专题03 立方根重难点题型专训（6大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （华东师大版）

专题03 立方根重难点题型专训（6大题型+15道拓展培优） 题型一 立方根的概念理解 题型二 求一个数的立方根 题型三 已知一个数的立方根，求这个数 题型四 与立方根有关的规律计算 题型五 立方根的实际应用 题型六 平方根与立方根的综合应用 知识点一：立方根 1. 定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． 2. 正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． 3. 求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 总结： 类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零； 重要结论 【经典例题一 立方根的概念理解】 【例1】（22-23七年级下·广西河池·期中）立方根与它本身相同的数是（    ） A．0或±1 B．0或1 C．0或－1 D．0 1．（2023·江苏南京·模拟预测）一般地，如果（n为正整数，且n＞1），那么x叫做a的n次方根，下列结论中正确的是（　　） A．16的4次方根是2 B．32的5次方根是±2 C．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小 D．当n为偶数时，2的n次方根有n个 2．（23-24七年级下·上海虹口·期中）如果  ，那么 ． 3．（23-24七年级下·江西南昌·期中）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义：______； (2)625的四次方根为______；的五次方根为______； (3)求下列的值： ①； ②． 【经典例题二 求一个数的立方根】 【例2】（23-24七年级下·北京·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（22-23八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）下列各数中，绝对值最大的数是（　　） A． B． C．2 D． 2．（23-24八年级上·陕西西安·期末）的立方根是 ；的平方根是 ． 3．（23-24七年级下·江西赣州·期末）根据下表回答问题： x 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 (1)275.56的平方根是___________，___________，___________； (2)设的整数部分为a，求的立方根． 【经典例题三 已知一个数的立方根，求这个数】 【例3】（22-23八年级上·河南郑州·阶段练习）若a2=16，， 则a+b的值是(   ) A．12 B．12或-4 C．12或4 D．-12或-4 1．（22-23七年级下·青海果洛·期末）若，则b的值为（    ） A．8 B． C．4 D． 2．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）如果3-6x的立方根是-3，则2x+6的算术平方根为 3．（23-24七年级下·四川南充·阶段练习）已知的立方根是，的算术平方根是9． (1)求m，n的值； (2)求的算术平方根． 【经典例题四 与立方根有关的规律计算】 【例4】（2022春·七年级课时练习）已知≈1.710，不再利用其他工具，根据规律能求出近似值的是(　　) A． B． C． D． 1、（2023春·山东菏泽·八年级校考阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·七年级校考阶段练习）观察下列各式： 用字母n表示出一般规律是 ．（n为不小于2的整数） 3．（2023春·广西南宁·七年级统考期中）阅读理解，观察下列式子： ① ； ② ； ③ ； ④； …… 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)【观察与发现】：根据以上式子反映的规律，请再写出一个类似的等式： ． (2)【分析与归纳】：根据等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数，若 ，则；反之也成立． (3)【拓展与应用】：根据上述归纳的真命题，解答下列问题：若与的值互为相反数，且，求的值． 【经典例题五 立方根的实际应用】 【例5】（22-23七年级下·福建福州·期中）若有，则和的关系是（    ） A． B． C． D． 1．（22-23七年级下·全国·课后作业）将一个体积为216立方米的正方体木块锯成8个同样大的正方体木块，表面积变成原来的(　　) A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．8倍 2．（22-23七年级下·河北邢台·期末）有一个正方体的集装箱，原体积为，现准备将其扩容以盛放更多的货物，若要使其体积达到，则它的棱长需要增加 ． 3．（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）小红妈妈的水果销售店新进了50箱新品种水果，装这种水果的纸箱尺寸为（单位：），现在由于经营需要，小红妈妈准备将这批水果分装在80个完全相同的正方体纸箱内，试问：这种正方体纸箱的棱长应为多少厘米？ 【经典例题六 平方根与立方根的综合应用】 【例6】（2023上·浙江杭州·七年级期中）已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ） A． B． C． D． 1．（2023下·甘肃武威·七年级校考期中）若a是的平方根，b是的立方根，则a+b的值是（   ） A．4 B．4或0 C．6或2 D．6 2．（2023春·四川自贡·七年级统考期末）已知的算术平方根是2，的立方根是，则的值是 ． 3．（2023秋·全国·八年级专题练习）爱学习爱思考的小明，在家利用计算器计算得到下列数据： … … … … (1)你发现的规律是被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大 ； (2)已知（精确到），并用上述规律直接写出各式的值： ， ； (3)已知则 ， ． (4)类似小明的探究，把表中所有平方根换成立方根，你能根据，直接说出和的近似值吗？ 1．（22-23七年级下·四川广元·期中）下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·辽宁辽阳·阶段练习）若5x+19的立方根是4，则2x+7的平方根是( ) A．±3 B．±4 C．±2 D．±5 3．（22-23七年级下·河北邯郸·阶段练习）下列说法中，正确的是（　　） A．（﹣2）3的立方根是﹣2 B．0.4的算术平方根是0.2 C．的立方根是4 D．16的平方根是4 4．（22-23七年级上·浙江温州·阶段练习）有一个数值转换器，流程如下： 当输入的x值为64时，输出的y值是（      ） A．4 B． C．2 D． 5．（23-24九年级下·湖南永州·期中）课堂上老师提出一个问题：“一个数是74088，它的立方根是多少？”小明脱口而出：“42”．老师十分惊奇，忙问计算的奥妙．小明给出以下方法： ①由，，能确定是两位数； ②由74088的个位上的数是8，因为，能确定的个位上的数是2； ③如果划去74088后面的三位088得到数74，而，，由此能确定的十位上的数是4． （提示：，，，） 已知为整数，请利用以上方法，则的每位数上的数字之和为（    ） A．19 B．15 C．12 D．14 6．（22-23七年级下·辽宁大连·期末）若，则的值为 7．（22-23七年级上·浙江舟山·期中）－8的立方根是 ；∣1∣= ． 8．（22-23七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）若，，，则 ． 9．（22-23七年级上·浙江温州·期中）校本课上同学们用彩泥制作作品现有一块长、宽、高分别为2cm，3cm，4cm的长方体彩泥材料，小文要取材料的制作一个立方体模型，则小文制作的模型棱长为 cm． 10．（22-23七年级下·河北保定·期中）阅读理解：我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题，求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人惊奇，忙问计算奥妙．你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？请按照下面的分析试一试： （1）由，，可知是两位数． （2）由59319的个位数字是9，可知的个位数字是9． （3）如果划去59319后面的三位319得到59，而，，由此确定的十位数字是3．请应用以上方法计算： ， ， ． 11．（2024七年级下·全国·专题练习）求下列各式中的值． (1)； (2)． 12．（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）正数的平方根是与，求的立方根． 13．（23-24八年级上·江西南昌·开学考试）已知的立方根是3，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 14．（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）小红妈妈的水果销售店新进了50箱新品种水果，装这种水果的纸箱尺寸为（单位：），现在由于经营需要，小红妈妈准备将这批水果分装在80个完全相同的正方体纸箱内，试问：这种正方体纸箱的棱长应为多少厘米？ 15．（22-23七年级下·云南昆明·期中）在我校科技节活动中爱探究思考的小明，在实验室利用计算器计算得到下列数据： ．．． ．．． ．．． 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 ．．． (1)通过观察可以发现当被开方数扩大100倍时，它的算术平方根扩大________倍； (2)已知，根据上述规律直接写出下列各式的值；________；________； (3)已知，，，则________，________； (4)小明思考如果把算术平方根换成立方根，若，，________，________． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 立方根重难点题型专训（6大题型+15道拓展培优） 题型一 立方根的概念理解 题型二 求一个数的立方根 题型三 已知一个数的立方根，求这个数 题型四 与立方根有关的规律计算 题型五 立方根的实际应用 题型六 平方根与立方根的综合应用 知识点一：立方根 1. 定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． 2. 正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． 3. 求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 总结： 类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零； 重要结论 【经典例题一 立方根的概念理解】 【例1】（22-23七年级下·广西河池·期中）立方根与它本身相同的数是（    ） A．0或±1 B．0或1 C．0或－1 D．0 【答案】A 【分析】根据立方根的定义解答即可． 【详解】解：0立方根等于是0，1立方根等于是1，-1立方根等于是-1． 立方根与它本身相同的数是0或±1， 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，立方根的定义，熟记概念是解题的关键． 1．（2023·江苏南京·模拟预测）一般地，如果（n为正整数，且n＞1），那么x叫做a的n次方根，下列结论中正确的是（　　） A．16的4次方根是2 B．32的5次方根是±2 C．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小 D．当n为偶数时，2的n次方根有n个 【答案】C 【分析】根据新定义的意义计算判断即可． 【详解】解：∵16的4次方根是±2， ∴A选项的结论不正确； ∵32的5次方根是2， ∴B选项的结论不正确； ∵当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小， ∴C选项的结论正确； ∵当n为偶数时，2的n次方根有2个， ∴D选项的结论不正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了实数的新定义问题，正确理解新定义的意义是解题的关键． 2．（23-24七年级下·上海虹口·期中）如果  ，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，把原式变为，即可求解，掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴为奇数， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·江西南昌·期中）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义：______； (2)625的四次方根为______；的五次方根为______； (3)求下列的值： ①； ②． 【答案】(1)若，那么叫做的五次方根 (2)， (3)①或；② 【分析】本题考查了四次方根和五次方根的意义，解题的关键是熟练掌握四次方根和五次方根的意义，准确进行计算． （1）依照平方根和立方根的定义即可得出答案； （2）根据四次方根和五次方根的定义求解即可； （3）根据四次方根和五次方根的意义求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：若，那么叫做的五次方根， 故答案为：若，那么叫做的五次方根． （2）解：∵， ∴625的四次方根是． ∵， ∴的五次方根是． 故答案为：，． （3）解：①， 或． ② ． 【经典例题二 求一个数的立方根】 【例2】（23-24七年级下·北京·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根与立方根的定义，根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐个判断即可． 【详解】A．，此选项计算错误，故此选项不符合题意； B．，此选项计算错误，故此选项不符合题意； C．，此选项计算正确，故此选项符合题意； D．，此选项计算错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 1．（22-23八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）下列各数中，绝对值最大的数是（　　） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据算术平方根的性质，立方根的性质判断． 【详解】解：∵， ∴， 那么绝对值最大的数是； 故选：D． 【点睛】本题考查算术平方根、立方根的性质；掌握性质是解题的关键． 2．（23-24八年级上·陕西西安·期末）的立方根是 ；的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查求平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的计算是解题的关键．分别进行计算即可得到答案． 【详解】解：的立方根是； 的平方根是． 故答案为：；． 3．（23-24七年级下·江西赣州·期末）根据下表回答问题： x 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 (1)275.56的平方根是___________，___________，___________； (2)设的整数部分为a，求的立方根． 【答案】(1)，16.1，1.67； (2)5 【分析】本题考查算术平方根、平方根，立方根，能熟练从表格中找到相关信息和掌握夹值法求平方根是解题的关键． （1）根据表格找到275.56对应的为16.6，因为平方根有两个，所以275.56的平方根是，同理计算，，即可解答； （2）根据夹值法求平方根，因为280在278.89和282.24之间，所以在167和168之间，则其整数部分为167，即，将的值代入求解即可． 【详解】（1）解：根据表格，等于275.56时对应的为16.6， ∵的平方都等于275.56， ∴275.56的平方根是； 同理可得，， 故答案为：；；； （2）解：由． 故． 则， ∴125的立方根为：5． 【经典例题三 已知一个数的立方根，求这个数】 【例3】（22-23八年级上·河南郑州·阶段练习）若a2=16，， 则a+b的值是(   ) A．12 B．12或-4 C．12或4 D．-12或-4 【答案】C 【分析】根据a2=16，，可得：a=±4，b=8,据此，求出a+b的值是多少即可． 【详解】解：∵a2=16， ∴ ∴a=±4，b=8， ∴a+b=4+8=12或a+b=-4+8=4． 故选C． 【点睛】此题主要考查了平方根、立方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 1．（22-23七年级下·青海果洛·期末）若，则b的值为（    ） A．8 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】根据立方根的定义判断答案． 【详解】 故选B． 【点睛】本题考查立方根的定义，熟知立方根的定义是解题的关键 2．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）如果3-6x的立方根是-3，则2x+6的算术平方根为 【答案】4 【分析】根据的立方根为可求出的值，继而可求出代数式的值，也可求出的算术平方根． 【详解】解：的立方根是， ， ， ， 的算术平方根为4． 故答案为：4． 【点睛】此题考查了平方根和立方根的知识，属于基础题，解答此题的关键是根据立方根的知识求出的值． 3．（23-24七年级下·四川南充·阶段练习）已知的立方根是，的算术平方根是9． (1)求m，n的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)10 【分析】本题考查立方根和算术平方根： （1）根据立方根和算术平方根的定义，求出m，n的值即可； （2）根据算术平方根的定义，求解即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是，的算术平方根是9， ∴， ∴，； （2）∵，， ∴， ∴的算术平方根为． 【经典例题四 与立方根有关的规律计算】 【例4】（2022春·七年级课时练习）已知≈1.710，不再利用其他工具，根据规律能求出近似值的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当被开立方数的小数点每移动三位，那么其立方根的小数点也相应的移动一位．由此即可得出答案． 【详解】A．=，由题意不能得出其近似值； B．，由题意不能得出其近似值； C．，由题意不能得出其近似值； D．≈－1.710×10－1=－0.1710． 故选D． 【点睛】本题考查了立方根的知识，并考查了学生的转化思想，需要利用已知数据来表示未知数据；也要掌握：当被开方数的小数点每移动三位，那么其立方根的小数点也相应的移动一位． 1、（2023春·山东菏泽·八年级校考阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，则，结合已知条件，即可得出答案． 【详解】解：， ， 则． 故选：D． 【点睛】此题考查了立方根的性质，结合题意观察小数点的移动规律，发现被开方数的小数点移动3位，其立方根就相应移动1位． 2．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·七年级校考阶段练习）观察下列各式： 用字母n表示出一般规律是 ．（n为不小于2的整数） 【答案】（n为不小于2的整数） 【分析】分析被开方数的变换规律即可求得 【详解】解：1、观察4个等式左边根号内分数的特点： ①整数部分与分数部分的分子相等，即2=2，3=3，4=4，5=5， ②整数部分与分数部分的分母有下列关系：， 2、观察四个等式右边的立方根前的倍数正好是等式左边被开方数的整数部分，立方根里的分数正好是左边被开方数的分数部分，所以其中的规律可以表示为（n为不小于2的整数） 故答案为：（n为不小于2的整数）． 【点睛】本题考查了立方根的规律探究，分析被开方数的变换规律是解题关键． 3．（2023春·广西南宁·七年级统考期中）阅读理解，观察下列式子： ① ； ② ； ③ ； ④； …… 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)【观察与发现】：根据以上式子反映的规律，请再写出一个类似的等式： ． (2)【分析与归纳】：根据等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数，若 ，则；反之也成立． (3)【拓展与应用】：根据上述归纳的真命题，解答下列问题：若与的值互为相反数，且，求的值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)（或互为相反数） (3)9 【分析】（1）根据以上式子反映的规律写出符合题意的一个式子即可； （2）观察规律若，则； （3）按照规律计算出和的值，再计算的值即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：（答案不唯一）； （2）解：根据等式①，②，③，④所反映的规律， 若，则， 故答案为：（或a，b互为相反数）； （3）解：与的值互为相反数， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了立方根性质的应用，观察并总结规律是解题的关键． 【经典例题五 立方根的实际应用】 【例5】（22-23七年级下·福建福州·期中）若有，则和的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据立方根的性质得出x+y=0即可解答． 【详解】解：∵， ∴x+y=0 故答案为D． 【点睛】本题主要考查了立方根的性质，通过立方根的性质得到x+y=0是解答本题的关键． 1．（22-23七年级下·全国·课后作业）将一个体积为216立方米的正方体木块锯成8个同样大的正方体木块，表面积变成原来的(　　) A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．8倍 【答案】B 【分析】根据8块小正方体的体积之和等于大的正方体的体积,可设小正方体的棱长为x米,列方程为8x =216,求解方程得出棱长x的值,再求小正方体的表面积即可 【详解】解:设小正方体的棱长为x米,根据题意得 8x=216 两边同时除以8,得 x=27 开立方,得 x=3 所以小正方体的表面积为 6∗3=54平方米 8个小正方体的表面积为 8×54=432平方米 大立方体的棱长为 =6米 则表面积为6×6×6=216平方米 因为432÷216=2,所以 锯成8个同样大的正方体木块,表面积变成原来的2倍 故选B 【点睛】此题考查立方根，解题关键在于掌握运算法则 2．（22-23七年级下·河北邢台·期末）有一个正方体的集装箱，原体积为，现准备将其扩容以盛放更多的货物，若要使其体积达到，则它的棱长需要增加 ． 【答案】1 【分析】先根据正方体的体积得出其棱长，再求出体积达到125m3时的棱长，进而可得出结论． 【详解】解：设正方体集装箱的棱长为a， ∵体积为64m3， ∴a==4m； 设体积达到125m3的棱长为b，则b= =5m， ∴b-a=5-4=1（m）． 故答案为：1． 【点睛】本题考查的是立方根，熟知正方体的体积公式是解题的关键． 3．（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）小红妈妈的水果销售店新进了50箱新品种水果，装这种水果的纸箱尺寸为（单位：），现在由于经营需要，小红妈妈准备将这批水果分装在80个完全相同的正方体纸箱内，试问：这种正方体纸箱的棱长应为多少厘米？ 【答案】正方体纸箱的棱长应为厘米 【分析】本题主要考查立方根的应用，设正方体纸箱的棱长为x厘米，根据体积相等列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：设正方体纸箱的棱长为x厘米， 根据题意得：， 即， 解得：， 则正方体纸箱的棱长应为厘米． 答：这种正方体纸箱的棱长应为厘米． 【经典例题六 平方根与立方根的综合应用】 【例6】（2023上·浙江杭州·七年级期中）已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用算术平方根和平方根，立方根的性质，可得到的值，由此可得到与和与的关系 【详解】解：∵的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根和平方根，立方根的性质，得出与和与的关系是解题的关键． 1．（2023下·甘肃武威·七年级校考期中）若a是的平方根，b是的立方根，则a+b的值是（   ） A．4 B．4或0 C．6或2 D．6 【答案】B 【分析】由a是的平方根可得a=±2，由b是的立方根可得b=4，由此即可求得a+b的值． 【详解】∵a是的平方根， ∴a=±2， ∵b是的立方根， ∴b=2， ∴a+b=2+2=4或a+b=-2+2=0． 故选B． 【点睛】本题考查了平方根及立方根的定义，根据平方根及立方根的定义求得a=±2、 b=4是解决问题的关键． 2．（2023春·四川自贡·七年级统考期末）已知的算术平方根是2，的立方根是，则的值是 ． 【答案】8 【分析】利用算术平方根、立方根的定义求出的值，代入进行计算即可． 【详解】解：的算术平方根是2，的立方根是， ，， 解得：，， ， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了算术平方根、立方根的定义，熟练掌握算术平方根、立方根的定义是解题的关键． 3．（2023秋·全国·八年级专题练习）爱学习爱思考的小明，在家利用计算器计算得到下列数据： … … … … (1)你发现的规律是被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大 ； (2)已知（精确到），并用上述规律直接写出各式的值： ， ； (3)已知则 ， ． (4)类似小明的探究，把表中所有平方根换成立方根，你能根据，直接说出和的近似值吗？ 【答案】(1)倍 (2)； (3)； (4)能直接说出，不能直接说出的值 【分析】（1）根据根号内的小数点移动规律即可求解，算术平方根的规律为，根号内的小数点移动2位，对应的结果小数移动1位其结果的小数点移动一位，小数点的移动方向保持一致； （2）根据规律进行计算即可求解； （3）根据规律进行计算即可求解； （4）根据根号内的小数点移动规律即可求解，立方根的规律为，根号内的小数点移动3位，其结果的小数点移动一位，小数点的移动方向保持一致． 【详解】（1）解：被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大倍, 故答案为：倍． （2）（精确到），并用上述规律直接写出各式的值：；， 故答案为：；． （3）∵ ∴； （4）解：∵， ∴，不能直接说出的值 【点睛】本题考查了算术平方根与立方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键． 1．（22-23七年级下·四川广元·期中）下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别根据算术平方根的性质、立方根的性质化简即可． 【详解】解：A、，故该选项错误； B、，故该选项错误； C、无意义 ，故该选项错误； D、，故该选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了算术平方根的性质、立方根的性质，熟记运算法则是关键． 2．（22-23八年级上·辽宁辽阳·阶段练习）若5x+19的立方根是4，则2x+7的平方根是( ) A．±3 B．±4 C．±2 D．±5 【答案】D 【分析】首先利用立方根的定义先求出x的值，代入求得2x+7的值，再利用平方根的定义求解． 【详解】∵5x+19的立方根是4，∴5x+19=64，解得：x=9，则2x+7=2×9+7=25． ∵25的平方根是±5，∴2x+7的平方根是±5． 故选D． 【点睛】本题考查了利用立方根的概念解题．如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a（x3=a），那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根．读作“三次根号a”其中，a叫做被开方数，3叫做根指数． 3．（22-23七年级下·河北邯郸·阶段练习）下列说法中，正确的是（　　） A．（﹣2）3的立方根是﹣2 B．0.4的算术平方根是0.2 C．的立方根是4 D．16的平方根是4 【答案】A 【分析】根据立方根的定义及平方根的定义依次判断即可得到答案． 【详解】解：A．（﹣2）3的立方根是﹣2，故本选项符合题意； B.0.04的算术平方根是0.2，故本选项不符合题意； C. 的立方根是2，故本选项不符合题意； D.16的平方根是±4，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查立方根的定义及平方根的定义，熟记定义是解题的关键． 4．（22-23七年级上·浙江温州·阶段练习）有一个数值转换器，流程如下： 当输入的x值为64时，输出的y值是（      ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】依据运算程序进行计算即可． 【详解】解：=8，是有理数，8的立方根是2，是有理数，2的算术平方根是． 故选：B． 【点睛】本题考查了立方根、算术平方根的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． 5．（23-24九年级下·湖南永州·期中）课堂上老师提出一个问题：“一个数是74088，它的立方根是多少？”小明脱口而出：“42”．老师十分惊奇，忙问计算的奥妙．小明给出以下方法： ①由，，能确定是两位数； ②由74088的个位上的数是8，因为，能确定的个位上的数是2； ③如果划去74088后面的三位088得到数74，而，，由此能确定的十位上的数是4． （提示：，，，） 已知为整数，请利用以上方法，则的每位数上的数字之和为（    ） A．19 B．15 C．12 D．14 【答案】D 【分析】本题考查立方根的定义和求解，根据题目的方法步骤进行分析即可． 【详解】解：①由，，能确定是两位数； ②由205379的个位上的数是9，因为，能确定的个位上的数是9； ③如果划去205379后面的三位379得到数205，而，，由此能确定的十位上的数是5． 即， ∴的每位数上的数字之和为， 故选：D． 6．（22-23七年级下·辽宁大连·期末）若，则的值为 【答案】-27； 【分析】由于立方根是立方的逆运算，根据的值即可求出a的值. 【详解】解：∵ ∴a=-27， 故答案为-27. 【点睛】本题考查立方根、立方的概念，解题关键是熟练掌握以上的概念和性质，它们互为逆运算. 7．（22-23七年级上·浙江舟山·期中）－8的立方根是 ；∣1∣= ． 【答案】 【分析】根据立方根的定义、无理数的估算、绝对值运算即可得． 【详解】， 的立方根是； ， ， ， ， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了立方根、无理数的估算、绝对值运算，熟练掌握立方根的定义和无理数的估算方法是解题关键． 8．（22-23七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）若，，，则 ． 【答案】 【分析】根据立方根的性质即可求解． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了立方根，熟练掌握立方根的性质是解题的关键． 9．（22-23七年级上·浙江温州·期中）校本课上同学们用彩泥制作作品现有一块长、宽、高分别为2cm，3cm，4cm的长方体彩泥材料，小文要取材料的制作一个立方体模型，则小文制作的模型棱长为 cm． 【答案】2． 【分析】根据长方体的体积公式求出长方体彩泥材料的体积，进而得出立方体模型的体积，再根据正方体的体积公式计算即可． 【详解】长方体彩泥材料的体积为：2×3×4=24(cm3)， 立方体模型的体积为：(cm3)， 小文制作的模型棱长为：(cm)． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了长方体与立方体的体积，熟知公式是解答本题的关键． 10．（22-23七年级下·河北保定·期中）阅读理解：我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题，求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人惊奇，忙问计算奥妙．你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？请按照下面的分析试一试： （1）由，，可知是两位数． （2）由59319的个位数字是9，可知的个位数字是9． （3）如果划去59319后面的三位319得到59，而，，由此确定的十位数字是3．请应用以上方法计算： ， ， ． 【答案】 27 56 91． 【分析】分别根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据第（2）和第（3）步求出个位数和十位数即可． 【详解】解：由题意得：题中所给出几个数的立方根都是两位数，根据题中所给的（2）可知：，和的个位数分别为7，6和1， ∵19683去掉后3位得到19，175616去掉后3位得到175，753571去掉后3为得到753， 23＜19＜33，53＜175＜63，93＜753＜103， ∴，和的十位数分别为：2，5和9， ∴，，． 故答案为：27；56；91． 【点睛】本题主要考查了一个数的立方根，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键，有一定难度． 11．（2024七年级下·全国·专题练习）求下列各式中的值． (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）由原式得，利用平方根的定义求解可得； （2）由原式可得，根据立方根定义可得． 【详解】（1）解： 移项并合并，得， 或， 或． （2） 移项整理，得， ， ． 12．（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）正数的平方根是与，求的立方根． 【答案】 【分析】此题考查了平方根和立方根，根据正数的两个平方根互为相反数列出算式，求出a的值，再根据平方根求出的值，最后计算的立方根． 【详解】解：∵正数的平方根是与， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵的立方根为， ∴的立方根为． 13．（23-24八年级上·江西南昌·开学考试）已知的立方根是3，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 【答案】的平方根是． 【分析】先根据立方根和平方根的定义，求出a和b的值，再用夹逼法估记，得出c的值，最后将a、b、c的值代入计算即可． 【详解】解：∵的立方根是3，的平方根是， ∴，， 解得：，， ∵， ∴， ∴的整数部分是3， ∴， ∴， ∴的平方根是． 【点睛】本题主要考查了平方根，立方根，无理数的估算，解题的关键是掌握平方根和立方根的定义，以及用夹逼法估算无理数的方法和步骤． 14．（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）小红妈妈的水果销售店新进了50箱新品种水果，装这种水果的纸箱尺寸为（单位：），现在由于经营需要，小红妈妈准备将这批水果分装在80个完全相同的正方体纸箱内，试问：这种正方体纸箱的棱长应为多少厘米？ 【答案】正方体纸箱的棱长应为厘米 【分析】本题主要考查立方根的应用，设正方体纸箱的棱长为x厘米，根据体积相等列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：设正方体纸箱的棱长为x厘米， 根据题意得：， 即， 解得：， 则正方体纸箱的棱长应为厘米． 答：这种正方体纸箱的棱长应为厘米． 15．（22-23七年级下·云南昆明·期中）在我校科技节活动中爱探究思考的小明，在实验室利用计算器计算得到下列数据： ．．． ．．． ．．． 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 ．．． (1)通过观察可以发现当被开方数扩大100倍时，它的算术平方根扩大________倍； (2)已知，根据上述规律直接写出下列各式的值；________；________； (3)已知，，，则________，________； (4)小明思考如果把算术平方根换成立方根，若，，________，________． 【答案】(1)10 (2)； (3)； (4) 【分析】（1）根据表中的数据找出变化规律； （2）利用（1）中的规律进行求解； （3）利用（1）中的规律进行求解； （4）类比（1）的规律，求解即可． 【详解】（1）被开方数扩大100倍，它的算术平方根扩大10倍， 故答案为：10； （2），， 故答案为：； （3），，， ，， 故答案为：； （4）由（1）的规律可知：被开方数扩大1000倍，它的立方根扩大10倍， 若，， ，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用算术平方根的定义进行规律判断，通过已知的数据找出小数点移动的规律是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$