专题04 实数重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （华东师大版）

专题04 实数重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优） 题型一 实数概念理解 题型二 实数的分类 题型三 实数的性质 题型四 实数的大小比较 题型五 无理数的估算 题型六 无理数整数部分的有关计算 题型七 实数的混合运算 题型八 程序设计与实数运算 题型九 新定义下的实数运算 题型十 实数运算的实际应用 题型十一 与实数运算相关的规律题 知识点一、有理数与无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 特别说明：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 知识点二、实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 知识点三、实数大小的比较 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 知识点四、实数的运算 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 【经典例题一 实数概念理解】 【例1】（2023·四川凉山·练习作业）在下列实数中，无理数是（　　） A．2 B．0 C． D． 1．（22-23八年级上·河南南阳·期中）2020年3月14日，是全球首个“国际圆周率日（πDay）”．国际圆周率日之所以定在3月14日，是因为“3.14”是与圆周率数值最接近的数字．祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第7位的中国古代科学巨匠，该成果领先世界一千多年．以下关于“圆周率”的四个命题，错误的是（　　） A．圆周率是一个大于3而小于4的无理数 B．圆周率是一个近似数 C．圆周率是一个与圆的大小无关的常数 D．圆周率等于该圆的周长与直径的比值 2．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）给出下列说法：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称有理数；④非负数就是正数；⑤无限小数不都是有理数；⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中正确的说法是 ． 3．（22-23七年级上·全国·单元测试）一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，如一组数1，2，3，4就可以构成一个集合，记为A＝{1，2，3，4}，类比实数有加法运算，集合也可以相加．定义：集合A与集合B中的所有元素组成的集合称为集合A与集合B的和，记为A+B．若A＝{0，1，7}，B＝{﹣3，0，1}，则A+B＝ ． 4．（22-23七年级上·江苏镇江·期中）把下列各数填入表示它所在的数集的大括号：，－…，， ，－，，－，|－4| 正数集合：｛                         …｝； 负无理数集合：｛                      …｝ 整数集合：｛                          …｝； 负分数集合： ｛                      …｝ 【经典例题二 实数的分类】 【例2】（23-24八年级上·湖南永州·阶段练习）下列四个实数，是无理数的为（    ） A．0 B． C． D． 1．（22-23八年级上·吉林长春·期中）在实数，，，，中，有理数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（22-23八年级上·江苏苏州·期末）下列4个数：，，π﹣3.14，，其中无理数有 个． 3．（22-23七年级上·江苏苏州·阶段练习）将下列各数填入相应的括号里： ． 整数集合{                                       …}； 负分数集合{                                       …}； 无理数集合{                                       …}． 4．（23-24七年级下·河南三门峡·期中）把下列各数按要求填入相应的大括号里：（只填写序号） ①，②，③，④，⑤0，⑥，⑦（每相邻两个1之间依次增加一个0），⑧ 负数集合：{          } 非负整数集合：{        } 分数集合：{            } 无理数集合：{            } 【经典例题三 实数的性质】 【例3】（2024·河南濮阳·三模）如图，数轴上点 A 表示的数是（    ） A．3 B．3的相反数 C．3的绝对值 D．3的倒数 1．（22-23七年级下·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．-3与 B．和 C．与 D．3和 2．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）的相反数是 ， ， 3．（23-24七年级下·北京西城·期中）甲乙两人进行如下游戏：现有1、2、3、4、5、6、7、8共8个数，每人每次从中勾去2个数，两人轮流进行．经过3次勾数后，还剩两个数，这时所剩两数之差的绝对值即为先勾数的人所得的分数．若甲先开始且希望自己尽可能多地得分，则甲可以保证自己至少得 分． 4．（23-24七年级下·安徽黄山·期中）阅读下列材料并解决有关问题． 我们知道，．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式. 如化简代数式时，可令和，分别求得，（称分别为与的零点值）．在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况： ； ； ． 从而化简代数式可分以下种情况： 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式． 综上讨论，. 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)分别求出和的零点值； (2)化简． 【经典例题四 实数的大小比较】 【例4】（2024·湖南邵阳·二模）下列实数，，，，，中，其中最小的数是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·全国·假期作业）已知，设，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）在0、、、这四个数中，最小的无理数是 ． 3．（22-23八年级上·陕西西安·期中）比较下列各组数的大小： ； 5； ； ； 4．（23-24七年级下·广东汕头·期中）课堂上，老师出了一道题：比较与的大小 小明的解法如下： 解： 因为，所以 所以，所以 所以 我们把这种比较大小的方法称为作差法，请仿照上述方法，比较和的大小 【经典例题五 无理数的估算】 【例5】（2023上·浙江衢州·七年级统考期中）与实数最接近的整数是（    ） A． B． C． D． 1．（2023上·浙江杭州·七年级统考期中）已知a是的整数部分，b是的小数部分，则的平方根是（    ） A．3 B．±3 C．5 D．±5 2．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）整数，满足，则 ． 3．（2023春·上海浦东新·七年级校考期中）已知，且，则的值为 ． 【经典例题六 无理数整数部分的有关计算】 【例6】（2023上·安徽宿州·八年级统考阶段练习）若a，b分别是的整数部分和小数部分，则的值是（    ） A． B． C． D． 1．（2023下·湖北咸宁·七年级统考期末）大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分．因为的整数部分是．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，故的整数部分为，小数部分为．已知的小数部分为，的小数部分为，则的值为（  ） A．1 B．0 C． D． 2．（2023春·重庆綦江·七年级校联考期中）如果无理数m的值介于两个连续正整数之间，即满足（其中为连续正整数），我们则称无理数m的“雅区间”为，例：，所以的“雅区间”为．若某一无理数的“雅区间”为，且满足，其中是，关于的二元一次方程组的一组正整数解，其中，则p＝ ． 3．（2023春·河北保定·七年级统考期中）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用表示的小数部分，事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．已知：，其中是整数，且， ， ． 【经典例题七 实数的混合运算】 【例7】（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）计算：． 1．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）若实数，满足，则（   ） A．，都是有理数 B．的结果必定为无理数 C．，都是无理数 D．的结果可能为有理数 2．（2024·湖南长沙·模拟预测）8的算术平方根和立方根的积是 3．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）如图，五条线段、、、、分别交于点F、G、H、I、J，图中的10个点分别表示一个有理数，且五条线段上4个点表示的数的和都相等，已知F、G、H、I、J、A表示的数分别是1、2、3、4、5、6，则点表示的数为 ．    4．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）定义：把形如与为有理数且，为正整数且开方开不尽的两个实数称为共轭实数． (1)请你举出一对共轭实数：_________________； (2)与______共轭实数，与______共轭实数；在横线上填“是”或“不是” (3)共轭实数，是有理数还是无理数？为什么？ (4)【变式】若有理数，满足，则______． (5)你发现共轭实数与的和、差有什么规律？ 【经典例题八 程序设计与实数运算】 【例8】（23-24七年级下·天津南开·期末）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的为时，输出的的值是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·河南商丘·阶段练习）有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是5，可发现第1次输出的结果是16，第2次输出的结果是8，第3次输出的结果是4．依次继续下去，第2023次输出的结果是（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 2．（22-23七年级上·浙江衢州·期中）如图所示，若开始输入x等于4，则最后输出的结果y是 ．    3．（22-23七年级上·浙江金华·期中）如图，是一个数值转换器，其工作原理如图所示．      （1）当输入的值为5时，则输出的值为 ； （2）若输出的是且，则输入的的值为 ． 4．（22-23八年级上·河南周口·阶段练习）如图所示的是一个无理数筛选器的工作流程图，根据下面叙述回答相关问题． (1)当x为8时，y的值为______． (2)当输出的y值是时，输入的x值唯一吗？若不唯一，请写出其中两个输入的x值． (3)是否存在输入某个x值后，却始终输不出y值？如果存在，写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由． 【经典例题九 新定义下的实数运算】 【例9】（2023上·甘肃定西·九年级统考阶段练习）定义一种运算“※”：（其中x，y为任意实数）．当时，则的值为（   ） A．7 B． C． D． 1．（2023上·河南开封·七年级金明中小学校考期中）定义新运算“”，规定：，则（    ） A．7 B．25 C． D． 2．（2022上·上海·七年级专题练习）如，我们叫集合M．其中1，2，x叫做集合M的元素，集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如，），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，我们说．已知集合，集合，若，则的值是 ． 3．（2021·上海·九年级专题练习）a是不为1的数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数为；-1的差倒数为；已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…以此类推，则 ． 4．（2022上·上海杨浦·七年级统考期中）阅读下列材料：让我们来规定一种运算：  ，例如：  ，再如：  ．按照这种运算的规定：请解答下列各个问题： (1)  ______． (2)当  时，求x的值． (3)将下面式子进行因式分解：   【经典例题十 实数运算的实际应用】 【例10】（22-23八年级上·贵州毕节·期末）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 1．（22-23七年级下·吉林长春·阶段练习）对于非零的两个数a、b，规定a⊗b=3a﹣b，若（x﹣1）⊗2=4，则x的值为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（22-23九年级上·陕西西安·期中）在比例尺为的地图上，某经济开发区的面积为，那么，该经济开发区的实际面积为 ． 3．（22-23七年级下·福建福州·期中）如图，小正方形的一条边恰好在大正方形的一条边上，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则图中阴影部分的面积为 ．    4．（22-23七年级上·浙江嘉兴·期中）阅读材料：若点，在数轴上分别表示实数，，那么，之间的距离可表示为．例如，即表示3，1在数轴上对应的两点之间的距离；同样：表示5，在数轴上对应的两点之间的距离．根据以上信息，完成下列题目： (1)已知，，为数轴上三点，点对应的数为，点对应的数为1． ①若点对应的数为，则，两点之间的距离为　　； ②若点到点的距离与点到点的距离相等，则点对应的数是　　． (2)对于这个代数式． ①它的最小值为　　； ②若，则的最大值为　　． 【经典例题十一 与实数运算相关的规律题】 【例11】（2023上·四川南充·七年级四川省南部中学校考阶段练习）下列说法正确的有（    ） ①如果则          ②若是四次三项式，则 ③若，则         ④，，，，，，，则的末位数字是9 A．1 B．2 C．3 D．4 1．（2022上·四川巴中·八年级统考期中）a不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则（ ） A． B． C．4 D． 2．（2023上·江苏南通·七年级校联考阶段练习）给出依次排列的一列数：，，﹣，，﹣，，…，按照此规律，第n个数为 ． 3．（2023上·福建泉州·八年级校考阶段练习），，，……，其中为正整数，则的值是 ． 4．（2024下·全国·七年级假期作业）观察下列等式，利用你发现的规律解答下列问题： ， ， , ， … (1)计算：； (2)试比较与的大小． 1．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）下列数中，有理数是（　　） A．﹣ B．﹣0.6 C．2π D．0．151151115… 2．（22-23八年级上·河南洛阳·期中）的相反数是（　　） A． B． C． D．5 3．（22-23八年级下·山西太原·期中）实数在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 4．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）已知按照一定规律排成的一列实数： ﹣1，，，﹣2，，，﹣，，，﹣，…则按此规律可推得这一列数中的第2021个数应是（    ） A． B．﹣ C． D．2021 5．（2023八年级上·江苏·专题练习）对于实数，我们规定表示不大于的最大整数，如，，，现对82进行如下操作： ，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对121只需进行多少次操作后变为1（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（22-23八年级·北京昌平·期末）1.2﹣的绝对值是 ． 7．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）如图：数轴上表示的点和表示的点之间的整数点有 个 8．（22-23七年级下·江西上饶·阶段练习）如图是一个数值转换器．输入一个两位数x，恰好经过三次取算术平方根才能输出无理数y，则x＝ ． 9．（22-23七年级下·全国·课后作业）有四个实数分别是，请你计算其中有理数的和与无理数的积的差，其计算后的结果为 ． 10．（22-23八年级上·广西桂林·期末）观察下列各式的特点： ①，，，，……； ②，，，，……， 计算： ． 11．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）计算：． 12．（23-24七年级上·江苏常州·阶段练习）把下列各数按要求填入相应的大括号里： ，，，0，，，，． 非正整数集合：{ …}； 负分数集合：{ …}； 负数集合：{ …}； 无理数集合：{ …}． 13．（22-23七年级上·浙江金华·期中）①将下列各数在数轴上表示出来：，，，． ②将上面几个数用“”连接起来．    14．（23-24七年级下·重庆巴南·阶段练习）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据、、的规律，直接写出的值：______； (2)猜想____________； (3)计算的值． 15．（22-23八年级上·江苏苏州·阶段练习）数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的途径之一．请你先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题： 问题情境：设a，b是有理数，且满足，求的值． 解：由题意得， ∵a，b都是有理数， ∴也是有理数， ∵是无理数， ∴， ∴， ∴ 解决问题：设x，y都是有理数，且满足，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 实数重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优） 题型一 实数概念理解 题型二 实数的分类 题型三 实数的性质 题型四 实数的大小比较 题型五 无理数的估算 题型六 无理数整数部分的有关计算 题型七 实数的混合运算 题型八 程序设计与实数运算 题型九 新定义下的实数运算 题型十 实数运算的实际应用 题型十一 与实数运算相关的规律题 知识点一、有理数与无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 特别说明：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 知识点二、实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 知识点三、实数大小的比较 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 知识点四、实数的运算 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 【经典例题一 实数概念理解】 【例1】（2023·四川凉山·练习作业）在下列实数中，无理数是（　　） A．2 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】A、2是整数，是有理数，选项错误； B、0是整数，是有理数，选项错误； C、是开方开不尽的数，是无理数，选项正确； D、是循环小数，是有理数，选项错误． 故选C． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0．1010010001…，等有这样规律的数． 1．（22-23八年级上·河南南阳·期中）2020年3月14日，是全球首个“国际圆周率日（πDay）”．国际圆周率日之所以定在3月14日，是因为“3.14”是与圆周率数值最接近的数字．祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第7位的中国古代科学巨匠，该成果领先世界一千多年．以下关于“圆周率”的四个命题，错误的是（　　） A．圆周率是一个大于3而小于4的无理数 B．圆周率是一个近似数 C．圆周率是一个与圆的大小无关的常数 D．圆周率等于该圆的周长与直径的比值 【答案】B 【分析】根据实数的分类和π的特点进行解答即可得出答案． 【详解】解：A、圆周率是一个大于3而小于4的无理数，是真命题； B、圆周率是一个无理数，原命题是假命题； C、圆周率是一个与圆的大小无关的常数，是真命题； D、圆周率等于该圆的周长与直径的比值，是真命题； 故选：B． 【点睛】此题考查了实数，熟练掌握实数的分类和“π”的意义是解题的关键． 2．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）给出下列说法：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称有理数；④非负数就是正数；⑤无限小数不都是有理数；⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中正确的说法是 ． 【答案】2 【分析】根据实数的分类逐个分析即可解答． 【详解】解：①整数包括正整数和负整数，则0是最小的整数,故①错误； ②有理数分为正数、负数和0,故②错误； ③正整数、负整数、正分数、负分数、0统称为有理数，故③错误； ④非负数包含正数和0，故④错误； ⑤无限小数不都是有理数，无限不循环小数是无理数，循环小数一定是有理数；故⑤正确； ⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．正确； 综上，正确的有⑤和⑥，共2个． 故答案为2． 【点睛】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握实数的相关概念是解题的关键． 3．（22-23七年级上·全国·单元测试）一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，如一组数1，2，3，4就可以构成一个集合，记为A＝{1，2，3，4}，类比实数有加法运算，集合也可以相加．定义：集合A与集合B中的所有元素组成的集合称为集合A与集合B的和，记为A+B．若A＝{0，1，7}，B＝{﹣3，0，1}，则A+B＝ ． 【答案】{﹣3，0，1，7} 【分析】利用集合的定义及集合A与集合B的和求解即可． 【详解】∵A={0，1，7}，B={-3，0，1}， ∴由集合的定义，可得A+B={-3，0，1，7}． 故答案为{-3，0，1，7}． 【点睛】本题主要考查了实数，解题的关键是正确理解集合的定义． 4．（22-23七年级上·江苏镇江·期中）把下列各数填入表示它所在的数集的大括号：，－…，， ，－，，－，|－4| 正数集合：｛                         …｝； 负无理数集合：｛                      …｝ 整数集合：｛                          …｝； 负分数集合： ｛                      …｝ 【答案】见解析 【分析】把|-4|先化简,利用正数、整数、无理数、负分数的意义,直接选择填入相对应的括号内即可. 【详解】正数集合： ｛， ，|－4|， …｝    无理数集合：｛  ， …｝    整数集合： ｛，，|－4| ， …｝    负分数集合：｛－3.171717…，－，－， …｝ 【点睛】此题考查了实数,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 【经典例题二 实数的分类】 【例2】（23-24八年级上·湖南永州·阶段练习）下列四个实数，是无理数的为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据无理数的定义逐一进行判断即可． 本题主要考查了无理数的定义，实数分为有理数和无理数，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，无限不循环小数为无理数，本题中带根号且开不尽的是无理数． 【详解】A. 0是有理数，故A选项不符合题意； B. 是无理数，故B选项符合题意； C. 是有理数，故C选项不符合题意； D. 是有理数，故D选项不符合题意． 故选：B． 1．（22-23八年级上·吉林长春·期中）在实数，，，，中，有理数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据有理数的意义，即可解答． 【详解】解：在实数，，，，中， 有理数有，，共有2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了实数的分类，熟练掌握有理数的意义（有限小数或无限循环小数）是解题的关键． 2．（22-23八年级上·江苏苏州·期末）下列4个数：，，π﹣3.14，，其中无理数有 个． 【答案】2 【分析】是无限循环小数，是分数，π﹣3.14是无理数，是开方不尽数，是无理数． 【详解】∵是无限循环小数，是有理数；是分数，是有理数，π﹣3.14是无理数，是开方不尽数，是无理数． ∴有两个无理数， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了有理数，无理数，熟练掌握无理数，有理数的定义及其分类标准是解题的关键． 3．（22-23七年级上·江苏苏州·阶段练习）将下列各数填入相应的括号里： ． 整数集合{                                       …}； 负分数集合{                                       …}； 无理数集合{                                       …}． 【答案】见解析． 【分析】先化简，后根据整数包括正整数，0，负整数；负分数，无理数的定义去判断解答即可． 【详解】∵-|-0.7|=-0.7，是负分数，-（-9）=9，是整数，是负分数， 0是整数，8是整数，-2是整数，是无理数，是正分数，是无限不循环小数，是无理数，是无限循环小数，是有理数，是负分数， ∴整数集合{  -（-9），0，8， -2 …}； 负分数集合{   -|-0.7|， ，     …}； 无理数集合{           ， …}． 故答案为：-（-9），0，8，    -2  ；   -|-0.7|，    ，    ；     ，     …． 【点睛】本题考查了有理数，无理数，熟练掌握各数的定义，特征，并合理化简判断是解题的关键． 4．（23-24七年级下·河南三门峡·期中）把下列各数按要求填入相应的大括号里：（只填写序号） ①，②，③，④，⑤0，⑥，⑦（每相邻两个1之间依次增加一个0），⑧ 负数集合：{          } 非负整数集合：{        } 分数集合：{            } 无理数集合：{            } 【答案】①③④；⑤⑥；②③⑧；④⑦ 【分析】本题考查了实数，利用实数的分类是解题关键； 根据实数的分类，可得答案； 【详解】解：负数集合：{①③④}； 非负整数集合：{⑤⑥}； 分数集合：{②③⑧}； 无理数集合：{④⑦}， 故答案为：①③④；⑤⑥；②③⑧；④⑦． 【经典例题三 实数的性质】 【例3】（2024·河南濮阳·三模）如图，数轴上点 A 表示的数是（    ） A．3 B．3的相反数 C．3的绝对值 D．3的倒数 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，相反数的意义，绝对值的定义以及倒的定义，数轴上点 A 表示的数是，根据相反数的定义即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题可知，数轴上点 A 表示的数是，即3的相反数， 故选：B． 1．（22-23七年级下·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．-3与 B．和 C．与 D．3和 【答案】C 【分析】先依据相反数和绝对值的定义化简各数，然后再依据相反数的定义进行判断即可． 【详解】解：A、-3的相反数是3，故A不符合题意 B、|-3|=3，3的相反数是-3，故B不符合题意； C、=，的相反数是，故C符合题意； D、=3，3的相反数是-3，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查相反数定义，即相加为0的两个数互为相反数，要注意细心运算每个选项． 2．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）的相反数是 ， ， 【答案】 【分析】根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数）、绝对值的性质、立方根的性质即可得． 【详解】解：的相反数是， ， ， 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了相反数、绝对值、立方根，熟练掌握各性质是解题关键． 3．（23-24七年级下·北京西城·期中）甲乙两人进行如下游戏：现有1、2、3、4、5、6、7、8共8个数，每人每次从中勾去2个数，两人轮流进行．经过3次勾数后，还剩两个数，这时所剩两数之差的绝对值即为先勾数的人所得的分数．若甲先开始且希望自己尽可能多地得分，则甲可以保证自己至少得 分． 【答案】5 【分析】此题考查最佳对策问题，实数，注意比赛的规则和数据的特点，灵活选用适当的方法解答； 通过分析可知：，甲要划掉4个连续的自然数一开始可能会试着操作，但不管怎么样，甲想让自己的得分高，就要划掉中间的．而乙不让他得分高，就要想办法划掉两侧的．但不管划掉哪一侧的，乙一定得划掉一串数的两端，至于哪一端，甚至哪一端的某几个数，最后乙划掉的这些数一定是整个数列的两端的数．这样甲的得分就可以保证至少5分， 【详解】，甲要划掉4个连续的自然数．一开始可能会试着操作，但不管怎么样，甲想让自己的得分高，就要划掉中间的． 而乙不让他得分高，就要想办法划掉两侧的．但不管划掉哪一侧的，乙一定得划掉一串数的两端，至于哪一端，甚至哪一端的某几个数，最后乙划掉的这些数一定是整个数列的两端的数． 甲第一次勾掉这2个数，将剩下的数两两配对：，同一对两数之差为5．在每次勾掉2个数之后，甲的策略是甲勾掉的2个数与乙勾掉的2个数恰好组成上述3对数中的2对，这样一来，余下的两个数必须是上述3对数中的一对，这两个数之差必为5．可见甲可保证自己得5分． 故答案为：5． 4．（23-24七年级下·安徽黄山·期中）阅读下列材料并解决有关问题． 我们知道，．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式. 如化简代数式时，可令和，分别求得，（称分别为与的零点值）．在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况： ； ； ． 从而化简代数式可分以下种情况： 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式． 综上讨论，. 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)分别求出和的零点值； (2)化简． 【答案】(1)和的零点值分别为、； (2)． 【分析】（）令和，求出的值即可求解； （）根据零点值分、和三种情况解答即可求解； 本题考查了绝对值的性质，解绝对值方程，理解零点值的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：令和， 解得，， 和的零点值分别为、； （2）解：在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况：、和， 当时，； 当时，；     当时，； 综上，． 【经典例题四 实数的大小比较】 【例4】（2024·湖南邵阳·二模）下列实数，，，，，中，其中最小的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了实数比较大小的方法，解题的关键是熟记实数比较大小的方法． 由实数比较大小的方法求解即可． 【详解】解：， ∴最小的数是． 故选：D． 1．（23-24七年级下·全国·假期作业）已知，设，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】略 2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）在0、、、这四个数中，最小的无理数是 ． 【答案】 【分析】本题考查实数大小的比较，解题的关键是掌握实数大小比较的基本方法． 从四个数中先找出无理数，再根据实数大小比较的法则进行比较即可得出答案． 【详解】解： 0，是整数，属于有理数；，是无理数． ，， ， 最小的无理数是， 故答案为：． 3．（22-23八年级上·陕西西安·期中）比较下列各组数的大小： ； 5； ； ； 【答案】 【分析】根据实数比较大小的方法进行求解即可． 【详解】解：； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：；；；． 【点睛】本题主要考查了实数比较大小，熟知实数比较大小的方法是解题的关键． 4．（23-24七年级下·广东汕头·期中）课堂上，老师出了一道题：比较与的大小 小明的解法如下： 解： 因为，所以 所以，所以 所以 我们把这种比较大小的方法称为作差法，请仿照上述方法，比较和的大小 【答案】 【分析】本题考查了作差比较大小，掌握作差的方法是解题的关键．直接作差，再通分计算即可． 【详解】解： ， ， ， ， ． 故答案为：． 【经典例题五 无理数的估算】 【例5】（2023上·浙江衢州·七年级统考期中）与实数最接近的整数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查无理数的估算，先估算的取值范围，然后进行计算比较即可，能够掌握无理数估算的方法，正确估算出的取值范围是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即：， ∴， ∴最接近的整数， 故选：． 1．（2023上·浙江杭州·七年级统考期中）已知a是的整数部分，b是的小数部分，则的平方根是（    ） A．3 B．±3 C．5 D．±5 【答案】D 【分析】本题考查估算无理数大小，平方根，代数式求值．先通过估算无理数求得到a、b值，再代入求出代数式值，然后根据平方根定义求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵a是的整数部分，b是的小数部分 ∴， ∴ ∴的平方根 故选：D． 2．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）整数，满足，则 ． 【答案】2或3 【分析】根据算术平方根的定义估算无理数、的大小，进而确定的整数值． 【详解】解：，，而整数，满足， 或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查估算无理数的大小，掌握无理数的估算方法是正确解答的前提． 3．（2023春·上海浦东新·七年级校考期中）已知，且，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据题意得出，再根据完全平方公式计算，得出答案即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查完全平方公式，无理数的估算．正确变形是解题的关键． 【经典例题六 无理数整数部分的有关计算】 【例6】（2023上·安徽宿州·八年级统考阶段练习）若a，b分别是的整数部分和小数部分，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了与无理数整数部分，小数部分有关的计算． 先估算出，进而得到，由此求出a、b的值即可得到答案． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴的整数部分，小数部分， ∴． 故选：B 1．（2023下·湖北咸宁·七年级统考期末）大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分．因为的整数部分是．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，故的整数部分为，小数部分为．已知的小数部分为，的小数部分为，则的值为（  ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】根据无理数的估算方法分别表示出a和b，再代入计算即可． 【详解】∵，， ∴，， ∴的整数部分为8，的整数部分为1， ∵的小数部分为，的小数部分为， ∴，， ∴． 故选A． 【点睛】此题考查了估算无理数的大小，先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． 2．（2023春·重庆綦江·七年级校联考期中）如果无理数m的值介于两个连续正整数之间，即满足（其中为连续正整数），我们则称无理数m的“雅区间”为，例：，所以的“雅区间”为．若某一无理数的“雅区间”为，且满足，其中是，关于的二元一次方程组的一组正整数解，其中，则p＝ ． 【答案】127 【分析】先利用“雅区间”满足求得连续正整数的值，再利用是正整数和找出符合要求的正整数的值计算即可． 【详解】解：∵，为连续正整数， ∴或或或或或或或， ∵，关于的二元一次方程组的一组正整数解，其中， ∴，且是正整数， ∴， ∴． 故答案为：127． 【点睛】本题考查了无理数的估算，二元一次方程的解，抓住为连续正整数和是正整数是解题的关键． 3．（2023春·河北保定·七年级统考期中）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用表示的小数部分，事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．已知：，其中是整数，且， ， ． 【答案】 【分析】根据，，且，是整数，可以确定出和的值． 【详解】解：，，且，是整数， ，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了无理数的估算，确定无理数的整数部分是解答本题的关键． 【经典例题七 实数的混合运算】 【例7】（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，先进行乘方，开方运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式． 1．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）若实数，满足，则（   ） A．，都是有理数 B．的结果必定为无理数 C．，都是无理数 D．的结果可能为有理数 【答案】D 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解答本题的关键． 根据实数的运算法则，逐项进行判断分析即可． 【详解】解：A、当时，，是有理数，是无理数，故A错误； B、当，那么，所以B错误； C、当时，是有理数，故选项C错误； D、当，那么，所以选项正确，D正确． 故选：D． 2．（2024·湖南长沙·模拟预测）8的算术平方根和立方根的积是 【答案】 【分析】此题考查了实数的混合运算，求出算术平方根和立方根，再计算乘法即可． 【详解】解：∵， ∴8的算术平方根和立方根的积是， 故答案为： 3．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）如图，五条线段、、、、分别交于点F、G、H、I、J，图中的10个点分别表示一个有理数，且五条线段上4个点表示的数的和都相等，已知F、G、H、I、J、A表示的数分别是1、2、3、4、5、6，则点表示的数为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算问题，熟练掌握相关运算法则是解决本题的关键． 设C、D、E表示的数分别为：c、d、e，根据五条线段上4个点表示的数的和都相等列等式计算即可． 【详解】解：设C、D、E表示的数分别为：c、d、e，根据题意得：，解得：， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 4．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）定义：把形如与为有理数且，为正整数且开方开不尽的两个实数称为共轭实数． (1)请你举出一对共轭实数：_________________； (2)与______共轭实数，与______共轭实数；在横线上填“是”或“不是” (3)共轭实数，是有理数还是无理数？为什么？ (4)【变式】若有理数，满足，则______． (5)你发现共轭实数与的和、差有什么规律？ 【答案】(1) 与 (2)不是；是 (3)共轭实数 ， 是无理数，详见解析 (4) (5)共轭实数 与 的和是一个有理数，它们的差是一个无理数 【分析】本题考查的是实数的运算，掌握新概念是解决此题关键． （1）根据题意写出一对共轭实数即可； （2）利用新定义判断即可； （3）根据新定义得共轭实数是无理数； （4）由得，然后根据有理数、无理数的概念即可得到答案； （5）根据实数的运算计算即可． 【详解】（1）解：与 是一对共轭实数， 故答案为：与（答案不唯一）； （2）与 不是共轭实数， 与 是共轭实数， 故答案为：不是，是； （3）解：共轭实数， 是无理数，理由如下： ∵是开方开不尽的数， ∴无理数，而是不等于0的有理数， ∴是无理数，有理数加上或减去一个无理数，其结果仍是无理数； （4）解：由得， ∵a、为有理数， ∴为有理数， ∴必为有理数方能与相等，而为有理数， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：4； （5）解：， ， ∴共轭实数 与 的和是一个有理数，它们的差是一个无理数 ． 【经典例题八 程序设计与实数运算】 【例8】（23-24七年级下·天津南开·期末）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的为时，输出的的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根，有理数，无理数的定义，解题的关键是掌握相关的知识．根据数值转换器，输入进行计算即可． 【详解】解：第次计算得：，而是有理数， 第次计算得：，而是有理数， 第次计算得：，是无理数， 故选：D． 1．（23-24七年级上·河南商丘·阶段练习）有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是5，可发现第1次输出的结果是16，第2次输出的结果是8，第3次输出的结果是4．依次继续下去，第2023次输出的结果是（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据程序框图的运算规则依次运算找到规律即可解答． 【详解】解：由于开始输入x的值是5，可发现第1次输出的结果是16，第2次输出的结果是8，第3次输出的结果是4， 第次输出的结果是， 第次输出的结果是， 第次输出的结果是， 第次输出的结果是， 故从第3次开始，3次一个循环，分别是， ， 第2023次输出的结果是2． 故选C． 【点睛】本题考查了代数式求值在程序框图的应用，知道运算规则是解题的关键． 2．（22-23七年级上·浙江衢州·期中）如图所示，若开始输入x等于4，则最后输出的结果y是 ．    【答案】 【分析】把代入程序中计算，判断结果是无理数还是有理数，以此类推，得到结果是无理数，输出即可． 【详解】解：把代入运算程序得：，是有理数， 把代入运算程序得：，是无理数， 则输出的数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查求一个数的算术平方根与程序框图，读懂程序框图，根据计算程序得到结果是解题关键． 3．（22-23七年级上·浙江金华·期中）如图，是一个数值转换器，其工作原理如图所示．      （1）当输入的值为5时，则输出的值为 ； （2）若输出的是且，则输入的的值为 ． 【答案】 或 【分析】（1）把代入进行计算即可； （2）根据题意可得：若经过一次转换，则；若经过两次转换，则；若经过三次转换，则，根据，即可得出结论． 【详解】解：（1）输入的值为5时， ， 取算术平方根：， ∵是无理数， ∴输出的值为， 故答案为：； （2）根据题意可得： 若经过一次转换：， 则，解得：或， ∵， ∴或均不符合题意； 若经过两次转换：， 则，解得：或， 若经过三次转换：， 则，解得：或， ∵， ∴或均不符合题意； 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，程序图，解题的关键是理解题目所给程序的运算顺序以及实数混合运算的运算顺序和运算法则． 4．（22-23八年级上·河南周口·阶段练习）如图所示的是一个无理数筛选器的工作流程图，根据下面叙述回答相关问题． (1)当x为8时，y的值为______． (2)当输出的y值是时，输入的x值唯一吗？若不唯一，请写出其中两个输入的x值． (3)是否存在输入某个x值后，却始终输不出y值？如果存在，写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)x的值不唯一，x=3或x=27 (3)存在，1，0，或-1 【分析】（1）根据运算的定义即可直接求解； （2）立方根逆运算即可． （3）始终输不出y值，则x的任何次方根都是有理数，则只有1，0，或-1． 【详解】（1）， 则y=； （2）答案不唯一． x＝或 x＝． 故答案是3或27． （3）当输入的x=-1、0和1时，取它们的立方根始终是-1、0和1，是有理数， ∴输入的x=-1、0和1时，始终输不出 y值 【点睛】本题考查立方根以及无理数，正确理解题目中规定的运算是解题的关键． 【经典例题九 新定义下的实数运算】 【例9】（2023上·甘肃定西·九年级统考阶段练习）定义一种运算“※”：（其中x，y为任意实数）．当时，则的值为（   ） A．7 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义下的实数运算．理解新定义的运算，整体代入是解题的关键． 由题意知 ，，即，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知 ，， ∴， ∴， 故选：C． 1．（2023上·河南开封·七年级金明中小学校考期中）定义新运算“”，规定：，则（    ） A．7 B．25 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查新定义的运算，根据指定的运算顺序和运算法则进行有理数的计算就可以了． 【详解】解：， ∴， 故选：D． 2．（2022上·上海·七年级专题练习）如，我们叫集合M．其中1，2，x叫做集合M的元素，集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如，），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，我们说．已知集合，集合，若，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据集合的定义和集合相等的条件即可判断． 【详解】∵，， ∴，， ∴，即， ∴，或，， ∴或（舍去）， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题以集合为背景考查了代数式求值，关键是根据集合的定义和性质求出和的值． 3．（2021·上海·九年级专题练习）a是不为1的数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数为；-1的差倒数为；已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…以此类推，则 ． 【答案】3 【分析】根据题意先分别求出a2，a3，a4的值，进而得出变化规律，即可得出答案． 【详解】解：∵a1＝3，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…， ∴a2＝ ＝－， ∴a3＝＝， ∴a4＝＝3， … ∵2020÷3＝673…1， ∴第2020个数与第1个数相等， ∴a2020＝3． 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了实数的运算以及差倒数的定义，正确得出数字变化规律是解题关键． 4．（2022上·上海杨浦·七年级统考期中）阅读下列材料：让我们来规定一种运算：  ，例如：  ，再如：  ．按照这种运算的规定：请解答下列各个问题： (1)  ______． (2)当  时，求x的值． (3)将下面式子进行因式分解：   【答案】(1)14 (2) (3) 【分析】（1）先按新运算的规定方法计算，再作有理数的混合运算； （2）先按新运算的规定方法展开等号左边，再解方程即可； （3）先按新运算的规定方法展开，再把看作一个整体展开，而后按二次项系数是“1”的二次三项式的因式分解方法分解因式． 【详解】（1）原式， 故答案为：14； （2）由题意得，， 解得：； （3）原式 ． 【点睛】本题主要考查了定义新运算，解决问题的关键是熟练掌握新定义，有理数的运算，整式的运算，解方程，换元法，因式分解． 【经典例题十 实数运算的实际应用】 【例10】（22-23八年级上·贵州毕节·期末）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据求一个数算术平方根和乘方运算，即可一一判定． 【详解】解：A.，故该选项不成立； B.，故该选项不成立； C.，故该选项成立； D.，故该选项不成立； 故选：C． 【点睛】本题考查了一个数算术平方根和乘方运算法则，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键． 1．（22-23七年级下·吉林长春·阶段练习）对于非零的两个数a、b，规定a⊗b=3a﹣b，若（x﹣1）⊗2=4，则x的值为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【详解】根据题意得:3（x-1）-2=4,3x-3-2=4,3x=9,x=3,故选C. 2．（22-23九年级上·陕西西安·期中）在比例尺为的地图上，某经济开发区的面积为，那么，该经济开发区的实际面积为 ． 【答案】3.2 【分析】结合题意，根据乘方的性质，首先计算得该经济开发区的实际面积，在根据实数的性质计算，即可得到答案. 【详解】根据题意，该经济开发区的实际面积 ∵， ∴该经济开发区的实际面积． 故答案为：3.2. 【点睛】本题考查了实数的知识；解题的关键是熟练掌握实数运算的性质，从而完成求解. 3．（22-23七年级下·福建福州·期中）如图，小正方形的一条边恰好在大正方形的一条边上，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则图中阴影部分的面积为 ．    【答案】 【分析】根据题意可知阴影部分可看作高为1，底为的三角形，求解即可； 【详解】解：大正方形的面积为：，小正方形的面积为：1； 阴影部分的面积为：； 故答案为：. 【点睛】本题主要考查实数混合运算的应用，正确列出算式是解题的关键. 4．（22-23七年级上·浙江嘉兴·期中）阅读材料：若点，在数轴上分别表示实数，，那么，之间的距离可表示为．例如，即表示3，1在数轴上对应的两点之间的距离；同样：表示5，在数轴上对应的两点之间的距离．根据以上信息，完成下列题目： (1)已知，，为数轴上三点，点对应的数为，点对应的数为1． ①若点对应的数为，则，两点之间的距离为　　； ②若点到点的距离与点到点的距离相等，则点对应的数是　　． (2)对于这个代数式． ①它的最小值为　　； ②若，则的最大值为　　． 【答案】(1)①3；② (2)①7；②4 【分析】（1）①根据两点间的距离公式解答即可；②根据两点间的距离公式解答即可； （2）①根据两点间的距离的几何意义解答；②根据两点间的距离公式填空． 【详解】（1）解：①，两点之间的距离为； 故答案为：3； ②设点对应的数是， 则有， 解得或1（舍去）， 故答案为：； （2）解：①根据数轴的几何意义可得和3之间的任何一点均能使取得的值最小， 当时，的最小值为7． 故答案为：7； ②， ，， ， 的最大值为4． 故答案为：4． 【点睛】此题主要考查了绝对值的意义，实数与数轴，解题的关键是了解两点间的距离公式和两点间距离的几何意义． 【经典例题十一 与实数运算相关的规律题】 【例11】（2023上·四川南充·七年级四川省南部中学校考阶段练习）下列说法正确的有（    ） ①如果则          ②若是四次三项式，则 ③若，则         ④，，，，，，，则的末位数字是9 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】①根据等式的性质求解； ②根据四次三项式的定义列方程求解； ③根据有理数的乘法得出、的关系，再求解； ④根3的幂的个位数找出规律，再计算求解． 【详解】解：①， ， 故①是错误的； ②若是四次三项式， 则，且， 解得：， ②是错误的； ③若，则异号， 则， ③是正确的； ④，，，，，， ， ， 的末位数字是9，故④是正确的， 故选：B． 【点睛】本题考查了等式的意义，四次三项式的定义，数字规律，有理数加法，掌握相关概念以及规律是解题的关键． 1．（2022上·四川巴中·八年级统考期中）a不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则（ ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】根据新定义：称为的差倒数即可解答． 【详解】解：∵已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数， ∴， ， ， ∴这组数据每个数为一个循环组依次循环， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了实数的新定义—差倒数，根据题意找出数据之间规律是解题的关键． 2．（2023上·江苏南通·七年级校联考阶段练习）给出依次排列的一列数：，，﹣，，﹣，，…，按照此规律，第n个数为 ． 【答案】 【分析】分别从符号、分子、分母三个方面找规律求解． 【详解】解：从符号来看：奇负偶正，可用表示， 从分子来看：都是2的正整数次幂，即， 从父母来看：比大1，即， 故第个数为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数字的变换类，找到数字的变化规律是解题的关键． 3．（2023上·福建泉州·八年级校考阶段练习），，，……，其中为正整数，则的值是 ． 【答案】 【分析】先求出，，，的值，代入原式利用算术平方根和公式进行化简与计算，即可求解． 【详解】解：，，， ， ， ，， ． 故答案为． 【点睛】本题考查数式规律问题、算术平方根、有理数的加减混合运算等知识点，熟练掌握数式规律问题、算术平方根、有理数的加减混合运算等知识点是解题的关键． 4．（2024下·全国·七年级假期作业）观察下列等式，利用你发现的规律解答下列问题： ， ， , ， … (1)计算：； (2)试比较与的大小． 【答案】(1)2022 (2) 【详解】解：（1）原式 ． （2）， ， ． 又, ， ， ． 1．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）下列数中，有理数是（　　） A．﹣ B．﹣0.6 C．2π D．0．151151115… 【答案】B 【分析】根据有理数的定义选出即可． 【详解】解：A、﹣是无理数，故选项错误； B、﹣0.6是有理数，故选项正确； C、2π是无理数，故选项错误； D、0．l51151115…是无理数，故选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了实数，注意有理数是指有限小数和无限循环小数，包括整数和分数． 2．（22-23八年级上·河南洛阳·期中）的相反数是（　　） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】直接利用相反数的定义得出答案． 【详解】由相反数的定义可得：﹣的相反数是． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键． 3．（22-23八年级下·山西太原·期中）实数在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数轴得a<0<b，且，再根据实数的加法法则，减法法则依次判断即可. 【详解】由数轴得a<0<b，且， ∴a+b<0，a-b<0， 故A正确，B、C、D错误， 故选：A. 【点睛】此题考查数轴，实数的大小比较，实数的绝对值的性质，加法法则，减法法则. 4．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）已知按照一定规律排成的一列实数： ﹣1，，，﹣2，，，﹣，，，﹣，…则按此规律可推得这一列数中的第2021个数应是（    ） A． B．﹣ C． D．2021 【答案】A 【分析】根据题目中的数字，可以发现数字的变化特点，从而可以得到这一列数中的第2021个数． 【详解】解：∵一列实数：﹣1，，，﹣2，，，﹣，，，﹣，…， ∴每三个数为一组，每组出现的特点一样，依次是这个数的负的算术平方根、算术平方根、立方根， ∵2021÷3＝673…2， ∴这一列数中的第2021个数应是， 故选：A． 【点睛】此题主要考查实数的规律探索，解题的关键是根据已知的式子发现规律求解． 5．（2023八年级上·江苏·专题练习）对于实数，我们规定表示不大于的最大整数，如，，，现对82进行如下操作： ，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对121只需进行多少次操作后变为1（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据新定义逐次计算即可得到答案． 【详解】解：， 对121只需进行3次操作后变为1． 故本题选：C． 【点睛】本题考查无理数的估算，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解新定义的运算规则． 6．（22-23八年级·北京昌平·期末）1.2﹣的绝对值是 ． 【答案】﹣1.2 【分析】根据绝对值是大数减小数，可得绝对值． 【详解】1.2-绝对值是-1.2 【点睛】本题考查的知识点是实数的性质，解题的关键是熟练的掌握实数的性质. 7．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）如图：数轴上表示的点和表示的点之间的整数点有 个 【答案】4 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，熟练掌握利用夹逼法估算无理数的大小是解题的关键． 先估算出和的取值范围，再找出它们之间的整数个数即可． 【详解】解：， 即， ， ， 即， 数轴上表示的点和表示的点之间的整数点有，，，，共个， 故答案为：． 8．（22-23七年级下·江西上饶·阶段练习）如图是一个数值转换器．输入一个两位数x，恰好经过三次取算术平方根才能输出无理数y，则x＝ ． 【答案】16或81 【分析】写出一个无理数，平方是有理数，然后三次平方即可． 【详解】解：∵，； 故答案为:16或81 【点睛】本题考查无理数，正确理解题目中规定的运算是关键． 9．（22-23七年级下·全国·课后作业）有四个实数分别是，请你计算其中有理数的和与无理数的积的差，其计算后的结果为 ． 【答案】 【分析】根据有理数和无理数的概念列出式子，再根据实数的运算顺序进行计算． 【详解】解：四个实数分别为中有理数为32，-23；无理数为； 有理数的和与无理数的积的差为-8+9-×=-1． 故答案为：-1． 【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 10．（22-23八年级上·广西桂林·期末）观察下列各式的特点： ①，，，，……； ②，，，，……， 计算： ． 【答案】 【分析】由，，，，可以推出，则，再推出，由此求解即可． 【详解】解：∵，，，， ∴可以推出， ∴ ， ∵，，，， ∴可以推出， ∴原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了与实数运算相关的规律题，正确根据题意得到规律是解题的关键． 11．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握相关的运算法则．先算乘方，再算加减即可． 【详解】解： 12．（23-24七年级上·江苏常州·阶段练习）把下列各数按要求填入相应的大括号里： ，，，0，，，，． 非正整数集合：{ …}； 负分数集合：{ …}； 负数集合：{ …}； 无理数集合：{ …}． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了实数分类，掌握有理数与无理数统称实数，整数与分数统称有理数是解题的关键． 先化简，分别根据非正整数、负分数、负数、无理数的定义作答即可． 【详解】解： 非正整数集合：； 负分数集合：； 负数集合：； 无理数集合：． 13．（22-23七年级上·浙江金华·期中）①将下列各数在数轴上表示出来：，，，． ②将上面几个数用“”连接起来．    【答案】①见解析；② 【分析】先根据绝对值以及有理数的乘方化简，然后将各数表示在数轴上； ②根据轴右边的数大于左边的数，比较大小，即可求解． 【详解】解：①如图所示，，,    ② 【点睛】本题考查了实数的大小比较，实数与数轴，熟练掌握实数的大小比较是解题的关键． 14．（23-24七年级下·重庆巴南·阶段练习）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据、、的规律，直接写出的值：______； (2)猜想____________； (3)计算的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查与实数运算相关的规律题，观察出等式的变化规律是解答的关键． （1）根据前几个等式的变化规律解答即可； （2）根据前几个等式的左右式子变化与序号n的关系求解即可； （3）灵活运用（2）中变化规律求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：，； （3）解： ． 15．（22-23八年级上·江苏苏州·阶段练习）数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的途径之一．请你先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题： 问题情境：设a，b是有理数，且满足，求的值． 解：由题意得， ∵a，b都是有理数， ∴也是有理数， ∵是无理数， ∴， ∴， ∴ 解决问题：设x，y都是有理数，且满足，求的值． 【答案】8或0 【分析】根据题目中例题的方法，对所求式子进行变形，求出x、y的值，从而可以求得x+y的值． 【详解】解：∵， ∴（x2-2y-8）+（y-4）=0， ∴x2-2y-8=0，y-4=0， 解得，x=±4，y=4， 当x=4，y=4时，x+y=4+4=8， 当x=-4，y=4时，x+y=（-4）+4=0， 即x+y的值是8或0． 【点睛】本题考查实数的运算，解题的关键是明确题目中例题的解答方法，然后运用类比的思想解答所求式子的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$