暑假预习专题02 直线的方程（6大题型）-2024年暑假数学高一升高二题型专练复习+新课预习（苏教版2019）

专题02 直线的方程（6大题型） 新课知识点剖析与归纳 1.点斜式方程的推导 如图，直线经过点，且斜率为．设是直线上不同于点的任意一点，因为直线的斜率为，由斜率公式得，即． 2.直线的点斜式方程 方程由直线上一个定点及该直线的斜率确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 【注意】 （1）点斜式的适用条件：①斜率必须存在；②已知直线上一点和直线的斜率． （2）当任意实数时，方程表示恒过定点的无数条直线． 3.两种特殊的直线： (1) (2) 4.求直线点斜式方程的一般步骤： （1）求直线点斜式的步骤为：定点定斜率写出方程 （2）点斜式方程可表示过点的所有直线，但除外． 5.斜截式方程的推导 如图，如果斜率为的直线过点，这时是直线与轴的交点，代入直线的点斜式方程，得，即． 6.直线的斜截式方程 我们把直线与轴的交点为的纵坐标叫做直线在轴上的截距．这样，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，我们把方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 【注意】斜截式的适用条件：斜截式方程适用于斜率存在的直线 7.两点式方程的推导 如果直线经过两点，，则直线的斜率．由直线的点斜式方程得．当时，方程可以写成． 8.直线的两点式方程 设直线经过两点，，则方程叫作直线的两点式方程，简称两点式． 【注意】(1)两点式的适用条件：与x轴、y轴均不垂直的直线; （2）把直线的两点式方程化为，则该方程表示过平面内任意不同两点，的直线． 9.截距式方程的推导 如图，已知直线经过两点，，其中，有直线的两点式方程得，，即． 10、直线的截距式方程 设直线在轴的截距为，在轴的截距为，且，则方程叫作直线的截距式方程，简称截距式． 【注意】(1)截距的概念:①横截距：直线与轴交点的横坐标．在直线方程中，令，解出的值即可．②纵截距：直线与轴交点的纵坐标．在直线方程中，令，解出的值即可． （2）选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直； 11.一般式方程 在平面直角坐标系中，任意一个关于，的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于，的二元一次方程（其中、不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式． 【注意】(1)直线的一般式方程适用于任何一条直线． （2）系数的几何意义 ①当时，方程可以写成它表示斜率为，在轴截上的截距为的直线．特别的，当时，它表示垂直于轴的直线． ②当时，，方程可以写成，它表示垂直于轴的直线． 12.直线方程的五种形式 形式 几何条件 方程 适用范围 点斜式 过一点(x0，y0)，斜率k y－y0＝k(x－x0) 与x轴不垂直的直线 斜截式 纵截距b，斜率k y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 两点式 过两点(x1，y1)，(x2，y2) ＝ 与x轴、y轴均不垂直的直线 截距式 横截距a，纵截距b ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 （A2＋B2≠0） 平面直角坐标系内所有直线 【注意】“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数． 高频考点题型与预习归纳 【题型1 直线的点斜式方程】 【题型2 直线的斜截式方程】 【题型3 直线的两点式方程】 【题型4 直线的截距式方程】 【题型5 直线的一般式方程】 【题型6 五种直线形式的应用】 专项练 【题型1 直线的点斜式方程】 【典例1】过点且斜率为的直线的点斜式方程为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将，斜率为带入直线方程点斜式，得.故选：B. 【题型训练1】 1.方程y＝k(x－2)表示(　　) A．通过点(－2,0)的所有直线 B．通过点(2,0)的所有直线 C．通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线 D．通过点(2,0)且除去x轴的所有直线 【答案】C 【解析】易验证直线通过点(2,0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x轴． 故选：C. 2．过点且倾斜角为的直线方程为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】过点，且倾斜角为的直线斜率为1，则，即． 故选：B． 3．已知一直线经过点A(3，－2)，且与x轴平行，则该直线的方程为(　　) A．x＝3 B．x＝－2 C．y＝3 D．y＝－2 【答案】D 【解析】∵直线与x轴平行，∴其斜率为0， ∴直线的方程为y＝－2. 故选：D． 4.将直线y＝x＋－1绕其上面一点(1，)沿逆时针方向旋转15°，所得到的直线的点斜式方程是_____________． 【答案】y－＝(x－1) 【解析】由y＝x＋－1得直线的斜率为1，倾斜角为45°. ∵沿逆时针方向旋转15°后，倾斜角变为60°， ∴所求直线的斜率为. 又∵直线过点(1，)， ∴由直线的点斜式方程可得y－＝(x－1)． 故答案为：y－＝(x－1) 【题型2 直线的斜截式方程】 【典例2】已知直线l的倾斜角为60°，且在y轴上的截距为－2，则此直线的方程为(　　) A．y＝x＋2 B．y＝－x＋2 C．y＝－x－2 D．y＝x－2 【答案】D 【解析】∵α＝60°，∴k＝tan 60°＝， ∴直线l的方程为y＝x－2. 故选：D． 【题型训练2】 1.若直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有(　　) A．k>0，b>0 B．k>0，b<0 C．k<0，b>0 D．k<0，b<0 【答案】B 【解析】∵直线经过第一、三、四象限， ∴图形如图所示，由图知，k>0，b<0. 故选：B． 2．已知直线l不经过第三象限，设它的斜率为k，在y轴上的截距为b(b≠0)，则(　　) A．kb<0 B．kb≤0 C．kb>0 D．kb≥0 【答案】B 【解析】当k≠0时，∵直线l不经过第三象限，∴k<0，b>0，∴kb<0. 当k＝0，b>0时，l也不过第三象限，∴kb≤0. 故选：B． 3．直线y＝x＋k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k的取值范围是________． 【答案】(－∞，－1]∪[1，＋∞) 【解析】　令x＝0，得y＝k.令y＝0，得x＝－2k. 所以|k|·|－2k|≥1，即k2≥1. 所以k≤－1或k≥1. 故答案为：(－∞，－1]∪[1，＋∞) 4.直线的方程为. (1)证明：直线恒经过第一象限； (2)若直线一定经过第二象限，求a的取值范围． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1），即直线一定过定点， 该点在第一象限，于是直线一定经过第一象限. （2）由于直线经过第一象限的定点， 只要该直线在轴上的截距大于即可，而 经过轴上的点，则，解得 【题型3直线的两点式方程】 【典例3】经过点的直线的两点式方程为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为直线经过点， 所以由方程的两点式可得直线方程为，即． 故选：A 【题型训练3】 1.经过两点的直线方程都可以表示为(　　) A．＝ B．＝ C． D．＝ 【答案】C 【解析】当时，由两点式可得直线方程为：＝， 化为：， 对于或时上述方程也成立， 因此直线方程为：. 故选：C. 2．经过点A(2,5)，B(－3,6)的直线在x轴上的截距为(　　) A．2 B．－3 C．－27 D．27 【答案】D 【解析】由两点式得直线方程为＝，即x＋5y－27＝0，令y＝0，得x＝27. 故选：D. 3．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l经过点(－1,0)，(1,4)，则直线l的两点式方程是______________． 【答案】＝ 【解析】　根据两点式方程可得＝. 故答案为：＝ 4.(多选)已知动点P(t，t)，Q(10－t,0)，其中0＜t＜10，定点M(6,1)，N(4,5)，则下列说法中正确的有(　　) A．点M不在直线PQ上　 B．点M可能在直线PQ上 C．点N不在直线PQ上　 D．点N可能在直线PQ上 【答案】AD 【解析】因为0<t<10，所以直线PQ的方程为＝，即tx＋(10－2t)y＋t2－10t＝0.将点M(6,1)代入得t2－6t＋10＝(t－3)2＋1≥1，所以点M不可能在直线PQ上；将点N(4,5)代入得t2－16t＋50＝(t－8)2－14，所以点N可能在直线PQ上　 故选：AD. 【题型4 直线的截距式方程】 【典例4】不论k为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点其中m，n是正实数，则的最小值是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由直线， 得：，即恒过点， 因为直线过此定点，其中m，n是正实数 所以， 则，， 当且仅当时取等号； 故选：B 【题型训练4】 1.(多选)直线－＝1与直线－＝1在同一平面直角坐标系中的位置可能是(　　) A B C D 【答案】BD 【解析】直线－＝1的斜率为，直线－＝1的斜率为，·＝1，于是两直线的倾斜角同为锐角或者同为钝角 故选：BD 2．过点P(4,1)作直线l，分别交x轴的正半轴、y轴的正半轴于点A，B，O为坐标原点，那么当OA＋OB取最小值时，直线l的方程为(　　) A．2x＋y－9＝0　 B．x＋2y－6＝0　 C．3x＋y－13＝0　 D．x＋3y－7＝0 【答案】B 【解析】设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，所以＋＝1，从而OA＋OB＝a＋b＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a＝2b，b＝3时等号成立，从而直线l的方程为x＋2y－6＝0　 故选：B 3．已知直线l过点，若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，则直线l的方程是 ． 【答案】或 【解析】若直线在坐标轴上的截距都是0，则由点在l上，得其方程为； 若直线在坐标轴上的截距不为0，可设其方程为， 将点代入可得，所以l的方程是. 故答案为：或 4.求过点A(3,4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程． 【答案】x－y＋1＝0或4x－3y＝0. 【解析】(1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l的方程为＋＝1.又l过点A(3,4)，所以＋＝1，解得a＝－1. 所以直线l的方程为＋＝1， 即x－y＋1＝0. (2)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，因为l过点(3,4)，所以4＝k·3，解得k＝，直线l的方程为y＝x，即4x－3y＝0. 综上，直线l的方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0. 【题型5 直线的一般式方程】 【典例5】已知方程(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0(m∈R)． (1)若方程表示一条直线，求实数m的取值范围； (2)若方程表示的直线的斜率不存在，求实数m的值，并求出此时的直线方程； (3)若方程表示的直线在x轴上的截距为－3，求实数m的值； (4)若方程表示的直线的倾斜角是45°，求实数m的值． 【答案】(1){m|m≠－1};(2)x＝;(3)－;(4) 【解析】(1)当x，y的系数不同时为零时，方程表示一条直线，令m2－2m－3＝0，解得m＝－1或m＝3； 令2m2＋m－1＝0，解得m＝－1或m＝. 所以若方程表示一条直线，则m≠－1. 即实数m的取值范围为{m|m≠－1}． (2)由(1)知当m＝时，方程表示的直线的斜率不存在，且直线方程为x＝. (3)依题意，得＝－3，所以3m2－4m－15＝0，m2－2m－3≠0， 所以m＝－. (4)因为直线的倾斜角是45°，所以斜率为1， 所以－＝1,2m2＋m－1≠0，解得m＝， 所以若方程表示的直线的倾斜角为45°，则m＝ 【题型训练5】 1.直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图象大致是(　　) 【答案】C 【解析】将l1与l2的方程化为l1：y＝ax＋b，l2：y＝bx＋a. A中，由l1的图象可知，a<0，b<0，由l2的图象可知，b<0，a>0，两者矛盾，故A错误； B中，由l1的图象可知，a<0，b>0，由l2的图象知，b>0，a>0，两者矛盾，故B错误； C中，由l1的图象可知，a>0，b>0，由l2的图象可知，a>0，b>0，故C正确； D中，由l1的图象可知，a>0，b<0，由l2的图象可知，a>0，b>0，两者矛盾，故D错误． 故选：C 2．（多选）已知直线（不同时为0），则(　　) A．当时，与轴垂直 B．当时，与轴重合 C．当时，过原点 D．当时，的倾斜角为锐角 【答案】BC 【解析】对于A：当时直线（），即， 表示与轴平行（重合）的直线，故A错误； 对于B：当时直线，即，即与轴重合，故B正确； 对于C：当时直线，此时满足方程，即过原点，故C正确； 对于D：当时直线，即，斜率， 所以的倾斜角为钝角，故D错误； 故选：BC 3．在y轴上的截距为－6，且倾斜角为45°的直线的一般式方程为______________． 【答案】x－y－6＝0 【解析】设直线的斜截式方程为y＝kx＋b(k≠0)，则由题意得k＝tan 45°＝1，b＝－6，所以y＝x－6，即x－y－6＝0. 故答案为：x－y－6＝0 4.设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定m的值： (1)l在x轴上的截距是－3； (2)l的斜率是－1. 【答案】(1)－;(2)－2 【解析】①当直线在x轴上的截距为－3时，有＝－3，且m2－2m－3≠0，解得m＝－. ②当斜率为－1时，有－＝－1，且2m2＋m－1≠0，解得m＝－2. 【题型6 五种直线形式的应用】 【典例6】已知直线. (1)若直线不经过第三象限，求的取值范围； (2)若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于的面积为（为坐标原点），求的最小值和此时直线的方程. 【答案】(1)；(2)最小值为4，直线的方程为. 【解析】（1）直线可化为， 要使直线不经过第三象限，则，解得， 的取值范围为. （2）由题意可得中，取，得， 取，得， ， 当且仅当时，即时，取“=”， 此时的最小值为4，直线的方程为. 【题型训练6】 1.直线l的方向向量，且过点，则直线l的方程为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由直线l的方向向量可得直线l的斜率为， 所以直线l的方程为，即． 故选：D. 2．已知，满足，则直线必过定点(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得， 代入直线方程中，得，即， 令，解得， 所以该直线必过定点. 故选：D 3．直线l过点P，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点．当△AOB的周长为12时，求直线l的方程． 【答案】3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0. 【解析】设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)， 由题意知，a＋b＋＝12. 所以＝12－a－b. 两边平方整理得ab－12(a＋b)＋72＝0.① 又因为直线l过点P. 所以＋＝1，整理得3ab＝6a＋4b.② 由①②，得或 所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0. 4.直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)． (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求a的值； (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围． 【答案】(1)2或0；(2)(－∞，－1] 【解析】(1)①当a＝－1时，直线l的方程为y＋3＝0，显然不符合题意； ②当a≠－1时，令x＝0，则y＝a－2， 令y＝0，则x＝. ∵l在两坐标轴上的截距相等， ∴a－2＝， 解得a＝2或a＝0. 综上，a的值为2或0. (2)直线l的方程可化为y＝－(a＋1)x＋a－2，故要使l不经过第二象限，只需解得a≤－1. ∴a的取值范围为(－∞，－1]． 【专项练】 1.直线y－2＝－(x＋1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为(　　) A．60°，2 B．120°，2－ C．60°，2－ D．120°，2 【答案】B 【解析】该直线的斜率为－，当x＝0时，y＝2－， ∴其倾斜角为120°，在y轴上的截距为2－. 故选：B. 2.已知直线kx－y＋1－3k＝0，当k变化时，所有的直线恒过定点(　　) A．(1,3) B．(－1，－3) C．(3,1) D．(－3，－1) 【答案】C 【解析】直线kx－y＋1－3k＝0变形为y－1＝k(x－3)， 由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1)． 故选：D. 3.如图所示，直线与的图象只可能是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对A，由经过第一，四，三象限，可知，， 由过第一，二，三象限知，，故本选项错误； 对B，由经过第一，二，四象限，可知，， 由过第一，二，三象限知，，故本选项错误； 对C，由经过第一，三，四象限，可知，， 由过第一，三，四象限知，，故本选项错误； 对D，由经过第一，二，四象限，可知，， 由过第一，二，四象限知，，故本选项正确； 故选：D. 4.若y＝a|x|与y＝x＋a(a>0)有两个公共点，则a的取值范围是(　　) A．a>1 B．0<a<1 C．a＝1 D．0<a<1或a>1 【答案】A 【解析】y＝x＋a(a>0)表示斜率为1，在y轴上的截距为a(a>0)的直线，y＝a|x|表示关于y轴对称的两条射线．所以当0<a≤1时，只有一个公共点，如图①；当a>1时，有两个公共点，如图②. 故选：A. 5.（多选）(多选)下列结论正确的是(　　) A．方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线 B．直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x1 C．直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y＝y1 D．所有的直线都有点斜式和斜截式方程 【答案】BC 【解析】对于A，方程k＝表示的直线不含点(－1,2)，所以A错误；B，C显然正确；对于D，当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，此时它的方程不能用点斜式和斜截式表示，所以D错误． 故选：BC. 6.(多选）（多选）已知直线，其中不全为0，则下列说法正确的是（    ） A．当时，过坐标原点 B．当时，的倾斜角为锐角 C．当时，和轴平行 D．若直线过点，直线的方程可化为 【答案】AD 【解析】选项A，当时，是方程的解，即过坐标原点，故A正确； 选项B，当时，直线的方程可化为， 则直线的斜率，的倾斜角为钝角，故B错误； 选项C，当时，由不全为0，， 直线的方程可化为， 故直线和轴垂直，不平行，故C错误； 选项D，直线过点，则， 可得，代入直线方程， 得，即，故D正确. 故选：AD. 7.若直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过定点A(6，－2)，则直线l的方程为_____________． 【答案】＋y＝1或＋＝1 【解析】设直线l在y轴上的截距为a(a≠0)， 则在x轴上的截距为a＋1(a≠－1)， 则l的方程为＋＝1， 代入点A(6，－2)得－＝1， 即a2－3a＋2＝0，∴a＝2或a＝1， ∴直线l的方程为＋y＝1或＋＝1 故答案为：＋y＝1或＋＝1 8.已知两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2,3)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程为________________． 【答案】2x＋3y＋4＝0. 【解析】∵两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2,3)， ∴2a1＋3b1＋4＝0,2a2＋3b2＋4＝0， 因此过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线的方程为2x＋3y＋4＝0. 故答案为：2x＋3y＋4＝0 9.已知直线． (1)若直线l不经过第二象限，求k的取值范围． (2)若直线l与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，当△AOB的面积为时（O为坐标原点），求此时相应的直线l的方程． 【答案】(1)；(2)或 【解析】（1）由题意可知直线， 易知直线过定点， 当直线过原点时，可得， 当时，直线不经过第二象限． （2）由题意可知 ∵直线与轴、轴正半轴的交点分别是， ， 当时，由得：， 即：，或， 即：直线的方程为或. 10.如图，已知点A(3,0)，B(0,4)，P是线段AB上的一个动点，PM，PN分别垂直于x轴、y轴，垂足分别是M，N，求矩形OMPN面积的最大值． 【答案】3 【解析】易知线段AB所在直线的方程为＋＝1.而点P在线段AB上，设点P(m，n)，所以＋＝1，其中0≤m≤3,0≤n≤4，从而m＝(4－n)，所以矩形OMPN的面积为mn＝n(4－n)＝[－(n－2)2＋4]，从而当n＝2时，mn取最大值，为×4＝3，即当m＝，n＝2时，矩形OMPN面积的最大值为3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 直线的方程（6大题型） 新课知识点剖析与归纳 1.点斜式方程的推导 如图，直线经过点，且斜率为．设是直线上不同于点的任意一点，因为直线的斜率为，由斜率公式得，即． 2.直线的点斜式方程 方程由直线上一个定点及该直线的斜率确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 【注意】 （1）点斜式的适用条件：①斜率必须存在；②已知直线上一点和直线的斜率． （2）当任意实数时，方程表示恒过定点的无数条直线． 3.两种特殊的直线： (1) (2) 4.求直线点斜式方程的一般步骤： （1）求直线点斜式的步骤为：定点定斜率写出方程 （2）点斜式方程可表示过点的所有直线，但除外． 5.斜截式方程的推导 如图，如果斜率为的直线过点，这时是直线与轴的交点，代入直线的点斜式方程，得，即． 6.直线的斜截式方程 我们把直线与轴的交点为的纵坐标叫做直线在轴上的截距．这样，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，我们把方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 【注意】斜截式的适用条件：斜截式方程适用于斜率存在的直线 7.两点式方程的推导 如果直线经过两点，，则直线的斜率．由直线的点斜式方程得．当时，方程可以写成． 8.直线的两点式方程 设直线经过两点，，则方程叫作直线的两点式方程，简称两点式． 【注意】(1)两点式的适用条件：与x轴、y轴均不垂直的直线; （2）把直线的两点式方程化为，则该方程表示过平面内任意不同两点，的直线． 9.截距式方程的推导 如图，已知直线经过两点，，其中，有直线的两点式方程得，，即． 10、直线的截距式方程 设直线在轴的截距为，在轴的截距为，且，则方程叫作直线的截距式方程，简称截距式． 【注意】(1)截距的概念:①横截距：直线与轴交点的横坐标．在直线方程中，令，解出的值即可．②纵截距：直线与轴交点的纵坐标．在直线方程中，令，解出的值即可． （2）选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直； 11.一般式方程 在平面直角坐标系中，任意一个关于，的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于，的二元一次方程（其中、不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式． 【注意】(1)直线的一般式方程适用于任何一条直线． （2）系数的几何意义 ①当时，方程可以写成它表示斜率为，在轴截上的截距为的直线．特别的，当时，它表示垂直于轴的直线． ②当时，，方程可以写成，它表示垂直于轴的直线． 12.直线方程的五种形式 形式 几何条件 方程 适用范围 点斜式 过一点(x0，y0)，斜率k y－y0＝k(x－x0) 与x轴不垂直的直线 斜截式 纵截距b，斜率k y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 两点式 过两点(x1，y1)，(x2，y2) ＝ 与x轴、y轴均不垂直的直线 截距式 横截距a，纵截距b ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 （A2＋B2≠0） 平面直角坐标系内所有直线 【注意】“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数． 高频考点题型与预习归纳 【题型1 直线的点斜式方程】 【题型2 直线的斜截式方程】 【题型3 直线的两点式方程】 【题型4 直线的截距式方程】 【题型5 直线的一般式方程】 【题型6 五种直线形式的应用】 专项练 【题型1 直线的点斜式方程】 【典例1】过点且斜率为的直线的点斜式方程为(　　) A． B． C． D． 【题型训练1】 1.方程y＝k(x－2)表示(　　) A．通过点(－2,0)的所有直线 B．通过点(2,0)的所有直线 C．通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线 D．通过点(2,0)且除去x轴的所有直线 2．过点且倾斜角为的直线方程为(　　) A． B． C． D． 3．已知一直线经过点A(3，－2)，且与x轴平行，则该直线的方程为(　　) A．x＝3 B．x＝－2 C．y＝3 D．y＝－2 4.将直线y＝x＋－1绕其上面一点(1，)沿逆时针方向旋转15°，所得到的直线的点斜式方程是_____________． 【题型2 直线的斜截式方程】 【典例2】已知直线l的倾斜角为60°，且在y轴上的截距为－2，则此直线的方程为(　　) A．y＝x＋2 B．y＝－x＋2 C．y＝－x－2 D．y＝x－2 【题型训练2】 1.若直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有(　　) A．k>0，b>0 B．k>0，b<0 C．k<0，b>0 D．k<0，b<0 2．已知直线l不经过第三象限，设它的斜率为k，在y轴上的截距为b(b≠0)，则(　　) A．kb<0 B．kb≤0 C．kb>0 D．kb≥0 3．直线y＝x＋k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k的取值范围是________． 4.直线的方程为. (1)证明：直线恒经过第一象限； (2)若直线一定经过第二象限，求a的取值范围． 【题型3直线的两点式方程】 【典例3】经过点的直线的两点式方程为(　　) A． B． C． D． 【题型训练3】 1.经过两点的直线方程都可以表示为(　　) A．＝ B．＝ C． D．＝ 2．经过点A(2,5)，B(－3,6)的直线在x轴上的截距为(　　) A．2 B．－3 C．－27 D．27 3．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l经过点(－1,0)，(1,4)，则直线l的两点式方程是______________． 4.(多选)已知动点P(t，t)，Q(10－t,0)，其中0＜t＜10，定点M(6,1)，N(4,5)，则下列说法中正确的有(　　) A．点M不在直线PQ上　 B．点M可能在直线PQ上 C．点N不在直线PQ上　 D．点N可能在直线PQ上 【题型4 直线的截距式方程】 【典例4】不论k为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点其中m，n是正实数，则的最小值是(　　) A． B． C． D． 【题型训练4】 1.(多选)直线－＝1与直线－＝1在同一平面直角坐标系中的位置可能是(　　) A B C D 2．过点P(4,1)作直线l，分别交x轴的正半轴、y轴的正半轴于点A，B，O为坐标原点，那么当OA＋OB取最小值时，直线l的方程为(　　) A．2x＋y－9＝0　 B．x＋2y－6＝0　 C．3x＋y－13＝0　 D．x＋3y－7＝0 3．已知直线l过点，若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，则直线l的方程是 ． 4.求过点A(3,4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程． 【题型5 直线的一般式方程】 【典例5】已知方程(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0(m∈R)． (1)若方程表示一条直线，求实数m的取值范围； (2)若方程表示的直线的斜率不存在，求实数m的值，并求出此时的直线方程； (3)若方程表示的直线在x轴上的截距为－3，求实数m的值； (4)若方程表示的直线的倾斜角是45°，求实数m的值． 【题型训练5】 1.直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图象大致是(　　) 2．（多选）已知直线（不同时为0），则(　　) A．当时，与轴垂直 B．当时，与轴重合 C．当时，过原点 D．当时，的倾斜角为锐角 3．在y轴上的截距为－6，且倾斜角为45°的直线的一般式方程为______________． 4.设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定m的值： (1)l在x轴上的截距是－3； (2)l的斜率是－1. 【题型6 五种直线形式的应用】 【典例6】已知直线. (1)若直线不经过第三象限，求的取值范围； (2)若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于的面积为（为坐标原点），求的最小值和此时直线的方程. 【题型训练6】 1.直线l的方向向量，且过点，则直线l的方程为(　　) A． B． C． D． 2．已知，满足，则直线必过定点(　　) A． B． C． D． 3．直线l过点P，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点．当△AOB的周长为12时，求直线l的方程． 4.直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)． (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求a的值； (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围． 【专项练】 1.直线y－2＝－(x＋1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为(　　) A．60°，2 B．120°，2－ C．60°，2－ D．120°，2 2.已知直线kx－y＋1－3k＝0，当k变化时，所有的直线恒过定点(　　) A．(1,3) B．(－1，－3) C．(3,1) D．(－3，－1) 3.如图所示，直线与的图象只可能是(　　) A． B． C． D． 4.若y＝a|x|与y＝x＋a(a>0)有两个公共点，则a的取值范围是(　　) A．a>1 B．0<a<1 C．a＝1 D．0<a<1或a>1 5.（多选）(多选)下列结论正确的是(　　) A．方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线 B．直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x1 C．直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y＝y1 D．所有的直线都有点斜式和斜截式方程 6.(多选）（多选）已知直线，其中不全为0，则下列说法正确的是（    ） A．当时，过坐标原点 B．当时，的倾斜角为锐角 C．当时，和轴平行 D．若直线过点，直线的方程可化为 7.若直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过定点A(6，－2)，则直线l的方程为_____________． 8.已知两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2,3)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程为________________． 9.已知直线． (1)若直线l不经过第二象限，求k的取值范围． (2)若直线l与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，当△AOB的面积为时（O为坐标原点），求此时相应的直线l的方程． 10.如图，已知点A(3,0)，B(0,4)，P是线段AB上的一个动点，PM，PN分别垂直于x轴、y轴，垂足分别是M，N，求矩形OMPN面积的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$