线，因此选项ABD都可能. 故选：ABD 8．直线与圆的公共点的个数可能为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】BC 【分析】根据给定条件，求出圆心到直线距离的取值范围，即可判断得解. 【详解】圆的圆心，半径， 当时，点到直线的距离， 因此直线与圆相切或相交，所以直线与圆的公共点个数为1或2. 故选：BC 9．设直线：与圆C：，则下列结论正确的为（    ） A．直线与圆C可能相离 B．直线不可能将圆C的周长平分 C．当时，直线被圆C截得的弦长为 D．直线被圆C截得的最短弦长为 【答案】BD 【分析】对于A，由直线过圆内的定点即可判断；对于B，直线不可能过圆心即原点，由此即可判断；对于CD，由点到直线距离公式、圆的弦长公式验算即可. 【详解】因为直线过定点，且点在圆内，所以直线与圆必相交，A错误； 若直线将圆的周长平分，则直线过原点，此时直线的斜率不存在，但这是不可能的，所以B正确； 当时，直线的方程为，圆心C到直线的距离为，所以直线被截得的弦长为，C错误； 因为圆心到直线的距离为， 所以直线被截得的弦长为，等号成立当且仅当，即，D正确， 故选：BD. 10．已知点，，动点在圆：上，则（ ） A．直线截圆所得的弦长为 B．的面积的最大值为151 C．满足到直线的距离为的点位置共有3个 D．的取值范围为 【答案】CD 【分析】根据点到直线的距离公式，结合勾股定理即可求解弦长判断A，根据三角形的面积公式，结合圆的性质即可求解B，根据圆上的点到直线的距离的范围，即可求解C，根据向量的数量积的运算量，结合坐标运算即可求解D. 【详解】对于A，因为，，所以直线的方程为，圆心到直线的距离为， 又因为圆的半径，所以直线截圆所得的弦长为，A错误． 对于B，易知，要想的面积最大，只需点到直线的距离最大，而点到直线的距离的最大值为， 所以的面积的最大值为，B错误． 对于C，当点在直线上方时，点到直线的距离的范围是，即， 由对称性可知，此时满足到直线的距离为的点位置有2个． 当点在直线下方时，点到直线的距离的范围是，即， 此时满足到直线的距离为的点位置只有1个． 综上所述，满足到直线的距离为的点位置共有3个，C正确． 对于D，由题意知． 又因为，，，所以，，故，． 设点满足，则，故，解得，即，． 所以． 又因为， 所以，即的取值范围为,，D正确． 故选：CD 11．过圆C：上的点作圆C切线l，则l的倾斜角为 . 【答案】150° 【分析】根据两直线垂直和得到直线l的斜率，从而得到l的倾斜角. 【详解】由题意得，直线与直线l垂直， 因为，故l的斜率为， 故l的倾斜角为150° 故答案为：150° 12．过点作圆的切线l，求切线l的方程 【答案】 【分析】当直线斜率不存在时，直线方程为：，由圆心到直线的距离等于半径判断；当直线的斜率存在时：设直线方程为，由圆心到直线的距离等于半径求解. 【详解】当直线斜率不存在时，直线方程为：， 圆心到直线的距离为，不成立； 当直线的斜率存在时：设直线方程为，即， 圆心到直线的距离等于半径为：， 解得，所以直线方程为：， 即. 故答案为：. 13．直线被圆所截得的弦长为 . 【答案】2 【分析】根据圆的弦长的几何法求解. 【详解】根据题意，圆的圆心，， 则圆心到直线的距离， 所以弦长为. 故答案为：2 14．人脸识别在现今生活中应用非常广泛，主要是测量面部五官之间的距离，称为“曼哈顿距离”．其定义如下：设， ，则A，B两点间的曼哈顿距离.已知，若点满足，点N在圆上运动，则的最大值为 【答案】 【分析】根据题意，作出点的轨迹，将问题转化为点到圆的距离问题，从而得解. 【详解】由题意得，圆，圆心，半径， 设点，则， 故点的轨迹为如下所示的正方形，其中，， 则，， 则，即的最大值为. 故答案为：. 15．已知直线，圆． (1)证明：直线与圆总有两个交点，与m的取值无关． (2)是否存在m，使得直线l被圆C截得的弦长为，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，． 【分析】（1）根据直线经过定点，而定点在圆内，即可求证， （2）根据圆的弦长公式，结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】（1）变形为， ，，，故直线恒过． 又，在圆内，直线与圆总有两个交点，与m的取值无关． （2）设圆心到直线l的距离为d，则，． 则，． 故． 16．已知圆的圆心在轴上，且过． (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于两点（点位于轴上方），在轴上是否存在点，使得当直线变化时，均有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，且 【分析】（1）设出圆的方程，借助代入所过点的坐标计算即可得； （2）圆问题可转化为在轴上是否存在点，使，设出直线方程，联立曲线，借助韦达定理与斜率公式计算即可得. 【详解】（1）设圆为，则有， 解得，故圆的方程为； （2）由题意可得，直线斜率不为，故可设，，， 联立，有， ， ，， 设，，由，则有， 即， 即， ， 即， 则当时，恒成立， 故存在定点，使得当直线变化时，均有. ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2.3直线与圆的位置关系 题型一 判断直线与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相交且l过圆C的圆心 D．相交且l不过圆C的圆心 2．已知两点，，是圆上的点，满足，则这样的点有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．直线l：与曲线C：的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 4．已知直线与圆，过直线上的任意一点作圆的切线PA，PB，切点分别为A，B，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型二 直线与圆的位置关系求参数值 1．若圆与轴没有交点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）已知直线与圆交于A，B两点，则的值可以为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．过点的直线l与曲线有且仅有两个不同的交点，则l斜率的取值范围为 ． 4．已知圆：关于直线的对称圆的圆心为，若直线过点. (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)若直线与圆交于两点，，求直线的方程. 题型三 直线与圆相交的常见性质 1．已知点，动点满足，则取得最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线与圆交于，两点，为坐标原点，则 ， . 3．过原点的直线与圆交于两点，若，则直线的斜率为 . 4．已知圆，过点的直线与圆交于两点，线段的中点为. (1)若点的坐标为，求； (2)若线段的垂直平分线经过点，求直线的方程. 题型四 求圆的切线方程 1．已知圆，直线经过点，且与圆相切，则的方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线：与圆：，过直线上的任意一点作圆的切线，，切点分别为A，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．圆在点处的切线方程为 ． 4．已知半径为2的圆的圆心在射线上，点在圆上． (1)求圆的标准方程； (2)求过点且与圆相切的直线方程． 题型五 圆的切线长的应用 1．过点向圆作两条切线，切点分别为，若，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 3．过点作圆的切线，为切点，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 4．已知圆与y轴相切，O为坐标原点，动点P在圆外，过P作圆C的切线，切点为M． (1)求圆C的圆心坐标及半径； (2)求满足的点P的轨迹方程． 题型六 切点弦及其方程 1．过点作圆的切线，若切点为A、，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 2．过坐标原点作圆的两条切线，切点分别为，，则（    ） A． B． C． D．2 3．已知点M在直线上，点P在圆上，过点M引圆C的两条切线，切点分别为A，B，则的最大值为 ． 4．如图，过圆外一点向圆引切线.    (1)求过点P的圆的切线方程； (2)若切点为，，求过切点，的直线方程. 题型七 已知切线求参数 1．（多选）在平面直角坐标系中，圆C的方程为，若直线上存在一点M，使过点M所作的圆的两条切线相互垂直，则点M的纵坐标为（    ） A．1 B． C． D． 2．已知点在圆上运动，则的最小值是 . 3．如图，，点A，B为射线OP上两动点，且，若射线OQ上恰有一个点C，使得，则此时OA的长度为 ． 4．已知圆C与两坐标轴及直线都相切，且圆心在第二象限，则圆C的方程为 ． 题型八 圆的弦长与中点弦 1．如图，过圆内一点作两条弦，且过圆心，，则（    ） A． B． C． D． 2．(多选)已知直线，圆，则下列结论正确的有（    ） A．直线过定点 B．直线与圆恒相交 C．直线被圆截得的弦长最短为4 D．若直线被圆截得的弦长为，则 3．(多选)若直线与圆相交于两点，则的长度可能等于（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．已知圆满足：截轴所得弦长为2；被轴分成两段弧，其弧长的比为， (1)若圆心在直线上，求圆的标准方程； (2)在满足条件的所有圆中，求圆心到直线的距离最小的圆的方程．． 题型九 过圆内一点弦长的最值 1．直线被圆截得的弦长的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（多选）已知P为圆O：上一个动点，O为坐标原点，过点P作圆O的切线与圆：相交于A，B两点，则最小值是（   ） A． B． C． D． 3．已知圆的方程为，则该圆中过点的最短弦的长为（    ） A． B． C． D． 4．已知圆及内部一点，过点作倾斜角为的直线，与圆交于两点. (1)当时，求弦长； (2)当弦的长度最小时，求直线的方程. 题型十 已知圆的弦长求方程或参数 1．已知直线与圆相交于A，B两点，若，则（　　） A． B．1 C． D．﹣2 2．已知直线被圆心为的圆截得的弦长为，则该圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知圆是过原点且互相垂直的两条直线，若被截得的弦长与被截得的弦长的比为，则直线的斜率 ． 4．已知圆，直线l过点． (1)若直线l被圆M所截得的弦长为，求直线l的方程； (2)若直线l与圆M交于另一点B，与x轴交于点C，且A为BC的中点，求直线l的方程． 题型十一 圆内接三角形面积 1．过坐标原点O作两条互相垂直的直线OA，OB，点A，B（异于点O）均在圆上，则面积的最大值为（    ） A．26 B． C．13 D． 2．已知圆E：，点P是直线l：上的一点，过点P作圆E的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为 ． 3．已知直线与 交于A，B两点，写出满足的面积为的实数m的一个值 . 4．已知圆C与圆D：关于直线l：对称． (1)求圆C的方程； (2)若圆C与圆D相交于A，B两点，求四边形CADB的面积． 题型十二 直线与圆中定点、定值问题 1．半径为3的圆内有一点，点在圆上，当最大时，的长等于（    ） A． B．3 C． D． 2．已知直线与圆交于A,B两点，则当弦最短时，直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 3．(多选）已知圆，直线．则以下几个结论正确的有（    ） A．直线l与圆C相交 B．圆C被y轴截得的弦长为 C．点C到直线l的距离的最大值是 D．直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为 4．已知圆：，为圆心，动直线过点，且与圆交于，两点，记弦的中点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过作两条斜率分别为，的直线，交曲线于，两点，且，求证：直线过定点． 题型十三 直线与圆的位置关系距离的最值问题 1．已知P是圆上一动点，则点P到直线的距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知点为圆上两动点，且，点为直线 :上动点，则（      ） A．以为直径的圆与直线相离 B．的最大值为 C．的最小值为8 D．的最小值为112 3．过直线上一点向圆作切线，切点为，则的最小值为 . 4．已知，，过轴上一点分别作两圆的切线，切点分别是，，求的最小值为 . 题型十四 直线与圆的位置关系实际应用 1．如图，圆弧形拱桥的跨度米，拱高|米，则拱桥的直径为（　　） A．15米 B．13米 C．9米 D．6.5米 2．（多选）某市为了改善城市中心环境，计划将市区某工厂向城市外围迁移，需要拆除工厂内一个高塔，施工单位在某平台的北偏东方向处设立观测点，在平台的正西方向处设立观测点，已知经过三点的圆为圆，规定圆及其内部区域为安全预警区.以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.经观测发现，在平台的正南方向的处，有一辆小汽车沿北偏西方向行驶，则（    ）    A．观测点之间的距离是 B．圆的方程为 C．小汽车行驶路线所在直线的方程为 D．小汽车会进入安全预警区 3．为了保证海上平台的生产安全，海事部门在某平台的正东方向设立了观测站，在平台的正北方向设立了观测站，它们到平台的距离分别为12海里和海里，记海平面上到观测站和平台的距离之比为2的点的轨迹为曲线，规定曲线及其内部区域为安全预警区．    (1)如图，以为坐标原点，，为，轴的正方向，建立平面直角坐标系，求曲线的方程； (2)海平面上有渔船从出发，沿方向直线行驶，为使渔船不进入预警区，求的取值范围． 4．某公园有一圆柱形建筑物，底面半径为1米，在其南面有一条东西走向的观景直道（图中用实线表示），建筑物的东西两侧有与直道平行的两段辅道（图中用虚线表示），观景直道与辅道距离米.在建筑物底面中心的北偏东方向米的点处，有一台全景摄像头，其安装高度低于建筑物高度.请建立恰当的平面直角坐标系，并解决问题： (1)在西辅道上与建筑物底面中心距离2米处的游客，是否在摄像头监控范围内？ (2)求观景直道不在摄像头的监控范围内的长度. 1．已知直线交圆C：于M，N两点，则“为正三角形”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．若过点可作圆的两条切线，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知圆，直线，则下列结论中正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆相切 C．直线与圆相交 D．直线与圆相离 4．直线与圆相交于，两点，且（为坐标原点），则实数的值为（    ） A． B． C． D． 5．已知直线被圆截得的弦长为整数，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 6．已知直线：与圆：交于，两点，则线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）在同一平面直角坐标系中，直线与圆的位置可能为（    ） A． B．   C． D．     8．直线与圆的公共点的个数可能为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．设直线：与圆C：，则下列结论正确的为（    ） A．直线与圆C可能相离 B．直线不可能将圆C的周长平分 C．当时，直线被圆C截得的弦长为 D．直线被圆C截得的最短弦长为 10．已知点，，动点在圆：上，则（ ） A．直线截圆所得的弦长为 B．的面积的最大值为151 C．满足到直线的距离为的点位置共有3个 D．的取值范围为 11．过圆C：上的点作圆C切线l，则l的倾斜角为 . 12．过点作圆的切线l，求切线l的方程 13．直线被圆所截得的弦长为 . 14．人脸识别在现今生活中应用非常广泛，主要是测量面部五官之间的距离，称为“曼哈顿距离”．其定义如下：设， ，则A，B两点间的曼哈顿距离.已知，若点满足，点N在圆上运动，则的最大值为 15．已知直线，圆． (1)证明：直线与圆总有两个交点，与m的取值无关． (2)是否存在m，使得直线l被圆C截得的弦长为，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 16．已知圆的圆心在轴上，且过． (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于两点（点位于轴上方），在轴上是否存在点，使得当直线变化时，均有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$