精品解析：辽宁省沈阳市皇姑区2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试题

2023—2024学年度（下）八年级期末质量监测数学试卷 （本试卷共23道题，满分120分，时间共120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列所给图形是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式中正确是（ ） A. B. C. D. 3. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. B. C. 0 D. 2 4. 下列变形是因式分解的是（ ） A. B. C D. 5. 如图，在一块长为11米，宽为5米的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1米就是它的右边线，这块草地的绿地面积是( )平方米． A. 50 B. 55 C. 40 D. 44 6. 如图，为测量池塘边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA、OB的中点分别是点D、E，且DE＝14m，则A、B间的距离是（）． A. 18m B. 24m C. 28m D. 30m 7. 如图，某市的三个城镇中心A、B、C构成△ABC，该市政府打算修建一个大型体育中心P，使得该体育中心到三个城镇中心A、B、C的距离相等，则P点应设计在（　　　） A. 三个角的角平分线的交点 B. 三角形三条高的交点 C. 三条边的垂直平分线的交点 D. 三角形三条中线的交点 8. 一项工程，甲单独做需要m天完成，乙单独做需要n天完成，则甲、乙合作完成工程需要的天数为（　　） A. m+n B. C. D. 9. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且，则四边形ODEC的面积为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 12 10. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径面弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，则的面积是（ ） A. B. C D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 第五套人民币中的5角硬币色泽为镍白色，正、反面的内周边缘均为正十一边形，则其内角和为______． 12. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是___________． 13. 如图平行四边形中，对角线、相交于点O，，，，则的长是______． 14. 正方形和正方形中，点D在上，，H是的中点，那么的长是 ______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，A，两点分别在轴，轴上，点A的坐标为，点的坐标为，点为射线上一动点，点关于直线的对称点为点，当为直角三角形时，的长为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）因式分解：； （2）计算：． 17. 解不等式组：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，． （1）平移，若点A的对应点的坐标为，画出平移后的； （2）将以点(0，2)为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的； （3）已知将绕某一点旋转可以得到，则旋转中心的坐标为__________． 19. （列分式方程解应用题）辽宁省新中考体育考试，新增专项技能三选一项目考试（足球，篮球，排球），其中篮球项目为：运球绕杆往返跑，运球路线的总路程为36米．在一次练习测试中，小红和小强依次完成运球绕杆往返跑后，根据两人的测试成绩，小强说：“咱俩共用时42秒．”小红说：“如果我的平均速度不变，用你这次测试的用时我只能跑20米．”求这次测试小红和小强各用时多少秒？ 20. 如图，已知中，点是边上一点，取的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当与满足条件______时，四边形是矩形（直接填空）． 21. 蓝天白云，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，需要购买，两种型号的帐篷．已知购买1顶种型号帐篷需600元，购买1顶种型号帐篷需1000元． （1）若该景区需要购买，两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），购买种型号帐篷数量不超过购买种型号帐篷数量的，则最多能购买几顶种型号帐篷？ （2）在（1）的条件下，设购买，两种型号帐篷的总费用为元，求的最小值． 22. 如图①，正方形中，点，是边，上的动点（不与正方形顶点重合），，与相交于点．设长为，长为，与的函数图象如图②所示，图象经过点． （1）结合函数图象，求的长； （2）连接，当时，求的值； （3）在（2）的条件下，连接，求的长． 23. 在一次数学活动课上，老师带领同学们探究图形变换问题．老师先提出这样一个问题：有一张矩形纸片，其中，，你能用这张矩形纸片折出一个等边三角形吗？ 【操作】小明同学是这样操作的：如图①，先将矩形沿对折；展开后，再将点沿折叠，使点落在上的点处；再展开，连接，，则为等边三角形． 【验证】（1）求证：为等边三角形； 【应用】（2）连接，，如图②，求长； 【拓展】（3）将图②中的绕着点顺时针旋转（）得到（点，的对应点分别为，），连接，，当为等腰三角形时，直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度（下）八年级期末质量监测数学试卷 （本试卷共23道题，满分120分，时间共120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列所给图形是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A. 此图形不是中心对称图形，不是轴对称图形，故A选项错误，不符合题意； B. 此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故B选项错误，不符合题意； C. 此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故C选项错误，不符合题意． D. 此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故D选项正确，符合题意； 故选D． 2. 若，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查是不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质， 根据不等式的基本性质解答即可． 【详解】解：A．由，得，故不符合题意． B．由，得，推断出，故符合题意． C．由，得，故不符合题意． D．由，得，故不符合题意． 故选：B． 3. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件以及分式为零的条件即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， ， ， 当时， ∴即． 故选：B． 【点睛】本题考查分式有意义的条件以及分式值为零，本题属于基础题型． 4. 下列变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的识别，熟练掌握其定义是解题的关键． 将一个多项式化为几个整式积的形式即为因式分解，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、是乘法运算，本选项不符合题意； B、中左右两边不相等，故本选项不符合题意； C、中左右两边不相等，故本选项不符合题意； D、符合因式分解的定义，故本选项符合题意； 故选：D． 5. 如图，在一块长为11米，宽为5米的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1米就是它的右边线，这块草地的绿地面积是( )平方米． A. 50 B. 55 C. 40 D. 44 【答案】A 【解析】 【分析】根据平移可知，绿地部分拼成的图形长为米，宽为5米，然后进行计算即可． 【详解】解：由题意得： （平方米）， 所以这块草地的绿地面积为50平方米， 故选A． 【点睛】本题考查了生活中的平移，根据平移求出绿地部分拼成的图形长和宽是解题的关键． 6. 如图，为测量池塘边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA、OB的中点分别是点D、E，且DE＝14m，则A、B间的距离是（）． A. 18m B. 24m C. 28m D. 30m 【答案】C 【解析】 【详解】解：连接AB，根据中点可得DE为△OAB的中位线， 则AB=2DE=28米． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形中位线的定义和性质． 7. 如图，某市的三个城镇中心A、B、C构成△ABC，该市政府打算修建一个大型体育中心P，使得该体育中心到三个城镇中心A、B、C的距离相等，则P点应设计在（　　　） A. 三个角的角平分线的交点 B. 三角形三条高的交点 C. 三条边的垂直平分线的交点 D. 三角形三条中线的交点 【答案】C 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质解答即可． 【详解】解：∵体育中心到城镇中心A、B的距离相等， ∴PA＝PB， ∴点P在线段AB的垂直平分线上， 同理，点P在线段AC，BC的垂直平分线上， ∴P点应设计在三条边的垂直平分线的交点， 故选：C． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 8. 一项工程，甲单独做需要m天完成，乙单独做需要n天完成，则甲、乙合作完成工程需要的天数为（　　） A. m+n B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设总工程量为1，根据甲单独做需要m天完成，乙单独做需要n天完成，可以求出甲乙每天的工作效率，从而可以得到甲乙合作需要的天数． 【详解】设总工程量为1，则甲每天可完成，乙每天可完成， 所以甲乙合作每天的工作效率为 所以甲、乙合作完成工程需要的天数为 故选C 【点睛】本题考查的是分式应用题，能够根据题意求出甲乙的工作效率是解题的关键． 9. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且，则四边形ODEC的面积为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据S△ODC＝S矩形ABCD以及四边形OCED的面积＝2S△ODC即可解决问题． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OC＝OB＝OD， ∵CEBD，DEAC， ∴四边形CODE平行四边形， ∵OD＝OC， ∴四边形CODE是菱形， ∴OD＝CE＝2.5， ∴BD＝2OD＝5， ∴CD＝， ∴矩形ABCD的面积＝4×3＝12， ∴△OCD的面积＝矩形ABCD的面积＝3， ∴四边形ODEC的面积＝2△OCD的面积＝2×3＝6． 故选：A． 【点睛】此题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是记住矩形的对角线把矩形分成面积相等的4个三角形． 10. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径面弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，则的面积是（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】作DH⊥AB于H，利用基本作图得到AP平分∠BAC，则根据角平分线的性质定理得到DH＝DC＝4，然后根据三角形面积公式计算S△ABD． 【详解】解：作DH⊥AB于H， 由题中作法得AP平分∠BAC， ∵DC⊥AC，DH⊥AB， ∴DH＝DC＝4， ∴S△ABD＝×14×4＝28， 故选B． 【点睛】本题考查了作图−作已知角的角平分线，要熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了角分线的性质． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 第五套人民币中的5角硬币色泽为镍白色，正、反面的内周边缘均为正十一边形，则其内角和为______． 【答案】1620° 【解析】 【分析】边形的内角和是，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和． 【详解】根据多边形的内角和公式，得． 故答案为：1620°． 【点睛】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解决本题的关键是正确运用多边形的内角和公式，是需要熟记的内容，此题难度不太． 12. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】观察函数图象，根据两函数图象的上下位置关系即可找出不等式的解集． 【详解】解：观察函数图象可知：当时，一次函数的图象在的图象的上方， ∴关于x的不等式的解集是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键． 13. 如图平行四边形中，对角线、相交于点O，，，，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵平行四边形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵对角线、相交于点O， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形性质，勾股定理．熟练掌握平行四边形的对边相等，对角线互相平分，是解题的关键． 14. 正方形和正方形中，点D在上，，H是的中点，那么的长是 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，根据正方形性质求出，，再求出，然后利用勾股定理列式求出，由直角三角形的性质可求解．解题的关键是能正确作出辅助线构造直角三角形． 【详解】解：如图，连接， ∵正方形和正方形中，， ∴，，， ∴， 由勾股定理得，， ∵H是的中点， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，A，两点分别在轴，轴上，点A的坐标为，点的坐标为，点为射线上一动点，点关于直线的对称点为点，当为直角三角形时，的长为______． 【答案】3或6##6或3 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，勾股定理的应用，分三种情况：当时，当时，当时分别根据图形利用勾股定理求出即可． 【详解】解：设， 点关于直线的对称点为点， ， 当为直角三角形时，分三种情况： 当时，如图： 三点共线， ， 解得， ； 当时，如图： 为等腰直角三角形， ； 当时，则， 与相矛盾，故不存在． 故答案为：或． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）因式分解：； （2）计算：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，平方差公式，分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程． （1）根据平方差公式计算即可求解； （2）先算除法，再算减法． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式的基本步骤，先依次求出两个不等式的解集，再取公共部分为不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得，； 解不等式②得，； ∴不等式组的解集为：； 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，． （1）平移，若点A的对应点的坐标为，画出平移后的； （2）将以点(0，2)为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的； （3）已知将绕某一点旋转可以得到，则旋转中心的坐标为__________． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）(2，1) 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，旋转作图和中心对称作图，掌握旋转和中心对称的性质是解题的关键． （1）根据点A的对应点的坐标为确定平移方式，再根据平移方程确定其它两点的对应点，最后连线即可； （2）根据中心对称的性质，找到三个顶点的对应点，再连线即可； （3）连接对应点，对应点的交点就是旋转中心(对称中心)． 【小问1详解】 解：作图如下，即为所求作的三角形： 【小问2详解】 作图如下，即为所求作的三角形： 【小问3详解】 连接，对应点的交点就是旋转中心(对称中心) ，即点， 故答案是：． 19. （列分式方程解应用题）辽宁省新中考体育考试，新增专项技能三选一项目考试（足球，篮球，排球），其中篮球项目为：运球绕杆往返跑，运球路线的总路程为36米．在一次练习测试中，小红和小强依次完成运球绕杆往返跑后，根据两人的测试成绩，小强说：“咱俩共用时42秒．”小红说：“如果我的平均速度不变，用你这次测试的用时我只能跑20米．”求这次测试小红和小强各用时多少秒？ 【答案】这次测试小红用时27秒，小强用时15秒 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设这次测试小红用时秒，则小强用时秒，利用速度路程时间，结合用小强完成测试的时间小红只能跑20米，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值（即这次测试小红的用时），再将其代入中，即可求出这次测试小强的用时． 【详解】解：设这次测试小红用时秒，则小强用时秒， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：这次测试小红用时27秒，小强用时15秒． 20. 如图，已知中，点是边上一点，取的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当与满足条件______时，四边形是矩形（直接填空）． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质得，，再证明，得，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由矩形的判定定理即可得出结论． 【小问1详解】 证明：， ，， 是的中点， ， ， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：当与满足条件时，四边形是矩形，理由如下： 由（1）可知，四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、平行线的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 21. 蓝天白云，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，需要购买，两种型号的帐篷．已知购买1顶种型号帐篷需600元，购买1顶种型号帐篷需1000元． （1）若该景区需要购买，两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），购买种型号帐篷数量不超过购买种型号帐篷数量的，则最多能购买几顶种型号帐篷？ （2）在（1）的条件下，设购买，两种型号帐篷的总费用为元，求的最小值． 【答案】（1）最多能购买5顶A种型号帐篷； （2）18000 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，一次函数的应用，关键是根据题意列出与的正确关系式． （1）设购买A型号帐篷顶，则购买B型号帐篷顶，，且为整数）由购买A种型号帐篷数量不超过购买B种型号帐篷数量的，可得，可解得的取值范围，即得最多能购买几顶A种型号帐篷； （2）由（1）确定的取值范围，列出与的关系式，可得取何值时，的最小值为何值． 【小问1详解】 解：设购买A型号帐篷顶，则购买B型号帐篷顶，，且为整数） 由题意得，， 解得：， 最多能购买5顶A种型号帐篷； 【小问2详解】 解：由（1）得，，且为整数， 由题意得，， ∵，随的增加而减少， 时，有最小值为18000元． 22. 如图①，正方形中，点，是边，上的动点（不与正方形顶点重合），，与相交于点．设长为，长为，与的函数图象如图②所示，图象经过点． （1）结合函数图象，求的长； （2）连接，当时，求的值； （3）在（2）的条件下，连接，求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明得，结合函数图象求出即可； （2）由勾股定理得，从而列方程解决即可； （3）先证明两点分别为中点，过点M作于点N，过点M作于点H，求出及长，再根据勾股定理计算求解即可． 【小问1详解】 解：正方形中， ， ， ， ， 长为，长为，与的函数图象经过点， ， ； 【小问2详解】 解：如图： 在中，， ， ， 在中，， ， ，即， 解得：； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， ， ， 两点分别为中点， 过点M作于点N，过点M作于点H， ， 四边形是矩形， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，． 【点睛】本题考查的是正方形的性质、坐标与图形、勾股定理应用、三角形全等的判定与性质及矩形的判定与性质，熟练掌握相关判定与性质是解题关键． 23. 在一次数学活动课上，老师带领同学们探究图形的变换问题．老师先提出这样一个问题：有一张矩形纸片，其中，，你能用这张矩形纸片折出一个等边三角形吗？ 【操作】小明同学是这样操作的：如图①，先将矩形沿对折；展开后，再将点沿折叠，使点落在上的点处；再展开，连接，，则为等边三角形． 【验证】（1）求证：等边三角形； 【应用】（2）连接，，如图②，求的长； 【拓展】（3）将图②中的绕着点顺时针旋转（）得到（点，的对应点分别为，），连接，，当为等腰三角形时，直接写出线段的长． 【答案】（1）见详解；（2）2；（3）或 【解析】 【分析】（1）可知是的垂直平分线，则，由折叠得，故，即可求证； （2）由勾股定理可求，而，对运用勾股定理可求； （3）当时，记与交于点H，可证明是直角三角形，即，由面积法可求，则，继而可得是等边三角形，则此时旋转到，因此点对应点落到点的位置，故；当时， 过作于，过点作，则，，可证明，则，在中，由勾股定理得，，综上，线段的长为或． 【详解】（1）证明：矩形沿对折， 是的垂直平分线， ， 折叠， ， ， 是等边三角形； （2）解：， ，， ， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ， ， ∵是折痕， ， ； （3）解：旋转， ， ， 等腰三角形中， 可分两种情况讨论， ①当时，记与交于点H，如图所示， 由（2）知，，，， ， 是直角三角形，即， ， 垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 此时旋转到， 点对应点落到点的位置， 此时； ②当时，如图所示， 过作于，过点作， ， ， ∵，由轴对称得，， ∴， ∴， ∴， 由旋转得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得，， 综上，线段的长为或． 【点睛】本题主要考查折叠的性质、矩形的性质，等边三角形的判定和性质、勾股定理、旋转的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$