2.1 等式性质与不等式性质（第1课时）（教学课件）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019必修第一册）

人教版2019高一数学（必修一）第一章 一元二次函数、方程和不等式 第一课时 等式性质与不等式性质 2.1 等式性质与不等式性质 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 分层练习 错因分析 学习目标 了解不等式的意义，能用不等式(组)表示实际问题 中的不等关系. 2. 会用作差法比较两个代数式的大小关系.（重点） 3. 掌握并会应用重要不等式.（重难点） 情景导入 在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系， 例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌，轻与重，不超过或不少于等. 类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等. 相等用等式表示，不等用不等式表示. 【等式】指的是用等号“=”连接起来的式子 【不等式】指的是用不等号 “≠”“＞”“＜”“≥”“≤” 连接起来的式子 1.不等关系与不等式 新知探究 【问题1】你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ （1）某路段限速；； （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋 白质的含量应不少于2.3%； （3）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 设该路段行驶的汽车速度为，则 ， 设三角形三边分别为，则 （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 设P是直线AB外任意一点，PQ是P到AB的垂 线段，C是直线AB上任意一点，则PC≥PQ A B C P Q 以上我们根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出了不等式. 接着，就可以用不等式研究相应的问题了. 【问题2】某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本，若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？ 我们该如何解这个不等式呢？ 7 由于数轴上的点与实数一一对应， 所以可以利用数轴上的点的位置关系来规定实数的大小关系； 2.比较两个实数的大小 新知探究 与解方程要用等式的性质一样，解不等式要用不等式的性质. 为此，我们需要先研究不等式的性质. A B B A A(B) 如图，设是两个实数， 他们在数轴上所对应的点分别是A，B， 当点A在点B的左边时，； 当点A在点B的右边时，； 当点A和点B重合时，. 关于实数a，b大小比较， 有以下的基本事实： 【作差法】 ① ② ③ 如果a-b是正数，那么a>b； 如果a-b等于0，那么a=b； 如果a-b是负数，那么 a<b. 反过来也是如此. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小. 例1:比较和的大小. 【解】运用作差法： 2＞0， ＞ 作差 变形 定号 定论 0是相等与不等的分界线，它也为比较实数的大小提供了标杆. 这里，我们借助多项式减法运算，得出了一个明显大于0的数(式). 这是解决不等式问题的常用方法. 课本例题 作差法比较两个实数大小的基本步骤 概念归纳 作差 变形 定号 结论 a-b 采用配方、因式分解、通分、有理化等手段 判断差与0的大小 利用实数a，b大小比较的基本事实 下图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？ 思考探究 (1)正方形ABCD的面积S=________； 四个直角三角形的面积和S' =_____; (2) S与S’有什么样的不等关系，如何表示？ （3）S与S’会出现相等的情况吗，什么时候相等？ 若设直角三角形的两直角边分别为a,b，则 S大于S'，即 A B C D E(FGH) 当a=b时，S=S'，即 A B C D E F G H a b 当a=b时 综上，当且仅当时， 如何证明不等式成立？ 证明： 提示：利用完全平方公式即可 例1.用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于110 m2，靠墙的一边长为x m． 试用不等式表示其中的不等关系． 探究一　用不等式(组)表示不等式关系 典例剖析 不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤 (1)审题．通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量； (2)列不等关系．列出待求量具备哪些不等关系(即满足什么条件)； (3)列不等式(组)．挖掘题意，建立已知量和待求量之间的关系式，并分析某些变量的约束条件(包含隐含条件)． 概念归纳 1.某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种，按照生产的要求，600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管的3倍，试写出满足上述所有不等关系的不等式． 练一练 例2.已知x∈R，比较x3－1与2x2－2x的大小． 探究二　比较大小问题 典例剖析 比较两个代数式大小的步骤 (1)作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差； (2)变形：对差进行变形； (3)定号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号； (4)结论． 提醒：这种比较大小的方法通常称为作差比较法．其思维过程：作差→变形→判断符号→结论，其中变形是判断符号的前提. 概念归纳 2.若y1=3x2-x+1,y2=2x2+x-1,则y1与y2的大小关系是(　　) A.y1>y2 B.y1=y2 C.y1<y2 D.随x值变化而变化 练一练 解析: ∵ y1-y2=x2-2x+2=(x-1)2+1>0, ∴ y1>y2. A 练一练 1.下面能表示“m与n的和是非正数”的不等式为(　　) A.m+n<0 B.m+n>0 C.m+n≤0 D.m+n≥0 随堂练 2.设M=x2,N=-x-1,则M与N的大小关系是(　　) A.M>N B.M=N C.M<N D.与x的取值有关 C A 随堂练 4.一单位的甲、乙、丙三人出差A城办事;在安排住宿时,他们有三种住宿方案可供选择: (1)三人同住一套间; (2)二人住标准间(双人间)、一人住单间; (3)三人各住一个单间.若宾馆方面对每个套间、每个标准间及单间的标价分别为300元、160元和60元; 同时对客户实行打折优惠,但这三类房间的折率各不相同, 分别为50%,65%和85%, 这三人选择住宿方案中最经济的为第　　　　　套方案.  随堂练 （1） 解析: 若选择(1)方案,则需支付:y1=300×50%=150(元); 若选择(2)方案,则需支付:y2=160×65%+60×85%=155(元); 若选择(3)方案,则需支付:y3=60×85%×3=153(元). 因为y1<y3<y2,所以选择第(1)套方案最经济. 随堂练 5.分别写出满足下列条件的不等关系: (1)一个两位数的个位数字y比十位数字x大,且这个两位数小于30; (2)某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元的单片软件x片和70元的盒装磁盘y盒.根据需要,软件至少买3片,磁盘至少买2盒. 解:(1)y>x>0,9<10x+y<30,且x,y∈N*. (2)x≥3,y≥2,60x+70y≤500,且x,y∈N*. 随堂练 解　0<h≤4； (2)a与b的和是非负实数； 解　a＋b≥0； (1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位：m) 从地面算起不能超过4 m； 1.用不等式或不等式组表示下面的不等关系. 课本练习 (3)如图，在一个面积小于350m2的矩形地基中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L(单位：m)大于宽W(单位：m)的4倍. 课本练习 2.比较(x＋3)(x＋7)和(x＋4)(x＋6)的大小. 解　因为(x＋3)(x＋7)－(x＋4)(x＋6) ＝(x2＋10x＋21)－(x2＋10x＋24) ＝－3<0， 所以(x＋3)(x＋7)<(x＋4)(x＋6). 课本练习 3. 已知 证明： 证明： 即 同理 即 所以 课本练习 错因分析 1.若a＞b，则ac2________bc2. 易错警示　忽视因式可能为0 错解：因为c2＞0，且a＞b，所以ac2＞bc2，故填＞. 易错防范：上面的解法错在忽视了c＝0的情况．当c＝0时，ac2＝bc2.防范措施是使用不等式的性质时，不可忽视条件． 正解：因为c2≥0，且a＞b，所以ac2≥bc2，故应填≥. 2.若A=a2+3ab,B=4ab-b2,则A,B的大小关系是(　　) A.A≤B B.A≥B C.A>B D.大小关系不确定 错因分析 因忽视配方法在判断符号中的应用致错 错解:因为A-B=a2+3ab-4ab+b2=a2+b2-ab,所以A,B的大小关系不确定. B 防范措施 1.用作差法比较两个数(式)的大小时,其关键是变形,一般采用配方、因式分解、通分、有理化等手段变形,这样有利于定号.特别是作差后的式子为二次三项式时,常考虑因式分解或配方法变形. 2.注意培养逻辑推理素养和数学运算素养. 归纳总结 分层练习-基础 D 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-基础 D 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-基础 A 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-基础 A 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-基础 D 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-基础 A 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-基础 C 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-基础 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-基础 < 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-基础 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-基础 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-基础 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-基础 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-巩固 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-巩固 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-巩固 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-巩固 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-巩固 A 分层练习-巩固 分层练习-巩固 B 分层练习-巩固 现实生活中的许多问题能够用不等式解决，其解题思路是将解决的问题转化成不等关系，利用作差法比较大小，进而解决实际问题． 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 2．有一批衬衣原价为每件80元，甲、乙两商场均有销售．现在每个商场都推出了促销政策：到甲商场买一件衬衣优惠4元，买两件每件优惠8元，买三件每件优惠12元，……依此类推，直至减到半价为止；乙商场则一律按原价7折酬宾．某单位欲为每位员工购买一件该衬衣，问：到哪个商场购买比较合算？ 解：设该单位共需购买x件衬衣，在甲、乙两商场购买分别需付款y元、z元．依题意，有 z＝80×70%x＝56x(x≥1，x∈Z)． 分层练习-拓展 ①若1≤x≤10，x∈Z，则y－z＝(80－4x)x－56x＝4x(6－x)． 当1≤x≤5，x∈Z时，6－x＞0，∴y－z＞0，即y＞z. 当x＝6时，y－z＝0，即y＝z. 当7≤x≤10，x∈Z时，6－x＜0， ∴y－z＜0，即y＜z. ②若x＞10，x∈Z，则y－z＝40x－56x＝－16x. ∵－16x＜0，∴y＜z. 综上，若单位人数不超过5人，到乙商场购买合算；若单位人数恰为6人，到甲、乙商场购买一样合算；若单位人数超过6人，到甲商场购买更合算． 分层练习-拓展 分层练习-拓展 分层练习-拓展 不等关系与 比较大小 利用不等式表示不等关系 比较大小 作差法：通常利用配方法化成完全平方式与0比较 作商法：适用于同号的式子作商与1比较 比较大小常用方法 （1）利用不等式时，要注意等号能否取到 （2）利用不等式表示不等关系时要注意实际意义 数学建模：用不等式(组)表示实际问题，培养数学建模的核心素养 逻辑推理：通过等式性质类比推理得不等式的性质，培养逻辑推理的核心素养 方法总结 核心知识 易错提醒 核心素养 课堂小结 [解析]　提价后杂志的定价为x元， 则销售的总收入为(8－eq \f(x－2.5,0.1)×0.2)x万元， 那么不等关系“销售的收入不低于20万元”用不等式可以表示为： (8－eq \f(x－2.5,0.1)×0.2)x≥20. 解　由于矩形菜园靠墙的一边长为x m，而墙长为18 m，所以0＜x≤18， 这时菜园的另一条边长为eq \f(30－x,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15－\f(x,2)))(m)． 因此菜园面积S＝x·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15－\f(x,2)))，依题意有S≥110， 即xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15－\f(x,2)))≥110， 故该题中的不等关系可用不等式表示为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0＜x≤18，,x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15－\f(x,2)))≥110.)) 解　设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根， 依题意，可得不等式组： eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(500x＋600y≤4 000，,3x≥y，,x≥0，,y≥0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(5x＋6y≤40，,3x≥y，,x≥0，,y≥0.)) 解　(x3－1)－(2x2－2x)＝(x3－x2)－(x2－2x＋1) ＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)， ∵x2－x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)≥eq \f(3,4)＞0， ∴当x＞1时，(x－1)(x2－x＋1)＞0，即x3－1＞2x2－2x； 当x＝1时，(x－1)(x2－x＋1)＝0，即x3－1＝2x2－2x； 当x＜1时，(x－1)(x2－x＋1)＜0，即x3－1＜2x2－2x. 3.已知a、b为正实数，试比较eq \f(a,\r(b))＋eq \f(b,\r(a))与eq \r(a)＋eq \r(b)的大小． 解　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(b))＋\f(b,\r(a))))－(eq \r(a)＋eq \r(b))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(b))－\r(b)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,\r(a))－\r(a))) ＝eq \f(a－b,\r(b))＋eq \f(b－a,\r(a))＝eq \f(a－b\r(a)－\r(b),\r(ab))＝eq \f(\r(a)＋\r(b)\r(a)－\r(b)2,\r(ab)). ∵a、b为正实数， ∴eq \r(a)＋eq \r(b)＞0，eq \r(ab)＞0，(eq \r(a)－eq \r(b))2≥0. 于是有eq \f(\r(a)＋\r(b)\r(a)－\r(b)2,\r(ab))≥0， 当且仅当a＝b时等号成立，∴eq \f(a,\r(b))＋eq \f(b,\r(a))≥eq \r(a)＋eq \r(b)，当且仅当a＝b时取等号． 解析:∵M-N=x2+x+1=>0,∴M>N. a< 3.已知0<a<1,则a与的大小关系为　　　　　.  解析:∵a-, 当0<a<1时,a-1<0,即<0, ∴a<. 解　 提示:以上错解中忽视了配方法的应用,事实上,本题中a2+b2-ab 可继续化为b2. 正解:因为A-B=a2+3ab-4ab+b2=a2+b2-ab=b2≥0, 所以A≥B. 　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　 1．完成一项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工x人，瓦工y人，则请工人需满足的关系式是(　　) A．5x＋4y<200 B．5x＋4y≥200 C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤200 2．设M＝3x2－x＋1，N＝2x2＋x，则(　　) A．M>N B．M<N C．M≤N D．M≥N 解析　M－N＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0. 3．若x≠－2且y≠1，则M＝x2＋y2＋4x－2y的值与－5的大小关系是(　　) A．M>－5 B．M<－5 C．M≥－5 D．M≤－5 解析　M－(－5)＝x2＋y2＋4x－2y＋5 ＝(x＋2)2＋(y－1)2. ∵x≠－2，y≠1， ∴(x＋2)2>0，(y－1)2>0， ∴(x＋2)2＋(y－1)2>0. 故M>－5. 4．已知a，b，c为不全相等的实数，P＝a2＋b2＋c2＋3，Q＝2(a＋b＋c)，那么P与Q的大小关系是(　　) A．P>Q B．P≥Q C．P<Q D．P≤Q 解析　∵P－Q＝a2＋b2＋c2＋3－2(a＋b＋c) ＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2， 且a，b，c不全相等， ∴P－Q>0，∴P>Q. 5．不等式：①a2＋2>2a；②a2＋b2≥2(a－b－1)；③a2＋b2≥ab恒成立的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析　①a2＋2－2a＝(a－1)2＋1≥1，故①正确； ②a2＋b2－2(a－b－1) ＝a2－2a＋b2＋2b＋2 ＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，故②正确； ③a2＋b2－ab＝a2－ab＋eq \f(1,4)b2＋eq \f(3,4)b2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)b)) eq \s\up12(2)＋eq \f(3,4)b2≥0， 当且仅当a＝b＝0时取等号，故③正确．故选D. 6．设实数a＝eq \r(5)－eq \r(3)，b＝eq \r(3)－1，c＝eq \r(7)－eq \r(5)，则(　　) A．b>a>c B．c>b>a C．a>b>c D．c>a>b 解析　eq \r(5)－eq \r(3)＝eq \f(2,\r(5)＋\r(3))， eq \r(3)－1＝eq \f(2,\r(3)＋1)，eq \r(7)－eq \r(5)＝eq \f(2,\r(7)＋\r(5))， ∵eq \r(3)＋1<eq \r(3)＋eq \r(5)<eq \r(5)＋eq \r(7)， ∴eq \f(2,\r(3)＋1)>eq \f(2,\r(5)＋\r(3))>eq \f(2,\r(7)＋\r(5))，即b>a>c. 7．手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”，它是手机外观设计中一个重要参数，设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新手机的外观，则该手机“屏占比”和升级前比有什么变化(　　) A．“屏占比”不变 B．“屏占比”变小 C．“屏占比”变大 D．变化不确定 解析　设升级前“屏占比”为eq \f(b,a)， 升级后“屏占比”为eq \f(b＋m,a＋m)(a>b>0，m>0)， 因为eq \f(b＋m,a＋m)－eq \f(b,a)＝eq \f(（a－b）m,a（a＋m）)>0， 所以该手机“屏占比”和升级前比变大． eq \f(x,1＋x2)≤eq \f(1,2) 8．若x∈R，则eq \f(x,1＋x2)与eq \f(1,2)的大小关系为________． 解析　∵eq \f(x,1＋x2)－eq \f(1,2)＝eq \f(2x－1－x2,2（1＋x2）) ＝eq \f(－（x－1）2,2（1＋x2）)≤0， ∴eq \f(x,1＋x2)≤eq \f(1,2). 9．若a>1，b<1，则下列两式的大小关系为ab＋1________a＋b. 解析　(ab＋1)－(a＋b) ＝1－a－b＋ab＝(1－a)(1－b)， ∵a>1，b<1，∴1－a<0，1－b>0. ∴(1－a)(1－b)<0，∴ab＋1<a＋b. 10．某次数学智力测验，共有20道题，答对一题得5分，答错一题得－2分，不答得零分．某同学有一道题未答，设这个学生至少答对x题，成绩才能不低于80分，列出其中的不等关系：_________________________．(不用化简) 5x－2(19－x)≥80，x∈N* 11．(10分)已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小． 解析　x3－1－(2x2－2x) ＝x3－2x2＋2x－1 ＝(x3－x2)－(x2－2x＋1) ＝x2(x－1)－(x－1)2 ＝(x－1)(x2－x＋1) ＝(x－1)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(3,4))). ∵x<1，∴x－1<0. 又eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋eq \f(3,4)>0， ∴(x－1)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(3,4)))<0， ∴x3－1<2x2－2x. 12．(10分)已知x，y∈R，求证：x2＋2y2≥2xy＋2y－1. 证明　由题意x2＋2y2－(2xy＋2y－1) ＝x2－2xy＋y2＋y2－2y＋1 ＝(x－y)2＋(y－1)2≥0， ∴x2＋2y2≥2xy＋2y－1成立． a<eq \f(1,a) 13．(5分)已知0<a<1，则a与eq \f(1,a)的大小关系为________． 解析　因为a－eq \f(1,a)＝eq \f(a2－1,a)＝eq \f(（a－1）（a＋1）,a)， 当0<a<1时，a－1<0， 即eq \f(（a－1）（a＋1）,a)<0， 所以a<eq \f(1,a). 14．(5分)某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆，y辆，写出满足上述所有不等关系的不等式组为________． 　eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋9y≤100，,x≥5，,y≥6，,x，y∈N*)) 15．(10分)甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车用速度a行驶一半时间，用速度b行驶另一半时间；乙车用速度a行驶一半路程，用速度b行驶另一半路程，若a≠b，试判断哪辆车先到达B地？ 解析　设A，B两地路程为2s，甲车从A地到B地所用的时间为t1，则eq \f(t1,2)a＋eq \f(t1,2)b＝2s，∴t1＝eq \f(4s,a＋b)； 乙车从A地到B地所用的时间为t2，则t2＝eq \f(s,a)＋eq \f(s,b). 又t1－t2＝eq \f(4s,a＋b)－eq \f(s,a)－eq \f(s,b) ＝eq \f(4sab－sb（a＋b）－sa（a＋b）,ab（a＋b）)＝eq \f(－s（a－b）2,ab（a＋b）)， ∵a≠b，a>0，b>0，s>0，∴t1－t2<0. ∴t1<t2，即甲车先到达B地． 16.已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是(　　) A．c≥b>a B．a>c≥b C．c>b>a D．a>c>b 【解析】选A.因为c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0， 所以c≥b.又b＋c＝6－4a＋3a2， 所以2b＝2＋2a2， 所以b＝a2＋1， 所以b－a＝a2－a＋1＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2))) eq \s\up12(2) ＋ eq \f(3,4) >0， 所以b>a，所以c≥b>a. 17.甲打算从A地出发至B地，现有两种方案：第一种：在前一半路程用速度v1，在后一半路程用速度v2(v1≠v2)，平均速度为 eq \x\to(v) ；第二种：在前一半时间用速度v1，在后一半时间用速度v2(v1≠v2)，平均速度为 eq \x\to(v′) ；则 eq \x\to(v) ， eq \x\to(v′) 的大小关系为(　　) A． eq \x\to(v) > eq \x\to(v′) B． eq \x\to(v) < eq \x\to(v′) C． eq \x\to(v) ＝ eq \x\to(v′) D．无法确定 【解析】第一种：设总路程为2s，则 eq \x\to(v) ＝ eq \f(2s,\f(s,v1)＋\f(s,v2)) ＝ eq \f(2v1v2,v1＋v2) ， 第二种：设总时间为2t，则 eq \x\to(v′) ＝ eq \f(v1t＋v2t,2t) ＝ eq \f(v1＋v2,2) ， eq \x\to(v′) － eq \x\to(v) ＝ eq \f(v1＋v2,2) － eq \f(2v1v2,v1＋v2) ＝ eq \f(（v1＋v2）2－4v1v2,2（v1＋v2）) ＝ eq \f(（v1－v2）2,2（v1＋v2）) >0所以 eq \x\to(v′) > eq \x\to(v) . 因为 eq \f(\f(b2,a),\f(b,a)) ＝b＜1，所以 eq \f(b2,a) ＜ eq \f(b,a) ， 因为 eq \f(\f(a2,b),\f(a,b)) ＝a＞1，所以 eq \f(a,b) ＜ eq \f(a2,b) ， 所以 eq \f(b2,a) ＜ eq \f(b,a) ＜ eq \f(a,b) ＜ eq \f(a2,b) . 18.已知a＞1＞b＞0，比较 eq \f(a,b) ， eq \f(b,a) ， eq \f(a2,b) ， eq \f(b2,a) 的大小关系． 【解析】因为 eq \f(\f(b,a),\f(a,b)) ＝ eq \f(b2,a2) ＜1，所以 eq \f(b,a) ＜ eq \f(a,b) ， 因为 eq \f(\f(b2,a),\f(a2,b)) ＝ eq \f(b3,a3) ＜1，所以 eq \f(b2,a) ＜ eq \f(a2,b) ， 1．已知－＜a＜0，A＝1＋a2，B＝1－a2，C＝，D＝，试判断A，B，C，D的大小关系． 解：∵－＜a＜0，∴可取a＝－，此时A＝，B＝，C＝，D＝. 由此猜测：C＞A＞B＞D. C－A＝－(1＋a2)＝＝， ∵－＜a＜0，∴1＋a＞0，－a＞0，2＋＞0. ∴C－A＞0，∴C＞A. ∵A－B＝(1＋a2)－(1－a2)＝2a2＞0，∴A＞B. B－D＝1－a2－＝＝， ∵－＜a＜0， ∴1－a＞0，2－＜2－＜0， ∴B－D＞0，∴B＞D.综上所述，C＞A＞B＞D. 3．已知三个不等式：①ab＞0；②＞；③bc＞ad.若以其中两个作为条件，余下的一个作为结论，请写出一个真命题，并写出推理过程． 解：命题一：若ab＞0，且＞，则bc＞ad. 证明：因为＞，且ab＞0，所以·ab＞·ab，即bc＞ad. 命题二：若ab＞0，且bc＞ad，则＞. 证明：因为ab＞0，所以＞0，又bc＞ad， 所以bc·＞ad·，即＞.(只要写出一个即可) (命题三)若＞，且bc＞ad，则ab＞0. 证明：因为＞，所以－＞0，即＞0，即＞0. 因为bc＞ad，所以bc－ad＞0. 所以·(bc－ad)＞0，即ab＞0.(只要写出一个即可) (只要写出一个即可) $$