专题03 相似三角形的常用模型（六大类型）-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（沪教版）

专题03相似三角形的常用模型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 4 类型一、“A”字模型 4 类型二、“8”字模型 5 类型三、“A”字模型与“8”字模型的结合 7 类型四、一线三角模型 8 类型五、母子模型 9 类型六、“手拉手模型” 10 压轴能力测评（10题） 12 一、“”字模型 “”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似． 图1　 图2 　 图3 ①“”字模型 条件：如图1，；结论：⇔ ②反“”字模型 条件：如图2，；结论：⇔ ③同向双“”字模型 条件：如图3，；结论：⇔ 二、“8”字模型 “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． 图1 图2 图3 图4 ①“8”字模型 条件：如图1，；结论：⇔ ②反“8”字模型 条件：如图2，；结论：⇔ ③平行双“8”字模型 条件：如图3，；结论： ④斜双“8”字模型 条件：如图4，；结论：⇔ 三、一线三等角模型 “一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似． ①一线三等角模型（同侧型） （锐角型） （直角型） （钝角型） 条件：如图，，结论：. ②一线三等角模型（异侧型） 条件：如图，，结论： 四、母子模型 “母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． 图1 图2 ①“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，结论：. ②双垂直模型（射影模型） 条件:如图2，，结论：；， 五、“手拉手”模型 “手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。 ①手拉手相似模型（任意三角形） 条件:如图，，；结论：；. 类型一、“A”字模型 【例1】如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长． 【例2】如图，在三角形中，点D、E分别在边、上，，，，．    (1)求证：； (2)若的平分线交于点F，交于点G，求． 【变式1-1】如图，，分别是与边上的高． 求证：． 【变式1-2】如图三角形ABC中，中线AD，BE交于点F，EG // BC，交AD于点G. (1)求的值 (2)如果BD＝2，DF＝2，请找出于△BDA相似的三角形，并挑出一个进行证明. 【变式1-3】如图，在中，，点D在上，点E在上，点B关于直线的轴对称点为点，连接，，分别与相交于F点，G点，若，则的长度为 ．    类型二、“8”字模型 【例3】如图，在▱ABCD中，E为CD的中点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，则：为（    ） A．1：5 B．4：25 C．4：31 D．4：35 【例4】如图，在△ABC中，AB＝15cm，AC＝12cm，AD是∠BAC的外角平分线，DE∥AB交AC的延长线于点E，那么CE等于（    ）cm． A．32 B．24 C．48 D．64 【变式2-1】如图，四边形是平行四边形，点，分别在的延长线，的延长线上，连接分别交，于点，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，在正方形中，E为的中点，连接交于点F．若，则的面积为 ． 【变式2-3】如图，四边形和四边形都是平行四边形，点R为的中点，分别交和于点P，Q，则 ．    类型三、“A”字模型与“8”字模型的结合 【例5】如图，相交于点，且，点在同一条直线上．已知，则之间满足的数量关系式是（    ） A． B． C． D． 【例6】如图，在平行四边形中，过点B的直线与及的延长线分别相交于E，F，G．若，则等于 ．    【变式3-1】如图，相交于点O，，M是的中点，，交于点N，若，，则的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式3-2】如图，与交于点，，，为延长线上一点，过点作，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 类型四、一线三角模型 【例7】如图，边长为10的等边中，点D在边上，且，将含角的直角三角板（）绕直角顶点D旋转，分别交边于P、Q，连接．当时，长为（　　）    A．6 B． C．10 D．6 【例8】如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点．将沿翻折，点正好落在线段上的点处，使得．若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（        ）    A． B． C． D． 【变式4-2】如图，，，E是上一点，使得； (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)当时，请写出线段之间数量关系，并说明理由． 【变式4-3】如图，、、、分别为矩形的边、、、的中点，连接、、、、，已知，，则下列结论：①；②∽；③；④正确的是 （填写序号） 类型五、母子模型 【例9】如图，在中，．分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线分别交于点．以G为圆心，长为半径画弧，交于点H，连结．则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【例10】如图，正方形的边长为2，平分交于E，F是延长线上一点，且，延长线交于G，则的值是 ． ​ 【变式5-1】在等腰中，顶角，点D在一腰上，连接，线段与底边的长相等．若．则 ；若，则 ． 【变式5-2】如图，在边长为6的等边中，D、E分别为边上的点，与相交于点P，若，则的周长为 ． 【变式5-3】如图，和是等腰直角三角形，，的边，交边于点，．若，，则的值是 ．    类型六、“手拉手模型” 【例11】如图1，在中，，，，D是上一点，且，过点D作交于E，将绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中的值为 ．    【例12】如图，正方形中，点F是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点H；连接．以下四个结论：①；②；③；④．则上述结论正确的有 ．（把正确的代号填在横线上） 【变式6-1】在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，点A为公共顶点，．如图②，若△ABC固定不动，把△ADE绕点A逆时针旋转，使AD、AE与边BC的交点分别为M、N点M不与点B重合，点N不与点C重合． 【探究】求证：． 【应用】已知等腰直角三角形的斜边长为4． (1)的值为______． (2)若，则MN的长为______． 【变式6-2】如图1，、分别是的内角、的平分线，过点作，交的延长线于点． (1)求证：； (2)如图2，如果，且，求的值； (3)如果是锐角，且与相似，求的度数，并直接写出的值． 1．如图，边长为10的等边中，点在边上，且，将含角的直角三角板绕直角顶点旋转，、分别交边、于、，连接，当时，的长为（    ）    A．6 B． C． D． 2．如图，P为的边上的一点，E，F分别为，的中点，，，的面积分别为S，S1，S2．若，则的值是（　　）    A．24 B．12 C．6 D．10 3．如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC⊥BC，∠ABC＝45°，AC与BD交于点E，若AB＝，CD＝2，则△ABE的面积为 ． 4．如图，将正方形沿直线折叠，使点的对应点落在边上，点C落在点N处，与交于点，折痕分别与边，交于点，，连接．若，则的值是 ． 5．如图中，，，，点为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为 ． 6．如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与AC相交于点H，连接DG．以下四个结论： ①∠EAB＝∠BFE＝∠DAG； ②△ACF∽△ADG； ③； ④DG⊥AC． 其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 7．如图，，且，，，在上是否存在一点，使得以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，若存在，求的长，若不存在，请说明理由． 8．点为的斜边上一点，点在上，连结，，且，交的延长线于点，连结． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，若，当点在上运动时，求证：． 9．如图，在正方形ABCD中，点E在AD上，EF⊥BE交CD于点F． (1)求证：； (2)连接BF，若，试确定点E的位置并说明理由． 10．如图，在中，点在边上，点在边上，且．    (1)求证：； (2)若，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03相似三角形的常用模型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 4 类型一、“A”字模型 4 类型二、“8”字模型 8 类型三、“A”字模型与“8”字模型的结合 12 类型四、一线三角模型 15 类型五、母子模型 22 类型六、“手拉手模型” 27 压轴能力测评（10题） 32 一、“”字模型 “”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似． 图1　 图2 　 图3 ①“”字模型 条件：如图1，；结论：⇔ ②反“”字模型 条件：如图2，；结论：⇔ ③同向双“”字模型 条件：如图3，；结论：⇔ 二、“8”字模型 “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． 图1 图2 图3 图4 ①“8”字模型 条件：如图1，；结论：⇔ ②反“8”字模型 条件：如图2，；结论：⇔ ③平行双“8”字模型 条件：如图3，；结论： ④斜双“8”字模型 条件：如图4，；结论：⇔ 三、一线三等角模型 “一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似． ①一线三等角模型（同侧型） （锐角型） （直角型） （钝角型） 条件：如图，，结论：. ②一线三等角模型（异侧型） 条件：如图，，结论： 四、母子模型 “母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． 图1 图2 ①“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，结论：. ②双垂直模型（射影模型） 条件:如图2，，结论：；， 五、“手拉手”模型 “手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。 ①手拉手相似模型（任意三角形） 条件:如图，，；结论：；. 类型一、“A”字模型 【例1】如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长． 【答案】 【详解】解：设正方形的边长， 四边形是正方形， ， ， 是的高， ， 四边形是矩形， ， ， （相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比． 【例2】如图，在三角形中，点D、E分别在边、上，，，，．    (1)求证：； (2)若的平分线交于点F，交于点G，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，． ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）由（1）可得， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义，相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定方法是解本题的关键． 【变式1-1】如图，，分别是与边上的高． 求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：，分别是与边上的高， ， ， ， ， 即， ， ． 【变式1-2】如图三角形ABC中，中线AD，BE交于点F，EG // BC，交AD于点G. (1)求的值 (2)如果BD＝2，DF＝2，请找出于△BDA相似的三角形，并挑出一个进行证明. 【答案】=3；(2)△BDA∽△FGE或△BDA∽△FDB，证明见解析. 【详解】（1）∵D是BC的中点，E是AC的中点， ∴BD=CD,AE=CE ∵GE∥BC， ∴△AGE∽△ADC, ∴, ∴AG=GD,2GE=CD=BD, ∵GE∥BC, ∴△GEF∽△DBF, ∴, ∴DF=2GF, ∴AG=DG=3GF, ∴=3; （2）当BD＝2，DF＝2时，由（1）可得GF=1，AG=DG=3，AD=6，GE=, ∵, ∴, 又∵∠BDG=∠ADB, ∴△BDA∽△FDB; ∵, ∴, ∵GE∥BC, ∴∠ADB=∠EGF, ∴△BDA∽△FGE. 【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质定理，(1)中由平行证得相似，（2）中通过两组边成比例夹角相等证明三角形相似. 【变式1-3】如图，在中，，点D在上，点E在上，点B关于直线的轴对称点为点，连接，，分别与相交于F点，G点，若，则的长度为 ．    【答案】 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，相似三角形的性质与判定，等边对等角等等，证明是解题的关键． 类型二、“8”字模型 【例3】如图，在▱ABCD中，E为CD的中点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，则：为（    ） A．1：5 B．4：25 C．4：31 D．4：35 【答案】A 【详解】解：四边形ABCD是平行四边形， ，AB=CD ∵E为CD的中点， ∴DE：CD=1：2 ∵AB//DE ∽， ：：：4，EF:AF=1:2 设，则， ：：2， ：：：2， ， ， 是平行四边形ABCD的对角线， ， ， ：：：5． 故选A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定以及相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键，不容易考虑到的是等高的三角形的面积的比等于底边的比的应用． 【例4】如图，在△ABC中，AB＝15cm，AC＝12cm，AD是∠BAC的外角平分线，DE∥AB交AC的延长线于点E，那么CE等于（    ）cm． A．32 B．24 C．48 D．64 【答案】C 【详解】解：标出字母，如图： ∵在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线， ∴∠EAD=∠MAD， ∵DE∥AB交AC的延长线于点E， ∴∠EDA=∠MAD，∠BAC=∠CED， ∴∠EAD=∠EDA， ∴ED=EA， ∵在三角形ABC与三角形CED中， ∠BAC=∠CED，∠BCA=∠ECD， ∴△ABC∽△CED， ∴， ∵AB=15cm，AC=12cm， 设ED=15k， ∴CE=12k， ∴ED=15k=EA=EC+CA=12k+12， ∴3k=12， ∴k=4， ∴CE=12k=48（cm）， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质及相似三角形的判定与性质，本题的解题关键是由三角形相似边的比例关系即可得出答案． 【变式2-1】如图，四边形是平行四边形，点，分别在的延长线，的延长线上，连接分别交，于点，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，，， ， ， 故A不符合题意； ， ， ， 故B不符合题意； ， ， ， 故C不符合题意； ， ， ， ， 故D符合题意， 故选：D． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识，根据平行线分线段成比例定理或相似三角形的性质正确地列出比例式是解题的关键． 【变式2-2】如图，在正方形中，E为的中点，连接交于点F．若，则的面积为 ． 【答案】3 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为3． 【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【变式2-3】如图，四边形和四边形都是平行四边形，点R为的中点，分别交和于点P，Q，则 ．    【答案】 【详解】解：∵四边形和四边形都是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， 又∵， ∴． 又∵点R是中点， ∴， ， ∴． 又∵， ∴． 故答案为：． 类型三、“A”字模型与“8”字模型的结合 【例5】如图，相交于点，且，点在同一条直线上．已知，则之间满足的数量关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即； 故选C． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【例6】如图，在平行四边形中，过点B的直线与及的延长线分别相交于E，F，G．若，则等于 ．    【答案】 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3-1】如图，相交于点O，，M是的中点，，交于点N，若，，则的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， M是的中点， ， ． 故选：B． 【变式3-2】如图，与交于点，，，为延长线上一点，过点作，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：由（1）得：， ， ，， ， ， ， ， 即， 解得：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握各判定定理并熟练应用是解题的关键． 类型四、一线三角模型 【例7】如图，边长为10的等边中，点D在边上，且，将含角的直角三角板（）绕直角顶点D旋转，分别交边于P、Q，连接．当时，长为（　　）    A．6 B． C．10 D．6 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点Q作于点M，    ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质．先证明是解题的关键． 【例8】如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点．将沿翻折，点正好落在线段上的点处，使得．若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵是等边三角形， ∴ ＝＝＝60°， ∵ 沿DE折叠C落在AB边上的点F上， ∴ ， ∴ ＝＝60°，CD=DF，CE＝EF， ∵AF：BF=1:2， 设AF=m，BF=2m，AB=3m， 设＝x，＝DF＝， ∵BE=2，BC＝， ∴ CE＝， ∵ ＝，＝60°， ∴ ＝120°，＝120°， ∴ ＝， ∵ ＝， ∴ ， ∴ ， 即， 解得：，使等式有意义， ∴ ＝， 故选择：A． 【点睛】本题考查等边三角形性质和折叠性质以及相似三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度． 【变式4-1】如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（        ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∵ ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【变式4-2】如图，，，E是上一点，使得； (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)当时，请写出线段之间数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)线段之间数量关系：，理由见解析． 【详解】（1）证明：，， ，， ，， ， ， ． （2）解：中， ，， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ． （3）解：线段之间数量关系：， 理由是：如图，过作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得：， ， ． 【变式4-3】如图，、、、分别为矩形的边、、、的中点，连接、、、、，已知，，则下列结论：①；②∽；③；④正确的是 （填写序号） 【答案】②③④ 【详解】解：， ， 不能说明， 故①错误，不符合题意； ， ， 又， ， 故②正确，符合题意； 如图，连接， 由题意得：， ，分别是与的中点， ， ， ， 即， ， 在中，， ， 解得：， ， 故③正确，符合题意； ， ， 即， 故④正确，符合题意， 正确的是②③④， 故答案为：②③④． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，利用勾股定理求出的长是解题的关键． 类型五、母子模型 【例9】如图，在中，．分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线分别交于点．以G为圆心，长为半径画弧，交于点H，连结．则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由作法得垂直平分，， ，，，所以选项正确，不符合题意； ，， 为的中位线， ， ， ， ， ， ， ， ，所以选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ，， ， ， ， 设，，得， 解之得（负舍）， ∴ ∴， ， 故C选项不正确，符合题意； ， ∴． 所以D选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和相似三角形的判定与性质． 【例10】如图，正方形的边长为2，平分交于E，F是延长线上一点，且，延长线交于G，则的值是 ． ​ 【答案】 【详解】，四边形是正方形, ， 又∵平分交于, ，, ， 在 和 中, ， ， 即 ， 即 , 即 ， 故答案为： ． 【变式5-1】在等腰中，顶角，点D在一腰上，连接，线段与底边的长相等．若．则 ；若，则 ． 【答案】 6 【详解】解：∵∠A=36°，AB=AC， ∴∠ABC=∠C=（180°-36°）÷2=72°， ∵BD=BC， ∴∠BDC=∠C=72°， ∵∠BDC=∠A+∠ABD， ∴∠ABD=72°-36°=36°， ∴∠ABD=∠A， ∴AD=BD， ∵BD=BC=6， ∴AD=6； 若AB=AC=6， 设AD=x，则BD=BC=x， ∴CD=6-x， ∵∠BDC=∠ABC=72°，∠C=∠C， ∴△ABC∽△BDC， ∴，即， 解得：x=或（负值舍去）， 经检验：x=是原方程的解， ∴AD=， 故答案为：6，． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，外角的性质，解分式方程和一元二次方程，解题的关键是灵活运用等边对等角，从而证明三角形相似． 【变式5-2】如图，在边长为6的等边中，D、E分别为边上的点，与相交于点P，若，则的周长为 ． 【答案】 【详解】解：如图：过点E作于F， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴△ABP的周长． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、解直角三角形、勾股定理、相似三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式5-3】如图，和是等腰直角三角形，，的边，交边于点，．若，，则的值是 ．    【答案】 【详解】解：∵和是等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，则， 同理可得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 类型六、“手拉手模型” 【例11】如图1，在中，，，，D是上一点，且，过点D作交于E，将绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中的值为 ．    【答案】/0.8 【详解】∵在中，，，， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定定理． 【例12】如图，正方形中，点F是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点H；连接．以下四个结论：①；②；③；④．则上述结论正确的有 ．（把正确的代号填在横线上） 【答案】①②④ 【详解】解：①由题意得：， ∵，， ∴， 故①正确； ②由题意得：，， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴ 故②正确； ③由题意得： ∵， ∴ ∴，即： ∵， ∴ 在中，， ∴ 故③错误； ④由②知： ∴ 故在正方形的另一条对角线上， ∴ 故④正确； 故答案为：①②④ 【变式6-1】在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，点A为公共顶点，．如图②，若△ABC固定不动，把△ADE绕点A逆时针旋转，使AD、AE与边BC的交点分别为M、N点M不与点B重合，点N不与点C重合． 【探究】求证：． 【应用】已知等腰直角三角形的斜边长为4． (1)的值为______． (2)若，则MN的长为______． 【答案】(1)8 (2) 【探究】利用三角形外角的性质可证，又由，可证明结论； 【应用】（1）首先求出等腰直角三角形的直角边长，再由，得，则； （2）由，得，由（1）知，得，从而得出答案． 【详解】（1）∵△ABC为等腰直角三角形，， ∴，同理，， ∵， ， ∴，∴； （2）（1）∵等腰直角三角形的斜边长为4， ∴，∵， ∴，∴，∴， 故答案为：8； （2）∵，∴，∵， ∴，∴， 故答案为：． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，利用前面探索的结论解决新的问题是解题的关键． 【变式6-2】如图1，、分别是的内角、的平分线，过点作，交的延长线于点． (1)求证：； (2)如图2，如果，且，求的值； (3)如果是锐角，且与相似，求的度数，并直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，或， 【详解】（1）证明：如图1中， ， ，， 平分， ，同理， ，， ， ． （2）解：延长交于点． ， ， 平分， ， ， ， ，， ， ． （3）与相似，， 中必有一个内角为 是锐角， ． ①当时， ， ， ， ，此时． ②当时，， ， 与相似， ，此时． 综上所述，，．，． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 1．如图，边长为10的等边中，点在边上，且，将含角的直角三角板绕直角顶点旋转，、分别交边、于、，连接，当时，的长为（    ）    A．6 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， ， ，， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， 过点作于点，   ，， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，证明是解题的关键． 2．如图，P为的边上的一点，E，F分别为，的中点，，，的面积分别为S，S1，S2．若，则的值是（　　）    A．24 B．12 C．6 D．10 【答案】B 【详解】解：过P作交BC于点Q，由，得到，    ∴四边形与四边形都为平行四边形， ∴，， ∴，， ∵为的中位线， ∴，， ∴，且相似比为1：2， ∴，， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键． 3．如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC⊥BC，∠ABC＝45°，AC与BD交于点E，若AB＝，CD＝2，则△ABE的面积为 ． 【答案】 【详解】解：过点D作DF⊥AC于点F， ∵AC⊥BC，∠ABC＝45°， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴， ∵∠ADC＝90°，CD=2， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵DF∥BC， ∴△DEF∽△BEC， ∴，即， 解得：， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，三角形的面积公式，关键是作辅助线构造相似三角形与直角三角形． 4．如图，将正方形沿直线折叠，使点的对应点落在边上，点C落在点N处，与交于点，折痕分别与边，交于点，，连接．若，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，延长交于点．    ∵， ∴． ∴， ∴，， 设，，则，，正方形边长为， ∴． 由翻折和正方形的性质可得，． ∴． ∴，即， ∴． ∴． 在中，， ∴． 解得：（舍），． ∴． 在中，， ∴ 解得：， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了正方形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 5．如图中，，，，点为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，设PQ，AC交于点D，过点D作DE⊥BC于点E， ∴∠CED=90° ∵四边形PAQC是平行四边形， ∴，， 当PD⊥BC时，PD取得最小值，即PQ最小， ∴当P、E重合时，PD最小， ∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4， ∴∠CAB=∠CED，， 又∵∠DCE=∠BCA， ∴△CED∽△CAB， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、垂线段最短、相似三角形的性质与判定等知识，求得DE的长是解题的关键． 6．如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与AC相交于点H，连接DG．以下四个结论： ①∠EAB＝∠BFE＝∠DAG； ②△ACF∽△ADG； ③； ④DG⊥AC． 其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【详解】解：设AB与EF相交于点O，如图所示， ∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形， ∴，． 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 故结论①正确； ∵AC、AF是正方形ABCD和正方形AEFG的对角线， ∴，， ∴． 又∵， ∴， 即． ∴△ACF∽△ADG． 故结论②正确； 由△ACF∽△ADG可知， ∴DG平分． ∵是等腰直角三角形， ∴DG⊥AC． 故结论④正确； ∵，， ∴△ACF∽△AFH， ∴， ∴． ∵在等腰直角中，， ∴， 故结论③错误， ∴正确的结论是①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理证明三角形相似是解题的关键． 7．如图，，且，，，在上是否存在一点，使得以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，若存在，求的长，若不存在，请说明理由． 【答案】存在，=2或12或8.4 【详解】解：存在． ∵，，∴， 设，则． ①时，， 即，解得，， ∴当或12时，； ②当时，， 即，解得， ∴当时，． 综上所述，当或12或8.4时，以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质和一元二次方程的解法，属于常考题型，正确分类、熟练掌握上述知识是解题的关键． 8．点为的斜边上一点，点在上，连结，，且，交的延长线于点，连结． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，若，当点在上运动时，求证：． 【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【详解】（1）∵，而， ∴．∴． 又∵，∴． 而，∴≌（SAS），∴，∴． （2）∵， 而，∴． 又∵，∴∽，∴． 又∵，∴，∴∽， ∴，∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练运用基础知识是解题关键 9．如图，在正方形ABCD中，点E在AD上，EF⊥BE交CD于点F． (1)求证：； (2)连接BF，若，试确定点E的位置并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)点为的中点，理由见解析 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ，， ； （2）点为的中点时，，理由如下： ， ， ， ， ， ， 点为的中点． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用同角的余角找出;（2）利用相似三角形的性质得出． 10．如图，在中，点在边上，点在边上，且．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：， ∴， ， ∴， 又， ． 又， ． （2）由（1）知，， ． ， ． ． ．又， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！40 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$