精品解析：山东省济南市历下区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023~2024学年第二学期八年级期末教学质量检测 数学试题 考试时间120分钟 满分150分 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义、中心对称图形的定义；平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，就叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该选项是错误的； B、不是轴对称图形，但是中心对称图形，故该选项是错误的； C、既是中心对称图形又是轴对称图形，故该选项是正确的； D、是轴对称图形但不是中心对称图形，故该选项是错误的； 故选：C 2. 下列是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的概念判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 【详解】解：A．是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意； B．是一元二次方程，符合题意； C．当a=0时，不是一元二次方程，不符合题意； D．是一元三次方程，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的概念，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键． 3. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用分式的性质化简，进而判断得出答案． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、是最简分式，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了最简分式，当一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式．正确掌握最简分式的定义是解题关键． 4. 无论a取何值，下列分式中，总有意义的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件逐项判断即可． 【详解】解：A．当时，分式没有意义．故本选项不合题意； B．当时，分式没有意义．故本选项不合题意； C．当时，分式没有意义．故本选项不合题意； D．因为，所以，所以分式总有意义，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键． 5. 一个多边形外角和是内角和的．则这个多边形的边数是() A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和及外角和，结合已知条件列得正确的方程是解题的关键； 设这个多边形的边数为n，根据题意列得方程，解方程即可； 【详解】设这个多边形的边数为n， 则， 解得：， 即这个多边形的边数为12， 故选：C． 6. 若一元二次方程的一个根是x=1，则的值是（　　） A. -1 B. 0 C. 1 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】直接把x=1代入方程就看得到a+b+c的值． 【详解】解：把x=1代入方程（a≠0）得a+b+c=0． 故选B ． 【点睛】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 7. 如图，是的中位线，平分交于点D，若，则边的长为（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线定理，等腰三角形的判定，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 由三角形的中位线定理得到，，利用等腰三角形的判定结合平行线的性质和角平分线的定义求出，可得，即可求出的长． 【详解】解：∵是的中位线，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 8. 《鹊华秋色图》是画家赵孟的作品，如图是它的局部画面，装裱前是一个长为，宽为的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边框的宽度相等，则边框的宽度应是多少？设边框的宽度为，下列符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列分式方程，根据装裱前是一个长为，宽为的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，以及设边框的宽度为，列式得，即可作答． 【详解】解：∵装裱前是一个长为，宽为的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，以及设边框的宽度为， ∴， 故选：D． 9. 如图，绕点O顺时针旋转角度后得到，若，，则旋转角的值为（ ） A. 40° B. 45° C. 50° D. 55° 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 先根据旋转得到，然后利用旋转角解题即可． 【详解】由旋转可得：， ∴， 故选C． 10. 如图，在正方形中，，对角线与交于点O，于点G，E为平面内一动点，且，F为中点，连接，．有下列说法：①；②取中点P，连接，则；③当四边形为正方形时，；④在点E运动过程中，的最小值为．其中正确的序号有（ ） A. ①② B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意知，则为的中位线，结合题意得，则①正确； 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，即有，即可判定②正确；根据题意得，连接，过点F作交于点H，则点E、点G和点O三点共线，且，进一步得，即可求得，则③错误；连接，可得，利用勾股定理求得，结合三角形三边关系有，即可求得的最小值，判定④正确． 【详解】解：∵四边形为正方形，对角线与交于点O， ∴， ∵， ∴， ∵F为中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴，则①正确； 如图， ∵点P为中点，， ∴， ∴， ∴，则②正确； ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， 连接，过点F作交于点H，如图， ∵四边形为正方形， ∴点E、点G和点O三点共线，， ∴， ∴， ∵F为中点， ∴， ∴，则③错误； 连接，如图， ∵点P为中点，， ∴， 则， 那么，， ∴的最小值为，则④正确； 故选：B． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、三角形中位线的性质、直角三角形斜边上中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、三角形三边关系以及勾股定理，解题的关键是熟悉正方形的性质和直角三角形的性质． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 如图1，是某公园里采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，图2是该八角形空窗的示意图，则它的任意一个内角为______度． 【答案】135 【解析】 【分析】本题主要考查多边形内角，根据多边形外角和先计算出每个外角的度数，然后计算内角即可解． 【详解】解：正八边形的每个外角为， ∴它的任意一个内角为， 故答案为：． 12. 化简分式：的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的加减，先把第二个分式化简，然后利用同分母分式的加法运算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 13. 如图，在菱形中，对角线，，过点A作于点E，则为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质和相勾股定理是解题的关键． 根据菱形的性质得出，，即可求出长，然后利用菱形的面积，即可得出答案． 【详解】解：∵是菱形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 14. 如图，为美化环境，某地准备将一片面积为的矩形空地建为一个花圃，花圃中间共设有条等宽的水渠，将花圃分为了个形状相同的矩形区域，在每个区域内种植花草，花草的总面积为，若测得空地的宽为，则水渠的宽度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．先求出空地的长，设水渠的宽度为，根据题意列方程即可求解． 【详解】解：设水渠的宽度为， 空地的长为：， 根据题意得：， 整理得：，即， 解得：，（不合题意，舍去）， 则水渠的宽度为， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，对角线，相交于点O，点M，N分别在线段OD，上，且，，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质以及全等三角形的判定和性质是解题的关键. 过作于， 过作于， 根据矩形的性质得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论. 【详解】解：过作于， 过作于， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ， 故答案为： 三、解答题（本大题共10个小题，共90分、请写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，先化简，得出，再把代入计算，即可作答． 【详解】解： 当时， 原式 17. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，求n的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，方法一：根据一元二次方程根的判别式的意义，得出，解不等式，即可求解； 方法二：原方程化为，根据有两个不相等的实数根，得出，即可求解． 【详解】解：方法一： ∵ ∴ ∵原方程有两个不相等的实数根 ∴ 即 方法二： ∵原方程有两个不相等的实数根 ∴ 18. 如图，点为的对角线，的交点，经过点的直线分别与的延长线和的延长线交于点，． 求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质．根据平行四边形的性质可得，，进而得到，证明，即可解答． 【详解】证明：四边形为平行四边形， ，， ， 在与中， ， ， ． 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程以及解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去分母再去括号，最后移项合并同类项，注意验根，即可作答． （2）运用配方法进行解一元二次方程，即可作答． 【小问1详解】 解： 经检验，是原方程的根 【小问2详解】 解： 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题： （1）若经过平移后得到，已知点的坐标为，请作出； （2）将绕点A按顺时针方向旋转得到，请作出； （3）当四边形为平行四边形时，请直接写出点D的坐标． 【答案】（1） 如图所示即为所求 （2） 如图所示即为所求 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得，是向右平移5个单位长度，向下平移6个单位长度得到的△，根据平移的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图即可． （3）结合平行四边形的性质可得答案． 本题考查作图平移变换、旋转变换、平行四边形的性质，熟练掌握平移的性质、旋转的性质、平行四边形的性质是解答本题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：四边形为平行四边形， ，， 点的坐标为． 21. “城是济南城，湖是大明湖，楼是超然楼”是网友为超然楼写的广告词．随旅游旺季的到来，大明湖超然楼景区的游客人数逐月增加，4月份游客人数约为16万人次，6月份游客人数约为25万人次． （1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； （2）若增长率保持不变，请求出7月份的游客人数． 【答案】（1） （2）31.25万人 【解析】 【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，根据4月份游客人数约为16万人次，6月份游客人数约为25万人次．列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）由题意列式计算即可． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为x 由题意可得 解得，（不合题意，舍去） 答：这两个月平均增长率为． 【小问2详解】 （万人） 答：7月份的游客人数为31.25万人． 22. 【问题背景】 如图1，某小区的大门是伸缩电动门，它由若干个全等的图形组成．爱思考的小腾发现大门打开的宽度受每个图形内角（如图2中）度数的影响． 【提出问题】 大门打开的宽度是如何随着内角度数变化的？ 【分析问题】 经过思考，小腾准备按照如下步骤解决问题： ①利用图形的性质，先求出特殊内角度数时伸缩门（包括安装驱动器的门柱）的长度，进而计算出大门打开的宽度； ②建立平面直角坐标系，通过列表、描点、连线的方法，用函数刻画内角度数x（°）与大门打开的宽度y（m）之间的关系． 【解决问题】 （1）小腾实地测量了相关数据，并画出了示意图，如图2，伸缩电动门中最上面一排是12个全等的图形，每个图形的边长均为，在伸缩电动门运行的过程中，这些图形始终是______； A．矩形 B．菱形 C．梯形 （2）已知安装驱动器的门柱是宽度为的矩形，大门的总宽度为（门框的宽度忽略不计），小腾记录了不同内角度数对应的伸缩门的长度（m）和大门打开的宽度（m），请你通过计算帮他补全数据（结果精确到）： 内角度数x（°） 30 45 60 75 90 105 120 伸缩门的长度（m） 2.36 3.26 a 4.88 5.59 6.21 大门打开的宽度y（m） 4.64 3.74 b 2.12 1.41 0.79 ①当每个图形的内角度数为时，表格中______，______； ②当每个图形的内角度数为时，大门打开的宽度约为多少米？（参考数据：，，结果精确到） 【问题总结】 如图3，小腾为了进一步研究内角度数x（°）与大门打开的宽度y（m）之间所满足的函数关系，他利用列表，描点，连线的方式画出了函数图象，通过观察图象，小腾发现：随着内角度数的增大，大门打开的宽度逐渐减小，减小的速度先较快，然后逐渐变慢． 【答案】（1）B；（2）①4.1，2.9，② 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质． （1）根据所给条件判断四边形的形状即可； （2）①画出图形得到是等边三角形，然后计算即可； ②连接，交于点O，利用勾股定理解题即可． 【详解】（1）解：∵每个图形的边长均为， ∴图形为菱形， 故选B； （2）①当每个图形的内角度数为时，如图，连接， 则是等边三角形， ∴， ∴伸缩门的长度为； ， 故答案为：，； ②如图，每个图形的内角度数为时，连接，交于点O， ∴，即是等边三角形， ∴， 又∵是菱形， ∴，， 又∵， ∴， ∴大门打开的宽度约为， 23. 法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、，那么两个根的关系为 ，．习惯上把这个结论称作“韦达定理”． 小明在探究二次项系数为1的一元二次方程根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为：，．借此结论，小明进行了对“倍根方程”和“方根方程”的根的特征的探究． 定义： 倍根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． 方根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”． （1）请你判断：方程是______（填“倍根方程”或“方根方程”）； （2）若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值； （3）根据探究，小明想设计一个一元二次方程，使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，请你先帮他算一算，这个方程的根是多少？ 【答案】（1）倍根方程 （2）c的值是8 （3）方程的两个根是，或， 【解析】 【分析】（1）求出方程的解，再判断是否为倍根方程； （2）设方程的两个根为，，由倍根方程”的定义可知，利用根与系数的关系即可求得的值； （3）设一元二次方程，的两个实数根分别为、，由题意可知，或，，即可得到方程的根是2、4或、． 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的一般形式，新定义“倍根方程”或“方根方程”的意义，理解“倍根方程”或“方根方程”的意义和掌握根与系数的关系是解决问题的关键． 【小问1详解】 解：解方程得： ，， ， 方程是倍根方程； 故答案为：“倍根方程”； 【小问2详解】 解：程的两个根为，， 一元二次方程是“倍根方程”， ， ，， ，， ， ； 【小问3详解】 解：元二次方程，的两个实数根分别为、， 这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”， ，， ， 解得或（舍去）， ， 或，， ， 解得或（舍去）， ， 这个方程的根是2、4或、． 24. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴，轴上，且，．点为的中点，连接，为的平分线，交于点． （1）求点B和点E的坐标； （2）点P为射线上一动点，点Q为平面内任意一点， ①连接，若，请求出点P的坐标； ②是否存在P，Q两点，使得四边形为矩形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）P；存在，P 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质可得，从而得到的坐标，再由角平分线以及平行线的性质可以证出，进而得到点的坐标； （2）利用割补法将的面积表示出来，再转化为坐标之间的关系求解即可； （3）要使四边形是矩形，则为直角三角形，，设出点的坐标，利用两点距离公式和勾股定理建立方程求解即可． 本题主要考查了待定系数法求一次函数、一次函数上点的坐标特征、矩形的性质、三角形的面积公式、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． 【小问1详解】 解： 四边形为矩形， ，，，， ， ，， ，， ， 为的平分线， ， ， ， 为中点， ， ， 由勾股定理可得， ， ． 【小问2详解】 解：①四边形为矩形，点为的中点， ， ， 延长，交轴于点， ，， ， ， ， ， ， ， ，． ②存在， 点是射线上的动点， 设， ，， ， ， ， 要使四边形是矩形，则为直角三角形，， ，即， 解得， ，． 25. 如图1，正方形的边与正方形的边重合，直线交直线于点，连接． （1）图1中线段与的数量关系是______，与的关系是______； （2）如图2，正方形绕点B顺时针旋转角度，当点H与点A重合时，（1）中的结论依然成立的，请予以证明；不成立的，请写出它们新的关系，并说明理由； （3）如图3，若，，连接，正方形绕点B顺时针旋转角度，当点F落在对角线上时，请直接写出此时的面积． 【答案】（1）； （2）依然成立，与的关系为：，理由见解析 （3）的面积是8 【解析】 【分析】（1）结合正方形的性质，证明即可； （2）同第一问思路，证即可得解； （3）由可得、重合，画图示意图，的面积很容易就得出． 本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解： 四边形和四边形都是正方形， ，，， ， ，， ， ， 故答案为：，． 【小问2详解】 依然成立；与的关系是． 理由：四边形和四边形都是正方形， ，，， ， ， ，， 四边形是正方形， ， ， 即． 【小问3详解】 如图，连接，连接与交于点， ，， ，， ， 在上， 与点重合，如下图： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023~2024学年第二学期八年级期末教学质量检测 数学试题 考试时间120分钟 满分150分 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 4. 无论a取何值，下列分式中，总有意义的是（　　） A. B. C. D. 5. 一个多边形外角和是内角和的．则这个多边形的边数是() A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 6. 若一元二次方程的一个根是x=1，则的值是（　　） A. -1 B. 0 C. 1 D. 不能确定 7. 如图，是的中位线，平分交于点D，若，则边的长为（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 8. 《鹊华秋色图》是画家赵孟的作品，如图是它的局部画面，装裱前是一个长为，宽为的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边框的宽度相等，则边框的宽度应是多少？设边框的宽度为，下列符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，绕点O顺时针旋转角度后得到，若，，则旋转角的值为（ ） A. 40° B. 45° C. 50° D. 55° 10. 如图，在正方形中，，对角线与交于点O，于点G，E为平面内一动点，且，F为中点，连接，．有下列说法：①；②取中点P，连接，则；③当四边形为正方形时，；④在点E运动过程中，的最小值为．其中正确的序号有（ ） A. ①② B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 如图1，是某公园里采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，图2是该八角形空窗的示意图，则它的任意一个内角为______度． 12. 化简分式：的结果是______． 13. 如图，在菱形中，对角线，，过点A作于点E，则为______． 14. 如图，为美化环境，某地准备将一片面积为的矩形空地建为一个花圃，花圃中间共设有条等宽的水渠，将花圃分为了个形状相同的矩形区域，在每个区域内种植花草，花草的总面积为，若测得空地的宽为，则水渠的宽度为______． 15. 如图，在矩形中，，对角线，相交于点O，点M，N分别在线段OD，上，且，，若，则的长为______． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分、请写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，求n的取值范围． 18. 如图，点为的对角线，的交点，经过点的直线分别与的延长线和的延长线交于点，． 求证：． 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题： （1）若经过平移后得到，已知点的坐标为，请作出； （2）将绕点A按顺时针方向旋转得到，请作出； （3）当四边形为平行四边形时，请直接写出点D的坐标． 21. “城是济南城，湖是大明湖，楼是超然楼”是网友为超然楼写的广告词．随旅游旺季的到来，大明湖超然楼景区的游客人数逐月增加，4月份游客人数约为16万人次，6月份游客人数约为25万人次． （1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； （2）若增长率保持不变，请求出7月份的游客人数． 22. 【问题背景】 如图1，某小区的大门是伸缩电动门，它由若干个全等的图形组成．爱思考的小腾发现大门打开的宽度受每个图形内角（如图2中）度数的影响． 【提出问题】 大门打开的宽度是如何随着内角度数变化的？ 【分析问题】 经过思考，小腾准备按照如下步骤解决问题： ①利用图形的性质，先求出特殊内角度数时伸缩门（包括安装驱动器的门柱）的长度，进而计算出大门打开的宽度； ②建立平面直角坐标系，通过列表、描点、连线的方法，用函数刻画内角度数x（°）与大门打开的宽度y（m）之间的关系． 【解决问题】 （1）小腾实地测量了相关数据，并画出了示意图，如图2，伸缩电动门中最上面一排是12个全等的图形，每个图形的边长均为，在伸缩电动门运行的过程中，这些图形始终是______； A．矩形 B．菱形 C．梯形 （2）已知安装驱动器的门柱是宽度为的矩形，大门的总宽度为（门框的宽度忽略不计），小腾记录了不同内角度数对应的伸缩门的长度（m）和大门打开的宽度（m），请你通过计算帮他补全数据（结果精确到）： 内角度数x（°） 30 45 60 75 90 105 120 伸缩门的长度（m） 2.36 3.26 a 4.88 5.59 6.21 大门打开的宽度y（m） 4.64 3.74 b 2.12 1.41 0.79 ①当每个图形的内角度数为时，表格中______，______； ②当每个图形的内角度数为时，大门打开的宽度约为多少米？（参考数据：，，结果精确到） 【问题总结】 如图3，小腾为了进一步研究内角度数x（°）与大门打开的宽度y（m）之间所满足的函数关系，他利用列表，描点，连线的方式画出了函数图象，通过观察图象，小腾发现：随着内角度数的增大，大门打开的宽度逐渐减小，减小的速度先较快，然后逐渐变慢． 23. 法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、，那么两个根的关系为 ，．习惯上把这个结论称作“韦达定理”． 小明在探究二次项系数为1的一元二次方程根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为：，．借此结论，小明进行了对“倍根方程”和“方根方程”的根的特征的探究． 定义： 倍根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． 方根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”． （1）请你判断：方程是______（填“倍根方程”或“方根方程”）； （2）若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值； （3）根据探究，小明想设计一个一元二次方程，使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，请你先帮他算一算，这个方程的根是多少？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴，轴上，且，．点为的中点，连接，为的平分线，交于点． （1）求点B和点E的坐标； （2）点P为射线上一动点，点Q为平面内任意一点， ①连接，若，请求出点P的坐标； ②是否存在P，Q两点，使得四边形为矩形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 如图1，正方形的边与正方形的边重合，直线交直线于点，连接． （1）图1中线段与的数量关系是______，与的关系是______； （2）如图2，正方形绕点B顺时针旋转角度，当点H与点A重合时，（1）中的结论依然成立的，请予以证明；不成立的，请写出它们新的关系，并说明理由； （3）如图3，若，，连接，正方形绕点B顺时针旋转角度，当点F落在对角线上时，请直接写出此时的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $