1.2 y=ax²+bx+c的图象与性质（第4课时）（教学课件）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（浙教版）

九年级浙教版数学上册 第一章 二次函数 第四课时图象与性质 1.1 二次函数 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k.(难点） 2.会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.（重点） 二次函数y = a(x-h)2的图象和性质: a的符号 a>0 a<0 图象 h>0 h<0 开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 当x<h时，y随x增大而增大；当x>h时，y随x增大而减小. 当x<h时，y随x增大而减小；当x>h时，y随x增大而增大. 向上 向下 直线x=h 直线x=h （h,0） x=h时，y最小值=0 x=h时，y最大值=0 （h,0） 情景导入 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 a>0 a<0 图象 h<0 h>0 开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 当x<h时，y随x增大而增大； 当x>h时，y随x增大而减小. 当x<h时，y随x增大而减小； 当x>h时，y随x增大而增大. 向上 向下 直线x=h 直线x=h （h,k） x=h时，y最小值=k x=h时，y最大值=k （h,k） 情景导入 y = ax2 y = ax2 + k y = a(x - h )2 y = a( x - h )2 + k 上下平移 左右平移 上下平移 左右平移 平移规律 口诀： 上下平移， 括号外上加下减； 左右平移， 括号内左加右减. 二次项系数a不变. 情景导入 顶点式 旧知回顾 将二次函数y=2x2－8x+7化作顶点式. 解： y = 2x2－8x+7 = 2(x2－4x)+7 = 2(x2－4x+4)－8+7 = 2(x－2)2－1 ∴ 对称轴是x=2，顶点坐标为(2，－1) 提取二次项系数 配方 顶点式 旧知回顾 配方法 我们已经认识了形如y=a(x-h)2+k的二次函数的图象和性质，你能研究二次函数 的图象和性质吗? 1.的图形与性质 新知探究 画出函数 的图象并说明这个函数具有哪些性质？ 因为 ， 所以函数即为 因此这个函数的图象开口向下，对称轴为直线 x = 1，顶点坐标为（1，-2）. 先配方，将函数关系式化为 y=a(x-h)2+k的形式. 列表： 由图象可知，这个函数具有如下性质： 当 x < 1 时，函数值 y 随 x 的增大而增大； 当 x > 1 时，函数值 y 随 x 的增大而减小； 当x = 1 时，函数取得最大值，最大值 y = -2. X … -2 -1 0 1 2 3 4 … y … -4 -2 -4 … 试一试 （1）试按照上面的方法，画出函数 的图象，由图象你能发现这个函数具有哪些性质？ 解：将函数 配方得， x … 1 2 3 4 5 6 7 … y … … 列表： 描点，连线. （2）通过配方，说出函数 y = -2x2 + 8x -8 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.这个函数有最大值 还是最小值？这个值是什么？ 解：将函数 配方得， y = -2x2 + 8x -8 y = -2(x-2)2 开口向下 对称轴是直线 x = 2 顶点坐标是（2,0） 函数有最大值，y = 0. 问题1： 二次函数 可以看作是由 怎样平移得到的？ 答：先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的 问题2： 你能说出 的对称轴及顶点坐标吗？ 答：对称轴是直线x=6,顶点坐标是（6，3）. 14 求二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴和顶点坐标. y = ax2+bx+c 解：把二次函数y=ax2+bx+c的右边配方，得 ∴对称轴是 ，顶点坐标为 y=ax2+bx+c 二次函数的顶点式 对称轴为 。 二次函数的一般表达式 因此，抛物线的对称轴是 ，顶点是 。 y O x （a>0） y O x （a<0） 二次函数y=ax2+bx+c的图象： 最小值 最大值 如果a>0,当x< 时，y随x的增大而减小；当x> 时，y随x的增大而增大. 如果a<0,当x< 时，y随x的增大而增大；当x> 时，y随x的增大而减小. 关系式 一般式y=ax2+bx+c（a≠0） 顶点式y=a(x-h)2+k（a≠0） 开口方向 图象 顶点坐标 对称轴 增减性 a>0 a<0 最值 a>0 a<0 当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下 抛物线 在对称轴左侧，即时，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，即时，y随x的增大而增大 在对称轴左侧，即x<h时，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，即x>h时，y随x 的增大而增大 在对称轴左侧，即时，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，即时，y随x 的增大而减小 在对称轴左侧，即x<h时，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，即x>h时，y 随x 的增大而减小 当时，函数有最小值 当时，函数有最大值 例1 画出函数 的图象，并说明这个函数具有哪些性质. x ··· -2 -1 0 1 2 3 4 ··· y ··· ··· -6.5 -4 -2.5 -2 -2.5 -4 -6.5 解: 函数 通过配方可得 ， 先列表： 典例剖析 2 x y -2 0 4 -2 -4 -4 -6 -8 然后描点、连线，得到图象如下图. 由图象可知，这个函数具有如下性质： 当x＜1时，函数值y随x的增大而增大； 当x＞1时，函数值y随x的增大而减小； 当x=1时，函数取得最大值，最大值y=-2. 例2 已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ） A．b≥－1 B．b≤－1 C．b≥1 D．b≤1 解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，∴抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴 ，即b≤1，故选择D . D 典例剖析 1 对于二次函数y＝－ x2＋x－4，下列说法正确的是(　　) A．当x＞0时，y随x的增大而增大 B．当x＝2时，y有最大值－3 C．图象的顶点坐标为(－2，－7) D．图象与x轴有两个交点 B 练一练 2.如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A(0，2)，B(1，0)，C(2，1)，若二次函数y＝x2＋bx＋1的图象与阴影部分(含边界)一定有公共点，则实数b的取值范围是(　　) A．b≤－2 B．b＜－2 C．b≥－2 D．b＞－2 C 练一练 如图，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，而且左右两条抛物线关于y轴对称.按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用 表示. （1）钢缆的最低点到桥面的距离是多少? （2）两条钢缆最低点之间的距离是多少? y/m x/m 桥面 10 -5 O 5 2.利用性质解决实际问题 新知探究 24 分析：因为两条钢缆都是抛物线形状，且开口向上．要求钢缆的最低点到桥面的距离就是要求抛物线的最小值．又因为左、右两条抛物线关于y轴对称，所以它们的顶点也关于y轴对称，两条钢缆最低点之间的距离就是两条抛物线顶点的横坐标绝对值之和或其中一条抛物线顶点横坐标绝对值的2倍．已知二次函数的形式是一般形式，所以应先进行配方化为y＝a(x－h)2＋k的形式，即顶点式． y/m x/m 桥面 10 -5 O 5 解: 顶点坐标 顶点坐标 ∴钢缆的最低点到桥面的距离是1m 两条钢缆最低点之间的距离是|-20|×2=40m y/m x/m 桥面 10 -5 O 5 C C 随堂练 B B 随堂练 C D 随堂练 B 分层练习-基础 B 25 分层练习-基础 D C 分层练习-巩固 3 ＞1 11 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 分层练习-拓展 分层练习-拓展 上 下 课堂反馈 B 课堂反馈 顶点： 对称轴： y=ax2+bx+c（a ≠0) (一般式) 配方法 公式法 (顶点式) 课堂小结 关系式 一般式y=ax2+bx+c（a≠0） 顶点式y=a(x-h)2+k（a≠0） 开口方向 图象 顶点坐标 对称轴 增减性 a>0 a<0 最值 a>0 a<0 当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下 抛物线 在对称轴左侧，即时，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，即时，y随x的增大而增大 在对称轴左侧，即x<h时，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，即x>h时，y随x 的增大而增大 在对称轴左侧，即时，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，即时，y随x 的增大而减小 在对称轴左侧，即x<h时，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，即x>h时，y 随x 的增大而减小 当时，函数有最小值 当时，函数有最大值 ＝a(x＋)2＋ ＝a(x2＋x)＋c ＝a[x2＋2·x＋()2－()2]＋c 顶点坐标(－，) y＝x2＋x＋10 1．二次函数y＝－x2－2x＋2的顶点坐标、对称轴分别是(　 　) A．(1,3)，直线x＝1 B．(－1,3)，直线x＝1 C．(－1,3)，直线x＝－1 D．(1,3)，直线x＝－1 2．将抛物线y＝－2x2＋1向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为(　 　) A．y＝－2(x＋1)2 B．y＝－2(x＋1)2＋2 C．y＝－2(x－1)2＋2 D．y＝－2(x－1)2＋1 3．对于二次函数y＝－eq \f(1,4)x2＋x－4，下列说法正确的是(　 　) A．当x＞0时，y随x的增大而增大 B．当x＝2时，y有最大值－3 C．图象的顶点坐标为(－2，－7) D．图象与x轴有两个交点 4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则(　 　) A．b＞0，c＞0 B．b＞0，c＜0 C．b＜0，c＜0 D．b＜0，c＞0 5. (岳阳中考)抛物线y＝3(x－2)2＋5的顶点坐标为( ) A．(－2,5)　　　　　　 B．(－2，－5) C．(2,5) D．(2，－5) 6. (成都中考)关于二次函数y＝2x2＋4x－1，下列说法正确的是( ) A．图象与y轴的交点坐标为(0,1) B．图象的对称轴在y轴的右侧 C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小 D．y的最小值为－3 7．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象如图所示，当－5≤x≤0时，下列说法正确的是( ) A．有最小值－5，最大值0 B．有最小值－3，最大值6 C．有最小值0，最大值6 D．有最小值2，最大值6 8. (德州中考)如图，函数y＝ax2－2x＋1和y＝ax－a (a是常数，且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是( ) 9．已知二次函数y＝4x2－mx＋5，当x＜－2时，y随x的增大而减小；当x＞－2时，y随x的增大而增大，则当x＝1时，y的值为　 　. 10．(呼和浩特中考)二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图象可能是(　　) 11．对于二次函数y＝2(x＋1)(x－3)，下列说法正确的是(　　) A．图象的开口向下 B．当x＞1时，y随x的增大而减小 C．当x＜1时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴是直线x＝－1 12．函数y＝－x2＋2x＋c的部分图象如图所示，则c＝ ；当x 时，y随x的增大而减小． 13．把抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是y＝x2－3x＋5，则a＋b＋c＝ . 14．已知二次函数y＝x2－2kx＋k2＋k－2. (1)当实数k为何值时，图象经过原点？ (2)当实数k在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？ 解：(1)∵图象过原点，∴k2＋k－2＝0，∴k1＝－2，k2＝1；　 (2)y＝x2－2kx＋k2＋k－2＝(x－k)2＋k－2，其顶点坐标为(k，k－2)．∵顶点在第四象限内，∴k＞0，k－2＜0，∴0＜k＜2. 15．如图，抛物线y＝ax2－5ax＋4a与x轴相交于点A、B，且过点C(5,4)． (1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标； (2)请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式． 解：(1)由抛物线过C(5,4)得25a－25a＋4a＝4，解得a＝1，∴该二次函数的解析式为y＝x2－5x＋4，∵y＝x2－5x＋4＝(x－eq \f(5,2))2－eq \f(9,4)，∴顶点坐标为P(eq \f(5,2)，－eq \f(9,4))；　 (2)(答案不唯一，合理即正确)如：先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的二次函数解析式为y＝(x－eq \f(5,2)＋3)2－eq \f(9,4)＋4，即y＝(x＋eq \f(1,2))2＋eq \f(7,4)，也即y＝x2＋x＋2. (4)当x＝－3时，y有最大值，最大值是4. 16．把抛物线y＝－eq \f(1,3)x2向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到一条新抛物线，根据新抛物线解答下列问题： (1)求所得抛物线的表达式； (2)求抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)x取何值时，y随x的增大而增大？x取何值时，y随x的增大而减小？ (4)x取何值时，y有最大值(或最小值)？并求出最大值(或最小值)． 解：(1)平移后的表达式为y＝－eq \f(1,3)(x＋3)2＋4；　 (2)开口向下，对称轴是直线x＝－3，顶点坐标为(－3,4)；　 (3)当x＜－3时，y随x的增大而增大；当x＞－3时，y随x的增大而减小；　 17．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，试判断abc,2a＋b，a＋b＋c，a－b＋c的符号． 解：∵开口向上，∴a＞0，又∵对称轴x＝eq \f(－b,2a)＞0，∴b＜0.∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方，∴c＜0，∴abc＞0，∵x＝－eq \f(b,2a)＞1，a＞0，∴－b＞2a，∴2a＋b＜0.由图象知，当x＝1时，y＝a＋b＋c＜0，当x＝－1时，y＝a－b＋c＞0. 18．已知抛物线y＝ax2＋bx经过点A(－3，－3)和点P(t,0)，且t≠0. (1)若该抛物线的对称轴经过点A，如图，请通过观察图象，指出此时y的最小值，并写出t的值； (2)若t＝－4，求a、b的值，并指出此时抛物线的开口方向． 解：(1)y的最小值为－3，t的值为－6； (2)a＝1，b＝4，此时抛物线的开口向上． 19.已知二次函数y＝x2－2mx＋m2－1. (1)当二次函数的图象经过坐标原点O(0,0)时，求二次函数的解析式； (2)如图，当m＝2时，该抛物线y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标； (3)在(2)的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC＋PD最短？若P点存在，求出P点坐标；若P点不存在，请说明理由． 解：(1)将O(0,0)代入二次函数y＝x2－2mx＋m2－1中，得0＝m2－1，解得m＝±1，∴二次函数的解析式为y＝x2＋2x或y＝x2－2x；　 (2)当m＝2时，二次函数解析式为y＝x2－4x＋3，即y＝(x－2)2－1，∴C(0,3)，顶点坐标为D(2，－1)；　 (3)存在，连接CD，根据“两点之间，线段最短”可知，当点P位于CD与x轴的交点时，PC＋PD最短，可求经过C、D两点的直线解析式为y＝－2x＋3，令y＝0，可得－2x＋3＝0，解得x＝eq \f(3,2)，∴当P点坐标为(eq \f(3,2)，0)时，PC＋PD最短． 20．已知二次函数y＝x2－2mx＋m2－1. (1)当二次函数的图象经过坐标原点O(0,0)时，求二次函数的表达式； (2)如图，当m＝2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D.求C、D两点的坐标； (3)在(2)的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC＋PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由． 解：(1)将点O(0,0)代入二次函数y＝x2－2mx＋m2－1中，得0＝m2－1，解得m＝±1.∴二次函数的表达式为y＝x2＋2x或y＝x2－2x；　 (2)当m＝2时，二次函数表达式为y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴C(0,3)，顶点坐标为D(2，－1)；　 (3)存在，连接CD，根据“两点之间，线段最短”可知，当点P位于CD与x轴的交点时，PC＋PD最短，设经过C、D两点的直线表达式为y＝kx＋b(k≠0)，将C(0,3)、D(2，－1)两点坐标代入表达式中，可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3＝b，,－1＝2k＋b，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k＝－2，,b＝3.))∴y＝－2x＋3，令y＝0，可得－2x＋3＝0，解得x＝eq \f(3,2)，∴当P点坐标为(eq \f(3,2)，0)时，PC＋PD最短． ＜－eq \f(b,2a)　 －eq \f(b,2a) eq \f(4ac－b2,4a) 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 1．抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是　 　，顶点坐标是　 　.当a＞0时，开口向　 　；当a＜0时，开口向　 　. 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c，当a＞0且x　 　时，y随x的增大而减小；当a＜0且x　 时，y随x的增大而增大． 3．当x＝　 　时，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)有最大值为　 　. 直线x＝－eq \f(b,2a) (－eq \f(b,2a)，eq \f(4ac－b2,4a)) ＜－eq \f(b,2a) 1.抛物线y＝x2＋2x＋3的对称轴是(　 　) A．直线x＝1　　　　　 B．直线x＝－1　　　　　 C．直线x＝－2　　　　　 D．直线x＝2 易错点：解出a的两个值，没有根据图象开口方向进行取舍． 2.如图，关于x的二次函数y＝(a－1)x2－2x＋a2－a－2的图象经过原点，求a的值． 解：把(0,0)代入函数表达式，得a2－a－2＝0，∴a＝2或a＝－1，∵开口向下，∴a＝－1. $$