1.2 一元二次方程根的判别式（第5课时）（教学课件） -2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版）

九年级苏科版数学上册 第一章 一元二次方程 第五课时 一元二次方程根的判别式 1.2 一元二次方程 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.理解并会计算一元二次方程根的判别式. 2.会用判别式判断一元二次方程的根的情况. （重点） 3.会根据一元二次方程根的情况确定字母的取值范围. （重点、难点） ★公式法解方程的步骤 1.变形： 化已知方程为一般形式； 2.确定系数：用a、b、c写出各项系数； 3.计算： b2-4ac的值； 4.判断：若b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出； 若b2-4ac<0，则方程没有实数根. 旧知回顾 4 情景导入 一元二次方程的求根公式是什么，它是如何得到的？ ax2+bx+c=0(a≠0) 二次项系数化为1，得 配方，得 即 分类讨论它的情况你发现了什么？ 因为a≠0，所以4a2＞0. 式子ax2+bx+c=0的根有以下三种情况： ①当b2－4ac>0时， >0，方程有两个不等的 实数根 一元二次方程根的判别式 新知探究 ②当b2－4ac=0时， =0，方程有两个相等的 实数根 ③当b2－4ac<0时， <0，方程没有实数根. 一般地，我们把 b2−4ac 叫做一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示它， 即 Δ＝b2−4ac． 判别式的情况 根的情况 两个不相等的实数根 两个相等的实数根 没有实数根 两个实数根 Δ= b2−4ac. Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 Δ ≥ 0 概念归纳 我们可以根据这个性质去辨析方程根的情况解决问题 ax2+bx+c=0(a≠0) 8 按要求完成下列表格： 的值 0 4 根的 情况 有两个相等的实数根 没有实数根 有两个不相等的实数根 Δ 练一练 9 快速判断方程根的情况的方法： 1．若一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 中的左边是一个完全平方式，则该方程有两个相等的实数根； 2．若方程中a，c异号，或b≠0且c＝0时，则该方程有两个不相等的实数根； 3．当方程中a，c同号时，通过Δ的符号来判断根的情况． 概念归纳 例1.已知一元二次方程x2+x=1，下列判断正确的是( ) A.该方程有两个相等的实数根 B.该方程有两个不相等的实数根 C.该方程无实数根 D.该方程根的情况不确定 解析：原方程变形为x2+x−1=0. ∵b2−4ac=1−4×1×(−1)=5＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根，故选B. B 典例剖析 11 例2.不解方程，判断下列方程的根的情况． （1）3x2+4x−3=0； （2）4x2=12x−9； 解：（1）3x2+4x−3=0，a=3，b=4，c=−3， ∴b2−4ac=42−4×3×(−3)=52＞0. ∴方程有两个不相等的实数根． （2）方程化为：4x2−12x+9=0， ∴b2−4ac=(−12)2−4×4×9=0. ∴方程有两个相等的实数根． 典例剖析 （3） 7y=5(y2+1). 解：（3）方程化为：5y2−7y+5=0， ∴b2－4ac=(−7)2－4×5×5=−51＜0. ∴方程无实数根． 判断一元二次方程根的情况步骤： 先将方程整理为一般形式ax2+bx+c=0 b2 −4ac > 0 b2− 4ac = 0 b2− 4ac＜ 0 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 例3.若关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是( ) A.q≤4 B.q≥4 C.q<16 D.q>16 C 解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则b2−4ac>0，即 .解得q＜16，故选C. 典例剖析 14 当二次项系数含字母 例4.若关于x的一元二次方程kx2−2x−1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) A.k>−1 B.k>−1且k≠0 C.k<1 D.k<1且k≠0 B 当一元二次方程二次项系数为字母时，一定要注意二次项系数不为0，再根据根的判别式求字母的取值范围. 方程有两个不相等的实数根 分析： 二次项系数不为0 k≠0 k>−1且k≠0 15 删除限制条件“二次” 例5.若关于x的方程kx2 − 2x −1=0有实数根，则k的取值范围是( ) A.k≥ −1 B.k≥ −1且k≠0 C.k<1 D.k<1且k≠0 分析： 分类讨论 k=0 k≠0 原方程变形为 −2x−1=0，有实数根 b2 − 4ac≥0 k≥ −1 A 解： 方程整理得(b+c)x2-2ax-(b-c)=0， 因为方程b(x2-1)-2ax+c(x2+1)=0有两个相等的实数根， 所以Δ=4a2-4(b+c)·[-(b-c)]=0， 即a2+b2=c2， 所以此三角形为直角三角形． 2.已知a，b，c为三角形的三边长，且方程b(x2-1)-2ax+c(x2+1)=0有两个相等的实数根.试判断此三角形的形状. 练一练 A D 随堂练 D ②③ －3 随堂练 随堂练 1．一元二次方程x2－4x＋5＝0的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 2．下列关于x的方程有实数根的是（ ） A．x2－x＋1＝0 B．x2＋x＋1＝0 C．(x－1)(x＋2)＝0 D．(x－1)2＋1＝0 分层练习-基础 D C 分层练习-基础 3．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中a，c异号，则方程的根的情况是（ ） A．b为任意实数，方程有两个不等的实数根 B．b为任意实数，方程有两个相等的实数根 C．b为任意实数，方程没有实数根 D．无法确定 A 分层练习-基础 5．一元二次方程x2－2x＋m＝0总有实数根，则m应满足的条件是（ ） A．m>1 B．m＝1 C．m<1 D．m≤1 B D 分层练习-基础 6．关于x的一元二次方程(a＋1)x2－4x－1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围 是（ ） A．a>－5 B．a>－5且a≠－1 C．a<－5 D．a≥－5且a≠－1 B C 分层练习-基础 8．已知b<0，关于x的一元二次方程(x－1)2＝b的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不确定 A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 9．已知函数y＝kx＋b的图象如图所示，则一元二次方程x2＋x＋k－1＝0根的情况是（ ） C C 分层练习-基础 10．若 5k＋20<0，则关于x的一元二次方程x2＋4x－k＝0的根的情况是（ ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 11．关于x的方程x2＋2kx＋k－1＝0的根的情况描述正确的是（ ） A．k为任何实数，方程都没有实数根 B．k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根 C．k为任何实数，方程都有两个相等的实数根 D．根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种 A B 分层练习-基础 分层练习-巩固 15．已知关于x的方程2x2－(4k＋1)x＋2k2－1＝0，问当k取什么值时， (1)方程有两个不相等的实数根； (2)方程有两个相等的实数根； (3)方程没有实数根. 分层练习-巩固 分层练习-巩固 16．不解方程，判断下列方程根的情况： (1)3x2－5x－1＝0； (2)4y2－12y＋9＝0； (3)3t2－2t＋4＝0. 解：(1)Δ>0，∴方程有两个不相等的实数根　 (2) Δ＝0，∴方程有两个相等的实数根 (3) Δ<0，∴方程没有实数根　 分层练习-巩固 17．已知关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0. (1) 若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根； (2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根. 分层练习-拓展 18．已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0. (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值． 分层练习-拓展 分层练习-拓展 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程没有实数根 课堂反馈 C 课堂反馈 课堂反馈 判别式的情况 根的情况 两个不相等的实数根 两个相等的实数根 没有实数根 两个实数根 Δ= b2−4ac. Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 Δ ≥ 0 我们可以根据这个性质去辨析方程根的情况解决问题 ax2+bx+c=0(a≠0) 课堂小结 38 1．已知一元二次方程2x2－5x＋3＝0，则该方程根的情况是( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．两个根都是自然数 D．无实数根 2．(安顺中考)若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是( ) A．0　　 B．－1　　　 C．2　　 D．－3 3．下列关于x的一元二次方程有实数根的是( ) A．x2＋1＝0 B．x2＋x＋1＝0 C．x2－x＋1＝0 D．x2－x－1＝0 4．下列方程：①x2－1＝0；②x2＋1＝0；③x2＋2x＋3＝0；④x2＋2x＝3，其中无实数根的是　 　. 5．已知关于x的一元二次方程x2－2eq \r(3)x－k＝0有两个相等的实数根，则k值为　 　. 6．已知关于x的方程x2＋mx＋m－2＝0. (1)若此方程的一个根为1，求m的值； 解：把x＝1代入方程x2＋mx＋m－2＝0得1＋m＋m－2＝0，解得m＝eq \f(1,2)； (2)求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根． 证明：Δ＝m2－4(m－2)＝(m－2)2＋4，∵(m－2)2≥0，∴(m－2)2＋4＞0，即Δ＞0，∴此方程有两个不相等的实数根． 4．关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（ ） A．m> B．m< C．m＝ D．m<－ 7．已知(m－1)x2＋2mx＋(m－1)＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A．m> B．m<且m≠1 C．m>且m≠1 D.<m<1 12．若关于x的一元二次方程x2＋x＋m＝0有两个相等的实数根，则m＝_______． 13．若|b－1|＋＝0，且一元二次方程kx2＋ax＋b＝0有两个实数根，则k的取值范围是______________． 14．已知关于x的方程x2＋(1－m)x＋＝0有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是___． 解：∵a＝2，b＝－(4k＋1)，c＝2k2－1，∴Δ＝b2－4ac＝[－(4k＋1)]2－4×2×(2k2－1)＝8k＋9. (1)∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ>0，即8k＋9>0，解得k>－　 (2)∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即8k＋9＝0，解得k＝－ (3)∵方程没有实数根，∴Δ<0，即8k＋9<0，解得k<－　 解：根据题意有12＋a×1＋a－2＝0，∴a＝， ∴原方程为x2＋x－＝0.解得另一根为x＝－　 (2)证明：Δ＝a2－4(a－2)＝a2－4a＋8＝(a－2)2＋4≥4， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根　 解：(1)∵Δ＝(2k＋1)2－4(k2＋k)＝1>0，∴方程有两个不相等的实数根　 (2) 一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0的解为x＝，即x1＝k，x2＝k＋1. 当AB＝k，AC＝k＋1，且AB＝BC时，△ABC是等腰三角形，则k＝5； 当AB＝k，AC＝k＋1，且AC＝BC时，△ABC是等腰三角形，则k＋1＝5， 解得k＝4.所以k的值为5或4.　 19．下面是小敏同学做的题目： 关于x的方程2kx2＋(8k＋1)x＋8k＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 解：∵原方程有两个不相等的实数根，∴b2－4ac＞0，∴(8k＋1)2－4×2k×8k＞0，∴k＞－eq \f(1,16)，∴当k＞－eq \f(1,16)时，原方程有两个不相等的实数根． 以上解法对吗？若有错误，请你写出正确的过程． 解：以上解答不正确．正确过程如下：原方程有两个不相等的实数根．∴a≠0且b2－4ac＞0，∴2k≠0且(8k＋1)2－4×2k×8k＞0，∴k＞－eq \f(1,16)且k≠0时原方程有两个不相等的实数根． 一元二次方程根的判定 1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中，我们把　 　叫根的判别式． (1)当b2－4ac＞0时：　 　； (2)当b2－4ac＝0时：　 　； (3)当b2－4ac＜0时：　 　. b2－4ac 易错点： 忽略一元二次方程的a≠0而犯错． 2. 已知关于x的方程kx2－2x＋1＝0有两个不相等的实根，则k的取值范围是　 　. k＜1且k≠0 2．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中， (1)当方程有两个不相等的实数根时，　 　； (2)当方程有两个相等的实数根时，　 　； (3)当方程没有实数根时，　 　. 1. 若一元二次方程x2＋2x＋a＝0有实数解，则a的取值范围是( ) A．a＜1　　　　　　　　　 B．a≤4　　　　　　　　　　 C．a≤1　　　　　　　　　 D．a≥1 b2－4ac＞0 b2－4ac＝0 b2－4ac＜0 会由一元二次方程根的情况，求待定系数的值(或取值范围)． 【例2】关于x的一元二次方程(m－2)2x2＋(2m＋1)x＋1＝0有两个不等实数根，则m的取值范围是(　　) A．m≥eq \f(3,4)　　　 B．m＞eq \f(3,4) C．m≥eq \f(3,4)且m≠2 D．m＞eq \f(3,4)且m≠2 【思路分析】　由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m－22≠0,Δ＞0)) 【规范解答】　 D 【题后反思】　由根的判别式求待定系数取值范围时注意二次项系数a≠0.　　　　 $$